Резюме. Разгледана е една геометрична връзка между корените на полином и тези на неговата производна, когато всички корени на полинома се намират в три неколинеарни точки. Тази връзка се осъществява чрез фокусите на специална елипса, определена от кратностите на корените на полинома.

Ключови думи: polynomial; root; triangle; ellipse; focus

Известна е една геометрична връзка между корените на полиномите от трета степен с неколинеарни корени и корените на съответните им производни. Според тази връзка, ако корените на полином от трета степен са разположени във върховете на триъгълник, то корените на неговата производна се намират във фокусите на елипсата, допираща се до страните на триъгълника в техните среди (Nenkov, 2010). От друга страна, освен споменатата елипса във всеки триъгълник могат да се впишат безброй много елипси. Затова възниква въпросът за възможността някои от тези елипси също да осъществяват геометрични връзки между полиноми и съответните им производни. Оказва се, че някои от тези елипси осъществяват геометрични връзки между някои видове полиноми с кратни корени във върховете на разглеждан триъгълник и корените на неговата производна.

Преди да преминем към излагане на основното съдържание на този въпрос, ще отбележим три помощни твърдения.

Лема 1. Ако корените на два полинома от една и съща степен образуват подобни геометрични фигури, то и корените на техните производни образуват подобни геометрични фигури (Grozdev & Nenkov, 2018 a)

Ясно е, че ако един нормиран полином (който има коефициент 1 пред най-високата си степен) и един ненормиран полином (който има коефициент, различен от 1, пред най-високата си степен) имат едни и същи корени, то и техните производни ще имат едни и същи корени. Затова от тази лема следва, че ако за производната на един нормиран полином от известен клас установим геометрията на корените му, то можем да твърдим, че всеки полином от този клас има същата геометрия на корените си (Grozdev & Nenkov, 2018 a).

Лема 2. Ако \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\) са корени на полином \(P(z)\) от \(n\)-та степен, \(k_{j}(j=1,2, \ldots, s)\) са съответните им кратности и \(k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s}=n\), то коефициентът пред първата степен на променливата \(z\) е равен на:

\(a_{1}^{k_{1}-1} a_{2}^{k_{2}-1} \ldots a_{s}^{k_{s}-1}\left(k_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{s-1} a_{s}+k_{2} a_{3} a_{4} \ldots a_{s} a_{1}+\cdots+k_{s} a_{s-1} a_{s-2} \ldots a_{2} a_{1}\right) .\)

Доказателство. Означаваме корените на \(P(z)\) с \(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\). Коефициентът пред \(z\) според формулите на Виет е сума на \(n\) събираеми, получени от всевъзможните произведения на числата \(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\), взети по \(n-1\) пъти във всяко събираемо.

\[ \begin{gathered} \text { Нека } b_{1}=a_{1}, b_{2}=a_{2}, \ldots, b_{s}=a_{s} ; b_{s+1}=b_{s+2}=\cdots=b_{s+k_{1}-1}=a_{1}, \\ b_{s+k_{1}}=b_{s+k_{1}+1}=\cdots=b_{s+k_{1}+k_{2}-2}=a_{2}, \cdots, \\ b_{s+k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s-1}-(s-2)}=b_{s+k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s-1}-(s-2)+1}=\cdots=b_{s+k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s-1}-(s-2)+k_{s}-2}=a_{s} \\ \left(b_{n-k_{s}+2}=b_{n-k_{s}+3}=\cdots=b_{n-1}=b_{n}=a_{s}\right) . \end{gathered} \]

