Резюме. В статията се проследява последователното развитие на идеята за определяне на понятията Ойлерова права и Ойлерова окръжност на вписан в окръжност многоъгълник, която по естествен начин води до конструкция на Ойлерова права и Ойлерова крива за вписан в конично сечение многоъгълник. Изследванията на различните конфигурации са подпомогнати с програмния продукт THE GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP).

Ключови думи: conic, center of gravity, orthocenter, polygon, Euler line, Euler curve, GSP

1. Увод

Познатите Ойлерова права и Ойлерова окръжност на триъгълника притежават много свойства, свързани с триъгълника, на който принадлежат, както и с други фигури вследствие фрагментирането им на триъгълници. Някои такива свойства се изразяват с теоремата на Шифлер за конкурентност на Ойлерови прави, теоремата на Фойербах за допиране на Ойлеровата окръжност с вписаните в триъгълника окръжности и теоремата за конкурентност на Ойлеровите окръжности на четирите триъгълника, които се получават от страните и диагоналите на четириъгълник. Тези свойства, от своя страна, обогатяват геометрията на триъгълника и другите геометрични фигури, в които са включени съответните Ойлерови прави и Ойлерови окръжности.

Ойлерова права и Ойлерова окръжност притежава и вписаният в окръжност \(n\)-ъгълник (\(n \geq 4\) ). Може би, тъй като не са известни много свойства на тези забележителни права и окръжност, те не са достатъчно популярни. Освен това конструирането на правата и окръжността на Ойлер при увеличаване на \(n\) става все по-трудно за извършване с класическите инструменти линийка и пергел. С помощта на някои от съвременните компютърни софтуерни средства конструирането и изследването на по-сложни геометрични обекти може значително да се опрости и улесни. Такъв софтуерен продукт е например THE GEOMETER’S SKETCHPAD(GSP). С помощта на GSPмогат не само да се построяват споменатите права и окръжност при различни стойности на \(n \geq 4\), но те могат да се обобщят и в по-сложни конфигурации, получаващи се при замяна на описаната около \(n\)-ъгълника окръжност с описано конично сечение. С помощта на динамичните възможности на GSP могат да се изследват получените конструкции и да се открият зависимости, които да подскажат идеи за доказване на наблюдаваните свойства.

Като използваме възможностите на GSP, в следващите редове ще покажем как понятията Ойлерова права и Ойлерова окръжност могат да се обобщят за вписан в конично сечение \(n\)-ъгълник ( \(n \geq 3\) ). Преди това обаче накратко ще припомним понятията Ойлерова права и Ойлерова окръжност за триъгълник. След това по аналогия ще определим основните понятия, необходими за конструирането на Ойлерова права и Ойлерова окръжност на вписан в окръжност \(n\)-ъгълник ( \(n \geq 4\) ).

2. Ойлерова права и Ойлерова окръжност на триъгълник. Нека \(A_{1} A_{2} A_{3}\) е произволен неравностранен триъгълник, а \(O, H\) и \(G\) са центърът на описаната окръжност, ортоцентърът и центърът на тежестта на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). Точките \(O, G\) и \(H\) лежат на една права, която се нарича права на Ойлер за \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) (фиг. 1). Освен това са изпълнени равенствата

(1)\[ \overrightarrow{O G}=\tfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\overrightarrow{O A_{3}}\right) \]

(2)\[ \overrightarrow{O H}=3 \cdot \overrightarrow{O G} \]

(Равенството (1) е изпълнено и когато \(O\) е произволна точка в пространството.)

Ако \(M_{12}, M_{23}\) и \(M_{31}\) са средите съответно на страните \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}\) и \(A_{3} A_{1}\), а \(H_{1}, H_{2}\) и \(H_{3}\) са петите на височините съответно през върховете \(A_{1}\), \(A_{2}\) и \(A_{3}\), то точките \(M_{12}, M_{23}, M_{31}, A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) лежат на окръжност с център \(E\), която се нарича окръжност на Ойлер за \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) (фиг. 1). Освен това са изпълнени равенствата

(3) \( \overrightarrow{G E}=-\cfrac{1}{2} \overrightarrow{G O} \) ,

(4) \( \overrightarrow{H E}=\cfrac{1}{2} \overrightarrow{H O} \) .

От (3) и (4) следва, че центърът \(E\) на Ойлеровата окръжност лежи върху правата на Ойлер. Освен това от (3) и (4) следва, че \(G\) и \(H\) са центрове на хомотетия за описаната и за Ойлеровата окръжност.

