Резюме. Във връзка с обобщението на една задача за определяне на геометрично място са получени два класа криви от степен \(n+1(n \in \mathbb{N})\) в равнината на даден триъгълник. Описани са общите точки на тези криви и два правилни многоъгълника, определени от пресечните точки на кривите и описаната около триъгълника окръжност.

Ключови думи: triangle; circle; hyperbola; regular polygon; curve of (n + 1 )-th degree

Ако \(P(x, y)\) е полином на две променливи \(x\) и \(y\), а координатите \((x, y)\) на точките \(M\) спрямо равнинна Декартова координатна система удовлетворяват уравнението \(P(x, y)=0\), се казва, че точките \(M\) принадлежат на алгебрична крива \(k\) от степен \(n=\operatorname{deg} P(x, y)\), а уравнението \(P(x, y)=0\) се нарича уравнение на алгебричната крива \(k\). Едни от най-популярните алгебрични криви се описват с уравнения от вида

(1)\[ a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 a_{13} x+2 a_{23} y+a_{33}=0 \]

Тези криви се наричат криви от втора степен. Кривите от втора степен притежават редица интересни свойства. Две специални криви от този вид са свързани с решението на следната

Задача 1. Дадени са триъгълник \(ABC\) и правите \(p_a \) и \(p_b\) , минаващи съответно през върховете \(A\) и \(B\) на \(\triangle A B C\). Ако \(P=p_{a} \cap p_{b}\) и \(∢ P A C=∢ C B P=\theta\), да се определи геометричното място на точката \(P\), когато \(p_{a}\) описва множеството на всички прави през върха \(A\) на \(\triangle A B C\).

Оказва се, че търсеното геометрично място се състои от две криви от втора степен, всяка от които зависи от ориентацията на \(∢ P A C=\theta\). Ще разгледаме поотделно двата случая.

1. Хипербола, определена от положителната ориентация на \(∢ P A C=\theta\). Нека при завъртане на правата \(p_{a}\) около \(A\) на ъгъл \(\theta\) в посока, обратна на часовниковата стрелка, се получава \(p_{a} \equiv A C\), а при завъртане на правата \(B C\) около \(B\) на ъгъл \(\theta\) в посока, обратна на часовниковата стрелка, се по-лучава \(B C \equiv p_{b}\). Въвеждаме означенията \(∢ C A B=\alpha\) и \(∢ C B A=\beta\). За эгъл \(\theta\) имаме две възможности: \(0 \leq \theta \leq \alpha\) (фиг. 1) и \(\pi-\alpha \leq \theta \leq \pi\) (фиг. 2). Ще разгледаме по-специално случая, при който \(0 \leq \theta \leq \alpha, \alpha \neq \tfrac{\pi}{2}\) и \(\beta \neq \tfrac{\pi}{2}\). Нека \(C D(D \in A B)\) е височината на \(\triangle A B C\) към \(A B\). Разглеждаме Декартова координатна система \(O x y\), спрямо която \(A(a, 0), B(b, 0)\) и \(C(0, c)\) (фиг. 1). Тогава \(∢ P A B=\alpha-\theta\), а ъгълът, който сключва правата \(B P\) с положителната посока на \(O x\), е \(\pi-(\beta-\theta)\). Оттук получаваме, че Декартовите уравнения на правите \(A P\) и \(B P\) са съответно

\[ A P: y=\operatorname{tg}(\alpha-\theta) \cdot x-\operatorname{tg}(\alpha-\theta) \cdot a, B P: y=-\operatorname{tg}(\beta-\theta) \cdot x+\operatorname{tg}(\beta-\theta) \cdot b . \] От тези уравнения намираме, че координатите \((x, y)\) на \(P\) се изразяват с равенствата

\[ x=\tfrac{\operatorname{tg}(\alpha-\theta) \cdot a+\operatorname{tg}(\beta-\theta) \cdot b}{\operatorname{tg}(\alpha-\theta)+\operatorname{tg}(\beta-\theta)}, y=\tfrac{(b-a) \operatorname{tg}(\alpha-\theta) \operatorname{tg}(\beta-\theta)}{\operatorname{tg}(\alpha-\theta)+\operatorname{tg}(\beta-\theta)} \]

От последните равенства намираме \(\operatorname{tg}(\alpha-\theta)=\tfrac{y}{x-a}, \operatorname{tg}(\beta-\theta)=-\tfrac{y}{x-b}\).

