Резюме. Разгледано е едно обобщение на равностранните триъгълници, зависещо от описана около триъгълник елипса. Като следствие от конструкцията на тези триъгълници е получено обобщение на точките на Ферма в равнината на даден триъгълник.

Ключови думи: триъгълник; елипса; точки на Ферма

Две от забележителните точки на триъгълника са така наречените точки на Ферма. Тези точки се получават чрез построяване на равностранни триъгълници върху страните на триъгълника. Любопитно е да се открият триъгълници, които обобщават равностранните, така че от тези триъгълници по естествен начин да се получи обобщение и на точките на Ферма. Тук ще покажем един начин да се направи това с помощта на описаните около даден триъгълник \(A B C\) елипси. За да обосновем получените резултати, ще използваме барицентрични координати спрямо \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\). Средите на страните \(B C, C A\) и \(A B\) ще означаваме съответно с \(M_{a}, M_{b}\), , и \(M_{c}\).

1. Псевдоравностранни триъгълници, определени от описаните около даден триъгълник елипси. Върху всяка от страните на даден триъгълник \(A B C\) могат да се построят по два равностранни триъгълника. Ако приемем, че съществуването на тези триъгълници зависи от описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\), то следва да си поставим въпроса за съществуването на единствени двойки триъгълници върху страните на триъгълника с подобни свойства и определени от произволно описано около \(\triangle A B C\) конично сечение. За да открием тези двойки триъгълници, ще направим анализ на някои връзки на равностранните триъгълници с \(\Gamma\).

Нека около \(\triangle A B C\) е описано конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\). Тогава уравнението на \(\bar{k}(O)\) е следното

Третите върхове на построените върху страната \(B C\) равностранни триъгълници означаваме с \(A_{0}^{\prime}\) и \(A_{0}^{\prime \prime}\). Първото, което прави впечатление, е, че точките \(A_{0}^{\prime}\) и \(A_{0}^{\prime \prime}\) лежат върху симетралата на отсечката \(B C\), която е диаметър на \(\Gamma\) през точката \(\underline{M}_{a}\) (фиг. 1). Затова търсим такива точки \(A_{0}^{\prime}\) и \(A_{0}^{\prime \prime}\) върху диаметъра \(O M_{a}\) на \(\bar{k}(O)\) (фиг. 2). Друго основно свойство на равностранните триъгълници се състои в това, че медицентровете им лежат върху прави, които са перпендикулярни на страните им. Това означава, че тези прави са спрегнати със съответните страни спрямо \(\Gamma\) и минават през техните среди (фиг. 1). От последното наблюдение следва, че точката \(A_{0}^{\prime}\) можем да търсим така, че правата, минаваща през медицентъра \(G_{a}^{\prime}\) на \(B C A_{0}^{\prime}\), да минава през средата на отсечката \(C A_{0}^{\prime}\) и същевременно да е спрегната с \(C A_{0}^{\prime}\) спрямо \(\bar{k}(O)\) (аналогично за построението на \(A_{0}^{\prime \prime}\) ) (фиг. 2). Тези две наблюдения са напълно достатъчни за построяване на точките \(A_{0}^{\prime}\) и \(A_{0}^{\prime \prime}\). Това ще обосновем със следващите аналитични разсъждения.

Правата \(O M_{a}\) има следните параметрични уравнения

\[ x=-2 x_{0} t, y=\tfrac{1}{2}+\left(1-2 y_{0}\right) t, z=\tfrac{1}{2}+\left(1-2 z_{0}\right) t . \]

С \(A_{0}\) означаваме една от точките \(A_{0}^{\prime}\) и \(A_{0}^{\prime \prime}\). Тъй като \(A_{0}\) лежи върху правата \(O M\), тя се получава при стойност на параметьра \(t_{0}\) (фиг.2). Следователно координатитена \(A_{0}\) са: \(x_{A_{0}}=-2 x_{0} t_{0}, y_{A_{0}}=\tfrac{1}{2}+\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}, z_{A_{0}}=\tfrac{1}{2}+\left(1-2 z_{0}\right) t_{0}\). Оттук намираме, че медицентърът на \(\triangle B C A_{0}\) има следното координатно представяне \(G_{a}\left(-\tfrac{2 x_{0} t_{0}}{3}, \tfrac{3+2\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}}{6}, \tfrac{3+2\left(1-2 z_{0}\right) t_{0}}{6}\right)\) (фиг. 2).

