Резюме. Изведена е геометрична връзка между корените на полиноми на комплексна променлива с кратни корени във върховете на успоредник и корените на техните производни. Като приложение са разгледани някои полиноми на реална променлива с реални коефициенти.

Ключови думи: полином; корени от полином; успоредник; ромб; правоъгълник; елипса; фокус; център

Известна е една геометрична връзка между корените на полиномите от четвърта степен, които са разположени във върховете на успоредник, и корените на съотвените им производни. Според тази връзка, ако корените на полином от четвърта степен са разположени във върховете на успоредник, то корените на неговата производна се намират във фокусите на елипсата, допираща се до страните на успоредника в техните среди и центъра на успоредника (Grozdev & Nenkov, 2018). От друга страна, освен споменатата елипса във всеки успоредник могат да се впишат безброй много елипси. Възниква въпросът за възможността тези елипси също да осъществяват геометрични връзки между полиноми и съответните им производни. Оказва се, че някои от тези елипси осъществяват геометрични връзки между някои видове полиноми с кратни корени във върховете на разглеждан успоредник и корените на неговата производна.

Преди да преминем към излагане на основното съдържание на горния въпрос, ще отбележим три помощни твърдения.

Лема 1. Ако корените на два полинома от една и съща степен образуват подобни геометрични фигури, то и корените на техните производни образуват подобни геометрични фигури.

Доказателството на тази лема се съдържа в (Grozdev & Nenkov, 2018). От лема 1 следва, че от всички полиноми, принадлежащи на клас от полиноми с еднаква геометрия, е достатъчно да се изследва само някой нормиран полином, за да се определи геометрията на класа, зададен чрез производните на полиномите от разглеждания клас.

Лема 2. Ако \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\) са корени на полином \(P(z)\) от \(n\)-та степен, така че \(a_{j}\) е \(k_{j}(j=1,2, \ldots, s)\) кратен корен на \(P(z) u k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s}=n\), то коефициентът пред първата степен на променливата \(z\) е равен на

\[ a_{1}^{k_{1}-1} a_{2}^{k_{2}-1} \ldots a_{s}^{k_{s}-1}\left(k_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{s}+k_{2} a_{3} \ldots a_{s} a_{1}+\cdots+k_{s} a_{1} a_{2} \ldots a_{s-1}\right) . \]

Доказателството на тази лема се съдържа в (Grozdev & Nenkov, 2018).

Лема 3. Ако корените на полином \(P(z)\) от степен \(2 . n\) са разположени в точки от комплексната равнина, които са централно симетрични спрямо точка \(S\), то производната \(P^{\prime}(z)\) има корен в точката \(S\).

Доказателство. Нека \(P(z)\) е полином от степен \(2 . n\), който има корени, разположени в точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{2 n}\). Ако \(A_{j}\) и \(A_{j+n}(j=1,2, \ldots, n)\) са симетрични спрямо точка \(S\), то за афиксите им \(a_{j}^{j}(j=1,2, \ldots, n)\) и \(s\) са изпълнени равенствата \(a_{j}+a_{j+n}=2 s(j=1,2, \ldots, n)\). Ако изберем за координатно начало точката \(S\), то \(s=0\) и следователно \(a_{j}+a_{j+n}=0(j=1,2, \ldots, n)\).

Коефициентът пред \(z\) според формулите на Виет е сума на \(2 . n\) събираеми, получени от всевъзможните произведения на числата \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}\), взети по \(2 . n-1\) във всяко събираемо. Тези събираеми могат да се комбинират по такъв начин, че разглежданият коефициент да се представи по следния начин: \(a_{2} a_{3} \ldots a_{n} a_{n+2} \ldots a_{2 n-2} a_{2 n-1}\left(a_{1}+a_{n+1}\right)+a_{1} a_{3} \ldots a_{n+1} a_{n+3} \ldots a_{2 n-2} a_{2 n-1}\left(a_{2}+a_{n+2}\right)+\cdots+\) \(+a_{1} a_{2} \ldots a_{n-2} a_{n} \ldots a_{2 n-2} a_{2 n}\left(a_{n-1}+a_{2 n-1}\right)+a_{1} a_{2} \ldots a_{n-1} a_{n} \ldots a_{2 n-2} a_{2 n-1}\left(a_{n}+a_{2 n}\right)\).

