Резюме. Разглеждат се няколко задачи за окръжности, допиращи се до конични сечения и определени от точки върху директрисата на коничното сечение.

Ключови думи: circle; conic; parabola; ellipse; hyperbola; center; triangle; focus; directress

Във всяка точка на едно конично сечение \(k\) могат да се построят безброй много окръжности, които се допират до \(k\). Тук ще разгледаме няколко специални случая на окръжности, допиращи се до \(k\) и зависещи от точки, лежащи върху директриса на \(k\).

В началото ще разгледаме две задачи за параболи.

Задача 1. Дадени са парабола \(\pi\) с фокус \(F\) и директриса \(d\). Нека \(M\) е точка от правата \(d\), а \(l\) е права през \(M\), перпендикулярна \(d\) и \(l \cap \pi=C\). Ако точката \(A\) е симетрична на \(F\) относно \(C\), да се докаже, че описаната за триъгълника \(A C M\) окръжност \(k\) се допира до параболата \(\pi\) при всяко положение на \(M\) върху \(d\).

Решение. Разглеждаме координатната система \(O x y\), по отношение на която параболата \(\pi\) има канонично уравнение

(1) \[ y^{2}=2 p x \]

където \(p\) е фокалният параметър на \(\pi\).

Тъй като \(M \in d\), то \(M\left(-\tfrac{p}{2}, y_{M}\right)\), където \(y_{M}\) е реално число. Оттук следва, че \(C\left(\tfrac{y_{M}^{2}}{2 p}, y_{M}\right)\). За координатите на \(A\) са изпълнени равенства \(x_{A}=2 x_{C}-x_{F}\) и \(y_{A}=2 y_{C}-y_{F}\). От координатите на \(C\) и \(F\left(\tfrac{p}{2}, 0\right)\) намираме, че \(A\left(\tfrac{2 y_{M}^{2}-p^{2}}{2 p}, 2 y_{M}\right)\). Симетралите \(s_{C M}\) и \(s_{A M}\) съответно на отсечките \(C M\) и \(A M\) имат следните уравнения:

(2) \[ s_{C M}: x=\tfrac{y_{M}^{2}-p^{2}}{4 p} \]

(3) \[ s_{A M}: 2 p y_{M} x+2 p^{2} y-y_{M}\left(y_{M}^{2}+2 p^{2}\right)=0 \]

Системата уравнения, получаваща се от (2) и (3), има следното решение

(4) \[ x_{0}=\tfrac{y_{M}^{2}-p^{2}}{4 p}, y_{0}=\tfrac{y_{M}\left(y_{M}^{2}+5 p^{2}\right)}{4 p^{2}} \]

По този начин с формулите (4) получихме координатите \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) на центъра \(\Omega\) на окръжността \(k\), описана за \(\triangle A C M\). Разстоянието \(M \Omega\) е равно на радиуса \(R\) на окръжността \(k\). От (4) получаваме равенството

(5) \[ R^{2}=\tfrac{\left(y_{M}^{2}+p^{2}\right)^{3}}{16 p^{4}} \]

Сега от (4) и (5) за уравнението на окръжността \(k\) намираме

(6) \(k: 4 p^{2} x^{2}+4 p^{2} y^{2}-2 p\left(y_{M}^{2}-p^{2}\right) x-2 y_{M}\left(y_{M}^{2}+5 p^{2}\right) y+y_{M}^{2}\left(2 y_{M}^{2}+5 p^{2}\right)=0\).

От (1) и (6) следва, че ординатите на общите за параболата \(\pi\) и окръжността \(k\) точки удовлетворяват уравнението

(7) \[ \left(y-y_{M}\right)^{2}\left(y^{2}+2 y_{M} y+2 y_{M}^{2}+5 p^{2}\right)=0 . \]

Вторият множител в \((7)\) няма реални корени. Следователно \((7)\) има един двоен реален корен \(y=y_{M}\). Оттук следва, че точката \(C\left(\tfrac{y_{M}^{2}}{2 p}, y_{M}\right)\) е единствената обща точка за \(k\) и \(\pi\), т.е. те са допирателни.

