Резюме. Изведена е една геометрична връзка между корените на полином от четвърта степен на комплексна променлива с комплексни коефициенти и корените на неговата производна. Разгледани са някои приложения на получените резултати за полиноми на реална променлива с реални коефициенти. Накрая е описана компютърна реализация на полиномите на реална променлива.

Ключови думи: polynomial; roots of polynomial; parallelogram; rhombus; rectangle; ellipse; focus; centre

В следващите редове ще разгледаме една забележителна геометрична връзка между корените на един вид полиноми от четвърта степен и корените на съответните им производни. Тази връзка е определена от една специална елипса.

1. Полиноми с еднаква геометрия на корените си. Нека точките \(z_{1}^{\prime}, z_{2}^{\prime}, \ldots, z_{k}^{\prime}\) са разположени в комплексната равнина, така че да образуват определена геометрична фигура. Тогава линейната трансформация \(z=a z^{\prime}+b\) преобразува тези точки в точките \(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k}\), които образуват геометрична фигура, подобна на фигурата, определена от \(z_{1}^{\prime}, z_{2}^{\prime}, \ldots, z_{k}^{\prime}\). Ако полиномът \(P_{0}(z)\) има корени в точките \(z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{k}\), то при трансформацията \(z=a z^{\prime}+b\) той преминава в полином \(P\left(z^{\prime}\right)\), който има корени в точките \(z_{1}^{\prime}, z_{2}^{\prime}, \ldots, z_{k}^{\prime}\). Обратно,акополиномът \(P\left(z^{\prime}\right)\) имакоренивточките \(z_{1}^{\prime}, z_{2}^{\prime}, \ldots, z_{k}^{\prime}\), то могат да се определят подходящи стойности на комплексните числа \(a\) и \(b\), при които трансформацията \(z=a z^{\prime}+b\) преобразува \(P_{0}(z)\) в \(P\left(z^{\prime}\right)\). Освен това според формулата за намиране на производна на сложна функция се получава \(P^{\prime}\left(z^{\prime}\right)=\tfrac{d P_{0}\left(a z^{\prime}+b\right)}{d z^{\prime}}=a P_{0}^{\prime}(z)\). Това означава, че корените на \(P_{0}^{\prime}(z)\) се преобразуват в корените на \(P^{\prime}\left(z^{\prime}\right)\). От по-горе казаното следва, че корените на полиномите \(P_{0}^{\prime}(z)\) и \(P^{\prime}\left(z^{\prime}\right)\) образуват подобни геометрични фигури. Нещо повече, те принадлежат на подобни фигури. Така получаваме следното твърдение.

Лема. Ако корените на два полинома от една и съща степен образуват подобни геометрични фигури, то и корените на техните производни образуват подобни геометрични фигури.

За множеството на всички полиноми, корените на които образуват подобни фигури, ще казваме, че образува клас от полиноми с еднаква геометрия. От лемата следва, че производните на полиномите, принадлежащи на клас от по-линоми с еднаква геометрия, образуват клас от полиноми с еднаква геомет рия. Освен това, ако нормиран полином (такъв, на който коефициентът пред най-високата степен е равен на 1) и ненормиран полином (такъв, на който коефициентът пред най-високата степен е различен от 1) от една и съща степен имат едни и същи корени, техните производни също имат едни и същи корени. Затова от всички полиноми, принадлежащи на клас от полиноми с еднаква геометрия, е достатъчно да се изследва само някой нормиран полином, за да се определи геометрията на класа, определен от производните на полиномите от този клас.

2. Елипса, свързваща корените на полином от четвърта степен и корените на неговата производна. В комплексната равнина разглеждаме елипса \(\kappa\) с център \(S\), фокуси \(O\) и \(F\), числен ексцентритет \(e\) и фокален параметър \(p\). Нека \(M_{1}, M_{3}\) и \(M_{2}, M_{4}\) са две двойки диаметрално противоположни точки върху \(\kappa\). През точките \(M_{1}, M_{2}, M_{3}\) и \(M_{4}\) построяваме съответно допирателни \(A_{3} A_{4}, A_{1} A_{2}, A_{4} A_{1}\) и \(A_{2} A_{3}\) към \(\kappa\). Така получаваме описан около \(\kappa\) успоредник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Освен това точките \(M_{1}, M_{2}, M_{3}\) и \(M_{4}\) са среди съответно на страните \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\), а центърьт \(S\) на \(\kappa\) е пресечната точка на диагоналите на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\).

