Сава Гроздев

University of Finance, Business and Entrepreneurship
1, Gusla St.
1618 Sofia, Bulgaria
E-mail: sava.grozdev@gmail.com

Веселин Ненков

“Nikola Vaptsarov” Naval Academy
73, Vasil Drumev St.
Varna, Bulgaria
E-mail: vnenkov@mail.bg

Резюме. Изведена е геометрична връзка между корените на един специален вид полиноми от \(n\)-та степен и корените на техните производни.

Ключови думи: полином; корени от многочлен; елипса; фокус; център

В следващите редове ще разгледаме една забележителна връзка между корените на един вид полиноми от \(n\)-та степен, корените на съответните им производни и специални елипси, породени от специалния начин, по който са разположени корените на разглежданите полиноми в комплексната равнина.

Една известна геометрична връзка между корените на полиномите от трета степен с неколинеарни корени и корените на съответните им производни се изразява със следната:

Теорема 1. Ако корените на един полином \(P(z)\) от трета степен на комплексна променлива с комплексни коефициенти се намират във върховете на триъгълник \(\Delta\), то корените на производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) се намират във фокусите на елипсата, допираща се до страните на \(\Delta\) в техните среди. (Nenkov, 2010)

Подобна забележителна геометрична връзка съществува между корените на един вид полиноми от четвърта степен и корените на съответните им производни. Тази връзка се изразява със следната

Теорема 2. Ако корените на един полином \(P(z)\) от четвърта степен на комплексна променлива с комплексни коефициенти се намират във върховете на успоредник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), то корените на производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) се намират във фокусите и центъра на елипсата, допираща се до страните на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) в техните среди. (Grozdev & Nenkov, 2018)

Формулираните две теореми се отнасят за полиномите от трета и четвърта степен с корени, разположени във върховете съответно на триъгълник и успоредник (Nenkov, 2010) и (Grozdev & Nenkov, 2018). Те могат да се обобщят, като се разгледа един специален клас многоъгълници, който обхваща триъгълника и успоредника като свои елементи. Този клас се състои от многоъгълници, които са едновременно вписани и описани за концентрично хомотетични елипси и се определя по следния начин. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}(n \geq 3)\) е произволен изпъкнал многоъгълник, за който \(B_{1}, B_{2}, \ldots \ldots, B_{n-1}, B_{n}\) са средите съответно на страните \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \ldots \ldots, A_{n-1} A_{n}, A_{n} A_{1}\). Ако \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) притежава вписана елипса \(k\), такава, че допирните точки на \(k\) със страните на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) са \(B_{j}(j=1,2, \ldots, n)\), ще казваме, че \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е медитангенциаленичален многоъгълник за \(k\), а \(k\) ще наричаме медитангенциална елипса за \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

Някои свойства на медитангенциалните многоъгълници са описани в (Nenkov, 2009). В (Nenkov, 2009) е показано, че ако \(n\) точки \(A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots, A_{n}\) са върхове на медитангенциален \(n\)-ъгълник, те са върхове на точно \(m=\left[\cfrac{n-1}{2}\right]\) медитангенциални \(n\)-ъгълника, единият от които е обикновен изпъкнал многоъгълник, а останалите са звездовидни многоъгълници. Следователно тези покаж\(n\) точкием, пораждат че именно \(m\) елипситемедитангенциални \(k^{u}(u=1,2, \ldots, m)\) елипсиса \(k^{u}(u=1,2, \ldots, m)\) свързващите елементи . Ще между корените на полином от \(n\)-та степен с корени във върховете на медитангенциален \(n\)-ъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) и неговата производна. По този начин ще получим обобщение на резултатите, формулирани в теорема 1 и 2.

Поради това, че елипсите \(k^{u}(u=1,2, \ldots, m)\) са концентрични, те притежават общ център \(S\). Затова, ако \(n\) е четно число, многоъгълникът \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е централно симетричен спрямо \(S\).

Тъй като елипсите \(k^{u}(u=1,2, \ldots, m)\) са хомотетични, те имат един и същ числен ексцентрицитет \(e\). Нека \(k^{u}\) има за фокус точката \(O^{u}\), а \(p^{u}\) е нейният фокален параметър. Означаваме с \(M_{j}^{u}\), при \(j=1,2, \ldots, n-u\), средата на отсечката \(A_{j} A_{j+u}\), а при \(j=n-u+1, n-u+2, \ldots, n\) - средата на \(A_{j} A_{j+u-n}\) \((u=1,2, \ldots, m)\) (фиг. 1).