В доказаното твърдение окръжността \(k\) се допира външно до параболата \(\pi\) в точката \(C\). Любопитно е как се получава (ако съществува) окръжност \(w\), която се допира вътрешно до \(\pi\) в точката \(C\). Отговор на този въпрос се съдържа в следващата задача.

Задача 2. Дадена е парабола \(\pi\) с фокус \(F\) и директриса \(d\). Нека \(M\) е точка от правата \(d\), а \(l\) е права през \(M\), перпендикулярна \(d\) и \(l \cap \pi=C\).

a) окръжността \(w\), допираща се вътрешно до \(\pi\) в точката \(C\), центърът на която лежи върху оста на \(\pi\), има още една допирна точка с \(\pi\);

б) ако окръжността \(w\) пресича правата \(C F\) за втори път в точката \(A^{\prime}\) и \(l\) пресича \(w\) за втори път в точката \(B^{\prime}\), то \(C A^{\prime}=C B^{\prime}=2 p\).

\(P e u e н и e\). Нека симетралата \(s_{A M}\) на отсечката \(A M\) (тя минава през \(C\) ) пресича оста \(O x\) на параболата \(\pi\) в точката \(W\). Ще докажем, че \(W\) е център на \(w\). От (3) се получава \(W\left(\tfrac{y_{M}^{2}+2 p^{2}}{2 p}, 0\right)\). Ако \(r\) е разстоянието между точките \(W\) и \(C\), то

(8) \[ r^{2}=p^{2}+y_{M}^{2} . \]

От координатите на \(W\) и ( 8) се получава уравнението на окръжността \(w\) във вида:

(9) \[ w: 4 p^{2} x^{2}+4 p^{2} y^{2}-4 p\left(2 p^{2}+y_{M}^{2}\right) x+y_{M}^{4}=0 . \]

Уравненията (1) и ( 9) ни довеждат до \(\left(2 p x-y_{M}^{2}\right)^{2}=0\) . Оттук следва, че системата, образувана от тези уравнения, има две двукратни реални решения \(\left(\tfrac{y_{M}^{2}}{2 p}, y_{M}\right)\) и \(\left(\tfrac{y_{M}^{2}}{2 p},-y_{M}\right)\), т.е. \(w\) се допира до \(\pi\) в точките \(C\left(\tfrac{y_{M}^{2}}{2 p}, y_{M}\right)\) и \(C^{\prime}\left(\tfrac{y_{M}^{2}}{2 p},-y_{M}\right)\).

Сега намираме уравненията на правите \(C F\) и \(C M\)

(10) \(C F: 2 p y_{M} x+\left(p^{2}-y_{M}^{2}\right) y-p^{2} y_{M}=0, C M: y-y_{M}=0\).

От \((9)\) и \((10)\) намираме \[ A^{\prime}\left(\tfrac{4 p^{4}-3 p^{2} y_{M}^{2}+y_{M}^{4}}{2 p\left(p^{2}+y_{M}^{2}\right)},-\tfrac{y_{M}\left(3 p^{2}-y_{M}^{2}\right)}{p^{2}+y_{M}^{2}}\right), B^{\prime}\left(\tfrac{4 p^{2}+y_{M}^{2}}{2 p}, y_{M}\right) \]

Оттук окончателно следва, че \(C A^{\prime}=C B^{\prime}=2 p\).

От задачи 2б) следва изводът: разстоянията \(C A^{\prime}\) и \(C B^{\prime}\) не зависят от положението на точката \(M\) върху директрисата.

Сега ще разгледаме две задачи за централни конични сечения.

