Образователни технологии
ПОЛИНОМИ С КОРЕНИ В ЧЕТИРИ СПЕЦИАЛНО РАЗПОЛОЖЕНИ КОЛИНЕАРНИ ТОЧКИ
Резюме. Изведена е геометрична връзка между корените на полиноми, които имат корени в четири специално разположени точки върху една права, и корените на съответните им производни. По-точно три от разглежданите точки са произволни, а четвъртата зависи по специален начин от тях. Като приложение са разгледани някои полиноми на реална променлива с реални коефициенти.
Ключови думи: полином; производна на полином; корени на полиноми; елипса
1. Увод
В (Grozdev & Nenkov, 2020) е описана геометрична връзка между един вид полиноми \(P(z)\), корените на които се намират във върховете на изпъкнал четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), и корените на съответните им производни \(P^{\prime}(z)\). Тази геометрична връзка съдържа пресечната точка \(P_{0}\) на диагоналите на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) и фокусите на подходяща елипса, вписана в \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Възниква въпросът за възможността да се трансформира четириъгълникът по такъв начин, че върховете му да станат колинеарни точки и между корените на подходящи полиноми \(P(z)\) и \(P^{\prime}(z)\) да съществува геометрична зависимост, свързана с елипса и специална точка. По друг начин казано, да се установи геометрична връзка между корените на \(P(z)\) и \(P^{\prime}(z)\), когато корените на \(P(z)\) се намират в четири точки \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\) от една права \(l\), така че тези точки да удовлетворяват някое специфично свойство на четириъгълника. За всеки четириъгълник е определена пресечната точка на неговите диагонали. Затова можем да търсим такова преобразуване на четириъгълника върху права, че и пресечната точка на диагоналите да има своя еквивалент върху тази права. Нещо повече, да очакваме един от корените на \(P^{\prime}(z)\) да се намира в тази специална точка. Тези бележки ни насочват към следващите разглеждания. Нека \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\) са точки от права \(l\), а точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) лежат върху същата права и са изпълнени равенствата където \(k_{1}, k_{2}, k_{3}\) и \(k_{4}\) са естествени числа.
Ако \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е изпъкнал четириъгълник, точките \(M_{12}, M_{23}, M_{34}\) и \(M_{41}\) удовлетворяват равенствата (1) и \(P_{0}\) е пресечната точка на диагоналите му, то са изпълнени равенствата \(\overline{A_{3} P_{0}}: \overline{A_{1} P_{0}}=-k_{3}: k_{1}\) и \(\overline{A_{4} P_{0}}: \overline{A_{2} P_{0}}=-k_{4}: k_{2}\). Затова имаме и векторните равенства \(\overrightarrow{O P_{0}}=\tfrac{k_{3} \overrightarrow{O A_{1}}+k_{1} \overrightarrow{O A_{3}}}{k_{3}+k_{1}}\) и \(\overrightarrow{O P_{0}}=\tfrac{k_{4} \overrightarrow{O A_{2}}+k_{2} \overrightarrow{O A_{4}}}{k_{4}+k_{2}}\), където \(O\) е произволна точка в пространството. Оттук следва
(2) \[ k_{3}\left(k_{4}+k_{2}\right) \overrightarrow{O A_{1}}-k_{4}\left(k_{3}+k_{1}\right) \overrightarrow{O A_{2}}+k_{1}\left(k_{4}+k_{2}\right) \overrightarrow{O A_{3}}-k_{2}\left(k_{3}+k_{1}\right) \overrightarrow{O A_{4}}=\overrightarrow{0} \]
Следователно \(k_{3} k_{4} \overrightarrow{A_{1} A_{2}}-k_{4} k_{1} \overrightarrow{A_{2} A_{3}}+k_{1} k_{2} \overrightarrow{A_{3} A_{4}}-k_{2} k_{3} \overrightarrow{A_{4} A_{1}}=\overrightarrow{0}\).
