Образователни технологии
ОТНОСНО ПОЛИНОМИТЕ С КОРЕНИ ВЪВ ВЪРХОВЕТЕ НА ЕДИН КЛАС ИЗПЪКНАЛИ ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ
Резюме. Изведена е геометрична връзка между корените на полиноми на комплексна променлива с кратни корени във върховете на изпъкнал четириъгълник и корените на съответните им производни. Накрая, като приложение са разгледани някои полиноми на реална променлива с реални коефициенти.
Ключови думи: полином; производна на полином; корени на полином; изпъкнал четириъгълник; елипса; фокус
В (Grozdev & Nenkov, 2019) е описана една геометрична връзка между полиномите, корените на които се намират във върховете на успоредник, и корените на съответните им производни. Тази геометрична връзка съдържа фокусите на подходяща елипса, вписана в разглеждания успоредник. От друга страна, във всеки изпъкнал четириъгълник могат да се впишат безкраен брой елипси. Така възниква въпросът за съществуване на връзка между някои от тези елипси и производните на полиномите, които имат корени само във върховете на даден четириъгълник. Целта на този материал изложение е да се покаже как изглежда една такава връзка между някои полиноми с корени във върховете на изпъкнал четириъгълник, съответните им производни и подходящо подбрани елипси, вписани в разглеждания четириъгълник.
Преди да преминем към излагане на основното съдържание на разглежданата тема, ще отбележим две помощни твърдения.
Лема 1. Ако корените на два полинома от една и съща степен образуват подобни геометрични фигури, то и корените на техните производни образуват подобни геометрични фигури.
Доказателството на тази лема се съдържа в (Grozdev & Nenkov, 2018 a). От лема 1 следва, че от всички полиноми, принадлежащи на клас от полиноми с еднаква геометрия, е достатъчно да се изследва само някой нормиран полином, за да се определи геометрията на класа, определен от производните на полиномите от разглеждания клас.
Лема 2. Ако \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{s}\) са корени на полином \(P(z)\) от \(n\)-та степен, така че \(a_{j}\) e \(k_{j}(j=1,2, \ldots, s)\) кратен корен на \(P(z) u k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{s}=n\), то коефициентът пред първата степен на променливата \(z\) е равен на
\[ a_{1}^{k_{1}-1} a_{2}^{k_{2}-1} \ldots a_{s}^{k_{s}-1}\left(k_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{s}+k_{2} a_{3} \ldots a_{s} a_{1}+\cdots+k_{s} a_{1} a_{2} \ldots a_{s-1}\right) . \]
Доказателството на тази лема се съдържа в (Grozdev & Nenkov, 2018 b).
Основният резултат, който ще докажем, се съдържа в следващата теорема.
Теорема. Нека \(k_{j}(j=1,2,3,4)\) са естествени числа \(u k\) е елипса, вписана в изпъкналия четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), така че за допирните точки \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) на \(k\) съответно с отсечките \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}\) и \(A_{4} A_{1}\) са изпълнени равенствата:
(1) \(\overline{A_{1} P_{1}}: \overline{A_{2} P_{1}}=-k_{1}: k_{2}, \overline{A_{2} P_{2}}: \overline{A_{3} P_{2}}=-k_{2}: k_{3}, \overline{A_{3} P_{3}}: \overline{A_{4} P_{3}}=-k_{3}: k_{4}, \overline{A_{4} P_{4}}: \overline{A_{1} P_{4}}=-k_{4}: k_{1} .\)
Ако един полином \(P(z)\) от степен \(n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти има \(k_{j}\) кратен корен във върха \(A_{j}\) \((j=1,2,3,4)\) на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), то производната на \(P(z)\) има корени в точката \(P_{0}=A_{1} A_{3} \cap A_{2} A_{4}\) и във фокусите на елипсата \(k\).
