Резюме. В настоящата статия е описан начин за получаване на конични сечения, определени от произволно описано за даден триъгълник конично сечение и точка в равнината на този триъгълник. Отбелязани са някои свойства на получените конични сечения.

Ключови думи: triangle, homothety, conic, Ceva circle, Ceva curve, Feuerbach configuration, Euler curve, Nagel point, GSP

В настоящата статия ще покажем как се получава обобщение на един широк клас окръжности в равнината на даден триъгълник. Това обобщение се състои в специално построяване на конични сечения. В построяването на коничните сечения и откриването на някои от техните свойства ще използваме конструктивните и динамични възможности на програмата “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP).

Нека \(A B C\) е произволен триъгълник, за който \(|B C|=a,|C A|=b,|A B|=c\), \(p=\tfrac{a+b+c}{2}\), а \(S\) е лицето му. Разглеждаме барицентрични координати спрямо \(\Delta A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) (Паскалев & Чобанов, 1985). Нека \(P(\lambda, \mu, v)\) е произволна точка от равнината на \(\triangle A B C\), нележаща на никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\). За крайна точка \(P\) е изпълнено равенството \(\lambda+\mu+v=1\), а за безкрайна – равенството \(\lambda+\mu+ν=0\). Означаваме \(A_{1}=A P \cap B C, B_{1}=P B \cap C A\) и \(C_{1}=C P \cap A B\). Тогава координатите на тези точки се представят по следния начин:

(1) \[ A_{1}\left(0, \tfrac{\mu}{\mu+v}, \tfrac{v}{\mu+v}\right), B_{1}\left(\tfrac{\lambda}{v+\lambda}, 0, \tfrac{v}{v+\lambda}\right), C_{1}\left(\tfrac{\lambda}{\lambda+\mu}, \tfrac{\mu}{\lambda+\mu}, 0\right) . \]

1. Окръжност на Чева. Точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) лежат на една окръжност \(c_{P}\), която ще наричаме окръжност на Чева за точката \(P\) спрямо \(\triangle A B C\). Нека вторите пресечни точки на \(c_{P}\) с правите \(B C, C A\) и \(A B\) са съответно \(A_{2}, B_{2}\) и \(C_{2}\). Известно е, че правите \(A A_{2}, B B_{2}\) и \(C C_{2}\) минават през една точка \(P^{\prime}\) (Хитов, 1990). Следователно точките \(P\) и \(P^{\prime}\) имат една и съща окръжност на Чева спрямо \(\triangle A B C\), т.е. \(\mathrm{c}_{P^{\prime}} \equiv \mathrm{c}_{P} . \mathrm{B}\) частност, общата окръжност на Чева за медицентъра \(G\) и ортоцентъра \(H\) на \(\triangle A B C\) е Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\). Първата ни задача, свързана с окръжността на Чева \(c_{P}\), е да намерим нейното уравнение. За целта ще разглеждаме и барицентрични координати спрямо \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\), като \(A_{1}(1,0,0), B_{1}(0,1,0)\) и \(C_{1}(0,0,1)\). Ако точка \(M\) има координати \((x, y, z)\) спрямо \(\triangle A B C\) и координати (\(x_{1}, y_{1}, z_{1}\) ) спрямо \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\), връзките между тези координати се изразяват с равенствата:

(2) \[ \begin{gathered} x=\tfrac{\lambda}{\lambda+v} y_{1}+\tfrac{\lambda}{\lambda+\mu} z_{1}, y=\tfrac{\mu}{\mu+v} x_{1}+\tfrac{\mu}{\lambda+\mu} z_{1}, z=\tfrac{v}{\mu+v} x_{1}+\tfrac{v}{v+\lambda} y_{1} \\ x_{1}=-\tfrac{\mu+v}{2 \lambda} x+\tfrac{\mu+v}{2 \mu} y+\tfrac{\mu+v}{2 v} z \\ y_{1}=\tfrac{v+\lambda}{2 \lambda} x-\tfrac{v+\lambda}{2 \mu} y+\tfrac{v+\lambda}{2 v} z \\ z_{1}=\tfrac{\lambda+\mu}{2 \lambda} x+\tfrac{\lambda+\mu}{2 \mu} y-\tfrac{\lambda+\mu}{2 v} z \end{gathered} \]

Въвеждаме означенията:

(4) \[ \begin{aligned} & \bar{a}=(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}+(v-\mu)(\lambda+\mu) v \lambda b^{2}+(\mu-v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2}, \\ & \bar{b}=(v-\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}+(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}+(\lambda-v)(\mu+v) \lambda \mu c^{2}, \\ & \bar{c}=(\mu-\lambda)(v+\lambda) \mu v a^{2}+(\lambda-\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}+(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2} . \end{aligned} \]

Ако \(\left|B_{1} C_{1}\right|=a_{1},\left|C_{1} A_{1}\right|=b_{1}\) и \(\left|A_{1} B_{1}\right|=c_{1}\), , то са изпълнени равенствата:

(5) \[ a_{1}^{2}=\tfrac{\bar{a}}{(v+\lambda)^{2}(\lambda+\mu)^{2}}, b_{1}^{2}=\tfrac{\bar{b}}{(\lambda+\mu)^{2}(\mu+v)^{2}}, c_{1}^{2}=\tfrac{\bar{c}}{(\mu+v)^{2}(v+\lambda)^{2}} . \]

Сега, като вземем предвид, че уравнението на описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) спрямо \(\triangle A B C\) е следното

(6) \[ a^{2} y z+b^{2} z x+c^{2} x y=0 \]

то уравнението на \(c_{P}\) спрямо \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\) ще бъде

(7) \[ a_{1}^{2} y_{1} z_{1}+b_{1}^{2} z_{1} x_{1}+c_{1}^{2} x_{1} y_{1}=0 \]

Така след заместване на (3) и (5) в (7) уравнението на \(c_{P}\) спрямо \(\triangle A B C\) се по-лучава във вида:

(8) \(c_{P}: \mu v a^{\prime} x^{2}+v \lambda b^{\prime} y^{2}+\lambda \mu c^{\prime} z^{2}-\lambda(\mu+v) \bar{a} y z-\mu(v+\lambda) \bar{b} z x-v(\lambda+\mu) \bar{c} x y=0\),

където

(9) \[ \begin{aligned} & a^{\prime}=-(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}+(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}+(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2}, \\ & b^{\prime}=(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}-(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}+(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2}, \\ & c^{\prime}=(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}+(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}-(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2} . \end{aligned} \]

Сега, за да намерим координатите на точката \(A_{2}\), решаваме системата уравнения, която се получава от \(x=0\) и (8). Намираме равенството \((v y-\mu z)\left(b^{\prime} y-c^{\prime} z\right)=0\). Първият множител води до координатите на точката \(A_{1}\), затова от втория множител намираме координатите на \(A_{2}\) във вида:

(10) \[ A_{2}\left(0, \tfrac{c^{\prime}}{2(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}}, \tfrac{b^{\prime}}{2(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}}\right) \]

По аналогичен начин се намират координатите на \(B_{2}\) и \(C_{2}\) във вида

(11) \[ \begin{aligned} & B_{2}\left(\tfrac{c^{\prime}}{2(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}}, 0, \tfrac{a^{\prime}}{2(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}}\right) \\ & C_{2}\left(\tfrac{b^{\prime}}{2(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2}}, \tfrac{a^{\prime}}{2(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2}}, 0\right) \end{aligned} \]

където \(a^{\prime}, b^{\prime}\) и \(c^{\prime}\) са определени с (9).

След използване на (10) и (11) намираме уравненията на правите \(A A_{2}\) и \(B B_{2}\), откъдето получаваме координатите на пресечната им точка \(P^{\prime}\) :

където

От (12) се вижда по начин, различен от показания в (Хитов, 1990), че правите \(A A_{2}, B B_{2}\) и \(C C_{2}\) минават през една точка \(P^{\prime}\). Точката \(P^{\prime}\) е безкрайна, когато \(P\) описва крива от осма степен с уравнение \(\tau=0\), което се получава от (13). С помощта на (12) всички окръжности на Чева задават едно инволютивно изображение в равнината на \(\triangle A B C\), което на всяка точка \(P\), нележаща на никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\), съпоставя точка \(P^{\prime}\). Една от двойните точки на това изображение е добре известната точка на Жергон. Повече по въпроса за двойните точки ще отбележим, след като определим понятието крива на Чева.