Тъй като точките \(A_{1}, A_{2}, \quad A_{3}\) и \(\quad A_{4}\) са колинеарни, то \(k_{3} k_{4} \overline{A_{1} A_{2}}-k_{4} k_{1} \overline{A_{2} A_{3}}+k_{1} k_{2} \overline{A_{3} A_{4}}-k_{2} k_{3} \overline{A_{4} A_{1}}=0\). Затова \(k_{4}=\tfrac{k_{2}\left(k_{1} \overline{A_{3} A_{4}}+k_{3} \overline{A_{1} A_{4}}\right)}{k_{3} \overline{A_{1} A_{2}}+k_{1} \overline{A_{3} A_{2}}}\). Следователно числото \(k_{4}\) може да се определи еднозначно при дадени четири точки \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\), , но невинаги то ще се окаже естествено число. Затова е по-удобно числото \(k_{4}\) да е предварително известно, а точката \(A_{4}\) да се по-строи в зависимост от точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и числата \(k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}\). Така от (2) имаме
(3)\[ \overrightarrow{O A_{4}}=\tfrac{k_{3}\left(k_{4}+k_{2}\right) \overrightarrow{O A_{1}}-k_{4}\left(k_{3}+k_{1}\right) \overrightarrow{O A_{2}}+k_{1}\left(k_{4}+k_{2}\right) \overrightarrow{O A_{3}}}{k_{2}\left(k_{3}+k_{1}\right)} \]
Последното равенство определя еднозначно четвъртата точка \(A_{4}\). Освен това в (3) точката \(O\) може да бъде избрана върху правата \(l\).
2. Множество от концентрични елипси с общи върхове. Разкриването на търсените геометрични връзки между полиноми с корени в четири колинеарни точки, за които е изпълнено равенството ((3) , и съответните им производни са свързани с едно специално множество от елипси.
Фигура 1
Фигура 2
Върху правата \(l\) разглеждаме три произволни и различни точки \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) и точка \(A_{4}\), за която е изпълнено векторното равенство (3) . Нека \(M_{12}\), \(M_{23}, M_{34}\) и \(M_{41}\) са такива точки съответно от отсечките \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}\)
и \(A_{4} A_{1}\), за които са изпълнени равенствата (1). През точките \(M_{12}, M_{23}, M_{34}\) и \(M_{41}\) построяваме съответно правите \(m_{12}, m_{23}, m_{34}\) и \(m_{41}\), които са перпендикулярни на \(l\). Върху правите \(m_{12}, m_{23}, m_{34}\) и \(m_{34}\) построяваме съответно двойките точки \(\left(P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}\right),\left(P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}\right),\left(P_{34}^{\prime}, P_{34}^{\prime \prime}\right)\) и \(\left(P_{41}^{\prime}, P_{41}^{\prime \prime}\right)\), така че са изпълнени равенствата:
където \(m\) е произволно реално положително число (фиг. 1).
Така построените точки \(P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}, P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}, P_{34}^{\prime}, P_{34}^{\prime \prime}, P_{41}^{\prime}, P_{41}^{\prime \prime}\) (фиг. 1) удовлетворяват следната
Лема. За всяко \(\underline{m} \gt 0\) точките \(P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}, P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}, P_{34}^{\prime}, P_{34}^{\prime \prime}, P_{41}^{\prime}, P_{41}^{\prime \prime}\) лежат върху една елипса \(\bar{k}(m)\), два от върховете на която са постоянни точки от правата \(l\) (фиг. 2).