Нека елипсата \(k\) има за фокус точката \(O\), фокален параметър \(p\) и числен ексцентрицитет \(e\). Спрямо Гаусовата координатна система \(K_{0}\) от фиг. 1, както е показано в (Nenkov, 1998), афиксите \(p_{j}\) и \(a_{j}\) на точките \(P_{j}\) и \(A_{j}\) \((j=1,2,3,4)\) се изразяват съответно с формулите
(2)\[ p_{1}=\tfrac{2 p}{e . t_{1}^{2}+2 t_{1}+e}, p_{2}=\tfrac{2 p}{e . t_{2}^{2}+2 t_{2}+e}, p_{3}=\tfrac{2 p}{e . t_{3}^{2}+2 t_{3}+e}, p_{4}=\tfrac{2 p}{e . t_{4}^{2}+2 t_{4}+e} . \]
(3)\[ a_{1}=\tfrac{2 p}{e t_{4} t_{1}+t_{4}+t_{1}+e}, a_{2}=\tfrac{2 p}{e t_{1} t_{2}+t_{1}+t_{2}+e}, a_{3}=\tfrac{2 p}{e t_{2} t_{3}+t_{2}+t_{3}+e}, a_{4}=\tfrac{2 p}{e t_{3} t_{4}+t_{3}+t_{4}+e}, \]
където \(\left|t_{1}\right|=\left|t_{2}\right|=\left|t_{3}\right|=\left|t_{4}\right|=1\).
Фигура 1
Сега ще намерим зависимости между разглежданите величини, така че да бъдат изпълнени равенствата (1) . Тъй като простото отношение на произволни три точки \(A_{k}, A_{l}\) и \(P_{j}\) от една права се изразява с равенството \(\tfrac{\overline{A_{k} P_{j}}}{\overline{A_{l} P_{j}}}=\tfrac{a_{k}-p_{j}}{a_{l}-p_{j}}\), от (2) и (3) след не сложни пресмятания се получават равенствата
(4)\[ \tfrac{\overline{A_{1} P_{1}}}{\overline{A_{2} P_{1}}}=\tfrac{t_{4}-t_{1}}{t_{2}-t_{1}} \cdot \tfrac{a_{1}}{a_{2}}, \tfrac{\overline{A_{2} P_{2}}}{\overline{A_{3} P_{2}}}=\tfrac{t_{1}-t_{2}}{t_{3}-t_{2}} \cdot \tfrac{a_{2}}{a_{3}}, \tfrac{\overline{A_{3} P_{3}}}{\overline{A_{4} P_{3}}}=\tfrac{t_{2}-t_{3}}{t_{4}-t_{3}} \cdot \tfrac{a_{3}}{a_{4}}, \tfrac{\overline{A_{4} P_{4}}}{\overline{A_{1} P_{4}}}=\tfrac{t_{3}-t_{4}}{t_{1}-t_{4}} \cdot \tfrac{a_{4}}{a_{1}} . \]
От равенствата (4) получаваме
(5)\[ a_{2}=-\tfrac{k_{2}}{k_{1}} \cdot \tfrac{t_{4}-t_{1}}{t_{2}-t_{1}} \cdot a_{1}, a_{3}=-\tfrac{k_{3}}{k_{1}} \cdot \tfrac{t_{4}-t_{1}}{t_{3}-t_{2}} \cdot a_{1}, a_{4}=-\tfrac{k_{4}}{k_{1}} \cdot \tfrac{t_{4}-t_{1}}{t_{4}-t_{3}} \cdot a_{1} . \]
От равенствата (5) следва
(6)\[ k_{1} a_{2} a_{3} a_{4}+k_{2} a_{3} a_{4} a_{1}+k_{3} a_{4} a_{1} a_{2}+k_{4} a_{1} a_{2} a_{3}=0 \]
Сега да разгледаме нормирания полином \(P_{0}(z)\) от степен \(n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти, който има \(k_{j}\) кратен корен във върха \(A_{j}(j=1,2,3,4)\) на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). От лема 2 и равенството (6) следва, че коефициентът пред \(z\) има стойност, равна на 0 . Затова производната \(P_{0}^{\prime}(z)\) има корен \(z=0\). Това всъщност на геометричен език означава, че \(P_{0}^{\prime}(z)\) има корен във фокуса \(O\) на елипсата \(k\). Следователно според лема 1 и бележката към нея се получава, че производната \(P^{\prime}(z)\) на произволен полином \(P(z)\) със свойствата на \(P_{0}(z)\) има корен в точката \(O\).