3. Ойлерова права и Ойлерова окръжност на вписан в окръжност многоъгълник. Преди да покажем по какъв начин се получават Ойлеровата права и Ойлеровата окръжност, е необходимо да определим понятията център на тежестта и ортоцентър на вписан многоъгълник като аналози на съответните понятия от геометрията на триъгълника.

3.1. Център на тежестта. Центърът на тежестта \(G\) на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) е пресечната точка на правите, свързващи върховете \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) с центровете на тежестта на съответните им срещуположни страни \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\). За \(G\) е изпълнено равенството (1). Аналогично с помощта на GSP можем да свържем върховете \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\) на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) с центровете на тежестта \(G_{1}, G_{2}, G_{3}\) и \(G_{4}\) съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4} A_{1}\), \(A_{4} A_{2} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3}\) (фиг. 2). Установяваме, че правите \(A_{1} G_{1}, A_{2} G_{2}, A_{3} G_{3}\) и \(A_{4} G_{4}\) минават през една точка \(G\). С помощта на (1) получаваме и векторното равенство \(\overrightarrow{O G}=\cfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\overrightarrow{O A_{3}}+\overrightarrow{O A_{4}}\right)\) при произволна точка \(O\) в пространството. Получената по този начин точка \(G\) наричаме център на тежестта (медицентър) на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 2).

След това с помощта на GSP свързваме върховете \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\) и \(A_{5}\) на петоъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) с центровете на тежестта \(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\) и \(G_{5}\) съответно на четириъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}, A_{3} A_{4} A_{5} A_{1}, A_{4} A_{5} A_{2} A_{1}, A_{5} A_{1} A_{2} A_{3}\), и \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 3). Установяваме, че правите \(A_{1} G_{1}, A_{2} G_{2}, A_{3} G_{3}, A_{4} G_{4}\) и \(A_{5} G_{5}\) минават през една точка \(G\), за която е изпълнено векторното равенство \(\overrightarrow{O G}=\tfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\overrightarrow{O A_{3}}+\overrightarrow{O A_{4}}+\overrightarrow{O A_{5}}\right)\) при произволна точка \(O\) в пространството. Точката \(G\) наричаме център на тежестта (медицентър) на петоъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) (фиг. 3). До подобни изводи стигаме и при разглеждането на шестоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) (фиг. 4). Така по индукция стигаме до извода, че ако \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е произволен \(n\)-ъгълник, правата, свързваща върха \(A_{i}\) с центъра на тежестта \(G_{i}(i=1, \ldots, n)\) за \(n-1\)-ъгълника, образуван от останалите върхове, минава през една точка \(G\), за която е изпълнено векторното равенство

(5) \(\overrightarrow{O G}=\tfrac{1}{n}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{O A_{n}}\right)\)

при произволна точка \(O\) в пространството.

Равенството \((5)\) по естествен начин обобщава \((1)\) и еднозначно определя точка \(G\), която се нарича център на тежестта (медицентър) за \(n\)-ъгълника \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\). Така за центъра на тежестта на \(n\)-ъгълника \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) имаме индуктивна конструкция за построяване и аналитично представяне с \((5)\) .

3.2. Ортоцентър. За определяне на ортоцентър на вписан в окръжност многоъгълник можем да приложим два подхода, основани на аналогии с построяването на центъра на тежестта. Първо разглеждаме вписан в окръжност четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3}\). Аналогично на конструирането на центъра на тежестта \(G\) на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) построяваме ортоцентровете \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4}, A_{4} A_{2} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3}\). След това построяваме правите \(A_{1} H_{1}, A_{2} H_{2}, A_{3} H_{3}\) и \(A_{4} H_{4}\). Забелязваме, че тези прави се пресичат в една точка \(H\) (фиг. 5). Нещо повече, четириъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) и \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}\) са симетрични спрямо точката \(H\) (фиг. 5). Това наблюдение можем да изразим с векторните равенства \({\overline{H H_{i}}}_{i}=-H A_{i}(i=1,2,3,4)\). По-нататък да обърнем внимание, че ортоцентьрьт на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) лежи върху правата, която минава през центъра на тежестта на върха \(A_{i}\) (който съвпада с \(A_{i}\) ) и е перпендикулярна на правата, определена от останалите два върха на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) . Това ни дава основание при \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) да построим през центьра на тежестта на всяка от шестте двойки върхове (средите на свързващите ги отсечки) перпендикуляр към правата, определена от другата двойка върхове (фиг. 6). Оказва се, че получените шест прави се пресичат в същата точка \(H\), получена при предишната конструкция (четириъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) на фиг. 5 и 6 са еднакви). Получената по този начин точка \(H\) наричаме ортоцентър на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 5, 6).