Тъй като \(\operatorname{tg}(\alpha-\theta)=\tfrac{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \theta}{1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \theta}, \operatorname{tg}(\beta-\theta)=\tfrac{\operatorname{tg} \beta-\operatorname{tg} \theta}{1+\operatorname{tg} \beta \operatorname{tg} \theta}, \operatorname{tg} \alpha=-\tfrac{c}{a} \quad\) и

\(\operatorname{tg} \beta=\tfrac{c}{b}\), то търсеното геометрично място е част от кривата от втора степен:

Ако \(\triangle A B C\) е равнобедрен, то \(a+b=0\) и от (2) следва, че \(\chi: x y=0\). В този случай търсеното геометрично място се състои от симетралата на основата \(A B\) (тя съвпада с \(C D\) ) и правата \(A B\). По-нататък, ако крива от втора степен е зададена с уравнение (1), то величините

\[ I_{1}=a_{11}+a_{22}, I_{2}=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right| \text { и } I_{3}=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{13} & a_{23} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| \] са инварианти на кривата. При \(a+b \neq 0\) за инвариантите на \(\quad \chi \quad\) от (2) имаме \(\quad I_{1}=0, \quad I_{2}=-\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right) \lt 0\), \(I_{3}=\tfrac{1}{4} c(a+b)(a-b)^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right) \neq 0\). Следователно \(\chi\) е хипербола. Така получихме, че когато \(0 \leq \theta \leq \alpha\), точката \(P\) описва част от хипербола \(\chi\) (фиг. 1). Лесно се вижда, че при \(\pi-\alpha \leq \theta \leq \pi\) координатите на \(P\) отново удовлетворяват уравнението (2). Това означава, че в този случай точката \(P\) описва останалата част от хиперболата \(\chi\) (фиг. 2). Така окончателно получаваме, че при \(C A \neq C B, \alpha \neq \tfrac{\pi}{2}\) и \(\beta \neq \tfrac{\pi}{2}\) точката \(P\) описва хиперболата \(\chi\), чието уравнение спрямо \(D x y\) е (2) (фиг. 3).

Сега да отбележим, че при \(\alpha=\tfrac{\pi}{2}\) имаме \(a=0\) и \(\operatorname{tg} \theta=\tfrac{x}{y}\). Оттук, както преди, намираме уравнението \(b x^{2}-2 c x y-b y^{2}-b^{2} x+c b y=0\), което се получава от (2) при \(a=0\) (фиг.4). Аналогично при \(\beta=\tfrac{\pi}{2}\) имаме \(b=0\) и \(\operatorname{tg} \theta=-\tfrac{x}{y}\), а уравнението на търсената крива е \(a x^{2}-2 c x y-a y^{2}-a^{2} x+a c y=0\), което се получава от (2) при \(b=0\) (фиг. 5).

Като вземем предвид последните особености, заключаваме, че когато ориентираният \(∢ P A C\) се изменя в положителна посока, търсеното геометрично място се състои от две перпендикулярни прави (когато \(C A=C B\) ) или хипербола \(\chi\) (когато \(C A \neq C B\) ) (фиг. 3).

2. Окръжност, определена от отрицателната ориентация на \(∢ P A C=\theta\). Нека при завъртане на правата \(l_{a}\) около \(A\) на ъгъл \(\theta\) по посока на часовниковата стрелка се получава \(l_{a} \equiv A C\), а при завъртане на правата \(B C\) около \(B\) на ъгъл \(\theta\) в посока, обратна на часовниковата стрелка, се получава \(B C \equiv p_{b}\). Лесно се вижда, че отсечката \(P C\) се вижда под еднакви ъгли. Това означава, че точката \(P\) описва дъга от описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). По-точно, когато \(0 \leq \theta \leq \pi-\alpha\), точката \(P\) описва дъгата \(\overparen{B C}\), съдъжаща \(A\) (фиг. 6), акогато \(\pi-\alpha \leq \theta \leq \pi\), точката \(P\) описвадъгата \(\overparen{B C}\), несъдъжаща \(A\) (фиг. 7). Следователно, когато ориентираният \(∢ P A C\) се изменя в отрицателна посока, търсеното геометрично място е описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) (фиг. 3).