Аналогично, ако разгледаме координатна система с център в другия фокус \(F\) на \(k\), получаваме, че \(P^{\prime}(z)\) има корен и в точката \(F\). По този начин доказахме частта от теоремата, отнасяща се до елипсата \(k\).
Остава да докажем теоремата за точката \(P_{0}\). Нека нормираният полином \(P_{0}(z)\) се представя във вида:
\[ P(z)=\left(z-a_{1}\right)^{k_{1}}\left(z-a_{2}\right)^{k_{2}}\left(z-a_{3}\right)^{k_{3}}\left(z-a_{4}\right)^{k_{4}} . \]
Тогава за неговата производна имаме
\[ P^{\prime}(z)=\left(z-a_{1}\right)^{k_{1}-1}\left(z-a_{2}\right)^{k_{2}-1}\left(z-a_{3}\right)^{k_{3}-1}\left(z-a_{4}\right)^{k_{4}-1} \cdot U(z) \] където
(7)\[ \begin{aligned} & U(z)=k_{1}\left(z-a_{2}\right)\left(z-a_{3}\right)\left(z-a_{4}\right)+k_{2}\left(z-a_{3}\right)\left(z-a_{4}\right)\left(z-a_{1}\right)+ \\ & +k_{3}\left(z-a_{4}\right)\left(z-a_{1}\right)\left(z-a_{2}\right)+k_{4}\left(z-a_{1}\right)\left(z-a_{2}\right)\left(z-a_{3}\right) \end{aligned} \]
Тъй като \(\quad \overline{A_{3} P_{0}}: \overline{A_{1} P_{0}}=-k_{3}: k_{1} \quad\) и \(\quad \overline{A_{4} P_{0}}: \overline{A_{2} P_{0}}=-k_{4}: k_{2}, \quad\) то \(\overrightarrow{O P_{0}}=\tfrac{k_{3} \overrightarrow{O A_{1}}+k_{1} \overrightarrow{O A_{3}}}{k_{3}+k_{1}}\) и \(\overrightarrow{O P_{0}}=\tfrac{k_{4} \overrightarrow{O A_{2}}+k_{2} \overrightarrow{O A_{4}}}{k_{4}+k_{2}}\). Като използваме (5) за афикса на \(p_{0}\) получаваме следващите две равенства:
(8)\[ p_{0}=\tfrac{k_{3}\left(t_{1}-t_{2}+t_{3}-t_{4}\right)}{\left(t_{3}-t_{2}\right)\left(k_{3}+k_{1}\right)} a_{1}, p_{0}=\tfrac{k_{2} k_{4}\left(t_{4}-t_{1}\right)\left(t_{1}-t_{2}+t_{3}-t_{4}\right)}{k_{1}\left(t_{1}-t_{2}\right)\left(t_{3}-t_{4}\right)\left(k_{2}+k_{4}\right)} a_{1} . \]
Като приравним стойностите на \(p_{0}\) от \((8)\), получаваме зависимостта
(9)\[ \begin{aligned} & \left(k_{1} k_{2} k_{3}+k_{2} k_{3} k_{4}+k_{3} k_{4} k_{1}+k_{4} k_{1} k_{2}\right)\left(t_{3} t_{1}+t_{4} t_{2}\right)= \\ & =k_{3} k_{1}\left(k_{4}+k_{2}\right)\left(t_{2} t_{3}+t_{4} t_{1}\right)+k_{4} k_{2}\left(k_{3}+k_{1}\right)\left(t_{1} t_{2}+t_{3} t_{4}\right) \end{aligned} \]
От (7) и (8) имаме
\[ \begin{aligned} & U\left(p_{0}\right)=\tfrac{k_{3}\left[k_{1}\left(t_{2}-t_{3}\right)-k_{3}\left(t_{4}-t_{1}\right)\right]^{2}\left(t_{1}-t_{2}+t_{3}-t_{4}\right) a_{1}^{3}}{k_{1}^{2}\left(k_{3}+k_{1}\right)^{3}\left(t_{1}-t_{2}\right)\left(t_{2}-t_{3}\right)^{3}\left(t_{3}-t_{4}\right)} \times \\ & \times\left[\left(k_{1} k_{2} k_{3}+k_{2} k_{3} k_{4}+k_{3} k_{4} k_{1}+k_{4} k_{1} k_{2}\right)\left(t_{3} t_{1}+t_{4} t_{2}\right)-\right. \\ & \left.-k_{3} k_{1}\left(k_{4}+k_{2}\right)\left(t_{2} t_{3}+t_{4} t_{1}\right)+k_{4} k_{2}\left(k_{3}+k_{1}\right)\left(t_{1} t_{2}+t_{3} t_{4}\right)\right] \end{aligned} \]