Едно от събираемите в коефициента пред \(z\) е \(b_{1} b_{2} \ldots b_{n-2} b_{n-1} \quad a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \ldots a_{s-1}^{k_{s}} a_{s}^{k_{s}}\) (тъй като липсва само \(b_{n}=a_{s}\) ). Сега, ако заменим в \(b_{1} b_{2} \ldots b_{n-2} b_{n-1}\) последователно \(b_{n-1}, b_{n-2}, \ldots, b_{n-k_{s}+2}\) с \(b_{n}\), , получаваме още \(k_{s}-2\) пъти \(a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \ldots a_{s-1}^{k_{s-1}} a_{s}^{k_{s}-1}\). Следователно по този начин получаваме \(k_{s}-1\) пъти това събираемо. Накрая, като заменим \(b_{s}\) с \(b_{n}\), получаваме същото произведение още един път. Следователно цялата сума съдържа произведението \(a_{1}^{k_{1}} a_{2}^{k_{2}} \ldots a_{s-1}^{k_{s-1}} a_{s}^{k_{s}-1}\) точно \(k_{s}\) пъти.

Като приложим същата идея за всеки от другите корени, получаваме съответното събираемо в твърдението на лемата. Така стигаме до доказателство на лемата.

Лема 3. Ако точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) лежат съответно върху страните \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\), то коничното сечение \(k\), минаващо през \(P_{1}\), \(P_{2}\) и \(P_{3}\), се допира до правите \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) тогава и само тогава, когато правите \(A_{1} P_{1}, A_{2} P_{2}\) и \(A_{3} P_{3}\) минават през една точка \(P\).

Доказателство. Нека коничното сечение \(k\) се допира до правите \(A_{2} A_{3}\), \(A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) съответно в точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\). Означаваме правите \(A_{2} A_{3}\), \(A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) съответно с \(p_{1}, p_{2}\) и \(p_{3}\). Ако разгледаме тези прави в реда \(p_{1} p_{2} p_{2} p_{3} p_{3} p_{1}\), според теоремата на Брианшон (Mateev, 1977) получаваме, че правите \(p_{1}=A_{1} P_{1}, p_{2}=A_{2} P_{2}\) и \(p_{3}=A_{3} P_{3}\) се пресичат в една точка \(P\).

Обратно, ако правите \(p_{1}=A_{1} P_{1}, p_{2}=A_{2} P_{2}\) и \(p_{3}=A_{3} P_{3}\) се пресичат в една точка \(P\) и отново разгледаме реда прави \(p_{1} p_{2} p_{2} p_{3} p_{3} p_{1}\), то според теоремата на Брианшон (Mateev, 1977), приложена в обратна посока, следва, че \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) са допирни точки съответно за правите \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) към конично сечение \(k\). С това лемата е доказана.

За да подчертаем по-дълбоката връзка между полиномите с кратни корени във върховете на даден триъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3}\) и някои от вписаните в този триъгълник елипси, да предположим, че точките \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) са снабдени с маси \(k_{1}, k_{2}\) и \(k_{3}\). Това означава, че разглеждаме масовите точки \(\left(k_{1}, A_{1}\right),\left(k_{2}, A_{2}\right)\) и \(\left(k_{3}, A_{3}\right)\) (Paskalev \& Chobanov, 1985).

Ако в точките \(P_{1}^{\prime}, P_{2}^{\prime}\) и \(P_{3}^{\prime}\) се намират масовите центрове съответно на двойките масови точки \(\left(k_{2}, A_{2}\right)\) и \(\left(k_{3}, A_{3}\right),\left(k_{3}, A_{3}\right)\) и \(\left(k_{1}, A_{1}\right)\) и \(\left(k_{1}, A_{1}\right)\) и \(\left(k_{2}, A_{2}\right)\), то са изпълнени равенствата: \(\overline{A_{2} P_{1}^{\prime}}: \overline{A_{3} P_{1}^{\prime}}=-k_{3}: k_{2}, \overline{A_{3} P_{2}^{\prime}}: \overline{A_{1} P_{2}^{\prime}}=-k_{1}: k_{3}\), \(\overline{A_{1} P_{3}^{\prime}}: \overline{A_{2} P_{3}^{\prime}}=-k_{2}: k_{1}\) (Paskalev \& Chobanov, 1985). От тези равенства и теоремата на Чева (Paskalev \& Chobanov, 1985) следва, че правите \(A_{1} P_{1}^{\prime}, A_{2} P_{2}^{\prime}\) и \(A_{3} P_{3}^{\prime}\) се пресичат в една точка \(P^{\prime}\), в която се намира центърът на масите на трите разглеждани масови точки (Paskalev \& Chobanov, 1985). Според лема 3 правите \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) са допирателни към елипса \(k^{\prime}\) съответно в точките \(P_{1}^{\prime}, P_{2}^{\prime}\) и \(P_{3}^{\prime}\).