3. Пълно решение на задача 1. Сега да се върнем към решението на задача 1. За всеки фиксиран ъгъл \(\theta=\theta_{0}\) съществува права \(p_{a}^{\prime}\), която след завъртане в положителна посока на ъгъл \(\theta_{0}\) около \(A\) ще съвпадне с правата \(A C\) (фиг. 3). Съществува и единствена права \(p_{a}^{\prime \prime}\), която при завъртане на ъгъл \(\theta_{0}\) по посока на часовниковата стрелка около \(A\) ще съвпадне с правата \(A C\) (фиг. 3). При завъртането си в положителна посока около \(A\) правата \(p_{a}\) заема положение \(p_{a}^{\prime}\), което сключва ъгъл \(\theta_{0}\) с правата \(A C\) и пресича \(p_{b}\) в точка \(P^{\prime}\). При завъртането си по посока на часовниковата стрелка около \(A\) правата \(p_{a}\) заема положение \(p_{a}^{\prime \prime}\), което сключва ъгъл \(\theta_{0}\) с правата \(A C\) и пресича \(p_{b}\) в точка \(P^{\prime \prime}\). Правите \(p_{a}^{\prime}\) и \(p_{a}^{\prime \prime}\) са симетрични спрямо правата \(A C\). Следователно при въртенето си около \(A\) в която и да е посока правата \(p_{a}\) заема две положения, които пресичат правата \(p_{b}\) в две точки \(P^{\prime}\) и \(P^{\prime \prime}\) (фиг. 3). Едната от тях описва хиперболата \(\chi\) (или двойката прави \(A B\) и \(C D\) ), а другата – описаната за \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) (фиг. 3). Така получаваме следния извод. Когато правата \(p_{\text {a }}\) описва снопа прави с център върха \(A\), точката \(P=p_{a} \cap p_{b}\) описва крива от четвърта степен, която се разпада на две криви от втора степен – хипербола и окръжност (фиг. 3).

4. Няколко свойства на хиперболата \(\chi\). Лесно се забелязва, че координатите на върховете \(A(a, 0), B(b, 0)\) и \(C(0, c)\) удовлетворяват уравнението (2). Следователно хиперболата \(\chi\) е описана за \(\triangle A B C\) (фиг. \(3,4,5)\). Освен това координатите на ортоцентъра \(H\left(0,-\tfrac{a b}{c}\right)\) на \(\triangle A B C\) също удовлетворяват (2), което означава, че ортоцентърът също е точка от \(\chi\) (фиг. \(3,4,5\) ). По-нататък лесно се забелязва, че средата \(M\) на страната \(A B\) е център на \(\chi\) (фиг. \(3,4,5\) ). Затова точката \(T\), която е симетрична на \(H\) спрямо \(M\), лежи върху \(\chi\). Известно е обаче, че точката \(T\) е симетрична на върха \(C\) спрямо центъра на описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). Следователно \(T\) е четвъртата обща точка на \(\chi\) и \(\Gamma\) (фиг. 3, 4, 5).

В (Nenkov, 2005) е показано, че когато една точка \(Q\) описва права в равнината на \(\triangle A B C\), точката \(P\), изогонално спрегната на \(Q\) спрямо \(\triangle A B C\), описва крива от втора степен, описана за \(\triangle A B C\). Обратно, ако \(P\) описва \(\chi\), то изогонално спрегнатата ѝ точка \(Q\) описва права. Тъй като \(\chi\) минава през ортоцентъра \(H\), то тази права минава през изогоналния ѝ образ \(O\) - център на описаната окръжност \(\Gamma\). Освен това изогоналният образ на правата \(C T\) е височината \(C D\). Следователно правата, която ни интересува, е успоредна на \(C D\). От намерените две свойства следва, че изогоналният образ на \(\chi\) е симетралата на страната \(A B\) (фиг. \(3,4,5\) ).