По-нататък, следвайки опита от изследванията върху четириъгълника, разглеждаме вписан в окръжност петоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\). Построяваме ортоцентровете \(H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}\) и \(H_{5}\) съответно на четириъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\), \(A_{3} A_{4} A_{5} A_{1}, A_{4} A_{5} A_{2} A_{1}, A_{5} A_{1} A_{2} A_{3}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Забелязваме, че правите \(A_{1} H_{1}\), \(A_{2} H_{2}, A_{3} H_{3}, A_{4} H_{4}\) и \(A_{5} H_{5}\) минават през една точка \(H\) (фиг. 7). Освен това \(H\) е център на хомотетия за петоъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) и \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4} H_{5}\), като са изпълнени векторните равенства \(\overrightarrow{H H}_{i}=-\tfrac{1}{2} \overrightarrow{H A}_{i}(i=1,2,3,4,5)\). Подходът с центровете на тежестта се състои в следното: построяваме през центъра на тежестта на всеки от десетте триъгълника, образувани от върховете на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\), права, перпендикулярна на страната, съдържаща останалите два върха на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\). Тези десет прави се пресичат в същата точка \(H\) (фиг. 8). Точката \(H\) наричаме ортоцентър на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) (фиг. 7, 8).

По подобен начин разглеждаме и вписан в окръжност шестоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\). Ако \(H_{i}\) е ортоцентърът на петоъгълника, образуван от върховете на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) без \(A_{i}\), правите \(A_{i} H_{i}(i=1,2,3,4,5,6)\) се пресичат в точка \(H\) (фиг. 9), която е център на хомотетия за шестоъгьлниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) и \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4} H_{5} H_{6}\). Изпълнени са векторните равенства \(\overrightarrow{H H_{i}}=-\tfrac{1}{3} \overrightarrow{H A_{i}}\) \((i=1,2,3,4,5,6)\). Освен това всяка от петнадесетте прави, минаваща през центъра на тежестта на четириъгълник, върховете на който са измежду точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}\) и \(A_{6}\), и перпендикулярна на страната, определена от останалите два върха, минава през същата точка \(H\) (фиг. 10). Точката наричаме ортоцентър на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) (фиг. 9, 10).

Така по индукция получаваме, че за вписания в окръжност \(n\)-ъгълник

\(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) съществува точка \(H\), която притежава следните свойства:

1) правите, минаващи през центровете на тежестта за \(n-2\)-ъгълниците, образувани от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\), , които са перпендикулярни на правите, свързващи останалите два върха, се пресичат в една точка \(H\);

2) ако \(H_{i}\) е ортоцентърът на \(n-1\)-ъгълника, образуван от точките \(A_{1}, A_{2}\), \(\ldots, A_{n}\) с изключение на \(A_{i}\), то правите \(A_{i} H_{i}(i=1,2, \ldots, n)\) се пресичат в \(H\);

3) изпълнени са векторните равенства \(\overrightarrow{H H}_{i}=-\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{H A}_{i}\);

4) многоъгълникът \(H_{1} H_{2} \ldots H_{n}\) е хомотетичен на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

Ясно е, че 2) и 4) следват от 3).

3.3. Ойлерова права и Ойлерова окръжност. Ако \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е многоъгълник, вписан в окръжност с център \(O\), наблюденията с GSP показват, че точките \(H, G\) и \(O\) лежат на една права, която се нарича права на Ойлер за \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\). На фиг. 11 са показани случаите при \(n=4,5,6\). По индукция се получава равенството \(\overrightarrow{O H}=\tfrac{1}{n-2}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{O A_{n}}\right)\). От това равенство и (5) следва, че

(6)\[ \overrightarrow{O H}=\tfrac{n}{n-2} \overrightarrow{O G} \]

Това доказва, че точките \(H, G\), и \(O\) лежат на една права. От (6) при \(n=3\) се получава (2).

Нека \(G_{i}\) е центърът на тежестта на \(n-1\)-ъгълника, образуван от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) с изключение на \(A_{i}(i=1,2, \ldots, n)\). Наблюденията с GSP показват, че точките \(G_{i}(i=1,2, \ldots, n)\) лежат на окръжност, която се нарича окръжност на Ойлер за \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\). На фиг. 11 са показани случаите при \(n=4,5,6\). За центъра \(E\) на Ойлеровата окръжност е изпълнено векторното равенство \(\overrightarrow{O E}=\tfrac{1}{n-1}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{O A_{n}}\right)\). Оттук, векторното равенство за \(H\) и (5) следват

(7) \( \overrightarrow{H E}=\cfrac{1}{n-1} \overrightarrow{H O} \) ,

(8) \( \overrightarrow{G E}=-\cfrac{1}{n-1} \overrightarrow{G O} \) .