Спрямо Гаусовата координатна система \(K_{0}\) от фиг. 1, както е показано в (Nenkov, 1998), афиксите на точките \(M_{j}, A_{j}(j=1,2,3,4)\) и \(S\) се изразяват съответно с формулите

(1) \(\begin{gathered} m_{1}=\cfrac{2 p}{e t_{1}^{2}+2 t_{1}+e}, m_{2}=\cfrac{2 p}{e t_{2}^{2}+2 t_{2}+e}, m_{3}=\cfrac{2 p}{e t_{3}^{2}+2 t_{3}+e}, \\ m_{4}=\cfrac{2 p}{e t_{4}^{2}+2 t_{4}+e}, \\ \end{gathered}\)

(2) \(\begin{gathered} a_{1}=\cfrac{2 p}{e t_{2} t_{3}+t_{2}+t_{3}+e}, a_{2}=\cfrac{2 p}{e t_{3} t_{4}+t_{3}+t_{4}+e}, \\ a_{3}=\cfrac{2 p}{e t_{4} t_{1}+t_{4}+t_{1}+e}, a_{4}=\cfrac{2 p}{e t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e}, \end{gathered}\)

(3) \(s=\cfrac{p e}{e^{2}-1} .\) .

където \(\left|t_{1}\right|=\left|t_{2}\right|=\left|t_{3}\right|=\left|t_{4}\right|=1\).

Тъй като \(A_{1} A_{2} \| A_{3} A_{4}\) и \(A_{2} A_{3} \| A_{4} A_{1}\), то са изпълнени съответно равенствата \(\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(\bar{a}_{3}-\bar{a}_{4}\right)=\left(\bar{a}_{1}-\bar{a}_{2}\right)\left(a_{3}-a_{4}\right) \quad\) и \(\quad\left(a_{2}-a_{3}\right)\left(\bar{a}_{4}-\bar{a}_{1}\right)=\left(\bar{a}_{2}-\bar{a}_{3}\right)\left(a_{4}-a_{1}\right)\). Като се заместят равенствата \((2)\) в последните две, след известни преобразувания се получават съответно \(e t_{1} t_{3}+t_{1}+t_{3}+1=0\) и \(e t_{2} t_{4}+t_{2}+t_{4}+1=0\). Оттук следват равенствата

(4)\[ t_{3}=-\tfrac{t_{1}+e}{e t_{1}+1}, t_{4}=-\tfrac{t_{2}+e}{e t_{2}+1} \]

Заместването на (4) в (1) и (2) води до следните изразявания на \(m_{j}\) и \(a_{j}(j=1,2,3,4)\) :

(5) \(\begin{gathered} m_{1}=\tfrac{2 p}{e t_{1}^{2}+2 t_{1}+e}, m_{2}=\tfrac{2 p}{e t_{2}^{2}+2 t_{2}+e} \\ m_{3}=\tfrac{2 p}{\left(e^{2}-1\right)} \cdot \tfrac{\left(e t_{1}+1\right)^{2}}{e t_{1}^{2}+2 t_{1}+e}, m_{4}=\tfrac{2 p}{\left(e^{2}-1\right)} \cdot \tfrac{\left(e t_{2}+1\right)^{2}}{e t_{2}^{2}+2 t_{2}+e} \end{gathered}\)

(6) \(\begin{aligned} & a_{1}=\tfrac{2 p}{e^{2}-1} \cdot \tfrac{e t}{t_{1}-t_{2}}, a_{2}=\tfrac{2 p}{e^{2}-1} \cdot \tfrac{\left(e t_{1}+1\right)\left(e t_{2}+1\right)}{e t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e} \\ & a_{3}=\tfrac{2 p}{e-} \cdot \tfrac{e t}{t_{2}-t_{1}}, a_{4}=\tfrac{2 p}{e t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e} . \end{aligned}\)

Тъй като точката \(M_{3}\) е среда на страната \(A_{1} A_{2}\), то е изпълнено равенството \(a_{1}+a_{2}=2 m_{3}\). След заместване на съответните изрази от (5) и (6) и известни елементарни преобразувания получаваме следващата зависимост между \(t_{1}, t_{2}\) и \(e\) :

(7)\(e^{2} t_{1}^{2} t_{2}^{2}+2 e t_{1}^{2} t_{2}+2 e t_{1} t_{2}^{2}+\left(2-e^{2}\right) t_{1}^{2}+\left(2-e^{2}\right) t_{2}^{2}+4 e^{2} t_{1} t_{2}+2 e t_{1}+2 e t_{2}+e^{2}=0\).