Да отбележим още, че след известни преобразувания на координатната система \(D x y\) уравнението (2) може да се приведе спрямо подходяща координатна система \(M X Y\) във вида \(\lambda_{1} X^{2}+\lambda_{2} Y^{2}+\tfrac{I_{3}}{I_{2}}=0\), където \(\lambda_{1}\) и \(\lambda_{2}\) са корените на уравнението \(\left|\begin{array}{cc}a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}-\lambda\end{array}\right|=0\). Корените на характеристичното уравнение са \(\lambda_{1,2}= \pm \sqrt{\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)}= \pm \sqrt{I_{2}}\). Следователно спрямо \(M X Y\) хиперболата \(\chi\) има уравнение \(X^{2}-Y^{2}=\tfrac{I_{3}}{-I_{2} \sqrt{-I_{2}}}\). Последното уравнение показва, че \(\chi\) е равнораменна хипербола. Освен това лесно се забелязва, че \(B C=b^{2}+c^{2}, A C=a^{2}+c^{2}, M D=\tfrac{|a+b|}{2}\) и \(S=\tfrac{(b-a) c}{2}(S\) е лицето на \(\triangle A B C\) ). Затова от получените по-рано изрази за \(I_{2}\) и \(I_{3}\) получаваме \(\tfrac{I_{3}}{-I_{2} \sqrt{-I_{2}}}= \pm \tfrac{A B \cdot M D}{B C \cdot A C} . S\). Следователно реалната и имагинерната полуос на \(\chi\) са равни на \(\sqrt{\tfrac{A B \cdot M D}{B C \cdot A C} \cdot S}\).

5. Геометрични места от по-висок порядък. Следващият етап от изследванията ни, свързани със задача 1, е извършването на едно нейно обобщение. Това обобщение е съдържанието на следващата

Задача 2. Дадени са триъгълник \(A B C\) и правите \(p_{a} u p_{b}\), минаващи съответно през върховете \(A\) и \(B\) на \(\triangle A B C\). Ако \(P=p_{a} \cap p_{b}, ∢ P A C=\theta\) и \(∢ C B P=n \theta\), да се определи геометричното място на точката \(P\), когато \(p_{a}\) описва множеството на всички прави през върха \(A\) на \(\triangle A B C\).

Разглеждаме геометричните фигури в комплексната равнина спрямо Гаусова координатна система, единичната окръжност на която е описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). Афиксите на точките, както обикновено, ще означаваме със съответните им малки букви.

Ако векторът \(\overrightarrow{A P}\) се завърти в положителна посока около \(A\) на ъгъл \(\theta\) и след това посоката му съвпадне с посоката на \(\overrightarrow{A C}\), то е изпълнено равенството \(\tfrac{p-a}{|p-a|} \cdot e^{i \theta}=\tfrac{c-a}{|c-a|}\). След повдигане на двете страни на последното равенство в квадрат и известни преобразувания получаваме

(3)\[ e^{i .2 \theta}=\tfrac{c(1-a \bar{p})}{p-a} \]

Аналогично при завъртане на \(\overrightarrow{A P}\) в отрицателна посока около \(A\) на ъгъл \(\theta\) и след това посоката му съвпадне с посоката на \(\overrightarrow{A C}\) се получава равенството

(4)\[ e^{-i .2 \theta}=\tfrac{p-a}{c(1-a \bar{p})} \]

По същия начин завъртането на \(\overrightarrow{B C}\) в положителна посока на ъгъл \(n \theta\), докато посоката му съвпадне с посоката на \(\overrightarrow{B P}\), води до равенството

(5)\[ e^{n(i .2 \theta)}=\tfrac{p-b}{c(1-b \bar{p})} \]

Сега от (3) и (5) получаваме равенството \(c^{n+1}(1-a \bar{p})^{n}(1-b \bar{p})=(p-a)^{n}(p-b)\). Следователно точката \(P\) принадлежи на крива \(k_{+}(n)\) от \((n+1)\)-ва степен с уравнение

(6)\[ k_{+}(n): c^{n+1}(1-a \bar{z})^{n}(1-b \bar{z})-(z-a)^{n}(z-b)=0 \]

(На фиг. 8 и 9 са показани съответно случаите, когато \(n=2\) и \(n=3\).)

Аналогично от (4) и (5) получаваме, че \(P\) принадлежи на крива \(k_{-}(n)\) от \((n+1)\)-ва степен с уравнение

(7)\[ k_{-}(n): c^{n-1}(1-a \bar{z})^{n}(z-b)-(z-a)^{n}(1-b \bar{z})=0 . \]

(На фиг. 10 и 11 са показани съответно случаите, когато \(n=2\) и \(n=3\) ).

От получените резултати следва: Когато правата \(p_{a}\) описва снопа прави с център върха \(A\), точката \(P=p_{a} \cap p_{b}\) описва крива \(k(n)=k_{+}(n+1) \cup k_{-}(n+1)\) от степен \(2 n+2\), която се разпада на две криви от \((n+1)\)-ва степен.

