Сава Гроздев

Institute of Mathematics and Informatics – BAS
Sofia Bulgaria
E-mail: sava.grozdev@gmail.com

Веселин Ненков

Technical College Lovech
Lovech Bulgaria
E-mail: vnenkov@mail.bg

Резюме. В настоящата статия е описано обобщение на една геометрична задача от международната олимпиада по математика през 2013 г.

Ключови думи: triangle, conic, Ceva circle, Ceva curve, Feuerbach configuration, Nagel point, GSP.

За някои геометрични твърдения може да се каже, че притежават естествени обобщения. Често най-естественото обобщение е скрито в особено построение, което съдържа някои специални конструкции. Пример за такова твърдение е следната задача от международната олимпиада по математика през 2013 г.: Външновписаните окръжности \(\Gamma_{a}\left(I_{a}\right), \Gamma_{b}\left(I_{b}\right)\) и \(\Gamma_{c}\left(I_{c}\right)\) на \(\triangle A B C\) се допират до страните му \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\). Да се докаже, че ако центърът на описаната около \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\) окръжност \(k\) лежи върху описаната окръжност \(\Gamma(O)\) на \(\triangle A B C\), то \(\triangle A B C\) е правоъгълен. (Гроздев&Ненков, 2013)

Допирните точки на \(\Gamma_{a}\left(I_{a}\right), \Gamma_{b}\left(I_{b}\right)\) и \(\Gamma_{c}\left(I_{c}\right)\) съответно с \(B C, C A\) и \(A B\), свързани със срещуположните им върхове, образуват чевиани, които се пресичат в добре познатата точка на Нагел за \(\triangle A B C\) (Паскалев & Чобанов, 1985). Освен това всяко описано за \(\triangle A B C\) конично сечение се свързва с еднозначно определени вписани в \(\triangle A B C\) конични сечения, които също определят точки на Нагел. Конструкцията, съдържаща тези конични сечения, наричаме Фойербахова конфигурация (Ненков, 2010).

От друга страна, петите на чевианите през произволна точка \(P\) от равнината на \(\triangle A B C\) лежат на една окръжност – наричаме я окръжност на Чева. Тази окръжност пресича за втори път страните на \(\triangle A B C\) в точки, които, свързани със срещуположните им върхове, образуват чевиани през точка \(P^{\prime}\) (Хитов, 1990). По отношение на произволно описано за \(\triangle A B C\) конично сечение \(\bar{k}(O)\) чрез специална конструкция на всяка точка \(P\) еднозначно може да се съпостави точка \(P^{\prime}\) , така че петите на чевианите през точките \(P\) и \(P^{\prime}\) определят конично сечение, което наричаме крива на Чева за точката \(P\) (и \(P^{\prime}\) ). Когато \(\bar{k}(O)\) съвпадне с описаната за \(\triangle A B C\) окръжност, кривата на Чева преминава в окръжността на Чева за точките \(P\) и \(P^{\prime}\) (Гроздев & Ненков, 2014).

Въз основа на тези две наблюдения можем да очакваме, че най-естественото обобщение на олимпиадната задача се получава при разглеждане на кривата на Чева за точка на Нагел в подходяща Фойербахова конфигурация. Затова в началото трябва да припомним какво по-точно определяме като Фойербахова конфигурация и крива на Чева.

Обичайните изследвания, които извършваме върху свойствата на Фойербахови конфигурации и криви на Чева, осъществяваме с помощта на барицентрични координати. Затова в по-нататъшните изследвания ще използваме барицентрични координати спрямо даден \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) ( (Паскалев \(\&\) Чобанов, 1985). Средите на страните \(B C, C A\) и \(A B\) означаваме съответно с \(M_{a}\left(0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right), M_{b}\left(\tfrac{1}{2}, 0, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(M_{c}\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 0\right)\). Освен това в построяването на коничните сечения и забелязването на някои от техните свойства ще използваме конструктивните и динамични възможности на програмата “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP).