От равенствата (3) , (5) , (6) и (7) се получават

(8) \(\begin{gathered} a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=4 s, a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{1} a_{4}+a_{2} a_{3}+a_{2} a_{4}+a_{3} a_{4}=4 s^{2} \\ a_{1} a_{2} a_{3}+a_{1} a_{2} a_{4}+a_{2} a_{3} a_{4}+a_{3} a_{4} a_{1}=0 \end{gathered}\)

Сега да разгледаме нормирания полином от четвърта степен \(P_{0}(z)\) на комплексна променлива \(z\) с комплексни коефициенти, който има корени във върховете на успоредника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), т.е. \(P_{0}\left(a_{1}\right)=P_{0}\left(a_{2}\right)=P_{0}\left(a_{3}\right)=P_{0}\left(a_{4}\right)=0\). От формулите на Виет и равенствата (8) следва, че \(P_{0}(z)\) се представя във вида \(P_{0}(z)=z^{4}-4 s z^{3}+4 s^{2} z^{2}+a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\). Това равенство означава, че производната на \(P_{0}(z)\) е \(P_{0}^{\prime}(z)=4 z^{3}-12 s z^{2}+8 s^{2} z\). Следователно корените на уравнението \(P_{0}^{\prime}(z)=0\) са \(z_{1}=0, z_{2}=s\) и \(z_{3}=2 s\).

Геометричната интерпретация на корените на \(P_{0}^{\prime}(z)\) е следната: корените \(z_{1}=0\) и \(z_{3}=2 s\) са съответно фокусите \(O\) и \(F\) на \(\kappa\), а \(z_{2}=s\) е центърьт \(S\) на \(\kappa\).

Като използваме лемата и коментарите след нея, получаваме следната

Теорема. Ако корените на един полином \(P(z)\) от четвърта степен на комплексна променлива с комплексни коефициенти се намират във върховете на успоредник \(P\), то корените на производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) се намират във фокусите и центъра на елипсата, допираща се до страните на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) в техните среди.

Следва да отбележим два специални случая на току-що формулираната теорема.

3. Полиноми с корени във върховете на квадрат. Ако \(P(z)=a z^{4}+f\), \(a \neq 0, f \neq 0\), корените на \(P(z)\) са във върховете на квадрат и елипсата \(\kappa\) е вписаната му окръжност. Корените на \(P^{\prime}(z)\) съвпадат с центъра на \(\kappa\). От теоремата следва, че само полиномите, които имат корени във върховете на квадрат при разглежданите условия, имат производни с троен корен. Следователно всеки такъв полином с помощта на подходяща трансформация се свежда до полином от последния вид. На фиг. 2 са представени полиномът \(P(x)=x^{4}-1\) и неговата производна \(P^{\prime}(x)\) (тук \(x\) е реална променлива).

4. Полиноми с реални коефициенти на реална променлива. Нека сега \(P(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+f, a \neq 0\) е полином от четвърта степен на реална променлива с реални коефициенти. В този случай можем да представим една геометрична интерпретация на доказаната теорема. За да бъде приложена теоремата към разглеждания полином, той трябва да има един от следните два вида:

1) \(P(x)\) има два реални и два комплексно спрегнати корена. Това означава, че успоредникът е ромб;

2) \(P(x)\) има две двойки комплексно спрегнати корени. Това означава, че успоредникът е правоъгълник.

В случай 1) графиката на \(P(x)\), като образ на функция на реална променлива, минава само през два противоположни върха на ромба, които отговарят на двата реални корена на \(P(x)\). Графиката на \(P^{\prime}(x)\) е кубична парабола с център на симетрия в пресечната точка \(S\) на диагоналите на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), която винаги лежи върху абсцисната ос.

Елипсата \(\kappa\), допираща се до страните на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) в техните среди, има за фокуси точки, лежащи върху абсцисната ос или върху диагонала на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), който е успореден на ординатната ос. В първия случай кубичната парабола \(P^{\prime}(x)\) пресича абсцисната ос в центъра \(S\) и фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) на \(\kappa\). В този случай корените на \(P^{\prime}(x)\) са реални и съвпадат с реалните точки \(S, F_{1}\) и \(F_{2}\) (фиг. 3). Във втория случай кубичната парабола \(P^{\prime}(x)\) пресича абсцисната ос само в точката \(S\) и не минава през точките \(F_{1}\) и \(F_{2}\). В този случай точките \(F_{1}\) и \(F_{2}\) съответстват на нереални корени на \(P^{\prime}(x)\). Точката \(S\) обаче винаги съответства на реален корен и затова графиката на \(P^{\prime}(x)\) винаги минава през нея (фиг. 4).

В случай 2) графиката на \(P(x)\), като образ на функция на реална променлива, в общия случай не минава през нито един от върховете на правоъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Графиката на \(P^{\prime}(x)\) е кубична парабола с център на симетрия в пресечната точка \(S\) на диагоналите на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), която винаги лежи върху абсцисната ос.