При \(n=1\) получаваме, че кривите \(k_{+}(1)\) и \(k_{-}(1)\) имат следните уравнения \(k_{+}(1): z^{2}-a b c^{2} \bar{z}^{2}-(a+b) z+c^{2}(a+b) \bar{z}+a b-c^{2}=0, k_{-}(1): z \bar{z}=1\).

Кривата \(k \_(1)\) съвпада с \(\Gamma\). Ако \(B C=A C\), изпълнено е равенството \(c^{2}=a b\), при което за кривата \(k_{+}(1)\) получаваме уравнението \((z+a b \bar{z}-a-b)(z-a b \bar{z})=0\). Първият множител съответства на правата \(A B\), а вторият - на симетралата на \(A B\). Така получаваме, че при \(B C=A C\) кривата \(k_{+}(1)\) се състои от две прави. Когато \(B C \neq A C\), т.е. \(c^{2} \neq a b, k_{+}(1)\) е хипербола (както е показано по-рано).

6. Някои свойства на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\). Оказва се, че намерените криви \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) притежават някои интересни свойства. За да определим някои от тях, в началото ще намерим пресечните точки на \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правите \(A B, A C\) и \(B C\). Уравненията на тези прави са следните:

\(A B: z+a b \bar{z}-a-b=0, A C: z+a c \bar{z}-a-c=0\) и \(B C: z+b c \bar{z}-b-c=0\).

От уравненията на \(k_{+}(n)\) и \(A B\) намираме, че общите им точки удовлетворяват условието

Ако за \(\triangle A B C\) не е изпълнено \(c^{n+1}-a b^{n}=0\), от равенството (8) следва, че кривата \(k_{+}(n)\) минава \(n\) пъти през върха \(A\) и един път през върха \(B\). Геометричният смисъл на равенството \(c^{n+1}-a b^{n}=0\) е следният. Ако точките \(A\) и \(B\) са фиксирани върху окръжността \(\Gamma\) с център \(O\), то върхът \(C\) на \(\triangle A B C\) се получава чрез завъртане на точката \(A\) около \(O\) в положителна посока на ъгъл, равен на \(\tfrac{n}{n+1} ∢ B O A\). Ако за \(\triangle A B C\) е изпълнено \(c^{n+1}-a b^{n}=0\), от равенството (8) следва, че за този специален триъгълник кривата \(k_{+}(n)\) се състои от правата \(A B\) и крива от \(n\)-та степен. В случая, в който \(n=2\), кривата \(k_{+}\)(2) се състои от правата \(A B\) и хипербола \(\chi_{0}\), минаваща през върховете \(A\) и \(C\) (фиг. 12). Хиперболата \(\chi_{0}\) има за център точката \(\Omega\), за която е изпълнено равенството \(\overline{\Omega B}: \overline{\Omega A}=-2\). Един от върховете на \(\chi_{0}\) е върхът \(A\) на \(\triangle A B C\), а върхът \(B\) е единият от фокусите на \(\chi_{0}\) (фиг. 12).

От уравненията на \(k(n)\) и \(A B\) намираме, че общите им точки удовлетворяват условието

(9)\[ \left(b^{n}-a c^{n-1}\right)(1-a \bar{z})^{n}(1-b \bar{z})=0 . \]

Ако за \(\triangle A B C\) не е изпълнено \(b^{n}-a c^{n-1}=0\), от равенството (9) следва, че кривата \(k_{-}(n)\) минава \(n\) пъти през върха \(A\) и един път през върха \(B\). Геометричният смисъл на равенството \(b^{n}-a c^{n-1}=0\) е следният. Ако точките \(A\) и \(B\) са фиксирани върху окръжността \(\Gamma\) с център \(O\), то върхът \(C\) на \(\triangle A B C\) се получава чрез завъртане на точката \(A\) около \(O\) в положителна посока на ъгъл, равен на \(\tfrac{n}{n-1} ∢ B O A\). Ако за \(\triangle A B C\) е изпълнено \(b^{n}-a c^{n-1}=0(n \geq 2)\), от равенството (9) следва, че за такъв специален триъгълник кривата \(k_{-}(n)\) се състои от правата \(A B\) и крива от \(n\)-та степен. В случая, в който \(n=2\), кривата \(k_{-}(n)\) се състои от правата \(A B\) и окръжност \(\Gamma_{0}\), минаваща през върховете \(A\) и \(C\) на \(\triangle A B C\) (фиг. 13). Освен това \(B A=B C\), което означава, че окръжността \(\Gamma_{0}\) има за център точката \(B\) (фиг. 12).