По-нататък ще определим права, която минава през средата на отсечката \(C A_{0}\) и е спрегната с правата \(C A_{0}\) спрямо \(\bar{k}(O)\) (фиг. 2). Един вектор \(\overrightarrow{u}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\), колинеарен с правата \(C A_{0}\), има следните координати \(u_{1}=-4 x_{0} t_{0}\), \(u_{2}=1+2\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}, u_{3}=-1+2\left(1-2 z_{0}\right) t_{0}\).

В (Grozdev \& Nenkov, 2015) е доказано, че ако в равнината на \(\triangle A B C\) е дадена крива с уравнение \(k: a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{23} y z+2 a_{31} z x=0\), то векторът \(\overrightarrow{v}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)\) е спрегнат на \(\overrightarrow{u}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\), когато са изпълнени равенствата

\[ \begin{aligned} & v_{1}=\left(a_{12}-a_{13}\right) u_{1}+\left(a_{22}-a_{23}\right) u_{2}+\left(a_{32}-a_{33}\right) u_{3} \\ & v_{2}=\left(a_{13}-a_{11}\right) u_{1}+\left(a_{23}-a_{21}\right) u_{2}+\left(a_{33}-a_{31}\right) u_{3} \\ & v_{3}=\left(a_{11}-a_{12}\right) u_{1}+\left(a_{21}-a_{22}\right) u_{2}+\left(a_{33}-a_{32}\right) u_{3} . \end{aligned} \]

Когато уравнението е \((1)\), са изпълнени равенствата:

\[ \begin{aligned} & v_{1}=\left(1-2 x_{0}\right)\left[\left(y_{0}-z_{0}\right) u_{1}-x_{0} u_{2}+x_{0} u_{3}\right] \\ & v_{2}=\left(1-2 y_{0}\right)\left[y_{0} u_{1}+\left(z_{0}-x_{0}\right) u_{2}-y_{0} u_{3}\right] \\ & v_{3}=\left(1-2 z_{0}\right)\left[-z_{0} u_{1}+z_{0} u_{2}+\left(x_{0}-y_{0}\right) u_{3}\right] \end{aligned} \]

Следователно векторът \(\overrightarrow{v}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)\), който е спрегнат с \(C A_{0}\), има следните координати

\[ \begin{aligned} & v_{1}=-2\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \\ & v_{2}=\left(1-2 y_{0}\right)\left[1-2 x_{0}-2\left(1-2 z_{0}\right) t_{0}\right] \\ & v_{3}=\left(1-2 z_{0}\right)\left[1-2 x_{0}+2\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}\right] \end{aligned} \]

Координатите на средата на \(C A_{0}\) са следните \(\left(-x_{0} t_{0}, \tfrac{1+2\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}}{4}, \tfrac{3+2\left(1-2 z_{0}\right) t_{0}}{4}\right)\). Така намираме параметричните уравнения на правата \(q\), която е спрегната с \(C A_{0}\)

\[ \begin{aligned} & x=-x_{0} t_{0}-2\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} p \\ & y=\tfrac{1+2\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}}{4}+\left(1-2 y_{0}\right)\left[1-2 x_{0}-2\left(1-2 z_{0}\right) t_{0}\right] p \end{aligned} \]

\[ z=\tfrac{3+2\left(1-2 z_{0}\right) t_{0}}{4}+\left(1-2 z_{0}\right)\left[1-2 x_{0}+2\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}\right] p . \]

Сега, ако правата \(q\) минава през \(G_{0}\), се получават равенствата

\[ \begin{gathered} -x_{0} t_{0}-2\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} p=-\tfrac{2 x_{0} t_{0}}{3} \\ \tfrac{1+2\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}}{4}+\left(1-2 y_{0}\right)\left[1-2 x_{0}-2\left(1-2 z_{0}\right) t_{0}\right] p=\tfrac{3+2\left(1-2 y_{0}\right) t_{0}}{6} \end{gathered} \] Оттук получаваме \(p=-\tfrac{t_{0}}{6\left(1-2 x_{0}\right)}\) и \(\tfrac{3(12)}{4\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}\).

Въвеждаме означението \(\Delta=\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\). Следователно \(t_{0}= \pm \tfrac{1-2 x_{0}}{2} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\). Така получаваме координатното представяне и двете точки \(A_{0}^{\prime}\) и \(A_{0}^{\prime \prime}\) :

(2) \(\begin{aligned} & A_{0}^{\prime}\left(-\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}, \tfrac{1}{2}\left[1+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right], \tfrac{1}{2}\left[1+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right]\right) \\ & A_{0}^{\prime \prime}\left(\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}, \tfrac{1}{2}\left[1-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right], \tfrac{1}{2}\left[1-\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right]\right) \end{aligned}\)

Аналогично намираме върховете на триъгълниците, построени върху другите две страни, със следните координатни представяния:

(3) \(\begin{aligned} & B_{0}^{\prime}\left(\tfrac{1}{2}\left[1+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right],-\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}, \tfrac{1}{2}\left[1+\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right]\right), \\ & B_{0}^{\prime \prime}\left(\tfrac{1}{2}\left[1-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right],\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}, \tfrac{1}{2}\left[1-\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right]\right) . \end{aligned}\)

(4) \(\begin{aligned} & C_{0}^{\prime}\left(\tfrac{1}{2}\left[1+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right], \tfrac{1}{2}\left[1+\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right],-\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right), \\ & C_{0}^{\prime \prime}\left(\tfrac{1}{2}\left[1-\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right], \tfrac{1}{2}\left[1-\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right],\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right) \end{aligned}\)

Триъгълниците \(B C A_{0}^{\prime}, B C A_{0}^{\prime \prime}, C A B_{0}^{\prime}, C A B_{0}^{\prime \prime}, A B C_{0}^{\prime}\) и \(A B C_{0}^{\prime \prime}\) ще наричаме псевдоравностранни по отношение на \(\bar{k}(O)\).

От координатите (2), (3) и (4) на точките \(A_{0}^{\prime}, A_{0}^{\prime \prime}, B_{0}^{\prime}, B_{0}^{\prime \prime}, C_{0}^{\prime}\) и \(C_{0}^{\prime \prime}\) се вижда, че те съществуват само когато \(\Delta=\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \gt 0\). Това условие е изпълнено само когато \(\bar{k}(O)\) е елипса. Следователно псевдоравностранните триъгълници са определени само от описаните около \(\triangle A B C\) елипси.

2. Двойки специални елипси в равнината на триъгълника. Равностранните триъгълници, построени върху страните на даден триъгълник, се по-лучават чрез общите точки на две еднакви окръжности с радиуси страните на триъгълника (фиг. 1). Оказва се, че триъгълниците \(B C A_{0}^{\prime}, B C A_{0}^{\prime \prime}, C A B_{0}^{\prime}\), \(C A B_{0}^{\prime \prime}, A B C_{0}^{\prime}\) и \(A B C_{0}^{\prime \prime}\) притежават подобно свойство (фиг. 2).

Нека \(\bar{k}_{+}(B)\) и \(\bar{k}_{-}(C)\) са коничните сечения, описани съответно около триъгълниците \(A_{0}^{\prime} A_{0}^{\prime \prime} C\) и \(A_{0}^{\prime} A_{0}^{\prime \prime} B\), центровете на които са съответно \(B\) и \(C\). За уравненията на тези криви се получава:

\(\bar{k}_{+}(B):\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y+\left(1-2 y_{0}\right)\left(z_{0}-x_{0}\right) x+\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y=0\), \(\bar{k}_{-}(C):\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y+\left(1-2 z_{0}\right)\left(y_{0}-x_{0}\right) x+\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} z=0\).

От резултатите, получени в (Grozdev \& Nenkov, 2014), следва, че \(\bar{k}_{+}(B)\) и \(\bar{k}_{-}(C)\) са хомотетични на \(\bar{k}(O)\) с коефициент на хомотетия \(\pm \sqrt{\tfrac{1-2 x_{0}}{y_{0} z_{0}}}\). Следователно кривите \(\bar{k}_{+}(B)\) и \(\bar{k}_{-}(C)\) са еднакви елипси.

3. Конструкция на псевдоравностранните триъгълници. За да се изследват свойствата на \(\triangle A B C\), свързани с псевдоравностранни триъгълници, е необходимо да се знае как се построяват тези триъгълници при дадена описана около \(\triangle A B C\) елипса \(\bar{k}(O)\). От получените резултати следва, че псевдоравностранни триъгълници могат да се построяват по следните три начина.

1) Всяка от точките \(A_{0}^{\prime}, A_{0}^{\prime \prime}, B_{0}^{\prime}, B_{0}^{\prime \prime}, C_{0}^{\prime}\) и \(C_{0}^{\prime \prime}\) може да се построи по съответните си координати, представени в (2), (3) и (4).

2) Построяването на точките \(A_{0}^{\prime}\) и \(A_{0}^{\prime \prime}\) може да се извърши с помощта на някоя от елипсите \(\bar{k}_{+}(B)\) и \(\bar{k}_{-}(C)\). Елипсата \(\bar{k}_{+}(B)\) може да се построи като хомотетична на \(\bar{k}(O)\) с коефициент \(\sqrt{\tfrac{1-2 x_{0}}{y_{0} z_{0}}}\). След това да се намерят пресечните точки на \(\bar{k}_{+}(B)\) с правата \(O M_{a}\) (фиг. 2,3).