От това представяне на коефициента пред \(z\) и получените от симетрията равенства следва, че той е равен на нула. Следователно \(P^{\prime}(z)\) има корен \(z=0\). Това означава, че \(P^{\prime}(z)\) има корен в точката \(S\).

Сега, като вземем предвид лема 1 , получаваме твърдението на лемата за произволен полином \(P(z)\), който притежава споменатите свойства.

За да подчертаем по-дълбоката връзка между полиномите с кратни корени във върховете на даден успоредник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) и някои от вписаните в този успоредник елипси, да предположим, че точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\) са снабдени с маси \(k_{1}, k_{2}, k_{3}\) и \(k_{4}\). Това означава, че разглеждаме масовите точки \(\left(k_{1}, A_{1}\right)\), \(\left(k_{2}, A_{2}\right),\left(k_{3}, A_{3}\right)\) и \(\left(k_{4}, A_{4}\right)\) (Paskalev \& Chobanov, 1985).

Нека диагоналите на успоредника се пресичат в точката \(S\), която всъщност е центърът на симетрия за \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) . Следователно \(\overrightarrow{S A_{3}}=-\overrightarrow{S A_{1}}\) и \(\overrightarrow{S A_{4}}=-\overrightarrow{S A_{2}}\).

Ако в точките \(P_{1}^{\prime}, P_{2}^{\prime}, P_{3}^{\prime}, P_{4}^{\prime}\) се намират масовите центрове съответно на двойките масови точки \(\left(k_{3}, A_{3}\right)\) и \(\left(k_{4}, A_{4}\right),\left(k_{4}, A_{4}\right)\) и \(\left(k_{1}, A_{1}\right),\left(k_{1}, A_{1}\right)\) и \(\left(k_{2}, A_{2}\right),\left(k_{2}, A_{2}\right)\) и \(\left(k_{3}, A_{3}\right)\) (фиг.1), то са изпълнени векторните равенства

(1) \(\begin{array}{ll} \overrightarrow{S P_{1}^{\prime}}=\tfrac{k_{3} \overrightarrow{S A_{3}}+k_{4} \overrightarrow{S A_{4}}}{k_{3}+k_{4}}, & \overrightarrow{S P_{2}^{\prime}}=\tfrac{k_{4} \overrightarrow{S A_{4}}+k_{1} \overrightarrow{S A_{1}}}{k_{4}+k_{1}}, \\ \overrightarrow{S P_{3}^{\prime}}=\tfrac{k_{1} \overrightarrow{S A_{1}}+k_{2} \overrightarrow{S A_{2}}}{k_{1}+k_{2}}, & \overrightarrow{S P_{4}^{\prime}}=\tfrac{k_{2} \overrightarrow{S A_{2}}+k_{3} \overrightarrow{S A_{3}}}{k_{2}+k_{3}} . \end{array}\)

Избираме \(P_{1}^{\prime}, P_{2}^{\prime}, P_{3}^{\prime}, P_{4}^{\prime}\) така, че те да бъдат допирните точки на елипса \(k^{\prime}\) със страните на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 1). Тогава точките \(P_{3}^{\prime}\) и \(P_{4}^{\prime}\) са симетрични спрямо \(S\) съответно на \(P_{1}^{\prime}\) и \(P_{2}^{\prime}\) (фиг. 1). Затова са изпълнени векторните равенства \(\overrightarrow{S P_{3}^{\prime}}=-\overrightarrow{S P_{1}^{\prime}}\) и \(\overrightarrow{S P_{4}^{\prime}}=-\overrightarrow{S P_{2}^{\prime}}\). Сега, като комбинираме първото с третото и второто с четвъртото в равенствата (1), получаваме съответно \(\left(k_{2} k_{3}-k_{4} k_{1}\right) \overrightarrow{A_{1} A_{2}}=\overrightarrow{0}\) и \(\left(k_{3} k_{4}-k_{1} k_{2}\right) \overrightarrow{A_{4} A_{1}}=\overrightarrow{0}\). Следователно \(k_{2} k_{3}-k_{4} k_{1}=0\) и \(k_{3} k_{4}-k_{1} k_{2}=0\). Оттук непосредствено следва, че

(2) \(k_{3}=k_{1}, k_{4}=k_{2} .\)