По-нататък от уравненията на \(k_{+}(n)\) и \(A C\) намираме, че общите им точки удовлетворяват условието \(c^{n}(a-b)(1-a \bar{z})^{n}(1-c \bar{z})=0\). Оттук се вижда, че \(k_{+}(n)\) минава \(n\) пъти през върха \(A\) и един път през върха \(C\). От уравненията на \(k_{-}(n)\) и \(A C\) намираме, че общите им точки удовлетворяват условието \(c^{n-1}(a-b)(1-a \bar{z})^{n}(1-c \bar{z})=0\). Следователно \(k_{-}(n)\) минава \(n\) пъти през върха \(A\) и един път през върха \(C\).

От получените дотук резултати стигаме до следните изводи.

1) Всяка от кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) минава през върха \(A\) по \(n\) пъти (фиг. 8 – 16).

2) Всяка от кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) минава през върховете \(B\) и \(C\) точно по един път (фиг. 8 – 16).

3) Съществуват специални триъгълници, при които кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) от \((n+1)\)-ва степен се разпадат на крива от \(n\)-та степен \(u\) правата \(A B\) (фиг. 12, 13).

Общите точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) и правата \(B C\) удовлетворяват равенството \((1-b \bar{z})\left[c^{n}(1-a \bar{z})^{n}-(b+c-a-b c \bar{z})^{n}\right]=0\). Това равенство показва, че двете криви \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) имат едни и същи общи точки с правата \(B C\). Първият множител потвърждава вече установения факт, че кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) минават през върха \(B\). След приравняване на нула на втория множител получаваме равенството \(\left[\tfrac{b+c-a-b a_{m}}{c\left(1-a a_{m}\right)}\right]^{n}=1\). Последното е уравнение на деление на единичната окръжност на \(n\) еднакви части. Затова афиксите \(a_{m}\) на пресечните точки \(A_{m}\) на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правата \(B C\) удовлетворяват равенството \(\tfrac{b+c-a-b c \bar{z}_{m}}{c\left(1-a \bar{z}_{m}\right)}=e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}\), където \(m=0,1, \ldots, n-1\). Оттук получаваме

(10)\(\bar{a}_{m}=\tfrac{c \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}+a-b-c}{a \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-b}, a_{m}=\tfrac{(a b-b c+c a) c \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-a b}{c\left(a \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-b\right)}\).

Сега да определим на какъв ъгъл \(\varphi\) трябва да се завърти правата \(A C\) около \(A\), така че да се получи правата \(A A_{m}\). За целта е необходимо да е изпълнено равенството \(\tfrac{c-a}{|c-a|} \cdot e^{-i . \varphi}=\tfrac{a_{m}-a}{\left|a_{m}-a\right|}\). След повдигане в квадрат имаме \(e^{-i .2 \varphi}=\tfrac{a_{m}-a}{c\left(1-a \bar{a}_{m}\right)}\). Оттук, като използваме \((10)\) , намираме \(e^{-i .2 \varphi}=e^{i . \tfrac{2 m \pi}{n}}\). Следователно \(\varphi=-\tfrac{m \pi}{n}(m=0,1, \ldots, n-1)\). Така стигаме до следния извод.

4) Ако правата \(l_{m}\) се получава чрез ротация на правата \(A C\) около точката \(A\) в отрицателна посока на ъгъл \(\tfrac{m \pi}{n}\), то \(A_{m}=l_{m} \cap B C(m=0,1, \ldots, n-1)\) (фиг. 8 – 16).