Спрямо Гаусовата координатна система \(K^{u}\) от фиг. 2 според резултатите от (Nenkov, 1998) афиксите на точките \(M_{j}^{u}\) и \(A_{j}(j=1,2, \ldots, n ; u=1,2, \ldots, m)\) се изразяват съответно с формулите:

(1) \(\begin{gathered} m_{j}^{u}=\cfrac{2 p^{u}}{e .\left(t_{j}^{u}\right)^{2}+2 t_{j}^{u}+e},(j=1,2, \ldots, n ; u=1,2, \ldots, m), \end{gathered}\)

(2) \(\begin{aligned} a_{j}&=\cfrac{2 p^{u}}{e . t_{n-u+j}^{u} t_{j}^{u}+t_{n-u+j}^{u}+t_{j}^{u}+e},(j=1,2, \ldots, u ; u=1,2, \ldots, m), \\ a_{j}&=\cfrac{2 p^{u}}{e . t_{j-u}^{u} t_{j}^{u}+t_{j-u}^{u}+t_{j}^{u}+e},(j=u+1, u+2, \ldots, n ; u=1,2, \ldots, m), \end{aligned}\)

където \(\left|t_{j}^{u}\right|=1(j=1,2, \ldots, n ; u=1,2, \ldots, m)\).

Сега ще намерим зависимости между разглежданите величини, така че точките \(M_{j}^{u}(j=1,2, \ldots, n ; u=1,2, \ldots, m)\) да бъдат среди на отсечките, върху които са определени от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots, A_{n}\). Тъй като простото отношение на произволни три точки \(A_{k}, A_{l}\) и \(M_{j}^{u}\) от една права се изразява с равенството \(\cfrac{\overline{A_{k} M_{j}^{u}}}{\overline{A_{l} M_{j}^{u}}}=\cfrac{a_{k}-m_{j}^{u}}{a_{l}-m_{j}^{u}}\), от \((1)\) и \((2)\) след несложни пресмятания се получават равенствата

(3)\[ \begin{aligned} & \cfrac{\overline{A_{j} M_{j}^{u}}}{\overline{A_{j u} M_{j}}}=\cfrac{t_{n+j-u}^{u}}{\overline{t_{j+u}^{u}} t_{j}^{u}} \cdot \cfrac{a_{j}}{a_{j+u}},(j=1,2, \ldots, u ; u=1,2, \ldots, m), \\ & \cfrac{\overline{A_{j} M_{j}^{u}}}{\overline{A_{j u} M_{j}}}=\cfrac{t_{j u}^{u} t_{j}^{u}}{t_{j+u}^{u} t_{j}^{u}} \cdot \cfrac{a_{j}}{a_{j+u}},(j=u+1, u+2, \ldots, n-u ; u=1,2, \ldots, m), \\ & \cfrac{\overline{A_{j} M_{j}^{u}}}{\overline{A_{j+u-n} M_{j}}}=\cfrac{t_{j u}^{u} t_{j}^{u}}{t_{j+u-n}^{u}} t_{j}^{u} \cdot \cfrac{a_{j}}{a_{j+u-n}},(j=n-u+1, n-u+2, \ldots, n ; u=1,2, \ldots, m) . \end{aligned} \]

Сега да разгледаме равенствата

(4)\[ \begin{aligned} & a_{j}=-\cfrac{t_{n-u+1}^{u}-t_{1}^{u}}{t_{j}^{u}-t_{n+j-u}^{u}} \cdot a_{1},(j=1,2, \ldots, u ; u=1,2, \ldots, m) \\ & a_{j}=-\cfrac{t_{n-u+1}^{u}-t_{1}^{u}}{t_{j}^{u}-t_{j-u}^{u}} \cdot a_{1},(j=u+1, u+2, \ldots, n ; u=1,2, \ldots, m) \end{aligned} \]

Като заместим равенствата (4) в десните части на (3), установяваме, че съответните прости отношения са равни на -1 . Това означава, че равенствата (4) определят точките \(A_{j}(j=1,2, \ldots, n)\), така че \(M_{j}^{u}\) и \((j=1,2, \ldots, n ; u=1,2, \ldots, m)\) да са средите на съответните отсечки, върху които лежат.