Във връзка с окръжността на Чева \(c_{P}\) за точка \(P\) е интересно да определим координатите на нейния център. Центърът на описаната за \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) има следните координати \(\left(\tfrac{a^{2}\left(-a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}{16 S^{2}}, \tfrac{b^{2}\left(a^{2}-b^{2}+c^{2}\right)}{16 S^{2}}, \tfrac{c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}{16 S^{2}}\right)\). Следователно координатите на центъра O(P) на центъра \(\mathrm{O}(P)\) на описаната за \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\) окръжност \(C_{P}\) спрямо \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\) са \(\left(\tfrac{a_{1}^{2}\left(-a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}\right)}{16 S_{1}^{2}}, \tfrac{b_{1}^{2}\left(a_{1}^{2}-b_{1}^{2}+c_{1}^{2}\right)}{16 S_{1}^{2}}, \tfrac{c_{1}^{2}\left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}-c_{1}^{2}\right)}{16 S_{1}^{2}}\right)\), където \(S_{1}\) е лицето на \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\). Заместваме (5) и равенството \(S_{1}^{2}=\tfrac{4 \lambda^{2} \mu^{2} v^{2} S^{2}}{(\mu+v)^{2}(v+\lambda)^{2}(\lambda+\mu)^{2}}\) в тези координати. Координатите на \(O(P)\) спрямо \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\) получаваме във вида \[ \begin{aligned} & x_{O(P)}^{\prime}=\tfrac{\bar{a} \cdot \overline{\bar{a}}}{32(v+\lambda)(\lambda+\mu) \lambda^{2} \mu^{2} v^{2} S^{2}} \\ & y_{O(P)}^{\prime}=\tfrac{\bar{b} \cdot \overline{\bar{b}}}{32(\lambda+\mu)(\mu+v) \lambda^{2} \mu^{2} v^{2} S^{2}} \\ & z_{O(P)}^{\prime}=\tfrac{\bar{c} \cdot \overline{\bar{c}}}{32(\mu+v)(v+\lambda) \lambda^{2} \mu^{2} v^{2} S^{2}} \end{aligned} \] където \(\overline{\bar{a}}, \overline{\bar{b}}\) и \(\overline{\bar{c}}\) се определят с равенствата:

Оттук и (2) за координатите на \(O(P)\) спрямо \(\triangle A B C\) получаваме

(14) \[ \begin{aligned} & \overline{\bar{a}}=-\left(\lambda^{2}+\mu v\right) \mu v a^{2}+(\mu+v) v \lambda^{2} b^{2}+(\mu+v) \mu \lambda^{2} c^{2}, \\ & \overline{\bar{b}}=(v+\lambda) v \mu^{2} a^{2}-\left(\mu^{2}+v \lambda\right) v \lambda b^{2}+(v+\lambda) \lambda \mu^{2} c^{2}, \\ & \overline{\bar{c}}=(\lambda+\mu) \mu v^{2} a^{2}+(\lambda+\mu) \lambda v^{2} b^{2}-\left(v^{2}+\lambda \mu\right) \lambda \mu c^{2} . \end{aligned} \]

(15) \[ \begin{aligned} & x_{O(P)}=\tfrac{\lambda(\bar{b} \cdot \overline{\bar{b}}+\bar{c} \cdot \overline{\bar{c}})}{32(\mu+v)(v+\lambda)(\lambda+\mu) \lambda^{2} \mu^{2} v^{2} S^{2}} \\ & y_{O(P)}=\tfrac{\mu(\bar{c} \cdot \overline{\bar{c}}+\bar{a} \cdot \overline{\bar{a}})}{32(\mu+v)(v+\lambda)(\lambda+\mu) \lambda^{2} \mu^{2} v^{2} S^{2}} \\ & z_{O(P)}=\tfrac{v(\bar{a} \cdot \overline{\bar{a}}+\bar{b} \cdot \bar{b})}{32(\mu+v)(v+\lambda)(\lambda+\mu) \lambda^{2} \mu^{2} v^{2} S^{2}} \end{aligned} \]

2. Крива на Чева. Ще определим подходящо конично сечение, което обобщава разгледаното понятие окръжност на Чева. Желаното обобщение ще намерим във връзка с произволно описано за \(\triangle A B C\) конично сечение \(\bar{k}(O)\), което има за център точката \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\). Кривата \(\bar{k}(O)\) може да се определи с уравнението

(16) \[ \left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y z+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} z x+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} x y=0 \]