Задача 3. Нека \(k\) е елипса или хипербола, \(F_{1}\) и \(F_{2}\) са фокусите на \(k\), а съответните им директриси са \(d_{1}\) и \(d_{2}\). Точката \(M\) лежи на правата \(d_{1}\), а правата \(l\) минава през \(M\) и е перпендикулярна на \(d_{1}\). Правата \(l\) пресича \(k\) в точките \(C_{1}\) и \(C_{2}\), така че \(C_{1}\) се намира между \(M\) и \(C_{2}\), а нефокалната ос на \(k\) пресича \(l\) в точката \(L\). Точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\) лежат съответно върху лъчите \(F_{1} C_{1}\) и \(F_{2} C_{1}\) и \(C_{1} A_{1}=C_{1} B_{1}=\tfrac{c}{e} \cdot \tfrac{C_{1} M}{C_{1} L}\), а точките \(A_{2}\) и \(B_{2}\) лежат съответно върху лъчите \(C_{2} F_{1}\) и \(C_{2} F_{2}\) и \(C_{2} A_{2}=C_{2} B_{2}=\tfrac{c}{e} \cdot \tfrac{C_{2} M}{C_{2} L}\), където \(e\) и \(c\) са численият и линейният ексцентрицитет на \(k\). Да се докаже, че:

а) точките \(M, A_{1}, B_{1}, C_{1}\) лежат на окръжност \(\omega_{1}\), а точките \(M, A_{2}, B_{2}\), \(C_{2}\) лежат на окръжност \(\omega_{2}\);

б) окръжностите \(\omega_{1}\) и \(\omega_{2}\) се допират до \(k\).

Решение. Ще разгледаме случая, когато \(k\) е елипса. Нека \(O x y\) е координатната система, по отношение на която елипсата \(k\) има канонично уравнение

(11) \[ \tfrac{x^{2}}{a^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, \]

където \(a\) и \(b\) са съответно голямата и малката полуос на \(k\).

Разглеждаме произволна точка \(M\) върху директрисата \(d_{1}\), която има следното уравнение:

(12) \(d_{1}: x=-\cfrac{a^{2}}{c}\) ,

а \(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\) е линейният ексцентрицитет на \(k\).

Обозначавайки с \(y_{M}\) ордината точки \(M\), от (12) следва, че координатното представяне на \(M\) е следното: \(M\left(-\tfrac{a^{2}}{c}, y_{M}\right)\). След това с \(C\) означаваме произволна точка измежду и \(C_{2}\), а с \(\omega\) обобщаваме окръжностите \(\omega_{1}\) и \(\omega_{2}\). Точката \(C\) в координати се представя така: \(C\left(x_{C}, y_{M}\right)\). От (11) се получава

(13) \[ x_{C}= \pm \tfrac{a}{b} \sqrt{b^{2}-y_{M}^{2}} \]

където знакът „− “ отговаря на точката \(C_{1}\), а знакът „ + “ отговаря на точката \(C_{2}\).

Означаваме с \(t\) допирателната за \(k\) в точката \(C\), а с \(n\)– правата, минаваща през \(C\) и перпендикулярна на \(t\). Известно е, че правата \(t\) има следното уравнение

(14) \[ t: \tfrac{x_{C}}{a^{2}} \cdot x+\tfrac{y_{C}}{b^{2}} \cdot y=1 \]

Оттук следва, че векторът \(\left(a^{2} y_{M},-b^{2} x_{C}\right)\) е перпендикулярен на правата \(n\). Така получаваме, че уравнението на \(n\) е следното:

(15) \[ n: a^{2} y_{M} x-b^{2} x_{C} y-c^{2} x_{C} y_{M}=0 \]