Ако точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) са такива, че са изпълнени равенствата

(1) \(\overline{A_{2} P_{1}}: \overline{A_{3} P_{1}}=-k_{2}: k_{3}, \overline{A_{3} P_{2}}: \overline{A_{1} P_{2}}=-k_{3}: k_{1}, \overline{A_{1} P_{3}}: \overline{A_{2} P_{3}}=-k_{1}: k_{2},\)

в тях се намират масовите центрове съответно на двойките масови точки \(\left(k_{2}^{-1}, A_{2}\right)\) и \(\left(k_{3}^{-1}, A_{3}\right),\left(k_{3}^{-1}, A_{3}\right)\) и \(\left(k_{1}^{-1}, A_{1}\right)\) и \(\left(k_{1}^{-1}, A_{1}\right)\) и \(\left(k_{2}^{-1}, A_{2}\right)\). Точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) са симетрични съответно на \(P_{1}^{\prime}, P_{2}^{\prime}\) и \(P_{3}^{\prime}\) спрямо средите \(M_{1}\), \(M_{2}\) и \(M_{3}\) съответно на отсечките \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) (фиг. 1). От равенствата (1) и теоремата на Чева следва, че правите \(A_{1} P_{1}, A_{2} P_{2}\) и \(A_{3} P_{3}\) се пресичат в една точка \(P\), в която се намира центърът на масите за масовите точки \(\left(k_{1}^{-1}, A_{1}\right),\left(k_{2}^{-1}, A_{2}\right)\) и \(\left(k_{3}^{-1}, A_{3}\right)\) (фиг. 1). По този начин получаваме, че точките \(P\) и \(P^{\prime}\) са изотомично спрегнати спрямо \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) (Paskalev \& Chobanov, 1985). Според лема 3 правите \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\) са допирателни към елипса \(k\) съответно в точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) (фиг. 1). Ще покажем, че именно елипсата \(k\) е свързващият елемент между корените на полином с кратни корени във върховете на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) и неговата производна.

Нека елипсата \(k\) има за фокус точката \(O\), фокален параметър \(p\) и числен ексцентрицитет \(e\). Спрямо Гаусовата координатна система \(K_{0}\) от фиг. 2, както е показано в (Nenkov, 1998), афиксите \(p_{j}\) и \(a_{j}\) на точките \(P_{j}\) и \(A_{j}\) \((j=1,2,3)\) се изразяват съответно с формулите

(2) \(p_1=\cfrac{2p}{e.t_1+2t_1+e},p_2=\cfrac{2p}{e.t_2+2t_2+e},p_3=\cfrac{2p}{e.t_3+2t_3+e}\) .

(3) \(a_{1}=\tfrac{2 p}{e t_{2} t_{3}+t_{2}+t_{3}+e}, a_{2}=\tfrac{2 p}{e t_{3} t_{1}+t_{3}+t_{1}+e}, a_{3}=\tfrac{2 p}{e t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e}\),

където \(\left|t_{1}\right|=\left|t_{2}\right|=\left|t_{3}\right|=1\).