1. Фойербахови конфигурации. Нека \(I\left(x_{I}, y_{I}, z_{I}\right)\left(x_{I}+y_{I}+z_{I}=1\right)\) е произволна точка от равнината на \(\triangle A B C\), нележаща на никоя от правите \(B C, C A, A B\), \(M_{b} M_{c}, M_{c} M_{a}\) и \(M_{a} M_{b}\). Спрямо \(\triangle A B C\) точката \(I\) имаспрегнаттриъгьлник \(I_{A} I_{B} I_{C}\) (Паскалев & Чобанов, 1985). Точките \(I\left(x_{I}, y_{I}, z_{I}\right), I_{A}\left(-\tfrac{x_{I}}{1-2 x_{I}}, \tfrac{y_{I}}{1-2 x_{I}}, \tfrac{z_{I}}{1-2 x_{I}}\right)\), \(I_{B}\left(\tfrac{x_{I}}{1-2 y_{I}},-\tfrac{y_{I}}{1-2 y_{I}}, \tfrac{z_{I}}{1-2 y_{I}}\right)\) и \(I_{C}\left(\tfrac{x_{I}}{1-2 z_{I}}, \tfrac{y_{I}}{1-2 z_{I}},-\tfrac{z_{I}}{1-2 z_{I}}\right)\) са центрове на конични сечения \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\), , вписани в \(\triangle A B C\). Средите на отсечките \(I_{A}, I_{B}, I_{C}, I_{B} I_{C}, I_{C} I_{A}\) и \(I_{A} I_{B}\) лежат на конично сечение \(\bar{k}(O)\), описано за \(\triangle A B C\) (Ненков, 2010). От резултатите, получени в (Ненков, 2008), следва, че уравнението на кривата \(\bar{k}(O)\) и координатите на центъра й \(O\) са съответно следните:

(1) \[ \bar{k}(O): x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y=0 \]

(2) \(O\left(\tfrac{\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right) x_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) y_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right) z_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}\right)\).

Коничните сечения \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) и \(\bar{k}(O)\) са обвързани с редица общи свойства. Поради едно от тях ще казваме, че те са елементи на една Фойербахова конфигурация (Ненков, 2010).

Всяка от кривите \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) и \(\bar{k}(O)\) чрез центъра си определя еднозначно останалите. Изключения се получават само когато центърът \(O\) съвпада с някоя от точките \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\). Ако \(O \equiv M_{a}\), коничното сечение \(\bar{k}(O)\) не е определено еднозначно от центъра си. Затова ще го определим с помощта на центъра \(I\) на съответното му вписано конично сечение \(k(I)\). От (2) следва, че \(O \equiv M_{a}\) тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството \(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}=0\). Последното равенство означава, че точката \(I\) лежи на хиперболата \(\chi_{a}\), която има уравнение \(\chi_{a}: 1-2 x-2 y z=0\) (тази хипербола има за център точката, симетрична на \(A\) спрямо \(M_{a}\), а асимптотите й са успоредни на \(A C\) и \(A B\) (фиг. 1)). Нека сега \(I\) е точка от хиперболата \(\chi_{a}\). Точката \(I\) е център на единствено конично сечение \(k(I)\), което е вписано в \(\triangle A B C\). Освен това точката \(I\) има спрямо \(\triangle A B C\) спрегнат триъгълник \(I_{A} I_{B} I_{C}\). Средите на отсечките \(I_{A}, I_{B}, I_{C}, I_{B} I_{C}, I_{C} I_{A}\) и \(I_{A} I_{B}\) ще лежат на описано около \(\triangle A B C\) конично сечение \(\bar{k}\left(M_{a}\right)\), което има за център точката \(M_{a}\). Обратно, на така получената крива \(\bar{k}\left(M_{a}\right)\) можем да съпоставим кривата \(k(I)\), от която е получена. По този начин получаваме съответствие между вписаните конични сечения \(k(I)\) с центрове върху хиперболата \(\chi_{a}\) и описаните конични сечения с център \(M_{a}\). Освен това след заместване на координатите на точките \(I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) в уравнението на \(\chi_{a}\), лесно се установява, че те също лежат на \(\chi_{a}\) (фиг. 1). Следователно всяка от тези точки поражда същата крива \(\bar{k}\left(M_{a}\right)\), както и точката \(I\). Така всяка от точките \(I, I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) поражда по единствен начин кривите \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) и \(\overrightarrow{k}\left(M_{a}\right)\). Поради специалните положения, които имат центровете на кривите \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) и \(\bar{k}\left(M_{a}\right)\), ще казваме, че те са елементи на специална Фойербахова конфигурация.