Следователно, за да бъдат точките \(P_{1}^{\prime}, P_{2}^{\prime}, P_{3}^{\prime}, P_{4}^{\prime}\) допирни за вписана в успоредника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) елипса \(k^{\prime}\), трябва масите в срещуположните върхове на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) да бъдат равни. Затова от (2) следва, че са изпълнени равенствата \(\overrightarrow{A_{3} P_{1}^{\prime}}: \overrightarrow{A_{4} P_{1}^{\prime}}=-k_{2}: k_{1}, \quad \overrightarrow{A_{4} P_{2}^{\prime}}: \overrightarrow{A_{1} P_{2}^{\prime}}=-k_{1}: k_{2}, \quad \overrightarrow{A_{1} P_{3}^{\prime}}: \overrightarrow{A_{2} P_{3}^{\prime}}=-k_{2}: k_{1}\), \(\overrightarrow{A_{2} P_{4}^{\prime}}: \overrightarrow{A_{3} P_{4}^{\prime}}=-k_{1}: k_{2}\).

Нека сега точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) (фиг. 1) са такива, че са изпълнени равенствата

(3) \(\begin{array}{ll} \overline{A_{3} P_{1}}: \overline{A_{4} P_{1}}=-k_{1}: k_{2}, & \overline{A_{4} P_{2}}: \overline{A_{1} P_{2}}=-k_{2}: k_{1}, \\ \overline{A_{1} P_{3}}: \overline{A_{2} P_{3}}=-k_{1}: k_{2}, & \overline{A_{2} P_{4}}: \overline{A_{3} P_{4}}=-k_{2}: k_{1} . \end{array}\)

В тези точки се намират масовите ценрове съответно на двойките масови точки \(\left(k_{1}^{-1}, A_{3}\right)\) и \(\left(k_{2}^{-1}, A_{4}\right),\left(k_{2}^{-1}, A_{4}\right)\) и \(\left(k_{1}^{-1}, A_{1}\right),\left(k_{1}^{-1}, A_{1}\right)\) и \(\left(k_{2}^{-1}, A_{2}\right)\), \(\left(k_{2}^{-1}, A_{2}\right)\) и \(\left(k_{1}^{-1}, A_{3}\right)\) (фиг. 1). Точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) са симетрични съответно на \(P_{1}^{\prime}, P_{2}^{\prime}, P_{3}^{\prime}, P_{4}^{\prime}\) спрямо средите \(M_{1}, M_{2}, M_{3}\) и \(M_{4}\) на отсечките \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\) (фиг. 1). Следователно съществува елипса \(k\), която се допира до страните на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) в точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\).

Ще покажем, че именно елипсата \(k\) е свързващият елемент между корените на полином с кратни корени във върховете на успоредник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) и неговата производна.

Нека \(k\) има за фокус точката \(O\), а \(p\) и \(e\) са съответно фокалният параметър и численият ексцентрицитет на \(k\). Спрямо Гаусовата координатна система \(K_{0}\) от фиг. 2, както е показано в (Grozdev \& Nenkov, 2018), афиксите на точките \(P_{j}\) и \(A_{j}(j=1,2,3,4)\) се изразяват съответно с формулите

(4) \(\begin{aligned} p_{1} & =\cfrac{2 p}{e . t_{1}^{2}+2 . t_{1}+e}, \quad p_{2}=\cfrac{2 p}{e . t_{2}^{2}+2 . t_{2}+e} \\ p_{3} & =\cfrac{2 p}{e^{2}-1} \cdot \cfrac{\left(e . t_{1}+1\right)^{2}}{e . t_{1}^{2}+2 . t_{1}+e}, \quad p_{4}=\cfrac{2 p}{e^{2}-1} \cdot \cfrac{\left(e . t_{2}+1\right)^{2}}{e . t_{2}^{2}+2 . t_{2}+e} \end{aligned}\)

(5) \(\begin{aligned} a_{1} & =\cfrac{2 p}{e^{2}-1} \cdot \cfrac{e . t_{1}+1}{t_{1}-t_{2}}, \quad a_{2}=\cfrac{2 p}{e^{2}-1} \cdot \cfrac{\left(e . t_{1}+1\right)\left(e . t_{2}+1\right)}{e t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e}, \\ a_{3} & =\cfrac{2 p}{e^{2}-1} \cdot \cfrac{e . t_{2}+1}{t_{2}-t_{1}}, \quad a_{4}=\cfrac{2 p}{e . t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e}, \end{aligned}\)

където \(\left|t_{1}\right|=\left|t_{2}\right|=1\).