Равенствата (7) и (8) показват, че \(H\) и \(G\) са центрове на хомотетия за описаната и за Ойлеровата окръжност. От (7) и (8) при \(n=3\) се получават съответно (3) и (4).

4. Ойлерова права и Ойлерова крива на триъгълник, зависещи от точка. Описаната за \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) окръжност е само един елемент на безкрайното множество криви от конични сечения, описани около \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). Нещо повече, ако \(O\) е произволна точка, нележаща на никоя от правите \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\), \(M_{23} M_{31}, M_{31} M_{12}\) и \(M_{12} M_{23}\) в равнината на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\), то \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) и съответните им симетрични спрямо \(O\) точки \(A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}\) и \(A_{3}^{\prime}\) лежат на крива от втора степен \(\bar{k}(O)\) с център \(O\) ( (фиг. 12). По този начин точката \(O\) е аналог на центъра на описаната окръжност. По-нататък ще определим точка, която е аналог на ортоцентъра на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). Височините на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) са успоредни на правите, минаващи през центъра на описаната окръжност и точките \(M_{12}\), \(M_{23}, M_{31}\) (фиг. 1). Това ни дава основание да построим в програмата GSP правите, минаващи през върховете \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) и успоредни съответно на правите \(O M_{23}, O M_{31}\) и \(O M_{12}\). Вижда се, че тези прави се пресичат в една точка \(H\) (фиг. 12). Освен това, както и да променяме положението на \(O\), разглежданите прави винаги се пресичат в една точка. По този начин получаваме една специална точка \(H\), свързана с точката \(O\), която наричаме ортоид на \(\triangle A_{1} A_{2} A_{3}\), определен от центъра \(O\) на \(\bar{k}(O)\). Оказва се, че ортоидът \(H\) притежава редица свойства, които са подобни на тези на ортоцентъра. Тези свойства са описани подробно в (Grozdev \& Nenkov, 2014). Едно от тези свойства се изразява с равенството (2). Следователно точките \(O, H\) и \(G\) лежат на една права, която наричаме Ойлерова права на \(\triangle A_{1} A_{2} A_{3}\), определена от описаната крива \(\bar{k}(O)\).

Както е показано в (Grozdev & Nenkov, 2014), точките \(M_{12}, M_{23}, M_{31}\) и пресечните точки на правите \(A_{1} H, A_{2} H, A_{3} H\) с \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}, A_{1} A_{2}\) лежат на конично сечение \(\Omega\) (фиг. 12), което наричаме Ойлерова крива на точката \(H\) спрямо описаната крива \(\bar{k}(O)\). Ако \(E\) е центърът на \(\Omega\), то са изпълнени равенствата (3) и (4), като \(G\) и \(H\) са центрове на хомотетия за \(\bar{k}(O)\) и \(\Omega\). Тези и други свойства на кривата \(\Omega\) са описани подробно в (Grozdev \& Nenkov, 2014).

Параболите, описани около \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\), можем да разглеждаме като конични сечения с безкрайни центрове (Mateev, 1977). Безкрайния център \(O\) на параболата можем да определим с направлението на даден вектор \(O\) (фиг. 13). Нека \(\overrightarrow{O}\) е вектор, който не е колинеарен с никоя от правите \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}\) и \(A_{3} A_{1}\). Съществува единствена парабола \(k(\overrightarrow{O})\), която минава през точките \(A_{1}, A_{2}, \quad\) и има за ос права, колинеарна с \(O\) (допира се до безкрайната права на равнината в безкрайната точка \(O\) ) (Mateev, 1977). В този случай точката \(H\) можем да разглеждаме като съвпадаща с безкрайния център на \(k(\overrightarrow{O})\). Правата през \(G\) и колинеарна с \(\overrightarrow{O}\), разглеждаме като Ойлерова права на \(A_{1} A_{2} A_{3}\), зависеща от направлението \(\overrightarrow{O}\) (или все едно зависеща от безкрайната точка \(O\) ) (фиг. 13).