Сега намираме координатите на точката \(K=n \cap d_{1}\) от уравненията (12) и (15). Получаваме \(K\left(-\tfrac{\left(a^{4}+c^{3} x_{C}\right) y_{M}}{b^{2} c x_{C}},-\tfrac{a^{2}}{c}\right)\). Ще докажем, че окръжността, описана около правоъгълния триъгълник \(M C K\), е желаната окръжност \(\omega\). Центърът \(\Omega\left(x_{0}, y_{0}\right)\) на описаната окръжност за \(M C K\) е средата на отсечката \(C K\). Поради това \(x_{0}=\tfrac{x_{C}+x_{K}}{2}\) и \(y_{0}=\tfrac{y_{C}+y_{K}}{2}\). Следователно

(16) \[ x_{0}=\tfrac{c x_{C}-a^{2}}{2 c}, y_{0}=\tfrac{\left[c\left(b^{2}-c^{2}\right) x_{C}-a^{4}\right] y_{M}}{2 b^{2} c x_{C}} \]

Радиусът \(R_{o}\) на описаната окръжност за \(M C K\) е разстоянието между точките \(\Omega\) и \(K\). С помощта на (16) намираме, че

(17) \[ R_{0}^{2}=\tfrac{\left(a^{2}+c x_{C}\right)^{2}\left(b^{4} x_{C}^{2}+a^{4} y_{M}^{2}\right)}{4 b^{4} c^{2} x_{C}^{2}}=\tfrac{\left(a^{2}+c x_{C}\right)^{3}\left(a^{2}-c x_{C}\right)}{4 b^{2} c^{2} x_{C}^{2}} \]

Уравнението на търсената окръжност е \(\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=R_{0}^{2}\). Оттук и равенствата (16) и (17) намираме

(18) \[ \begin{aligned} & \omega: b^{2} c x_{C} x^{2}+b^{2} c x_{C} y^{2}+b^{2} x_{C}\left(a^{2}-c x_{C}\right) x+ \\ & \quad+\left[a^{4}+c\left(c^{2}-b^{2}\right) x_{C}\right] y_{M} y-\left[\left(a^{4}+c^{3} x_{C}\right) y_{M}^{2}+a^{2} b^{2} x_{C}^{2}\right]=0 \end{aligned} \]

Ако \(k\) и \(\omega\) се допират в точката \(C\), то правата \(t\) се явява тяхна обща допирателна. Ще докажем това, решавайки системата уравнения, образувана от (14) и (18). След някои несложни изчисления, в които се използва няколко пъти равенството (13) в представянията \(b^{2} x_{C}^{2}=a^{2}\left(b^{2}-y_{M}^{2}\right)\) и \(a^{2} y_{M}^{2}=b^{2}\left(a^{2}-x_{C}^{2}\right)\), намираме уравнението \(x^{2}-2 x_{C} x+x_{C}^{2}=0\), което има двоен корен \(x=x_{C}\). Следователно \(k\) и \(\omega\) се допират в точката \(C\). Така получихме едно доказателство, че \(k\) и \(\omega\) са допирателни, но от него не следва, че \(k\) и \(\omega\) имат само една обща точка. За да докажем това, решаваме системата, определена от уравненията (11) и (18). Уравнението (18) записваме така \[ \left[a^{4}+c\left(c^{2}-b^{2}\right) x_{C}\right]^{2} y_{M}^{2} y^{2}=\left[b^{2} c x_{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)+b^{2} x_{C}\left(a^{2}-c x_{C}\right) x-\left(a^{4}+c^{3} x_{C}\right) y_{M}^{2}-a^{2} b^{2} x_{C}^{2}\right] \]

Поставяме в това равенство \(y^{2}=\tfrac{a^{2}\left(b^{2}-x^{2}\right)}{b^{2}}, y_{M}^{2}=\tfrac{a^{2}\left(b^{2}-x_{C}^{2}\right)}{b^{2}}\) и \(b^{2}=a^{2}-c^{2}\). След някои преобразувания се получава следното уравнение: \(\left(x-x_{C}\right)^{2}\left\{c^{3} x_{C} \cdot x-\left[c\left(a^{2}-c^{2}\right) x_{C}-a^{4}\right] x_{C}-\sqrt{D}\right\}\left\{c^{3} x_{C} \cdot x-\left[c\left(a^{2}-c^{2}\right) x_{C}-a^{4}\right] x_{C}+\sqrt{D}\right\}\), където \(D=-a^{2}\left(a^{2}-x_{C}^{2}\right)\left(a^{2}-c x_{C}\right)\left[c\left(c^{2}-a^{2}\right) x_{C}+a^{4}\right]\).