Доказателство. Разглеждаме координатна система с абсцисна ос по правата \(l\) и произволно координатно начало \(O\) върху \(l\). Нека спрямо въведената координатна система абсцисите на точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\) са съответно \(a_{1}, a_{2}, a_{3}\) и \(a_{4}\), т.е. координатите има са: \(A_{1}\left(a_{1}, 0\right), A_{2}\left(a_{2}, 0\right), A_{3}\left(a_{3}, 0\right)\), \(A_{4}\left(a_{4}, 0\right)\). От (3) следва, че е изпълнено равенството
(5)\[ a_{4}=\tfrac{k_{3}\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{1}-k_{4}\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}+k_{1}\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{3}}{k_{2}\left(k_{3}+k_{1}\right)} \]
От дефиниционните равенства \((1)\) се получават векторните релации
\[ \begin{array}{ll} \overrightarrow{O M_{12}}=\tfrac{k_{2} \overrightarrow{O A_{1}}+k_{1} \overrightarrow{O A_{2}}}{k_{1}+k_{2}}, & \overrightarrow{O M_{23}}=\tfrac{k_{3} \overrightarrow{O A_{2}}+k_{2} \overrightarrow{O A_{3}}}{k_{2}+k_{3}} \\ \overrightarrow{O M_{34}}=\tfrac{k_{4} \overrightarrow{O A_{3}}+k_{3} \overrightarrow{O A_{4}}}{k_{3}+k_{4}}, & \overrightarrow{O M_{41}}=\tfrac{k_{1} \overrightarrow{O A_{4}}+k_{4} \overrightarrow{O A_{1}}}{k_{4}+k_{1}} \end{array} \]
Оттук следва, че координатите на точките \(M_{12}, M_{23}, M_{34}\) и \(M_{41}\) са следните:
(6)\[ \begin{gathered} M_{12}\left(\tfrac{k_{2} a_{1}+k_{1} a_{2}}{k_{1}+k_{2}}, 0\right), M_{23}\left(\tfrac{k_{3} a_{2}+k_{2} a_{3}}{k_{2}+k_{3}}, 0\right), M_{34}\left(\tfrac{k_{4} a_{3}+k_{3} a_{4}}{k_{3}+k_{4}}, 0\right) \\ M_{41}\left(\tfrac{k_{1} a_{4}+k_{4} a_{1}}{k_{4}+k_{1}}, 0\right) \end{gathered} \]
От последните координати за уравненията на правите \(m_{12}, m_{23}, m_{34}\) и \(m_{41}\) получаваме съответно
(7)\[ \begin{gathered} m_{12}: x=\tfrac{k_{2} a_{1}+k_{1} a_{2}}{k_{1}+k_{2}}, m_{23}: x=\tfrac{k_{3} a_{2}+k_{2} a_{3}}{k_{2}+k_{3}}, m_{34}: x=\tfrac{k_{4} a_{3}+k_{3} a_{4}}{k_{3}+k_{4}} \\ m_{41}: x=\tfrac{k_{1} a_{4}+k_{4} a_{1}}{k_{4}+k_{1}} \end{gathered} \]
Като използваме координатите (6) за уравненията на окръжностите \(k_{12}\), \(k_{23}, k_{34}\) и \(k_{41}\), k34 и k41 , които имат за центрове точките \(M_{12}, M_{23}, M_{34}\) и \(M_{31}\) и радиуси съответно \(\tfrac{m}{k_{1}} A_{1} M_{12}, \tfrac{m}{k_{2}} A_{2} M_{23}, \tfrac{m}{k_{3}} A_{3} M_{34}\) и \(\tfrac{m}{k_{4}} A_{4} M_{41}\), получаваме:
От уравненията ( 7) и (8) за координатите на пресечните точки \(\quad\left\{P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}\right\}=k_{12} \cap m_{12}, \quad\left\{P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}\right\}=k_{23} \cap m_{23}, \quad\left\{P_{34}^{\prime}, P_{34}^{\prime \prime}\right\}=k_{34} \cap m_{34} \quad\) и \(\left\{P_{41}^{\prime}, P_{41}^{\prime \prime}\right\}=k_{41} \cap m_{41}\) получаваме:
С непосредствено заместване на координатите (9) лесно се установява, че точките \(P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}, P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}, P_{34}^{\prime}, P_{34}^{\prime \prime}, P_{41}^{\prime}, P_{41}^{\prime \prime}\) лежат на крива от втора степен \(\bar{k}(m)\) , чието уравнение е следното:
(10)\[ \begin{aligned} & m^{2} k_{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right) x^{2}+k_{2}\left(k_{1} k_{2} k_{3}+k_{2} k_{3} k_{4}+k_{3} k_{4} k_{1}+k_{4} k_{1} k_{2}\right) y^{2}- \\ \bar{k}(m): & -m^{2}\left[\left(k_{3}+k_{2}\right)\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{1}-\left(k_{3}+k_{1}\right)\left(k_{4}-k_{2}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right)\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{3}\right] x+ \\ + & m^{2}\left[k_{3}\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{1} a_{2}-k_{1}\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{2} a_{3}+k_{2}\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{1} a_{3}+k_{4}\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}^{2}\right]=0 \end{aligned} \]
Сега да запишем уравнението (10) по следния начин
(11)\[ \begin{aligned} & {\left[x-\tfrac{\left(k_{2}+k_{3}\right)\left(k_{2}+k_{4}\right) a_{1}+\left(k_{1}+k_{3}\right)\left(k_{2}-k_{4}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right)\left(k_{2}+k_{4}\right) a_{3}}{2 k_{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right)}\right]^{2}+} \\ & +\tfrac{k_{1} k_{2} k_{3}+k_{2} k_{3} k_{4}+k_{3} k_{4} k_{1}+k_{4} k_{1} k_{2}}{m^{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right)} y^{2}=q \end{aligned} \]
където
\[ \begin{aligned} & \tfrac{\left(k_{2}+k_{4}\right)\left(q_{0}-q_{1}-q_{2}-q_{3}\right)}{k_{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right)} \\ q_{0}= & \left(k_{2}+k_{3}\right)^{2}\left(k_{2}+k_{4}\right) a_{1}^{2}+\left(k_{1}+k_{3}\right)\left[\left(k_{1}+k_{3}\right)\left(k_{2}+k_{4}\right)+4 k_{2} k_{4}\right] a_{2}^{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}\left(k_{2}+k_{4}\right) a_{3}^{2} \\ q_{1}= & 2\left[k_{2}^{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right)-k_{1} k_{2} k_{3}-k_{2} k_{3} k_{4}-k_{3} k_{4} k_{1}-k_{4} k_{1} k_{2}\right] a_{2} a_{3} \\ q_{2}= & 2\left(k_{1}^{2} k_{2}+k_{1} k_{2}^{2}+k_{1}^{2} k_{4}-k_{2}^{2} k_{3}+k_{1} k_{2} k_{3}+k_{2} k_{3} k_{4}+k_{4} k_{3} k_{1}+3 k_{4} k_{1} k_{2}\right) a_{2} a_{3} \\ q_{3}= & 2\left(k_{2} k_{3}^{2}+k_{2}^{2} k_{3}+k_{3}^{2} k_{4}-k_{1} k_{2}^{2}+k_{1} k_{2} k_{3}+3 k_{2} k_{3} k_{4}+k_{3} k_{4} k_{1}+k_{4} k_{1} k_{2}\right) a_{1} a_{2} \end{aligned} \]
Ако \(q \gt 0\), равенството (11) показва, че \(\bar{k}(m)\) е елипса. В противен случай от(11) следва, че \(\bar{k}(m)\) е имагинерна елипса или две пресичащи се комплексно спрегнати прави. Тъй като тези случаи нямат геометричен смисъл, по-нататък ще разглеждаме само случаите, в които(10) е уравнение на елипса \(\bar{k}(m)\). Освен това от (11) се вижда, че центърът \(S\) на елипсата \(\bar{k}(m)\) има следното координатно представяне
(12)\[ S\left(\tfrac{\left(k_{3}+k_{2}\right)\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{1}-\left(k_{3}+k_{1}\right)\left(k_{4}-k_{2}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right)\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{3}}{2 k_{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right)}, 0\right) . \]
От (10) , при \(y=0\), се вижда, че елипсата \(\bar{k}(m)\) има върхове \(V_{1}\) и \(V_{2}\) върху правата \(l\) (фиг. 2), координатите на които удовлетворяват уравнението От (13) следва, че тези върхове не зависят от \(m\), което означава, че те са постоянни точки от правата \(l\) за всяка елипса \(\bar{k}(m)\) (фиг. 2). С това лемата е доказана.