Съществува единствена парабола \(\Omega\), която минава през точките \(M_{12}\), \(M_{23}, M_{31}\) и има за ос права, колинеарна с \(\overrightarrow{O}\). Тази парабола наричаме \(O \check{u}\)лерова крива на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\), зависеща от направлението \(\overrightarrow{O}\) (фиг. 13). Оказва се, че параболата \(\Omega\) е хомотетична на \(k(\overrightarrow{O})\) при хомотетия с център \(G\) и коефициент \(-\tfrac{1}{2}\). Това и други свойства на кривата \(\Omega\) са описани подробно в (Grozdev & Nenkov, 2014).

5. Ортоид и Ойлерова права на вписан в конично сечение многоъгълник. Нека първо разгледаме четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), вписан в конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\). Построяваме ортоидите \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4} A_{1}, A_{4} A_{2} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3}\), A3A4A1 , A4 A2 A1 и A1A2A3 , определени от \(O\). Забелязваме, че правите \(A_{1} H_{1}, A_{2} H_{2}, A_{3} H_{3}\) и \(A_{4} H_{4}\) се пресичат в една точка \(H\) (фиг. 14). Освен това четириъгълниците \(A_1A_2A_3A_4\) и \(H_1H_2H_3H_4\) са симетрични спрямо точката \(H\) (фиг. 14) и са изпълнени векторните равенства \(\overrightarrow{H H}_{i}=-\overrightarrow{H A_{i}}\) \((i=1,2,3,4)\). Затова точката \(H\) наричаме ортоид на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) спрямо \(O\).

По-нататък, аналогично на конструкцията на ортоид на триъгълника, извършваме следните построения: през центъра на тежестта на всяка двойка върхове на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (средата на свързващата ги страна) построяваме права, успоредна на правата, минаваща през \(O\) и центъра на тежестта на останалата двойка върхове. Така се получават шест прави, които минават през вече получената точка \(H\) (фиг. 15).

Ако четириъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е вписан в парабола, под ортоид ще разбираме безкрайната точка на описаната парабола (фиг. 16). На фиг. 14, 15 и 16 четириъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) са еднакви.

Аналогично, ако \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) е петоъгълник, вписан в конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\), а \(H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}\) и \(H_{5}\) са ортоидите съответно на четириъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}, A_{3} A_{4} A_{5} A_{1}, A_{4} A_{5} A_{2} A_{1}, A_{5} A_{1} A_{2} A_{3}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), то правите \(A_{1} H_{1}, A_{2} H_{2}, A_{3} H_{3}, A_{4} H_{4}\) и \(A_{5} H_{5}\) минават през една точка \(H\) (фиг. 17), която наричаме ортоид на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\). Освен това \(H\) е център на хомотетия за петоъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) и \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4} H_{5}\), като са изпълнени векторните равенства \(\overrightarrow{H H}_{i}=-\tfrac{1}{2} \overrightarrow{H A}_{i}(i=1,2,3,4,5)\). От друга страна, всяка права, минаваща през центъра на тежестта на триъгълник, образуван от върховете \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}\), и успоредна на правата, минаваща през \(O\) и средата на отсечката, определена от останалите два върха, минава през ортоида \(H\) (фиг. 18). Ако петоъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) е вписан в парабола, под ортоид ще разбираме безкрайната точка на описаната парабола (фиг. 19).

Така по индукция получаваме, че за \(n\)-ъгълника \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), вписан в конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\), съществува точка \(H\), която притежава следните свойства:

(*) правите, минаващи през центровете на тежестта за \(n-2\)-ъгълниците, образувани от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\), които са успоредни на правите през \(O\) и средите на отсечките, определени от останалите два върха, се пресичат в една точка \(H\);

(**) ако \(H_{i}\) е ортоидът на \(n-1\)-ъгълника, образуван от точките \(A_{1}, A_{2}\), \(\ldots, A_{n}\) с изключение на \(A_{i}\), то правите \(A_{i} H_{i}(i=1,2, \ldots, n)\) се пресичат в \(H\);

\((* * *)\) изпълнени са векторните равенства \(\overrightarrow{H H}_{i}=-\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{H A}_{i}\);

\((* * * *)\) многоъгълникът \(H_{1} H_{2} \ldots H_{n}\) е хомотетичен на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

Точката \(H\), притежаваща изброените свойства, наричаме ортоид на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

Преди да докажем формулираните твърдения, трябва да отбележим, че \((* *)\) и (****) са непосредствени следствия от (***). Затова е достатъчно да докажем (***). Освен това при \(n=4\) в (****) хомотетията преминава в централна симетрия.