3) Друг начин за построяване на точките \(A_{0}^{\prime}\) и \(A_{0}^{\prime \prime}\) с помощта на някоя от елипсите \(\bar{k}_{+}(B)\) и \(\bar{k}_{-}(C)\) се основава на следните наблюдения. а) Втората пресечна точка \(C_{1}\) на \(\bar{k}_{+}(B)\) с \(\bar{k}(O)\) лежи върху права, която е спрегната с правата \(O B\) спрямо \(\bar{k}(O)\). Затова точката \(C_{1}\) може да се построи като пресечна точка на права през \(C\) и \(\bar{k}(O)\) (фиг. 3). б) Допирателните към \(\bar{k}_{+}(B)\) в точките \(C\) и \(C_{1}\) са спрегнати съответно с правите \(B C\) и \(B C_{1}\) спрямо на \(\bar{k}(O)\) (фиг. 3). Тези прави се пресичат във втората пресечна точка \(B_{1}\) на правата \(B O\) с \(\bar{k}(O)\) (фиг. 3). Ако \(C_{2}\) е точката, която е симетрична на \(C\) спрямо \(B\), то \(C_{2}\) е точка от \(\bar{k}_{+}(B)\) (фиг. 3). Следователно \(\bar{k}_{+}(B)\) може да се построи като крива през точките \(C, C_{1}\) и \(C_{2}\) и допирателни в точките \(C\) и \(C_{1}\). След като \(\bar{k}_{+}(B)\) е вече построена, точките \(A^{\prime}{ }_{0}\) и \(A^{\prime \prime}{ }_{0}\) се получават като общи точки на \(\bar{k}_{+}(B)\) и \(O M_{a}\).

Трябва да се отбележи, че първите два метода за построяване на точките \(A_{0}^{\prime}, A_{0}^{\prime \prime}, B_{0}^{\prime}, B_{0}^{\prime \prime}, C_{0}^{\prime}\) и \(C_{0}^{\prime \prime}\) са свързани с предварителни пресмятания. Във втория случай пресмятанията са по-малко. При третия вариант имаме чисто конструктивно получаване на тези точки.

4. Наполеонови триъгълници. Триъгълниците, образувани от центровете на еднопосочните равностранни триъгълници, построени върху страните на даден триъгълник, обикновено се наричат Наполеонови триъгълници. Тези триъгълници имат постоянна разлика на лицата. Оказва се, че такова свойство притежават и псевдоравностранните триъгълници.

Нека \(G_{a}^{\prime}, G_{a}^{\prime \prime}, G_{b}^{\prime}, G_{b}^{\prime \prime}, G_{c}^{\prime}\) и \(G_{c}^{\prime \prime}\) са медицентровете съответно на триъгълниците \(B C A_{0}^{\prime}, B C A_{0}^{\prime \prime}, C A B_{0}^{\prime}, C A B_{0}^{\prime \prime}, A B C_{0}^{\prime}\) и \(A B C_{0}^{\prime \prime}\). За координатите на тези точки от (2), (3) и (4) се получава \[ \begin{gathered} G_{a}^{\prime}\left(-\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3}, \tfrac{3+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}, \tfrac{3+2\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}\right), \\ G_{a}^{\prime \prime}\left(\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3}, \tfrac{3-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}, \tfrac{3-2\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}\right), \\ G_{b}^{\prime}\left(\tfrac{3+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6},-\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3}, \tfrac{3+2\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}\right), \\ G_{b}^{\prime \prime}\left(\tfrac{3-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}, \tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3}, \tfrac{3-2\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}\right), \\ G_{c}^{\prime}\left(\tfrac{3+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}, \tfrac{3+2\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6},-\tfrac{\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3}\right), \\ G_{c}^{\prime \prime}\left(\tfrac{3-\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}, \tfrac{3-2\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{6}, \tfrac{\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3}\right) . \end{gathered} \]

От формулата за лице на триъгълник и тези координати се получават равенствата

\[ S_{G_{a}^{\prime} G_{b}^{\prime} G_{c}^{\prime}}=\tfrac{\left(\Delta+8 x_{0} y_{0} z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}+3}{6} . S, S_{G_{a}^{\prime \prime} G_{b}^{\prime \prime} G_{c}^{\prime \prime}}=\tfrac{\left(\Delta+8 x_{0} y_{0} z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}-3}{6} . S . \]