Доказаната лема показва, че когато \(k_{1}, k_{2}, k_{3}\) и \(k_{4}\) остават постоянни, а стойността на \(m\) се променя, се получава множество от елипси с общи върхове (фиг. 2). От всичките тези елипси една е окръжност. Тя се получава при някоя специална стойност \(m_{0}\) на \(m\). Кривата \(\bar{k}(m)\) е окръжност \(\bar{k}_{0}\) тогава и само тогава, когато коефициентите пред \(x^{2}\) и \(y^{2}\) в (10) са равни. Така получаваме, че \(\bar{k}(m)\) е окръжност \(\bar{k}_{0}\) само когато \(m=m_{0}=\sqrt{\tfrac{k_{1} k_{2} k_{3}+k_{2} k_{3} k_{4}+k_{3} k_{4} k_{1}+k_{4} k_{1} k_{2}}{k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}}}\). Окръжността \(\bar{k}_{0}\), както всички останали елипси на разглежданото множество, пресича правата \(l\) в постоянните точки \(V_{1}\) и \(V_{2}\), които са решенията на (13) .
3. Връзка между корените на производната и общите върхове на множеството от елипси. Сега ще покажем, че върховете \(V_{1}\) и \(V_{2}\) на разгледаното множество от елипси е търсената връзка между споменатите в началото полиноми и техните производни. По-точно в сила е следната:
Теорема. Нека \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\) са точки от една права \(l\), а \(P(z)\) е полином от степен \(n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\), който има \(k_{j}\) кратен корен в точката \(A_{j}(j=1,2,3,4)\). Ако точката \(A_{4}\) е определена чрез равенството \(\overrightarrow{O A_{4}}=\tfrac{k_{3}\left(k_{4}+k_{2}\right) \overrightarrow{O A_{1}}-k_{4}\left(k_{3}+k_{1}\right) \overrightarrow{O A_{2}}+k_{1}\left(k_{4}+k_{2}\right) \overrightarrow{O A_{3}}}{k_{2}\left(k_{3}+k_{1}\right)}\), то производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) има корени в общите върхове \(V_{1}\) и \(V_{2}\) на елипсите \(\bar{k}(m)\) и в точката \(P_{0}\), която удовлетворява равенството \(\overrightarrow{O P_{0}}=\tfrac{k_{3} \overrightarrow{O A_{1}}+k_{1} \overrightarrow{O A_{3}}}{k_{3}+k_{1}}\).