Сега ще намерим зависимости между разглежданите величини, така че да бъдат изпълнени равенствата ( 3) . Тъй като простото отношение на произволни три точки \(A_{k}, A_{l}\) и \(P_{j}\) от една права се изразява с равенството \(\tfrac{\overline{A_{k} P_{j}}}{\overline{A_{l} P_{j}}}=\tfrac{a_{k}-p_{j}}{a_{l}-p_{j}}\), от (4) и (5) след несложни пресмятания се получават равенствата

(6) \(\cfrac{\overline{A_{3} P_{1}}}{\overline{A_{4} P_{1}}}=\cfrac{\overline{A_{1} P_{2}}}{\overline{A_{4} P_{2}}}=\cfrac{\overline{A_{1} P_{3}}}{\overline{A_{2} P_{3}}}=\cfrac{\overline{A_{3} P_{4}}}{\overline{A_{2} P_{4}}}=\cfrac{\left(e . t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e\right)^{2}}{\left(1-e^{2}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}} .\) .

От ( 3) и ( 6) се получава следва

(7)\[ k_{1}\left(e^{2}-1\right)\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}=k_{2}\left(e \cdot t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e\right)^{2} \]

От (5), като вземем предвид, че \(a_{1}+a_{3}=a_{2}+a_{4}=2 . s\) и равенствата (2), получаваме \[ \begin{aligned} & k_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+k_{2} a_{3} a_{4} a_{1}+k_{3} a_{4} a_{1} a_{2}+k_{4} a_{1} a_{2} a_{3}= \\ & =\tfrac{8 p^{2} s\left(e . t_{1}+1\right)\left(e . t_{2}+1\right)}{\left(e^{2}-1\right)^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}\left(e . t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e\right)^{2}}\left[k_{1}\left(e^{2}-1\right)\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-k_{2}\left(e . t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e\right)^{2}\right] \end{aligned} \] Като заместим (7) в последното равенство, получаваме

(8)\[ k_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+k_{2} a_{3} a_{4} a_{1}+k_{3} a_{4} a_{1} a_{2}+k_{4} a_{1} a_{2} a_{3}=0 \]

Сега да разгледаме нормирания полином \(P_{0}(z)\) от степен \(n=2 .\left(k_{1}+k_{2}\right)\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти, който има \(k_{1}\) кратни корени във върховете \(A_{1}\) и \(A_{3}\) и \(k_{2}\) кратни корени във върховете \(A_{2}\) и \(A_{4}\) на успоредника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). От лема 2 и равенство (8) следва, че коефициентът пред \(z\) има стойност, равна на 0. Затова \(P_{0}^{\prime}(z)\) има корен \(z=0\). Това всъщност на геометричен език означава, че \(P_{0}^{\prime}(z)\) има корен във фокуса \(O\) на елипсата \(k\). Следователно според лема 1 и бележката към нея се получава, че производната \(P^{\prime}(z)\) на произволен полином \(P(z)\) със свойствата на \(P_{0}(z)\) има корен в точката \(O\).

По аналогичен начин, ако разгледаме координатна система с център в другия фокус \(F\) на \(k\), получаваме, че \(P^{\prime}(z)\) има корен и в точката \(F\) (фиг. 2).

Като вземем предвид и лема 3, можем до обединим получените резултати в следната

Теорема. Ако един полином \(P(z)\) от степен \(n=2 .\left(k_{1}+k_{2}\right)\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти има \(k_{1}\) кратни корена във върховете \(A_{1} u A_{3} u k_{2}\) кратни корена във върховете \(A_{2}\) и \(A_{4}\) на успоредника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), то производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) има корени във фокусите и центъра на елипсата \(k\), допираща се до правите \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\) съответно в точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\), за които са изпълнени равенствата \[ \overline{A_{3} P_{1}}: \overline{A_{4} P_{1}}=-k_{1}: k_{2}, \overline{A_{4} P_{2}}: \overline{A_{1} P_{2}}=-k_{2}: k_{1}, \overline{A_{1} P_{3}}: \overline{A_{2} P_{3}}=-k_{1}: k_{2}, \overline{A_{2} P_{4}}: \overline{A_{3} P_{4}}=-k_{2}: k_{1} . \] Полиномът \(P^{\prime}(z)\) има \(k_{1}-1\) кратни корена във върховете \(A_{1}\) и \(A_{3}\) и \(k_{2}-1\) кратни корена във върховете \(A_{2}\) и \(A_{4}\) (Genov, Mihovski & Molov, 1991), а останалите три корена се описват от току-що доказаната теорема. По този начин получаваме пълна геометрична картина на корените на \(P^{\prime}(z)\).