Сега да разгледаме нормирания полином \(P^{u}(z)(u=1,2, \ldots, m)\) от степен \(n\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти, корените на който са разположени във върховете на един от медитангенциалните \(n\)-ъгълници \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\). Коефициентът \(a^{u}(u=1,2, \ldots, m)\) пред \(z\) според формулите на Виет е сума на \(n\) събираеми, получени от всевъзможните произведения на числата \(a_{1}, a_{2}, \ldots \ldots, a_{n}\), взети по \(n-1\) във всяко събираемо. Числото \(a^{u}\) можем да представим по следния начин \(a^{u}=S_{n-1}+a_{2} a_{3} \ldots a_{n}\), където \(S_{n-1}\) е сумата на всичкитеВсяко събираемо \(n-1\) произве на \(S_{n-1}\) дения,според които (4) съдържа има знаменател,т множител на \(a_{1}(u=1,2, \ldots, m)\) който липсва само . един от знаменателите на \(a_{2}, a_{3}, \ldots \ldots, a_{n}\). Затова след привеждане към общ знаменател в числителя на \(S_{n-1}\) участва сумата на тези знаменатели, която е равна на \(t_{n-u+1}^{u}-t_{1}^{u}(u=1,2, \ldots, m)\). Ако означим с \(\Pi\) произведението на всички знаменатели в \((4)\), получаваме \(S_{n-1}=\cfrac{(-1)^{n-2}\left(t_{n-u+1}^{u}-t_{1}^{u}\right)^{n-1}}{\Pi} . a_{1}^{n-1}\) и \(a_{2} a_{3} \ldots a_{n}=\cfrac{(-1)^{n-1}\left(t_{n-u+1}^{u}-t_{1}^{u}\right)^{n-1}}{\Pi} \cdot a_{1}^{n-1}\) . Следователно \(a^{u}=0(u=1,2, \ldots, m)\) . От последното равенство е ясно, че производната на \(P^{u}(z)\) има корен \(z=0\). Следователно производната на \(P^{u}(z)\) има корен във фокуса \(O^{u}\) на \(k^{u}\) \((u=1,2, \ldots, n)\). Сега ще отбележим една лема, доказана в (Grozdev \& Nenkov, 2018).

Лема. Ако корените на два полинома от една и съща степен образуват подобни геометрични фигури, то и корените на техните производни образуват подобни геометрични фигури.

От тази лема следва, че произволен полином \(P(z)\) със свойствата на \(P^{u}(z)(u=1,2, \ldots, n)\) има корени във всички фокуси \(O^{u}(u=1,2, \ldots, n)\).

По аналогичен начин, ако разгледаме координатна система с център в другия фокус \(F^{u}\) на \(k^{u}\), получаваме, че производната \(P^{\prime}(z)\) има корен и в точките \(F^{u}(u=1,2, \ldots, n)\). Накрая остава да вземем предвид, че когато \(n\) е четно число, то \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е симетричен спрямо точката \(S\). Затова полиномът \(P^{\prime}(z)\) в този случай има корен и в точката \(S\) (Grozdev \& Nenkov, 2018).

По този начин доказахме следната

Теорема 3. Ако един полином \(P(z)\) от степен \(n\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти има корени във върховете на медитангенциален \(n\)-ъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), то корените на производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) се намират във фокусите на всички медитангенциални елипси, породени от върховете на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), и в центъра на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), когато \(n\) е четно.

От тази теорема непосредствено се получава следното:

Следствие 1. Ако корените на полином \(P(z)\) са разположени във върховете на медитангенциален многоъгълник, то корените на производната му \(P^{\prime}(z)\) лежат на една права.

От доказателството на теорема 3 се вижда, че нищо няма да се промени, ако се разгледа полином, който има корени с еднакви кратности във върховете на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\). Затова е изпълнено следното:

Следствие 2. Ако един полином \(P(z)\) от степен n.p на комплексна променлива с комплексни коефициенти има \(p\)-кратен корен във върха \(A_{j}\) \((j=1,2, \ldots, n)\) на медитангенциален многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), то производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) има корени във фокусите на всички медитангенциални елипси, породени от върховете на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) и в центъра на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), когато \(n\) е четно.

По този начин следствие 2 се оказва обобщение на теорема 3.

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С. & В. Ненков (2018). Полиноми от четвърта степен с корени във върховете на успоредник. Математика и информатика, 61, 3, 283 – 293.

Гроздев, С. & В. Ненков. (2019). Полиноми с кратни корени във върховете на успоредник. Математика и информатика, 62, 4, 435 – 443.

Ненков, В. (2010). Една връзка между нереални корени и реална елипса, Математика плюс, 2, 61 – 63.

Генов, Г., С. Миховски & Т. Моллов. (1991). Алгебра с теория на числата. София: Наука и изкуство.

Ненков, В. (2009). Няколко афинно породени свойства на елипсата, Математика плюс, 2, 54 – 59,

Ненков, В. (1998). Конични сечения, вписани в триъгълник. Математика и информатика, 5, 54 – 59.

REFERENCES

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018). Polynomials of fourth degree with roots in the vertices of a parallelogram, Mathematics and informatics, 61, 3, 283 – 293.

Grozdev, S & V. Nenkov (2019). Polynomials with multiple roots in the vertices of a parallelogram, Mathematics and informatics, 62, 4, 435 – 443.

Nenkov, V. (2010). A relation between non-real roots and a real ellipse. Mathematics plus, 2, 61 – 63.

Genov, G., S. Mihovski & T. Molov (1991). Algebra with number theory. Sofia: Nauka i Izkustvo.

Nenkov, V. (2009). Several affine generated properties of the ellipse, Mathematics Plus, 2, 54 – 59.

Nenkov, V. (1998). Inscribed conics in a triangle, Конични сечения, вписани в триъгълник, Mathematics and informatics, 5, 54 – 59.