Уравнението (8) на окръжността \(C_{P}\) определихме, като използваме, че то изглежда по същия начин спрямо \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\), както уравнението (6) на описаната за \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\) спрямо \(\triangle A B C\). Ще използваме същата идея, за да определим конично сечение, описано около \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\). Уравнение (16) се получава от (6), като \(a^{2}, b^{2}\) и \(c^{2}\) се заменят съответно с \(\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0},\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}\) и \(\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\). Затова разглеждаме конично сечение \(\bar{c}_{P}\), което има уравнение (8) с коефициенти \(a^{\prime}, b^{\prime}\) и \(c^{\prime}\), , получаващи се с равенствата

(9') \[ \begin{aligned} & a^{\prime}=-(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+ \\ & +(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \\ & b^{\prime}=(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}-(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}+ \\ & +(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} \\ & c^{\prime}=(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0}+(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}- \\ & -(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} . \end{aligned} \]

Последните равенства се получават от (9) след извършване на споменатата смяна. Ясно е, че, когато \(O\) е центърът на \(\Gamma\), то \(\bar{c}_{P} \equiv c_{P}\). Следователно кривата \(\bar{c}_{P}\) е обобщение на окръжността \(c_{P}\). Кривата \(\bar{c}_{P}\) ще наричаме крива на Чева за точка \(P\) по отношение на описаната крива \(\bar{k}(O)\) или само крива на Чева, когато се подразбира коя е описаната крива. Тъй като координатите на точките \(A_{2}, B_{2}\) и \(C_{2}\) в (10) и (11) се получават от (8) без да се извършват преобразувания върху \(a^{2}\), \(b^{2}\) и \(c^{2}\), то споменатата смяна води до точки \(A_{2}, B_{2}\) и \(C_{2}\), B2 и C2, определени с (10), (11) и (9¢), лежащи на \(\bar{c}_{P}\). Освен това получаващите се прави \(A A_{2}, B B_{2}\) и \(C C_{2}\) минават през точка \(P^{\prime}\), координатите на която се определят с (12), (13) и (9¢). Вижда се, че когато са известни координатите на \(O\) и \(P\), можем да построим кривата \(\bar{c}_{P}\) по пет от известните върху нея шест точки \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, A_{2}, B_{2}\) и \(C_{2}\) посредством (1), (10), (11) и (9¢).

Описаното за \(\triangle A B C\) конично сечение \(\bar{k}(O)\) може да се представи и с друго уравнение. Нека \(I\left(x_{I}, y_{I}, z_{I}\right)\) е център на вписано в \(\triangle A B C\) конично с е чение \(k(I)\). То чките \(I_{A}\left(-\tfrac{x_{I}}{-x_{I}+y_{I}+z_{I}}, \tfrac{y_{I}}{-x_{I}+y_{I}+z_{I}}, \tfrac{z_{I}}{-x_{I}+y_{I}+z_{I}}\right)\), \(I_{B}\left(\tfrac{x_{I}}{x_{I}-y_{I}+z_{I}},-\tfrac{y_{I}}{x_{I}-y_{I}+z_{I}}, \tfrac{z_{I}}{x_{I}-y_{I}+z_{I}}\right), I_{C}\left(\tfrac{x_{I}}{x_{I}+y_{I}-z_{I}}, \tfrac{y_{I}}{x_{I}+y_{I}-z_{I}},-\tfrac{z_{I}}{x_{I}+y_{I}-z_{I}}\right)\) определят триъгълник \(I_{A} I_{B} I_{C}\), който се нарича спрегнат на \(I\) спрямо \(\triangle A B C\) (Паскалев \(\&\) Чобанов, 1985). Тези точки са центрове на вписани в \(\triangle A B C\) конични сечения \(k\left(I_{A}\right)\), \(k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\). Средите на отсечките на \(I_{A}, I_{B}, I_{C}, I_{B} I_{C}, I_{C} I_{A}\) и \(I_{B} I_{B}\), IB, IC, IBIC, ICIA и IBIB, както е показано в (Ненков, 2008), лежат на конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център точка \(O\). Всяка от точките \(I\) и \(O\) определя еднозначно другата (Ненков, 2010), затова кривите \(\bar{k}(O)\) и \(k(I)\) ще наричаме асоциирани спрямо \(A B C\). В (Ненков, 2008) и (Ненков, 2010) е показано, че кривите \(k(I)\) и \(\bar{k}(O)\) притежават свойства, които са подобни на съответните свойства на вписаната и описаната окръжност за \(A B C\), поради което казваме, че са елементи на Фойербахова конфигурация. От споменатите резултати следва, че \(\bar{k}(O)\) може да се представи с уравнението

(17) \[ x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y=0 \]