Елипсата \(\kappa\), допираща се до страните на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) в техните среди, има за фокуси точки, лежащи върху абсцисната ос или върху права, успоредна на ординатната ос. В първия случай кубичната парабола \(P^{\prime}(x)\) пресича абсцисната ос в центъра \(S\) и фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) на \(\kappa\). В този случай корените на \(P^{\prime}(x)\) са реални и съвпадат с реалните точки \(S, F_{1}\) и \(F_{2}\) на \(\kappa\) (фиг. 5). Във втория случай кубичната парабола \(P^{\prime}(x)\) пресича абсцисната ос само в точката \(S\) и не минава през точките \(F_{1}\) и \(F_{2}\). В този случай точките \(F_{1}\) и \(F_{2}\) съответстват на нереални корени на \(P^{\prime}(x)\). Точката \(S\) обаче винаги съответства на реален корен и затова графиката на \(P^{\prime}(x)\) винаги минава през нея (фиг. 6).

5. Компютърна реализация на случаите с реални полиноми. Случаите с реален полином \(P(x)\) могат да се демонстрират нагледно с програмата The Geometer’s Sketchpad. В случай 1) върху абсцисната ос на координатна система избираме две произволни точки \(A_{1}\) и \(A_{3}\). Върху симетралата на отсечката \(A_{1} A_{3}\) избираме точка \(A_{2}\), след което построяваме нейната симетрична \(A_{4}\) спрямо абсцисната ос. По този начин определяме върховете на ромб \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), в които някой полином \(P(x)\) трябва да има корени. По-нататък построяваме елипсата \(\kappa\), допираща се до отсечките \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\) в съответните им среди \(M_{1}, M_{2}, M_{3}\) и \(M_{4}\). След това построяваме фокусите на \(\kappa\).

За да построим полином \(P(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+f\), първо определяме координатите \(x_{A_{1}}, x_{A_{2}}, y_{A_{2}}\) и \(x_{A_{3}}\) на точките \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\). След това задаваме произволна стойност на коефициента \(a\), а другите коефициенти пресмятаме по следващите формули:

\[ \begin{gathered} b=-\left(x_{A_{1}}+2 x_{A_{2}}+x_{A_{3}}\right) a, c=\left(2 x_{A_{1}} x_{A_{2}}+x_{A_{1}} x_{A_{3}}+2 x_{A_{2}} x_{A_{3}}+x_{A_{2}}^{2}+y_{A_{2}}^{2}\right) a \\ d=-\left[2 x_{A_{1}} x_{A_{2}} x_{A_{3}}+\left(x_{A_{1}}+x_{A_{3}}\right)\left(x_{A_{2}}^{2}+y_{A_{2}}^{2}\right)\right] a, f=x_{A_{1}} x_{A_{3}}\left(x_{A_{2}}^{2}+y_{A_{2}}^{2}\right) a \end{gathered} \]

Накрая дефинираме функцията \(P(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+f\) и намираме нейната производна \(P^{\prime}(x)\).

Построяваме графиките на \(P(x)\) и \(P^{\prime}(x)\). Кривата \(P(x)\) минава през точките \(A_{1}\) и \(A_{3}\). В общия случай графиката на \(P(x)\) не минава през точките \(A_{2}\) и \(A_{4}\), защото в тях не се получават реални корени на уравнението \(P(x)=0\). ( (На фиг. 2 графиката минава през един от върховете. Това се дължи на факта, че точката \(z=-i\) е корен на полинома \(z^{4}-1\), а тя съответства на точката \((0,-1)\) ). Ако фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) лежат на абсцисната ос, кубичната парабола \(P^{\prime}(x)\) минава през \(F_{1}, F_{2}\) и \(S\) (фиг. 3). Ако фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) лежат на права, успоредна на ординатната ос, кубичната парабола \(P^{\prime}(x)\) не минава през \(F_{1}\) и \(F_{2}\), защото корените на уравнението \(P^{\prime}(x)=0\) не са реални, но минава през \(S\) (фиг. 4).

Когато променяме положенията на \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\), A2 и A3, така че фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) да лежат върху абсцисната ос, се наблюдава, че \(P(x)\) и \(P^{\prime}(x)\) се променят, но \(P^{\prime}(x)\) винаги минава през точките \(F_{1}, F_{2}\) и \(S\).