По аналогичен начин се получават специални Фойербахови конфигурации, в които участват описани за \(\triangle A B C\) конични сечения с центрове точките \(M_{b}\) и \(M_{c}\). Когато кривите \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) и \(\bar{k}(O)\) са елементи на Фойербахова конфигурация, за която \(O \notin\left\{M_{a}, M_{b}, M_{c}\right\}\), Mb, Mc} , ще казваме още, че разглеждаме обща Фойербахова конфигурация. Тъй като произволна Фойербахова конфигурация може да се разглежда като породена само от точката \(I\) (център на вписана в \(\triangle A B C\) крива), то всички аналитични резултати ще зависят само от координатите на \(I\). Затова произволна специална Фойербахова конфигурация притежава всички свойства, които имат общите Фойербахови конфигурации. Тъй като за една специална Фойербахова конфигурация е изпълнено едно от равенствата \(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}=0\), \(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}=0,1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}=0\), 1− 2zI − 2xI yI = 0 , тя притежава и по-специални свойства. Такова специално и основно свойство е, че по отношение на специалните Фойербахови конфигурации всеки триъгълник се държи като правоъгълен триъгълник. Този факт ясно ще се прояви в обобщението на олимпиадната задача.

2. Крива на Чева за точка на Нагел. Нека кривите \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) и \(\bar{k}(O)\) са елементи на една Фойербахова конфигурация и \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) се допират до \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките

\[ A_{1}\left(0, \tfrac{1-2 y_{I}}{2 x_{I}}, \tfrac{1-2 z_{I}}{2 x_{I}}\right), B_{1}\left(\tfrac{1-2 x_{I}}{2 y_{I}}, 0, \tfrac{1-2 z_{I}}{2 y_{I}}\right), C_{1}\left(\tfrac{1-2 x_{I}}{2 z_{I}}, \tfrac{1-2 y_{I}}{2 z_{I}}, 0\right) \]

Правите \(A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\) се пресичат в една точка \(N\left(1-2 x_{I}, 1-2 y_{I}, 1-2 z_{I}\right)\), която ще наричаме точка на Нагел за \(\triangle A B C\) спрямо тройката криви \(k\left(I_{A}\right)\), \(k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\) ( (Ненков, 2010). По аналогичен начин спрямо тройките криви \(k(I), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right) ; k(I), k\left(I_{C}\right)\) и \(k\left(I_{A}\right) ; k(I), k\left(I_{A}\right)\) и \(k\left(I_{B}\right)\) се получават точките на Нагел \(N_{A}\left(\tfrac{1}{1-2 x_{I}}, \tfrac{2 z_{I}-1}{1-2 x_{I}}, \tfrac{2 y_{I}-1}{1-2 x_{I}}\right), N_{B}\left(\tfrac{2 z_{I}-1}{1-2 y_{I}}, \tfrac{1}{1-2 y_{I}}, \tfrac{2 x_{I}-1}{1-2 y_{I}}\right)\) , \(N_{C}\left(\tfrac{2 y_{I}-1}{1-2 z_{I}}, \tfrac{2 x_{I}-1}{1-2 z_{I}}, \tfrac{1}{1-2 z_{I}}\right)\) (Ненков, 2010). Ще обърнем специално внимание на точката \(N\), защото останалите точки на Нагел се получават, като заменим вписаната крива \(k(I)\) с \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\). От резултатите, получени в (Гроздев \(\&\) Ненков, 2014), е известно, че през точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) минава крива от втора степен, уравнението на която може да се запише по следния начин

\[ \bar{c}_{N}: k\left(x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y\right)+\left(a_{11} x+a_{22} y+a_{33} z\right)(x+y+z)=0 \] където

\[ \begin{gathered} k=\tfrac{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-4 x_{I}\right)\left(1-4 y_{I}\right)\left(1-4 z_{I}\right)}{4 x_{I} y_{I} z_{I}} \\ a_{11}=\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right] \\ a_{22}=\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\right] \\ a_{33}=\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right] \end{gathered} \]

Кривата \(\bar{c}_{N}\) наричаме крива на Чева за точката на Нагел \(N\). Кривата на Чева \(\bar{c}_{N}\), както е показано в (Гроздев & Ненков, 2014), пресича за втори път правите \(B C, C A, A B\) съответно в точките

\[ \begin{aligned} & A_{2}\left(0, \tfrac{4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{2 x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{2 x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}\right) \\ & B_{2}\left(\tfrac{4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{2 y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}, 0, \tfrac{4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{2 y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}\right) \\ & C_{2}\left(\tfrac{4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{2 z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}, \tfrac{4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{2 z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}, 0\right) \end{aligned} \]