Уравнение (17) се получава от (6), като \(a^{2}, b^{2}\) и \(c^{2}\) се заменят съответно с \(x_{I}^{2}, y_{I}^{2}\) и \(z_{I}^{2}\). Затова разгледаното конично сечение \(\bar{c}_{P}\) ще се представи с уравнение (8), в което коефициентите \(a^{\prime}, b^{\prime}\) и \(c^{\prime}\) се получават с равенствата:

(9'') \[ \begin{aligned} a^{\prime} & =-(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v x_{I}^{2}+(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda y_{I}^{2}+(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu z_{I}^{2}, \\ \left(9^{\prime \prime}\right) b b^{\prime} & =(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v x_{I}^{2}-(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda y_{I}^{2}+(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu z_{I}^{2}, \\ c^{\prime} & =(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v x_{I}^{2}+(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda y_{I}^{2}-(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu z_{I}^{2} . \end{aligned} \]

Както и преди, точките \(A_{2}, B_{2}, C_{2}\) се определят с (10), (11) и (9¢¢), а \(\mathrm{P}^{\prime}-\mathrm{c}(12)\), (13) и (9¢¢).

Множеството на кривите на Чева, зададени с (8) и (9¢) (или (9¢¢)) при фиксирана описана крива \(k(O)\), определят инволюция в равнината на \(\triangle A B C\) с помощта на (12) и (9¢) (или (9¢¢)). Двойните елементи на тази инволюция са всички точки \(P\), за които \(P^{\prime} \equiv P\), т.е. точките \(P\), за които \(A_{1} \equiv A_{2}, B_{1} \equiv B_{2}\) и \(C_{1} \equiv C_{2}\). Това е възможно точно когато кривите на Чева са вписани конични сечения, асоциирани с \(\bar{k}(O)\). В случай, че \(\bar{k}(O)\) е елипса или хипербола, това са вписаните криви \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\). Тогава двойните елементи са точките на Жергон, определени в (Ненков, 2010) със следните координатни представяния:

\[ \begin{gathered} J\left(\tfrac{\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{\vartheta}, \tfrac{\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{\vartheta}, \tfrac{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{\vartheta}\right), \\ J_{A}\left(-\tfrac{\left(1-2 y_{I}\right)}{1-4 y_{I} z_{I}}, \tfrac{1-2 z_{I}}{1-4 y_{I} z_{I}}, \tfrac{1-2 z_{I}}{1-4 y_{I} z_{I}}\right), \\ J_{B}\left(\tfrac{1-2 x_{I}}{1-4 z_{I} x_{I}},-\tfrac{\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{1-4 z_{I} x_{I}}, \tfrac{1-2 z_{I}}{1-4 z_{I} x_{I}}\right), \\ J_{C}\left(\tfrac{1-2 x_{I}}{1-4 x_{I} y_{I}}, \tfrac{1-2 y_{I}}{1-4 x_{I} y_{I}},-\tfrac{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{1-4 x_{I} y_{I}}\right), \end{gathered} \] където \(\vartheta=4 x_{I} y_{I}+4 y_{I} z_{I}+4 z_{I} x_{I}-1\).

Следователно получената инволюция има четири двойни елемента, когато описаната крива \(\bar{k}(O)\) е елипса или хипербола. Ако \(\bar{k}(O)\) е парабола, асоциираната й вписана парабола е една. Затова и точката на Жергон е една. Тя се задава по следния начин \(J\left(\tfrac{y_{I} z_{I}}{y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}}, \tfrac{z_{I} x_{I}}{y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}}, \tfrac{x_{I} y_{I}}{y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}}\right)\) (Ненков, 2010). Следователно в този случай инволюцията има само един двоен елемент.

За да определим координатите на центъра \(O(P)\) на кривата на Чева \(\bar{c}_{P}\), по-стъпваме по следния начин: през точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\) построяваме прави, успоредни съответно на \(B_{1} C_{1}\) и \(C_{1} A_{1}\), които пресичат \(\bar{c}_{P}\) съответно в точки \(A_{1}^{\prime}\) и \(B_{1}^{\prime}\). След това намираме правата \(l_{a}\), минаваща през средите на \(A_{1} A_{1}^{\prime}\) и \(B_{1} C_{1}\) и правата \(l_{b}\), минаваща през средите на \(B_{1} B_{1}^{\prime}\) и \(C_{1} A_{1}\). За координатите на пресечната точка \(O(P)\) на \(l_{a}\) и \(l_{b}\) получаваме формулите (15), в които \(\bar{a}\) и \(\overline{\bar{a}}\) от (4) и (14) съдържат (\(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\) ) \(x_{0}\), \(\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0}\) и \(\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0}\) (или \(x_{I}^{2}, y_{I}^{2}\) и \(z_{I}^{2}\) ), заменящи съответно \(a^{2}, b^{2}\) и \(c^{2}\). Освен това в тези равенства \(16 \mathrm{~S}^{2}\) се заменя с