Тъй като \(a^{2}-x_{C}^{2} \gt 0, a^{2}-c x_{C} \gt 0\) и \(c\left(2 c^{2}-a^{2}\right) x_{C}+a^{4}=2 c^{3} x_{C}+a^{2}\left(a^{2}-c x_{C}\right) \gt 0\), то \(D \lt 0\). Следователно последното уравнение има само един двоен реален корен. Това означава, че кривите \(k\) и \(\omega\) имат само една обща точка, в която те се допират.

Нека сега \(A\) и \(B\) са съответните втори пресечни точки на правите \(F_{1} C\) и

\(F_{2} C\) с \(\omega\). Уравненията на правите \(C F_{1}\) и \(C F_{2}\) са следните:

(19) \(\quad C F_{1}: y_{M} x-\left(x_{C}+c\right) y+c y_{M}=0, C F_{2}: y_{M} x-\left(x_{C}-c\right) y-c y_{M}=0\).

От \((18)\) и \((19)\) намираме координатите на точките \(A\) и \(B\) :

\[ \begin{aligned} & x_{A}=-\tfrac{c\left(c x_{C}+2 a^{2}\right)\left(c x_{C}-a^{2}\right) y_{M}^{2}+a^{2} b^{2}\left[\left(a^{2}+c^{2}\right) x_{C}+2 a^{2} c\right]}{b^{2} c x_{C}\left[\left(x_{C}+c\right)^{2}+y_{M}^{2}\right]} \\ & y_{A}=-\tfrac{\left[\left(a^{4}+c^{3} x_{C}\right) y_{M}^{2}-b^{4} x_{C}\left(x_{C}+c\right)\right] y_{M}}{b^{2} c x_{C}\left[\left(x_{C}+c\right)^{2}+y_{M}^{2}\right]} \\ & x_{B}=-\tfrac{c\left(c^{2} x_{C}^{2}-a^{2} c x_{C}+a^{4}\right) y_{M}^{2}+a^{2} b^{2}\left[\left(a^{2}+c^{2}\right) x_{C}-2 a^{2} c\right]}{b^{2} c x_{C}\left[\left(x_{C}-c\right)^{2}+y_{M}^{2}\right]} \\ & y_{B}=-\tfrac{\left[b^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right) x_{C}\left(x_{C}-c\right)+\left(a^{4}+c^{3} x_{C}\right) y_{M}^{2}\right] y_{M}}{b^{2} c x_{C}\left[\left(x_{C}-c\right)^{2}+y_{M}^{2}\right]} \end{aligned} \]

С помощта на тези координати получаваме следните разстояния:

(20) \[ C A=\tfrac{\left(a^{2}+c x_{C}\right)^{2}}{c x_{C} \sqrt{y_{M}^{2}+\left(x_{C}+c\right)^{2}}}, C B=\tfrac{\left(a^{2}+c x_{C}\right)\left(a^{2}-c x_{C}\right)}{c x_{C} \sqrt{y_{M}^{2}+\left(x_{C}-c\right)^{2}}} \]