Проведените наблюдения показват, че за ортоида \(H\) е изпълнено векторното равенство (6). Затова формулираните твърдения ще бъдат доказани, ако ги проверим за точката \(H\), удовлетворяваща (6). Нека \(G_{12}\) е центърът на тежестта за \(A_{3} \ldots A_{n}\), а \(M_{12}\) е средата на \(A_{1} A_{2}\). Тогава \(\overrightarrow{O G_{12}}=\tfrac{1}{n-2}\left(\overrightarrow{O A_{3}}+\cdots+\overrightarrow{O A_{n}}\right)\) и \(\overrightarrow{O M_{12}}=\tfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}\right)\). Затова от (6) следва \(\overrightarrow{G_{12} H}=\overrightarrow{O H}-\overrightarrow{O G_{12}}=\tfrac{1}{n-2}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}\right)=\tfrac{2}{n-2} \overrightarrow{O M_{12}}\). Следователно правата \(G_{12} H\) е успоредна на \(O M_{12}\). Аналогично се получава твърдение (*) и за останалите двойки успоредни прави. По-нататък ще докажем, че от (6) следва (***). Имаме

\[ \begin{aligned} & \overrightarrow{H H_{i}}=\overrightarrow{O H_{i}}-\overrightarrow{O H}=\tfrac{n-1}{n-3} \overrightarrow{O G_{i}}-\overrightarrow{O H}=\tfrac{n}{n-3} \overrightarrow{O G}-\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{O A_{i}}-\overrightarrow{O H}= \\ & =\tfrac{n-2}{n-3} \overrightarrow{O H}-\overrightarrow{O H}-\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{O A_{i}}=\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{O H}-\tfrac{1}{n-3} \overline{O A_{i}}=-\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{H A_{i}} \end{aligned} \]

С това (***) е доказано.

От проведените разсъждения следва, че за ортоида е изпълнено равенството \((6)\) . Оттук получаваме, че точките \(H, G\) и \(O\) лежат на една права. Тази права наричаме Ойлерова права на вписания в коничното сечение \(\overrightarrow{k}(O)\) многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

Ако многоъгълникът \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е вписан в парабола, под ортоид ще разбираме безкрайната точка на описаната му парабола, а правата през медицентъра \(G\), която е успоредна на оста на параболата, наричаме Ойлерова права на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) (фиг. 16, 19, 21, 23).

Ойлерова крива на вписан в конично сечение многоъгълник. Нека четириъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е вписан в конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\). Построяваме центровете на тежестта \(G_{1}, G_{2}, G_{3}\) и \(G_{4}\) съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4} A_{1}, A_{4} A_{2} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3}\) . През точките \(G_{1}, G_{2}, G_{3}\) и \(G_{4}\) минават безброй много конични сечения. От тях трябва да определим едно, което обобщава случая с вписан в окръжност четириъгълник. Тъй като \(\overrightarrow{G G_{i}}=-\tfrac{1}{3} \overrightarrow{G A_{i}}(i=1,2,3,4)\), то четириъгълникът \(G_{1} G_{2} G_{3} G_{4}\) е хомотетичен образ на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) при хомотетия с център \(G\) и коефициент \(-\tfrac{1}{3}\). Затова разглеждаме кривата \(\Omega\), която минава през точките \(G_{1}, G_{2}, G_{3}\) и има за център точката \(E\), определена с равенството \(\overrightarrow{G E}=-\tfrac{1}{3} \overrightarrow{G O}\). От това определение следва, че \(\Omega\) е хомотетична на \(\bar{k}(O)\) при споменатата хомотетия и минава през \(G_{4}\). Кривата наричаме Ойлерова крива на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), определена от \(O\). Трябва да се отбележи, че точката \(H\) също е център на хомотетия за \(\bar{k}(O)\) и \(\Omega\).

Ако четириъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е вписан в парабола, точките \(G_{1}, G_{2}, G_{3}\) и лежат на единствена парабола с ос, успоредна на оста на описаната парабола (фиг. 21). Тази парабола наричаме Ойлерова крива на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). На фиг. 20 и 21 четириъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) са еднакви.