Сега ще намерим зависимости между разглежданите величини, така че да бъдат изпълнени равенствата (1). Тъй като простото отношение на произволни три точки \(A_{k}, A_{l}\) и \(P_{j}\) от една права се изразява с равенството \(\tfrac{\overline{A_{k} P_{j}}}{\overline{A_{l} P_{j}}}=\tfrac{a_{k}-p_{j}}{a_{l}-p_{j}}\), от (2) и (3) след несложни пресмятания се получават равенствата

(4) \(\tfrac{\overline{A_{2} P_{1}}}{\overline{A_{3} P_{1}}}=\tfrac{t_{3}-t_{1}}{t_{2}-t_{1}} \cdot \tfrac{a_{2}}{a_{3}}, \tfrac{\overline{A_{3} P_{2}}}{\overline{A_{1} P_{2}}}=\tfrac{t_{1}-t_{2}}{t_{3}-t_{2}} \cdot \tfrac{a_{3}}{a_{1}}, \tfrac{\overline{A_{1} P_{3}}}{\overline{A_{2} P_{3}}}=\tfrac{t_{2}-t_{3}}{t_{1}-t_{3}} \cdot \tfrac{a_{1}}{a_{2}}\).

От второто и третото равенство в (4) и (1) следват равенствата

(5) \[ a_{2}=-\tfrac{k_{2}}{k_{1}} \cdot \tfrac{t_{3}-t_{2}}{t_{3}-t_{1}} \cdot a_{1}, a_{3}=-\tfrac{k_{3}}{k_{1}} \cdot \tfrac{t_{2}-t_{3}}{t_{2}-t_{1}} \cdot a_{1} . \]

От равенствата (5) непосредствено се получава и равенството

(6) \[ k_{1} a_{2} a_{3}+k_{2} a_{3} a_{1}+k_{3} a_{1} a_{2}=0 \]

Сега да разгледаме нормирания полином \(P_{0}(z)\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти от степен \(n=k_{1}+k_{2}+k_{3}\), който има \(k_{j}\)-кратен корен във върха \(A_{j}(j=1,2,3)\) на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). От лема 2 и равенството (6) следва, че коефициентът пред \(z\) има стойност 0 . Затова производната \(P_{0}^{\prime}(z)\) има корен \(z=0\). Това всъщност на геометричен език означава, че \(P_{0}^{\prime}(z)\) има корен във фокуса \(O\) на елипсата \(k\). Следователно, според лема 1 и бележката към нея, се получава, че производната \(P^{\prime}(z)\) на произволен полином \(P(z)\) със свойствата на \(P_{0}(z)\) има корен в точката \(O\).

Аналогично, ако разгледаме координатна система с център в другия фокус \(F\) на \(k\), получаваме, че \(P^{\prime}(z)\) има корен и в точката \(F\). По този начин доказахме следната

Теорема. Ако един полином \(P(z)\) от степен \(n=k_{1}+k_{2}+k_{3}\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти има \(k_{j}\)-кратен корен във върха \(A_{j}(j=1,2,3)\) на \(\triangle A_{1} A_{2} A_{3}\), то производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) има корени във фокусите на елипсата \(k\), допираща се до правите \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1} u\) \(A_1A_2\) съответно в точките \(P_1,P_2\) и \(P_3\) , за които са изпълнени равенствата \(\overline{A_{2} P_{1}}: \overline{A_{3} P_{1}}=-k_{2}: k_{3}, \overline{A_{3} P_{2}}: \overline{A_{1} P_{2}}=-k_{3}: k_{1}, \overline{A_{1} P_{3}}: \overline{A_{2} P_{3}}=-k_{1}: k_{2}\).

Полиномът \(P^{\prime}(z)\) има \(\left(k_{j}-1\right)\)-кратен корен във върха \(A_{j}(j=1,2,3)\) (Genov, Mihovski \& Molov, 1991), а останалите два корена се описват от токущо доказаната теорема. По този начин получаваме пълна геометрична картина на корените на \(P^{\prime}(z)\).

От теоремата непосредствено се получава следното

Следствие. Ако един полином \(P(z)\) от степен \(n=3 . m\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти има m-кратен коренратен к във върха \(A_{j}\) \((j=1,2,3)\) на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\), то производната \(P^{\prime}(z)\) на \(P(z)\) има корени във фокусите на елипсата \(k\), допираща се до отсечките \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1} u A_{1} A_{2}\) в техните среди.