\[ \begin{gathered} \left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) \\ \left(\text { или }\left(-x_{I}+y_{I}+z_{I}\right)\left(x_{I}-y_{I}+z_{I}\right)\left(x_{I}+y_{I}-z_{I}\right)\right) . \end{gathered} \]

Следователно координатите на центьра \(O(P)\) се определят чрез равенствата (15) (както трябваше да се очаква).

3. Хомотетични свойства на кривите на Чева. Наблюденията с GSP върху кривите на Чева при фиксирана описана за \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}(O)\) показват, че е изпълнено следното

Твърдение 1. Всички криви на Чева по отношение на постоянна, описана за \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}(O)\), са от същия вид, от който е \(\bar{k}(O)\).

Нещо повече, по-подробните наблюдения с GSP показват, че в зависимост от вида на \(\bar{k}(O)\) твърдение 1 се уточнява чрез следващите твърдения:

Твърдение 2. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е елипса, то за всяка точка \(P\) от равнината на \(\triangle A B C\) кривата \(\bar{c}_{P}\) е елипса, хомотетична на \(\bar{k}(O)\) ( O) (фиг. 1) .

Твърдение 3. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е хипербола, то за всяка точка \(P\) от равнината на \(\triangle A B C\) кривата \(\bar{c}_{P}\) е хипербола, хомотетична на \(\bar{k}(O)\) или на нейната спрегната \(\overline{\bar{k}}(O)\) (O ) (фиг. 1) .

Твърдение 4. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е парабола, то за всяка точка \(P\) от равнината на \(\triangle A B C\) кривата \(\bar{c}_{P}\) е парабола, хомотетична на \(\bar{k}(O)\) ( O) (фиг. 1) .

За да докажем тези твърдения, е достатъчно да забележим, че при използването на равенствата (9¢) уравнението (8) на \(\bar{c}_{P}\) се записва във вида:

(18) \[ \begin{aligned} & \lambda \mu v(-\lambda+\mu+v)(\lambda-\mu+v)(\lambda+\mu-v) \times \\ & \times\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y z+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} z x+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} x y\right]- \\ & -\left(\mu v a^{\prime} x+v \lambda b^{\prime} y+\lambda \mu c^{\prime} z\right)(x+y+z)=0 \end{aligned} \]

Това уравнение е от вида

\[ \begin{aligned} & k \cdot\left[\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y z+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} z x+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} x y\right]+ \\ & +\left(a_{11} x+a_{22} y+a_{33} z\right)(x+y+z)=0 \end{aligned} \] Затова от резултатите за този вид криви, описани в (Гроздев & Ненков, 2014), се получават всички, формулирани по-горе, твърдения.

4. Едно свойство на центъра на кривата на Чева за точка на Нагел. В общия случай, както лесно се забелязва с GSP, точките \(P, P^{\prime}\) и \(O(P)\) не лежат на една права. Тези точки лежат на една права точно когато е изпълнено равенството

(19) \[ \left|\begin{array}{ccc} \lambda & \mu & v \\ x_{P^{\prime}} & y_{P^{\prime}} & z_{P^{\prime}} \\ x_{O(P)} & y_{O(P)} & z_{O(P)} \end{array}\right|=0 \]

Любопитно е да се открият някои забележителни точки \(P\) в равнината на \(\triangle A B C\) при фиксирана крива \(\bar{k}(O)\), които заедно със съответните им точки \(P^{\prime}\) и \(O(P)\) лежат на една права. Една от тези точки е медицентърът \(G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\) на \(\triangle A B C\). Кривата на Чева за \(\mathrm{G} G\) по отношение на произволна описана около \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}(O)\) е обобщение на окръжността на Ойлер за \(\triangle A B C\), която наричаме крива на Ойлер за \(\triangle A B C\), асоциирана с \(\bar{k}(O)\). Кривата на Ойлер също принадлежи на Фойербаховата конфигурация, определена от \(\bar{k}(O)\). Освен това в (Nenk ( O) . Освен това в (Nenkov, 2007) е отбелязано, че (според въведените по-горе означения) \(O(G)\) е среда на отсечката \(G G^{\prime}\), т.е. \(G, G^{\prime}\) и \(O(G)\) лежат на една права.