Нека сега \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}(n \geq 5)\) е многоъгълник, вписан в конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\). Ако \(G_{i}\) е центърът на тежестта на \(n-1\)-ъгълника, образуван от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) с изключение на \(A_{i}(i=1,2, \ldots, n)\), то са изпълнени равенствата \(\overrightarrow{G G_{i}}=-\tfrac{1}{n-1} \overrightarrow{G A_{i}}\). Следователно \(G_{1} G_{2} \ldots G_{n}\) е хомотетичен на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) при хомотетия с център \(G\) и коефициент \(-\tfrac{1}{n-1}\). Аналогично се вижда, че ортоидът \(H\) на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е център на хомотетия с коефициент \(\tfrac{1}{n-1}\). Тъй като \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е вписан в \(\bar{k}(O)\), то от хомотетичността следва, че \(G_{1} G_{2} \ldots G_{n}\) също е вписан в крива \(\Omega\), центърьт \(E\) на която удовлетворява равенствата (7) и (8). Кривата \(\Omega\) наричаме Ойлерова крива на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) (фиг. 22).

Ако многоъгълникът \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е вписан в парабола, точките \(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\) лежат на единствена парабола с ос, успоредна на оста на описаната парабола (фиг. 23). Тази парабола наричаме Ойлерова крива на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

5. Връзки на Ойлеровите криви с ортоида. Ортоидът лежи върху забележителната за \(A_{1} A_{2} \quad A\) права на Ойлер и има свойството да е център на хомотетия за описаната крива \(\bar{k}(O)\) и кривата на Ойлер. Оказва се, че при \(n \geq 4\) Ойлеровите криви на \(n-1\)-ъгълниците, вписани в \(\bar{k}(O)\), също притежават интересни свойства, свързани с ортоида на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

Случая с четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) ще отбележим отделно. Средите на шестте отсечки, свързващи точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}\) и \(A_{4}\), лежат на една крива от втора степен \(\Omega\), която е Ойлерова крива на всеки от върховете на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) спрямо триъгълника, образуван от останалите три върха. Както е показано в (Nenkov, 2011), центровете на всички описани около \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) конични сечения лежат върху \(\Omega\). Върху \(\Omega\) се намират и безкрайните центрове на двете описани за \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) параболи, когато \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е изпъкнал четириъгълник. В (Nenkov, 2011) е показано още, че центърът на тежестта \(G\) на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е център на \(\Omega\). Тъй като ортоидът \(H\) е точка, която е симетрична на центъра на пораждащата го описана крива, то \(H\) лежи върху \(\Omega\). Като вземем предвид и това, че ортоидът спрямо описана парабола е безкрайната точка на параболата, заключаваме: всеки ортоид на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) лежи върху общата Ойлерова крива на триъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3}, A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4} A_{1}\) и \(A_{4} A_{1} A_{2}\) (фиг. 24).

Сега да разгледаме по-подробно случаите за многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), когато \(n \geq 5\). Първо да отбележим, че, ако \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е вписан в парабола, Ойлеровите криви на всички \(n-1\)-ъгълници, образувани от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\), са параболи с оси, успоредни на оста на описаната парабола. Следователно: всички Ойлерови криви минават през ортоида на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) (фиг. 25).

Опитът от разгледаните случаи ни подсказва, че можем да очакваме подобно свойство на Ойлеровите криви за многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), вписан в крива \(\bar{k}(O)\) с център \(O\) при \(n \geq 5\). Експериментите с GSP показват следните два резултата.

Твърдение 1. Ойлеровите криви на всички \(n-1\)-ъгълници, образувани от върховете \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) на вписания в конично сечение с център \(O\) многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), са еднакви и минават през ортоида \(H\) на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) (фиг. 26).

Твърдение 2. Центровете на Ойлеровите криви на всички \(n-1\)-ъгълници, образувани от върховете \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) на вписания в конично сечение с център \(O\) многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), лежат на крива, която е еднаква с Ойлеровите криви и има за център ортоида \(H\) на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) (фиг. 26).

Първо да отбележим, че еднаквостта на Ойлеровите криви на \(n-1\)-ъгълниците следва от хомотетичността им с описаната крива. Нека \(E_{i}\) е центърът на Ойлеровата крива \(\Omega_{i}\) на \(n-1\)-ъгълника, образуван от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) с изключение на върха \(A_{i}(i=1,2, \ldots, n)\). Ортоидът \(H_{1}\) на \(A_{2} \ldots A_{n}\) е център на хомотетия за \(\Omega_{1}\) и описаната крива \(\bar{k}(O)\). Тъй като \(A_{2} \ldots A_{n}\) е \(n-1\)-ъгълник, тази хомотетия има коефициент \(\tfrac{1}{n-2}\). Затова \(\overrightarrow{H_{1} E_{1}}=\tfrac{1}{n-2} \overrightarrow{H_{1} O}\). Оттук \(\tfrac{n}{n-3} \overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O H_{1}}+\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{O A_{1}}\). Сега от \((* * *)\) и (6) следва