Означаваме с \(M_{1}\) точката, симетрична на \(M\) относно оста \(O y\) (тя се намира върху директрисата \(d_{2}\) ). Изпълнени са равенствата \(C M=\tfrac{a^{2}+c x_{C}}{c}\), \(C M_{1}=\tfrac{a^{2}-c x_{C}}{c}, C L=x_{C}, C F_{1}=\sqrt{y_{M}^{2}+\left(x_{C}+c\right)^{2}}, C F_{2}=\sqrt{y_{M}^{2}+\left(x_{C}-c\right)^{2}}\), \(\tfrac{C F_{1}}{C M}=\tfrac{C F_{2}^{c}}{C M_{1}}=e\). Оттук и (20) следва \(C A=C B=\tfrac{c}{e} \cdot \tfrac{C M}{C L}\). С това нашето твърдение е доказано за елипси. Аналогично се получава доказателството и за хиперболи. В този случай радиусът на \(\omega\) се пресмята по формулата

(18′) \[ R_{0}^{2}=\tfrac{\left(c x_{C}+a^{2}\right)\left(c x_{C}-a^{2}\right)^{3}}{4 b^{2} c^{2} x_{C}^{2}} \]

В доказаното твърдение окръжностите \(\omega_{1}\) и \(\omega_{2}\) се допират до коничното сечение външно съответно в точките \(C_{1}\) и \(C_{2}\). Както при параболата е любопитно да се получат специални окръжности \(\omega^{\prime}\) и \(\omega^{\prime \prime}\) (ако съществуват), които се допират вътрешно до \(k\) съответно в точките \(C_{1}\) и \(C_{2}\). Отговор на този въпрос се съдържа в следващата задача.

Задача 4. Нека \(k\) е елипса или хипербола, \(F_{1}\) и \(F_{2}\) са фокусите на \(k\), а съответните им директриси са \(d_{1}\) и \(d_{2}\). Точката \(M\) лежи на правата \(d_{1}\), а правата \(l\) минава през \(M\) и е перпендикулярна на \(d_{1}\). Правата \(l\) пресича \(k\) в точките \(C_{1}\) и \(C_{2}\), така че \(C_{1}\) се намира между \(M\) и \(C_{2}\). Да се докаже, че:

а) окръжностите \(\omega^{\prime}\) и \(\omega^{\prime \prime}\), допиращи се до \(k\) вътрешно съответно в точките \(C_{1}\) и \(C_{2}\), центровете на които лежат на фокалната ос на \(k\), имат още по една точка на допиране с \(k\);

б) ако окръжността \(\omega^{\prime}\) пресича правите \(C_{1} F_{1}\) и \(C_{1} F_{2}\) за втори път съответно в точките \(A^{\prime}\) и \(\quad '\), а \(\omega^{\prime \prime}\) ги пресича за втори път съответно в точките \(A^{\prime \prime}\) и \(B^{\prime \prime}\), то \(C_{1} A^{\prime}=C_{1} B^{\prime}=C_{2} A^{\prime \prime}=C_{2} B^{\prime \prime}=\tfrac{2 b^{2} c}{e a^{2}}\).

Решение. Разглеждаме случая, когато \(k\) е елипса. Както в задача 3, обобщаваме окръжностите \(\omega^{\prime}\) и \(\omega^{\prime \prime}\) с \(w\). Нека \(W_{0}\) е пресечната точка на правите \(n\) (която е перпендикулярна на допирателната \(t\) и се явява симетрала на \(A B\) ) и фокалната ос на \(k\). Ще докажем, че \(W_{0}\) е център на \(w\), т.е. тя обобщава центровете \(\Omega_{0}^{\prime}\) и \(\Omega_{0}^{\prime \prime}\) съответно на окръжностите \(\omega^{\prime}\) и \(\omega^{\prime \prime}\). От (15) при \(y=0\) получаваме, че \(W_{0}\left(\tfrac{c^{2} x_{C}}{a^{2}}, 0\right)\). Ако \(r_{0}\) е разстоянието между точките \(W_{0}\) и \(C\), от координатите им следва

(21) \[ r_{0}^{2}=\tfrac{c^{2} y_{M}^{2}+b^{4}}{a^{2}}=\tfrac{b^{2}\left(a^{4}-c^{2} x_{C}^{2}\right)}{a^{4}} .0 \]