Други забележителни точки за Фойербаховата конфигурация, определена от \(\bar{k}(O)\), са точките на Нагел. Едната точка на Нагел \(N\left(1-2 x_{I}, 1-2 y_{I}, 1-2 z_{I}\right)\) е пресечната точка на правите, свързващи върховете \(A, B\) и \(C\) със съответните допирни точки на \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\) със страните \(B C, C A\) и \(A B\). По аналогичен начин се получават още три точки на Нагел

\[ \begin{gathered} N_{A}\left(\tfrac{1}{1-2 x_{I}}, \tfrac{2 z_{I}-1}{1-2 x_{I}}, \tfrac{2 y_{I}-1}{1-2 x_{I}}\right), N_{B}\left(\tfrac{2 z_{I}-1}{1-2 y_{I}}, \tfrac{1}{1-2 y_{I}}, \tfrac{2 x_{I}-1}{1-2 y_{I}}\right) \\ N_{C}\left(\tfrac{2 y_{I}-1}{1-2 z_{I}}, \tfrac{2 x_{I}-1}{1-2 z_{I}}, \tfrac{1}{1-2 z_{I}}\right) \end{gathered} \]

Ще докажем, че точките \(N, N^{\prime}\) и \(O(N)\) лежат на една права. За останалите точки на Нагел това се получава, като заменим вписаната крива \(k(I)\) с \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\). От (\(9^{\prime \prime}\) ) и (13), при \(\lambda=1-2 x_{I}, \mu=1-2 y_{I}, v=1-2 z_{I}\), , получаваме равенствата

\[ \begin{gathered} a^{\prime}=4 x_{I} y_{I} z_{I}\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right] \\ b^{\prime}=4 x_{I} y_{I} z_{I}\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\right] \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} c^{\prime}=4 x_{I} y_{I} z_{I}\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right] \\ \tau=16 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z_{I}^{2}\left[48 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z_{I}^{2}-32 x_{I} y_{I} z_{I}\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)+4\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)-1\right] \end{gathered} \]

От тези равенства и (12) намираме координатите на \(N^{\prime}\) във вида

\[ \begin{aligned} x_{N^{\prime}} & =\tfrac{\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\right]\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right]}{48 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z_{I}^{2}-32 x_{I} y_{I} z_{I}\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)+4\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)-1}, \\ y_{N^{\prime}} & =\tfrac{\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right]\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right]}{48 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z_{I}^{2}-32 x_{I} y_{I} z_{I}\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)+4\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)-1}, \\ z_{N^{\prime}} & =\tfrac{\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right]\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\right]}{48 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z_{I}^{2}-32 x_{I} y_{I} z_{I}\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)+4\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)-1} . \end{aligned} \]

От (4), (14) и (15) (15) , при замените \(a^{2} \rightarrow x_{I}^{2}, b^{2} \rightarrow y_{I}^{2}, c^{2} \rightarrow z_{I}^{2}\), \(16 S^{2} \rightarrow\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\), с помощта на програмата Maple намираме координатите на \(O(N)\) във вида:

\[ \begin{aligned} & x_{O(N)}=\tfrac{x_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times \\ & \times\left(-8 y_{I}^{4} z_{I}^{2}-8 y_{I}^{2} z_{I}^{4}-16 y_{I}^{3} z_{I}^{3}-8 y_{I}^{3} z_{I}^{2}-8 y_{I}^{2} z_{I}^{3}+28 y_{I}^{3} z_{I}+28 y_{I} z_{I}^{3}+64 y_{I}^{2} z_{I}^{2}-\right. \\ & \left.-8 y_{I}^{3}-8 z_{I}^{3}-54 y_{I}^{2} z_{I}-54 y_{I} z_{I}^{2}+12 y_{I}^{2}+12 z_{I}^{2}+32 y_{I} z_{I}-6 y_{I}-6 z_{I}+1\right)= \\ & =\tfrac{x_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times\left\{x_{I}\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)+\right. \\ & \left.+\left[\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right)\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right)-x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right]\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)\right\} \\ & y_{O(N)}=\tfrac{y_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times \\ & \times\left(-8 z_{I}^{4} x_{I}^{2}-8 z_{I}^{2} x_{I}^{4}-16 z_{I}^{3} x_{I}^{3}-8 z_{I}^{3} x_{I}^{2}-8 z_{I}^{2} x_{I}^{3}+28 z_{I}^{3} x_{I}+28 z_{I} x_{I}^{3}+64 z_{I}^{2} x_{I}^{2}-\right. \\ & \left.-8 z_{I}^{3}-8 x_{I}^{3}-54 z_{I}^{2} x_{I}-54 z_{I} x_{I}^{2}+12 z_{I}^{2}+12 x_{I}^{2}+32 z_{I} x_{I}-6 z_{I}-6 x_{I}+1\right)= \\ & =\tfrac{y_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times\left\{y_{I}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)+\right. \\ & \left.+\left[\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right)\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)-y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\right]\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right)\right\} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} & z_{O(N)}=\tfrac{z_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times \\ & \times\left(-8 x_{I}^{4} y_{I}^{2}-8 x_{I}^{2} y_{I}^{4}-16 x_{I}^{3} y_{I}^{3}-8 x_{I}^{3} y_{I}^{2}-8 x_{I}^{2} y_{I}^{3}+28 x_{I}^{3} y_{I}+28 x_{I} y_{I}^{3}+64 x_{I}^{2} y_{I}^{2}-\right. \\ & \left.-8 x_{I}^{3}-8 y_{I}^{3}-54 x_{I}^{2} y_{I}-54 x_{I} y_{I}^{2}+12 x_{I}^{2}+12 y_{I}^{2}+32 x_{I} y_{I}-6 x_{I}-6 y_{I}+1\right)= \\ & =\tfrac{z_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times\left\{z_{I}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)+\right. \\ & \left.+\left[\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right)-z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right]\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right)\right\} \end{aligned} \]

Въвеждаме означенията \(\sigma_{1}=x_{I}+y_{I}+z_{I}, \sigma_{2}=y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}, \sigma_{3}=x_{I} y_{I} z_{I}\). С помощта на програмата Maple пресмятаме детерминантата

\[ \begin{aligned} & \delta=\left|\begin{array}{ccc} x_{N} & y_{N} & z_{N} \\ x_{N^{\prime}} & y_{N^{\prime}} & z_{N^{\prime}} \\ x_{O(N)} & y_{O(N)} & z_{O(N)} \end{array}\right|=\tfrac{16\left(y_{I}-z_{I}\right)\left(z_{I}-x_{I}\right)\left(x_{I}-y_{I}\right)}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times \\ & \times \tfrac{\left(1-\sigma_{1}\right)\left(2 \sigma_{3}-\sigma_{1}+1\right)\left(24 \sigma_{3}^{2}-8 \sigma_{1} \sigma_{2} \sigma_{3}-16 \sigma_{2} \sigma_{3}+30 \sigma_{3} \sigma_{1}-2 \sigma_{1}+4 \sigma_{2}-24 \sigma_{3}+1\right)}{48 \sigma_{3}^{2}-32 \sigma_{2} \sigma_{3}+4 \sigma_{2}-1} \end{aligned} \]

Тъй като \(\sigma_{1}=x_{I}+y_{I}+z_{I}=1\), то \(\delta=0\). Последното равенство според (19) означава, че точките \(N, N^{\prime}\) и \(O(N)\) лежат на една права.

Накрая ще отбележим, че споменатото свойство на колинеарност е изпълнено за медицентъра на \(\triangle A B C\) спрямо всяка описана около \(\triangle A B C\) крива, а за точката на Нагел то е изпълнено само спрямо описаната крива, която поражда съответната Фойербахова конфигурация.

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С. & Ненков, В. (2014). Хомотетични конични сечения в равнината на триъгълник, Математика и информатика, 2, 139 – 154.

Ненков, В. (2010). Няколко свойства на Фойербаховата конфигурация. Математика и информатика, 5, 42 – 61.

Ненков, В. (2008) Обобщение на теоремата на Фойербах. Математика и информатика, 2, 35 – 42.

Паскалев, Г. $ Чобанов, Г. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.

Хитов, Х. (1990). Геометрия на триъгълника. София: Народна просвета.

Nenkov, V. (2007). Euler‘s Line and Euler‘s Curve Dependent by a Point. New Trends in Mathematics and Informatics, Jubilee International Conference 60 years Institute of Mathematics and Informatics Bulgarian Academy Sciences, Abstracts, Sofia, Bulgaria 6-8 July, 48.