Доказателство. Разглеждаме Гаусова координатна система с реална ос по правата \(l\). Спрямо тази координатна система афиксите \(a_{1}, a_{2}, a_{3}\) и \(a_{4}\), a2, a3 и a4, съответно на точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\), , са реални числа. Ако \(P(z)\) е полином, който притежава свойствата, описани в теоремата, той се представя по следния начин
\[ P(z)=\left(z-a_{1}\right)^{k_{1}}\left(z-a_{2}\right)^{k_{2}}\left(z-a_{3}\right)^{k_{3}}\left(z-a_{4}\right)^{k_{4}} \]
Следователно неговата производна \(P^{\prime}(z)\) е следната
\[ P^{\prime}(z)=\left(z-a_{1}\right)^{k_{1}-1}\left(z-a_{2}\right)^{k_{2}-1}\left(z-a_{3}\right)^{k_{3}-1}\left(z-a_{4}\right)^{k_{4}-1} \cdot U(z) \] където
(14)\[ \begin{aligned} & U(z)=k_{1}\left(z-a_{2}\right)\left(z-a_{3}\right)\left(z-a_{4}\right)+k_{2}\left(z-a_{3}\right)\left(z-a_{4}\right)\left(z-a_{1}\right)+ \\ & +k_{3}\left(z-a_{4}\right)\left(z-a_{1}\right)\left(z-a_{2}\right)+k_{4}\left(z-a_{1}\right)\left(z-a_{2}\right)\left(z-a_{3}\right) \end{aligned} \]
След заместване на \(a_{4}\) от ( 5) получаваме
\[ \begin{aligned} & U(z)=\tfrac{\left(k_{3}+k_{1}\right) z-k_{3} a_{1}-k_{1} a_{3}}{k_{2}\left(k_{3}+k_{1}\right)} \times\left[k_{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right) z^{2}-\right. \\ & -\left[\left(k_{3}+k_{2}\right)\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{1}-\left(k_{3}+k_{1}\right)\left(k_{4}-k_{2}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right)\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{3}\right] z+ \\ & \left.+k_{3}\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{1} a_{2}-k_{1}\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{2} a_{3}+k_{2}\left(k_{4}+k_{2}\right) a_{1} a_{3}+k_{4}\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}^{2}\right] \end{aligned} \] Вторият множител в \(U(z)\) съвпада с лявата част на (13) при \(z=x\). Следователно \(P^{\prime}(z)\) има корени в точките \(V_{1}\) и \(V_{2}\). От първия множител се вижда, че \(U(z)=0\) и когато \(z=\tfrac{k_{3} a_{1}+k_{1} a_{3}}{k_{3}+k_{1}}\). Следователно \(P^{\prime}(z)\) има корен и в точката \(P_{0}\). С това теоремата е доказана.
Фигура 3
Полиномът \(P^{\prime}(z)\) има \(k_{j}-1\) кратен корен в точката \(A_{j}(j=1,2,3,4)\) (Genov, Mihovski & Mollov, 1991), а останалите три корена се описват от току-що доказаната теорема. По този начин получаваме пълна геометрична картина на корените на \(P^{\prime}(z)\).
Ако \(P(x)\) е полином с реални коефициенти на реална променлива, можем да представим някои геометрични интерпретации на доказаната теорема. На фиг. 3 е представен полином \(P(x)\) от степен \(n=14\), за който \(k_{1}=2, k_{2}=3\), \(k_{3}=4, k_{4}=5\). Елипсата \(\varepsilon_{m}\) е получена при \(m=2,1\). На фиг. 4 е представен полином \(P(x)\) от степен \(n=9\), за който \(k_{1}=2, k_{2}=2, k_{3}=2, k_{4}=3\). Елипсата \(\varepsilon_{m}\) е получена при \(m=3\).
Фигура 4
ЛИТЕРАТУРА
Генов, Г., С. Миховски & Т. Моллов. (1991). Алгебра с теория на числата. София: Наука и изкуство.
Гроздев, С. & В. Ненков. (2020). Относно полиномите с корени във върховете на един клас изпъкнали четириъгълници Математика и информатика, 3, 324 – 329.
Ненков, В. (2018). Полиноми с корени в три колинеарни точки, Математика и информатика, 5, 498 – 505.
REFERENCES
Genov, G., S. Mihovski & T. Mollov. (1991). Algebra with number theory. Sofia: Nauka i izkustvo.
Grozdev, S. & V. Nenkov. (2020). On the polynomials with roots in the vertices of a class of convex quadrilaterals, Mathematics and informatics, 3, 324 – 399.
Nenkov, V. (2018). Polynomials with roots in three collinear points, Mathematics and informatics, 5, 498 – 505.