По този начин се получава едно обобщение на теоремата, доказана в (Nenkov, 2010).

Ако \(P(z)=P(x)\) е полином с реални коефициенти на реална променлива, можем да представим някои геометрични интерпретации на доказаната теорема и нейното следствие. На фиг. 3 е показан полином \(P(x)\) с двукратен реален корен в \(A_{1}\) и два прости комплексно спрегнати корена в \(A_{2}\) и \(A_{3}\). Производната \(P^{\prime}(x)\) има три прости реални корена, съответните точки на които са върхът \(A_{1}\) и фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) на елипсата \(k\). На фиг. 4 е представен полином \(P(x)\) с прост реален корен в \(A_{1}\) и два двукратни комплексно спрегнати корена в \(A_{2}\) и \(A_{3}\). Производната \(P^{\prime}(x)\) има два прости реални корена, съответните точки на които са фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) на елипсата \(k\).

Полиноми, които съответстват на следствието, са показани на фиг. 5, 6 и 7. Тези полиноми имат съответно прости, двукратни и трикратни корени във върховете на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\), т.е. те се получават при \(m=1, m=2\) и \(m=3\).

На фиг. 8 полиномът \(P(x)\) има трикратен реален корен в \(A_{1}\) и два прости комплексно спрегнати корена в \(A_{2}\) и \(A_{3}\). Графиката на производната \(P^{\prime}(x)\) не минава през фокусите \(F_{1}\) и \(F_{2}\) на елипсата \(k\), тъй като те отговарят на два комплексно спрегнати корена на \(P^{\prime}(x)\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Balk, M., G. Balk & A. Poluhin (1988). Real applications of imaginary numbers. Kiev: Radjansk school. [Балк, М., Г. Балк & А. Полухин (1988). Реальные применения мнимых чисел. Киев: Радянська школа.]

Genov, G, S Mihovski & T. Molov (1991). Algebra with Number theory. Sofia: Nauka i Izkustvo. [Генов, Г., С. Миховски & Т. Моллов (1991). Алгебра с теория на числата. София: Наука и изкуство.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018 b). Polynomials of forth degree with roots in the vertices of a parallelogram, Mathematics and Informatics, 3, \(277-282\). [Гроздев, С. & В. Ненков (2018 b). Полиноми от четвърта степен с корени във върховете на успоредник. Математика и информатика, \(3,277-282\).]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018 a). Polynomials of third degree with collinear roots, Mathematics and Informatics, 3, 283 – 293. [Гроздев, С.

\(\&\) В. Ненков (2018 a). Полиноми от трета степен с колинеарни корени. Математика и информатика, 3, 283 – 293.]

Mateev, A. (1977). Projective geometry. Sofia: Nauka i Izkustvo. [Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство.]

Маркушевич, А. & Л. Маркушевич (1980). Увод в теорията на аналитичните функции. София: Наука и изкуство. [Markushevich, A. & L. Markushevich (1980). Introduction to the theory of Analytic functions. Sofia: Nauka i Izkustvo.]

Nenkov, V. (1998). Conics inscribed in a triangle. Mathematics and Informatics, 5, 54 – 59 [Ненков, В. (1998). Конични сечения, вписани в триъгълник. Математика и информатика, 5, 54 – 59.]

Nenkov, V. (2010). A relation between non-real roots and a real ellipse. Mathematics Plus, 2, 61 – 63 [Ненков, В. (2010). Една връзка между нереални корени и реална елипса, Математика плюс, 2, \(61-63\).]

Paskalev, G. & I. Chobanov. (1985). Notable points in the triangle. Sofia: Narodna prosveta. [Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.]

Prasolov, V. (1986). Problems in plane geometry. Part ІІ. Moscow: Nauka. [Прасолов, В. (1986). Задачи по планиметрии. Часть ІІ. Москва: Наука.]