В случай 2) спрямо дадена координатна система избираме произволна точка \(A_{1}\), а точката \(A_{2}\) определяме върху правата през \(A_{1}\), успоредна на абсцисната ос. След това намираме точките \(A_{4}\) и \(A_{3}\) като симетрични образи съответно на точките \(A_{1}\) и \(A_{2}\) спрямо абсцисната ос. По този начин определяме върховете на правоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), в които някой полином \(P(x)\) трябва да има корени. По-нататък построяваме елипсата \(\kappa\), допираща се до отсечките \(A_{3} A_{4}, A_{4} A_{1}, A_{1} A_{2}\) и \(A_{2} A_{3}\) в съответните им среди \(M_{1}, M_{2}, M_{3}\) и \(M_{4}\). След това построяваме фокусите на \(\kappa\).

За да построим полином \(P(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+f\), първо определяме координатите \(x_{A_{1}}, y_{A_{1}}\) и \(x_{A_{2}}\) на точките \(A_{1}\) и \(A_{2}\). След това задаваме произволна стойност на коефициента \(a\), а другите коефициенти пресмятаме по следващите формули:

\[ \begin{gathered} b=-2\left(x_{A_{1}}+x_{A_{2}}\right) a, c=\left(x_{A_{1}}^{2}+2 y_{A_{1}}^{2}+x_{A_{2}}^{2}+4 x_{A_{1}} x_{A_{2}}\right) a \\ d=-2\left[x_{A_{1}}\left(x_{A_{2}}^{2}+y_{A_{1}}^{2}\right)+x_{A_{2}}\left(x_{A_{1}}^{2}+y_{A_{1}}^{2}\right)\right] a, f=\left(x_{A_{1}}^{2}+y_{A_{1}}^{2}\right)\left(x_{A_{2}}^{2}+y_{A_{1}}^{2}\right) a \end{gathered} \]

Накрая дефинираме функцията \(P(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+f\) и намираме нейната производна \(P^{\prime}(x)\). Построяваме графиките на \(P(x)\) и \(P^{\prime}(x)\). Кривата \(P(x)\), в общия случай, не минава през никоя от точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\), защото в тях не се получават реални корени на уравнението \(P(x)=0\). Ако фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) лежат на абсцисната ос, кубичната парабола \(P^{\prime}(x)\) минава през \(F_{1}, F_{2}\) и \(S\) (фиг. 5). Ако фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) лежат на права, успоредна на ординатната ос, кубичната парабола \(P^{\prime}(x)\) не минава през \(F_{1}\) и \(F_{2}\), защото корените на уравнението \(P^{\prime}(x)=0\) не са реални, но минава през \(S\) (фиг. 6).

Когато променяме положенията на \(A_{1}\) и \(A_{2}\), така че фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) да лежат върху абсцисната ос, се наблюдава, че \(P(x)\) и \(P^{\prime}(x)\) се променят, но \(P^{\prime}(x)\) винаги минава през точките \(F_{1}, F_{2}\) и \(S\).

От доказаната теорема се вижда още, че производните на безброй много различни полиноми от четвърта степен трябва да имат една и съща тройка корени. Това означава, че ако \(P_{1}(x), P_{2}(x), P_{3}(x)\) и \(P_{4}(x)\) са реални полиноми с корени във върховете на един и същ успоредник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), то графиките на техните производни ще минават през постоянните точки \(F_{1}, F_{2}\) и \(S\). Това се реализира, като успоредникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) се остави постоянен, а за параметъра \(a\) се дават различни стойности (фиг. 7).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Balk, M., G. Balk & A. Poluhin (1988). Real applications of imaginary numbers. Kiev: Radjansk school [Балк, М., Г. Балк & А. Полухин (1988). Реальные применения мнимых чисел. Киев: Радянська школа.]

Genov, G, S Mihovski & T. Molov (1991). Algebra with Number theory. Sofia: Nauka i Izkustvo [Генов, Г., С. Миховски & Т. Моллов (1991). Алгебра с теория на числата. София: Наука и изкуство.]

Markushevich, A. & L. Markushevich (1980). Introduction to the theory of Analytic functions. Sofia: Nauka i Izkustvo [Маркушевич, А. & Л. Маркушевич (1980). Увод в теорията на аналитичните функции. София: Наука и изкуство.]

Nenkov, V. (1998). Conics inscribed in a triangle. Mathematics and Informatics, 5, 54 – 59 [Ненков, В. (1998). Конични сечения, вписани в триъгълник. Математика и информатика, 5, 54 – 59.]

Nenkov, V. (2010). A relation between non-real roots and and a real elipse. Mathematics Plus, 2, \(61-63\) [Ненков, В. (2010). Една връзка между нереални корени и реална елипса, Математика плюс, 2, 61 – 63.]