Получихме, че кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) имат общи точки върху правата \(B C\). Затова възниква въпросът за определяне на всички общи точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\). За да отговорим на този въпрос, решаваме системата уравнения, определена от (6) и (7). Получаваме, че общите точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) удовлетворяват равенството \((z+b \overline{c z}-b-c)(z-b c \bar{z}-b+c)^{+}=0\). Първият множител води към вече изучените общи точки на кривите с правата \(B C\). Вторият множител води към общите точки на кривите с правата \(\tau\), определена с уравнението \(z-b c \bar{z}-b+c=0\), която е перпендикулярна на \(B C\). Остава да опишем общите точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правата \(\tau\). Преди това обаче да отбележим, че правата \(\tau\) минава през разгледаната по-рано точка \(T\), която е симетрична на \(C\) спрямо центъра \(O\) на описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). При \(n=1\) установихме, че \(k_{+}(1)=\chi\) минава през точката \(T\). Затова е интересно да се установи дали това свойство се запазва за всяко \(n \geq 2\). Като заместим афикса \(t=-c\) на точката \(T\) в уравненията (6) и (7), стигаме до извода, че точката \(T\) принадлежи и на двете криви, когато е изпълнено равенството \((c+a)^{n}(b+c)\left[1+(-1)^{n}\right]=0\). Последното е изпълнено само когато \(n\) е нечетно число. Така получихме

5) Точката \(T\) принадлежи на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) тогава и само тогава, когато \(n\) е нечетно число (фиг. 9, 11, 15).

Когато \(n\) е четно, точката \(T\) притежава следното свойство.

6) Ако \(n\) е четно число, точките \(A, T\) и \(A_{n / 2}\) лежат на една права (фиг. 8, 10, 14, 16).

Сега преминаваме към определяне на общите точки на \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правата \(\tau\). След заместване на \(\bar{z}=\tfrac{z+c-b}{b c}\) в (6) (или (7)) получаваме \((z-b)\left[b^{n}(z-a)^{n}+(a b+b c-c a-a z)^{n}\right]=0\). Пѣрвият множител води до вече добре известната обща точка \(B\) на \(\tau\) с двете криви. Вторият множител води до две възможности: \(\left[\tfrac{b(z-a)}{a z-b c+c a-a b}\right]^{n}=1\) при нечетно \(n\) и \(\left[\tfrac{b(z-a)}{a z-b c+c a-a b}\right]^{n}=-1\) при четно \(n\). Затова афиксите \(w_{m}\) на пресечните точки \(W_{m}\) на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с правата \(\tau\) удовлетворяват едно от равенствата \(\tfrac{b\left(w_{m}-a\right)}{a_{m}-b c+c a-a b}=e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}\) (нечетно \(n\) ) или \(\tfrac{b\left(w_{m}-a\right)}{a_{m}-b c+c a-a b}=e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}\) (четно \(n\) ), където \(m=0,1, \ldots, n-1\). Оттук получаваме

\[ \begin{aligned} & w_{m}=\tfrac{(b c-c a+a b) c \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-a b}{a \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-b}, \bar{w}_{m}=\tfrac{c \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-a+b-c}{c\left(a \cdot e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n}}-b\right)}(\text { нечетно } n), \\ & w_{m}=\tfrac{(b c-c a+a b) c \cdot e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}-a b}{a \cdot e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}-b}, \bar{w}_{m}=\tfrac{c \cdot e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}-a+b-c}{c\left(a \cdot e^{i \cdot \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}-b\right)}(\text { четно } n) . \end{aligned} \]

Сега да определим на какъв ъгъл \(\psi\) трябва да се завърти правата \(A C\) около \(A\), така че да се получи правата \(A W_{m}\). За целта е необходимо да е изпълнено равенството \(\tfrac{c-a}{|c-a|} \cdot e^{-i . \psi}=\tfrac{w_{m}-a}{\left|w_{m}-a\right|}\). Оттук, като използваме горните равенства, намираме \(e^{i .2 ψ}=-e^{i . \tfrac{2 m \pi}{n}}=e^{i .\left(\tfrac{2 m \pi}{n}+\pi\right)}\) (нечетно \(n\) ) и \(e^{i .2 \psi}=-e^{i . \tfrac{(2 m+1) \pi}{n}}=e^{i .\left(\tfrac{(2 m+1) \pi}{n}+\pi\right)}\) (четно \(n\) ). Следователно \(\psi=\tfrac{m \pi}{n}+\tfrac{\pi}{2}\) (нечетно \(n)\) и \(\psi=\tfrac{(2 m+1) \pi}{2 n}+\tfrac{\pi}{2}(\) четно \(n)(m=0,1, \ldots, n-1)\). Така стигаме до следните изводи.