Оттук следва, че \(S_{G_{a}^{\prime} G_{b}^{\prime} G_{c}^{\prime}}-S_{G_{a}^{\prime \prime} G_{b}^{\prime \prime} G_{c}^{\prime \prime}}=S\). Следователно триъгълниците \(G_{a}^{\prime} G_{b}^{\prime} G_{c}^{\prime}\) и \(G_{a}^{\prime \prime} G_{b}^{\prime \prime} G_{c}^{\prime \prime}\) притежават същото свойство, което има при равностранните. Затова можем да наричаме триъгълниците \(G_{a}^{\prime} G_{b}^{\prime} G_{c}^{\prime}\) и \(G_{a}^{\prime \prime} G_{b}^{\prime \prime} G_{c}^{\prime \prime}\) Наполеонови триъгълници (фиг. 4). Трябва да се отбележи, че последното свойство на Наполеоновите триъгълници не зависи от описаната около \(\triangle A B C\) елипса.

5. Точки на Ферма. Класическите точки на Ферма се получават чрез правите, свързващи върховете на \(\triangle A B C\) с върховете на равностранните триъгълници, построени върху страните му. Това свойство се запазва и когато разглеждаме псевдоравностранни триъгълници.

От (2), (3) и (4) за уравненията на правите \(A A_{0}^{\prime}, A A_{0}^{\prime \prime}, B B_{0}^{\prime}, B B_{0}^{\prime \prime}, C C_{0}^{\prime}\) и \(C C_{0}^{\prime \prime}\) имаме:

\[ \begin{aligned} & A A_{0}^{\prime}:\left[1+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] y-\left[1+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] z=0, \\ & A A_{0}^{\prime \prime}:\left[1-\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] y-\left[1-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] z=0, \\ & B B_{0}^{\prime}:\left[1+\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] x-\left[1+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] z=0, \\ & B B_{0}^{\prime \prime}:\left[1-\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] x-\left[1-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] z=0, \\ & C C_{0}^{\prime}:\left[1+\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] x-\left[1+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] y=0, \\ & C C_{0}^{\prime \prime}:\left[1-\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] x-\left[1-\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}\right] y=0 . \end{aligned} \]

От уравненията на правите \(A A_{0}^{\prime}, B B_{0}^{\prime}\) и \(C C_{0}^{\prime}\) получаваме, че те се пресичат в точка \(F^{\prime}\), координатите на която са следните:

\[ F^{\prime}\left(\tfrac{2-3 x_{0}+\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3+\left(\Delta+8 x_{0} y_{0} z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}, \tfrac{2-3 y_{0}+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3+\left(\Delta+8 x_{0} y_{0} z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}, \tfrac{2-3 z_{0}+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3+\left(\Delta+8 x_{0} y_{0} z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}\right) \] От уравненията на правите \(A A_{0}^{\prime \prime}, B B_{0}^{\prime \prime}\) и \(C C_{0}^{\prime \prime}\) получаваме, че те се пресичат в точка \(F^{\prime \prime}\), координатите на която са следните:

\[ F^{\prime \prime}\left(\tfrac{2-3 x_{0}-\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3-\left(\Delta+8 x_{0} y_{0} z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}, \tfrac{2-3 y_{0}-\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3-\left(\Delta+8 x_{0} y_{0} z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}, \tfrac{2-3 z_{0}-\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}{3-\left(\Delta+8 x_{0} y_{0} z_{0}\right) \sqrt{\tfrac{3}{\Delta}}}\right) . \] Точките \(F^{\prime}\) и \(F^{\prime \prime}\) ще наричаме точки на Ферма, породени от елипсата \(\bar{k}(O)\) (фиг. 5).

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С. & В. Ненков. (2014). Хомотетични конични сечения в равнината на триъгълник, Математика и информатика, 2, 139 – 154, ISSN 1310-2230.

Гроздев, С. & В. Ненков (2015). Геометрична конструкция на крива на Чева, Математика и информатика, 1, 52 – 57, ISSN 1310-2230.

Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.

Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев. (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.

Георгиева, М. & С. Гроздев. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток-Запад, 987-619152-869-1, 327 стр.

REFERENCES

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2014). Homothetic conics in the plane of a triangle, Mathematics and Informatics, 2, 139 – 154, ISSN 1310-2230.

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2015). Geometric construction of Ceva’s curve, Mathematics and Informatics, 1, 52 – 57, ISSN 1310-2230.

Pascalev, G. & Chobanov, I. (1985). Notable points in the triangle. Sofia: Narodna Prosveta.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgaria Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-921391-1)

Sergeeva, T., Shabanova, M. & Grozdev, S. (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU (in Russian).

Georgieva, M. & Grozdev, S. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (4 \({ }^{\text {th }}\) ed.), Sofia: Iztok-Zapad. ISBN 987-619-152869-1, 327 p.