Оттук и равенството \((9)\) следва, че \(U\left(p_{0}\right)=0\), което означава, че \(p_{0}\) е корен на \(P_{0}^{\prime}(z)\). С това е доказано твърдението на теоремата и за пресечната точка на диагоналите на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\).
Полиномът \(P^{\prime}(z)\) има \(k_{j}-1\) кратен корен във върха \(A_{j}(j=1,2,3,4)\) ( (Genov, Mihovski & Mollov, 1991), а останалите три корена се описват от току-що доказаната теорема. По този начин получаваме пълна геометрична картина на корените на \(P^{\prime}(z)\).
Доказаната теорема е обобщение на съответния резултат за успоредници, описан в (Grozdev & Nenkov, 2019).
Фигура 2
Ако \(P(z)=P(x)\) е полином с реални коефициенти на реална променлива, можем да представим някои геометрични интерпретации на доказаната теорема. На фиг. 2 е представен полином \(P(x)\) с корени във върховете на трапец, симетричен относно абсцисната ос. Той има трикратни комплексно спрегнати корени в точките \(A_{1}\) и \(A_{4}\) и двукратни комплексно спрегнати корени в точките \(A_{2}\) и \(A_{3}\). На фиг. 3 3 е представен полином \(P(x)\) с корени във върховете на делтоид, симетричен относно абсцисната ос. Той има двукратен реален корен в точката \(A_{1}\), прост реален корен в точката \(A_{3}\) и трикратни комплексно спрегнати корени в точките \(A_{2}\) и \(A_{4}\).
Фигура 3
ЛИТЕРАТУРА
Ненков, В. (1998). Конични сечения, вписани в триъгълник, Математика и информатика, 5, 54 – 59
Гроздев, С. & В. Ненков. (2018 a). Полиноми от четвърта степен с корени във върховете на успоредник, Математика и информатика, 3, 283 – 293.
Гроздев, С. & В. Ненков. (2018 b). Полиноми с кратни корени във върховете на триъгълник, Математика и информатика, 4, 352 – 359.
Гроздев, С. & В. Ненков. (2019). Полиноми с кратни корени във върховете на правоъгълник, Математика и информатика, 4, 2019, \(435-443\).
REFERENCES
Nenkov, V. (1998). Conic sections, inscribed in a triangle, Mathematics and informatics, 5 , 54 – 59.
Grozdev, S. & V. Nenkov. (2018 a). Polynomials of fourth degree with roots in the vertices of a parallelogram, Mathematics and informatics, 3, 283 – 293.
Grozdev, S. & V. Nenkov. (2018 b). Polynomials with multiple roots in the vertices of a triangle, Mathematics and informatics, 4, 352 – 359.
Grozdev, S. & V. Nenkov. (2019). Polynomials with multiple roots in the
vertices of a parallelogram, Mathematics and informatics, 4, 435 – 443.