\[ \begin{aligned} & \overrightarrow{H_{1} H}=-\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{A_{1} H}=\tfrac{1}{n-3}\left(\overrightarrow{O A_{1}}-\overrightarrow{O H}\right)=\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{O A_{1}}-\tfrac{n}{(n-2)(n-3)} \overrightarrow{O G}= \\ & =\tfrac{1}{n-2} \overrightarrow{O A_{1}}-\tfrac{1}{n-2} O H_{1}=\tfrac{1}{n-2} \overrightarrow{H_{1} A_{1}} \end{aligned} \] Следователно при разглежданата хомотетия точката \(A_{1}\) от \(\bar{k}(O)\) се изобразява в точката от \(\Omega_{1}\). По аналогичен начин се показва, че другите Ойлерови криви минават през \(H\). С това твърдение 1 е доказано.

Фигура 26

Сега разглеждаме хомотетия с център точката \(P\) от Ойлеровата права, за която е изпълнено равенството \(\overrightarrow{O P}=\tfrac{n}{n-1} \overrightarrow{O G}\). Тогава

\[ \overrightarrow{P E}_{i}+\tfrac{1}{n-2} \overrightarrow{P A}_{i}=\overrightarrow{O E_{i}}-\overrightarrow{O P}+\tfrac{1}{n-2} \overrightarrow{O A_{i}}-\tfrac{1}{n-2} \overrightarrow{O P}=\tfrac{n}{n-2} \overrightarrow{O G}-\tfrac{n-1}{n-2} \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{o} \] Оттук имаме \(\overrightarrow{P E}_{i}=-\tfrac{1}{n-2} \overrightarrow{P A}_{i}(i=1,2, \ldots, n)\). Следователно при разглежданата хомотетия точките \(A_{i}\) от \(\bar{k}(O)\) се изобразяват в точките \(E_{i}\) \((i=1,2, \ldots, n)\). Следователно точките \(E_{i}(i=1,2, \ldots, n)\) лежат на една крива \(\omega\), хомотетична на \(\bar{k}(O)\) с коефициент на хомотетия \(\tfrac{1}{n-2}\). Но кривите \(\Omega_{i}\) \((i=1,2, \ldots, n)\) са хомотетични на \(\bar{k}(O)\) със същия коефициент. Затова \(\omega\) е еднаква с \(\Omega_{i}(i=1,2, \ldots, n)\). С това твърдение 2 е доказано.

6. Заключение. При проведените изследвания с помощта на аналогия и програмата GSP на всеки многоъгълник, вписан в конично сечение, съпоставихме Ойлерова права и Ойлерова крива, като естествени обобщения на известните ни от геометрията на триъгълника. Освен това триъгълниците и четириъгълниците притежават безкрайни множества от Ойлерови прави и съответните им Ойлерови криви. Според приложения подход на обобщение петоъгълникът притежава единствени Ойлерова права и Ойлерова крива, защото притежава единствено описано конично сечение.

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014). Generalization of some classical theorems in the Geometry of the triangle. Theoretical and applied aspects of Mathematics, Informatics and Education. Collections of the materials of the International Scientific Conference, 35 – 54. Archangelsk: SAFU. [Гроздев, С. & В. Ненков (2014). Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника. Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования. Сборник материалов международной научной конференции, 35 – 54. Архангельск: САФУ.]

Nenkov, V. (2011). Set of the centers of the circumscribed conics of a quadrilateral. Mathematics and Informatics, 4, 15 – 20. [Ненков, В. (2011). Множество на центровете на описаните за четириъгълник конични сечения. Математика и информатика, 4, 5 – 20.]

Mateev, A. (1977). Projective Geometry. Sofia: Nauka i izkustvo. [Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство.]

Grozdev, S. & D. Dekov (2016). Computer Discovered Mathematics: Orthology Centers of the Euler Triangles. Mathematics and Informatics, 59 (5), 393 – 403. [Гроздев, С. & Д. Деков (2016). Математика, открита от компютър: центрове на ортология на Ойлеровите триъгълници. Математика и информатика, 59 (5), 393 – 403.]

Sergeeva, T., M. Shabanova & S. Grozdev (2014). Bases of the Dynamic geometry. Moscow: ASOU, 160 pages (ISBN 978-5-91543-140-8). [Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев. (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ, Москва, 160 страници (ISBN 978-591543-140-8).]

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of Complex Numbers. Sofia: Arhimedes, 240 pages (ISBN 978-954-779-1886).