7) Ако \(n\) е нечетно и правата \(q_{m}\) се получава чрез ротация на правата \(A C\) около точката \(A\) в положителна посока на ъгъл \(\tfrac{m \pi}{n}+\tfrac{\pi}{2}\), то \(W_{m}=q_{m} \cap \tau(m=0,1, \ldots, n-1)(\) фиг. 9, 11, 15).

8) Ако \(n\) е четно и правата \(q_{m}\) се получава чрез ротация на правата AC около точката \(A\) в положителна посока на ъгъл \(\tfrac{(2 m+1) \pi}{2 n}+\tfrac{\pi}{2}\), то \(W_{m}=q_{m} \cap \tau(m=0,1, \ldots, n-1)\) (фиг. 8, 10, 14, 16).

От всички изследвания следва, че общите точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) са \(A, A_{0} \equiv C, A_{1}, \ldots, A_{n-1}, B, W_{0}(\equiv T), W_{1}, \ldots, W_{n-1}\). Следователно кривите имат \(2 n+2\) общи точки.

В свойство 5) установихме, че точката \(T\) от описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) принадлежи на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\). Върховете \(A, B\) и \(C\) също са общи точки на тези криви с \(\Gamma\). Затова е любопитно да се определят всички общи точки на кривите \(k_{+}(n)\) и \(k_{-}(n)\) с окръжността \(\Gamma\). От \(z \bar{z}=1\) и (6) получаваме, че общите точки на \(k_{+}(n)\) и \(\Gamma\) удовлетворяват равенството \((z-a)^{n}(z-b)\left(z^{n+1}-c^{n+1}\right)=0\). Първите два множителя водят до вече известните решения. Остава да разгледаме уравнението \(z^{n+1}-c^{n+1}=0\). Това уравнение записваме във вида \(\left(\tfrac{z}{c}\right)^{n+1}=1\). Последното е уравнение на деление на окръжността на \(n+1\) равни части. Следователно неговите решения са \(u_{m}=c . e^{i . \tfrac{2 m \pi}{n+1}}\), които са върхове на правилен \(n+1\)-ъгълник, един от върховете на който е точката \(C\). Аналогично се намират общите точки \(v_{m}=c . e^{i \cdot \tfrac{2 m \pi}{n-1}}\) на \(k_{-}(n)\) и \(\Gamma\), които са върхове на правилен \(n-1\) ъгълник, един от върховете на който е \(C\). Така установихме следното:

9) Общите точки на \(k_{+}(n)\) с \(\Gamma\) са \(A, B\) и върховете на правилен \(n+1\) ъгълник, един от върховете на който е точката \(C\) (фиг. 8, 9, 14, 15, 16).

10) Общите точки на \(k_{-}(n)\) с \(\Gamma\) са \(A, B\) и върховете на правилен \(n-1\) ъгълник, един от върховете на който е точката \(C\) (фиг. 14, 15, 16).

Накрая ще добавим още две свойства, свързани с точката \(T\).

11) Ако \(n\) е нечетно число, правилните многоъгълници имат общ връх в точката \(T\), който е противоположен на \(C\) (фиг. 15).

12) Ако \(n\) е четно число, правилните многоъгълници имат страни, които са успоредни на допирателната към \(\Gamma\) в точката \(T\) (фиг. 14, 16).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Balk, M., G. Balk & A. Poluhin (1988). Real applications of imaginary numbers. Kiev: Radjanskaja Shkola. [Балк, М., Г. Балк & А. Полухин (1988). Реальные применения мнимых чисел. Киев: Радянськая школа.]

Grozdev, S. V. & Nenkov (2012). About the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Archimedes. [Гроздев, С. & В. Ненков (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед.]

Martinov, N. (1989). Analytical Geometry. Sofia: Nauka I Izkustvo. [Мартинов, Н. (1989). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Modenov, P. (1969). Analytical Geometry. Moscow: Moscow University. [Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Московский университет.]

Nenkov, V. (2005). Some loci in the plane of a triangle, Мathematics Plus, 1, 53 – 59 (ISSN 0861-8321). [Ненков, В. (2005). Някои геометрични места в равнината на триъгълника, Математика плюс, 1, 53 – 59 (ISSN 0861-8321).]

Stanilov, G. (1979). Analytical Geometry. Sofia: Nauka I Izkustvo. [Станилов, Г. (1979). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-921391-1).

Sergeeva, T., M. Shabanova, & S. Grozdev (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU (in Russian). [Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.]