От ( 21) получим, че окръжността \(w\) с център \(w_0\) и радиус \(r_{0}\) има следното уравнение

От (11) и (22) получаваме \(\left(x-x_{C}\right)^{2}=0\). Следователно системата, образувана от уравненията (11) и (22), има две двукратни решения ( \(x_{C}, y_{M}\) ) и \(\left(x_{C},-y_{M}\right)\), те. \(w\) се допира до \(k\) в точките \(C\left(x_{C}, y_{M}\right)\) и \(C^{\prime}\left(x_{C},-y_{M}\right)\). По този начин установихме твърдение а).

От уравненията (19) и (22) намираме координатите на точките \(A^{\prime}=C F_{1} \cap w\) и \(B^{\prime}=C F_{2} \cap w\) ( \(A^{\prime} \neq C\) и \(B^{\prime} \neq C\) ) във вида:

\(x_{A^{\prime}}=\tfrac{2 c^{3} x_{C}^{2}+\left(2 c^{4}-a^{4}\right) x_{C}-2 a^{2} b^{2} c}{a^{2}\left[y_{M}^{2}+\left(x_{C}+c\right)^{2}\right]}, y_{A^{\prime}}=\tfrac{y_{M}\left[c^{2} x_{C}^{2}+2 c^{3} x_{C}+a^{2}\left(c^{2}-b^{2}\right)\right]}{a^{2}\left[y_{M}^{2}+\left(x_{C}+c\right)^{2}\right]}\), \(x_{B^{\prime}}=\tfrac{c^{2} x_{C}^{3}-2 c^{3} x_{C}^{2}+\left(2 c^{4}-a^{4}\right) x_{C}+2 a^{2} b^{2} c}{a^{2}\left[y_{M}^{2}+\left(x_{C}-c\right)^{2}\right]}, y_{B^{\prime}}=\tfrac{y_{M}\left(c^{2} x_{C}^{2}-2 c^{3} x_{C}+a^{4}\right)}{a^{2}\left[y_{M}^{2}+\left(x_{C}-c\right)^{2}\right]}\).

От тези координати се получават равенствата:

\(C A^{\prime}=\tfrac{2 b^{2}\left(c x_{C}-a^{2}\right)}{a^{2} \sqrt{y_{M}^{2}+\left(x_{C}+c\right)^{2}}}=\tfrac{2 b^{2} c \cdot C M}{a^{2} C F_{1}}=\tfrac{2 b^{2}}{e a}, C B^{\prime}=\tfrac{2 b^{2}\left(c x_{C}+a^{2}\right)}{a^{2} \sqrt{y_{M}^{2}+\left(x_{C}-c\right)^{2}}}=\tfrac{2 b^{2} c \cdot C M}{a^{2} C F_{2}}=\tfrac{2 b^{2} c}{e a^{2}}\).

С това твърденията на задачата са напълно доказани за елипси. Аналогично се получава доказателството и за хиперболи. В този случай радиусът на \(w\) се пресмята по формулата

(21′) \[ r_{0}^{2}=\tfrac{b^{2}\left(c^{2} x_{C}^{2}-a^{4}\right)}{a^{4}} . \]

От задача 4 б) следва изводът: разстоянията \(C_{1} A^{\prime}, C_{1} B^{\prime}, C_{2} A^{\prime \prime} u C_{2} B^{\prime \prime}\) не зависят от положението на точката \(M\) върху директрисата.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Martinov, N. (1989). Analytical geometry. Sofia: Nauka i izkustvo. [Мартинов, Н. (1989). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Modenov, P. (1969). Analytical geometry. Moscow: Moscow University Press. [Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Московского университета.]

Stanilov, G. (1979). Analytical geometry. Sofia: Nauka i izkustvo. [Станилов, Г. (1979). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]