От лема 2 и равенство (8) непосредствено се получава следното:

Следствие. Ако един полином \(P(z)\) от степен \(n=4 . m\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти има \(m\)-кратен корен във върха \(A_{j}\) \((j=1,2,3,4)\) на успоредника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), то производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) има корени във фокусите и центъра на елипсата \(k\), допираща се до отсечките \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\) в техните среди.

По този начин се получава едно обобщение на теоремата, доказана в (Grozdev & Nenkov, 2018).

Ако \(P(z)=P(x)\) е полином с реални коефициенти на реална променлива, можем да представим някои геометрични интерпретации на следствието. На фиг. 3 и фиг. 4 са представени полиноми \(P(x)\) с двукратни корени във върховете на ромб \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). В случая, показан на фиг. 3, производната \(P^{\prime}(x)\) има реални корени във фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) и центъра \(O\) на елипсата \(k\), допираща се до средите на страните \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\). Затова графиката на \(P^{\prime}(x)\) минава през точките \(F_{1}, F_{2}\) и \(O\). В случая, показан на фиг. 4, производната \(P^{\prime}(x)\) няма реални корени във фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) на елипсата \(k\). Затова графиката на \(P^{\prime}(x)\) минава само през центьра ѝ \(O\).

На фиг. 5 и фиг. 6 са представени полиноми \(P(x)\) с трикратни корени във върховете на правоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). В случая, показан на фиг. 5, производната \(P^{\prime}(x)\) има реални корени във фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) и центъра \(O\) на елипсата \(k\), допираща се до средите на страните \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\). Затова графиката на \(P^{\prime}(x)\) минава през точките \(F_{1}, F_{2}\) и \(O\). В случая, по-казан на фиг. 6, производната \(P^{\prime}(x)\) няма реални корени във фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) на елипсата \(k\). Затова графиката на \(P^{\prime}(x)\) минава само през центъра и́ \(O\).

На фиг. 7 и фиг. 8 са представени полиноми \(P(x)\) с четирикратни корени във върховете на квадрат \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). В тези случаи елипсата, допираща се до средите на страните \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\), A4A1 , A1A2 и A2A3 , е окръжност. Затова производната \(P^{\prime}(x)\) има трикратен корен в центъра \(O\) на вписаната в квадрата окръжност. Всъщност в тези случаи \(P^{\prime}(x)\) има трикратни корени във всяка от точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\) и \(O\).

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С. & В. Ненков. (2018). Полиноми от четвърта степен с корени във върховете на успоредник. Математика и информатика, 3, 283 – 293.

Ненков, В. (2010). Една връзка между нереални корени и реална елипса, Математика плюс, 2, 61 – 63.

Генов, Г., С. Миховски & Т. Моллов. (1991). Алгебра с теория на числата. София: Наука и изкуство.

Ненков, В. (1998). Конични сечения, вписани в триъгълник. Математика и информатика, 5, 54 – 59.

Балк, М., Г. Балк & А. Полухин. (1988). Реальные применения мнимых чисел. Киев: Радянська школа.

Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.

REFERENCES

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018). Polynomials of fourth degree with roots in the vertices of a parallelogram, Mathematics and informatics, 3, 283 – 293.

Nenkov, V. (2010). A relation between non-real roots and a real ellipse. Mathematics plus, 2, 61 – 63.

Genov, G., S. Mihovski & T. Molov (1991). Algebra with number theory. Sofia: Nauka i Izkustvo.

Nenkov, V. (1998). Conics inscribed in a triangle. Mathematics and informatics, 5, 54 – 59.

Balk, M., G. Balk & A. Poluhin (1988). Real applications of imaginary numbers. Kiev: Radiansk school.

Paskalev, G. & I. Chobanov. (1985). Notable points in the triangle. Sofia: Narodna prosveta.