Тези точки заедно с върховете определят правите \(A A_{2}, B B_{2}\) и \(C C_{2}\), BB2 и CC2 , които минават през една точка \(N^{\prime}\), чиито координати се изразяват по следния начин:

\[ \begin{aligned} x_{N^{\prime}} & =\tfrac{\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\right]\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right]}{48 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z_{I}^{2}-32 x_{I} y_{I} z_{I}\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)+4\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)-1} \\ y_{N^{\prime}} & =\tfrac{\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right]\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right]}{48 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z_{I}^{2}-32 x_{I} y_{I} z_{I}\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)+4\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)-1} \\ z_{N^{\prime}} & =\tfrac{\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right]\left[4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\right]}{48 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z_{I}^{2}-32 x_{I} y_{I} z_{I}\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)+4\left(y_{I} z_{I}+z_{I} x_{I}+x_{I} y_{I}\right)-1} \end{aligned} \]

Относно координатите на центъра \(O(N)\) на кривата на Чева \(\bar{c}_{N}\) в (Гроздев & Ненков, 2014) е показано, че те се определят с равенствата

\[ \begin{aligned} & x_{O(N)}=\tfrac{x_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times\left\{x_{I}\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)+\right. \\ & \left.+\left[\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right)\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right)-x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right]\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)\right\} \\ & y_{O(N)}=\tfrac{y_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times\left\{y_{I}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)+\right. \\ & \left.+\left[\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right)\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)-y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)\right]\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right)\right\} \\ & z_{O(N)}=\tfrac{z_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}} \times\left\{z_{I}\left(1-2 z_{I}\right)^{2}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)+\right. \\ & \left.+\left[\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right)-z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right]\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right)\right\} \end{aligned} \]

Едно забележително свойство на центъра на кривата на Чева \(\bar{c}_{N}\) е, че при произволна Фойербахова конфигурация той лежи върху правата, определена от точките \(N\) и \(N^{\prime}\) (Гроздев & Ненков, 2014). В следващия пункт ще покажем още едно свойство на центъра \(O(N)\), което е свързано със специалните Фойербахови конфигурации и една специална крива от трета степен в равнината на \(\triangle A B C\).

3. Необходими и достатъчни условия центърът \(O(N)\) да лежи върху описаната крива \(\bar{k}(O)\). Едно обобщение на формулираната в началото задача е направено в (Гроздев & Ненков, 2013). Сега ще покажем обобщение, в което основните геометрични елементи се обхващат по естествен начин от специални Фойербахови конфигурации. Нека \(N\) е точка на Нагел, принадлежаща на Фойербахова конфигурация, съдържаща кривите \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) и \(\bar{k}(O)\), а \(\bar{c}_{N}\) е съответната й крива на Чева. От (1) следва, че центърът \(O(N)\) на \(\bar{c}_{N}\) ще лежи върху \(\bar{k}(O)\) тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството

\[ x_{I}^{2} y_{N(O)} z_{N(O)}+y_{I}^{2} z_{N(O)} x_{N(O)}+z_{I}^{2} x_{N(O)} y_{N(O)}=0 \]

След заместване в това равенство на координатите на центъра \(N(O)\) получаваме \[ \begin{aligned} & \tfrac{x_{I} y_{I} z_{I}}{\left(1-2 x_{I}\right)^{3}\left(1-2 y_{I}\right)^{3}\left(1-2 z_{I}\right)^{3}} \times \\ & \times\left[2 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\right]\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right)\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right)=0 \end{aligned} \]

Последното равенство показва, че е изпълнено следното

Твърдение 1. Една Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\) притежава точка на Нагел, чиято крива на Чева има за център точка от описаната крива, тогава и само тогава, когато един от центровете на вписаните в \(\triangle A B C\) криви лежи върху някоя от кривите: \(K: 2 x y z-(1-2 x)(1-2 y)(1-2 z)=0, \chi_{a}: 1-2 x-2 y z=0\), \(\chi_{b}: 1-2 y-2 z x=0, \chi_{c}: 1-2 z-2 x y=0\).

От Твърдение 1 се получават някои интересни следствия. Първо да отбележим, че видът на кривата \(\bar{k}(O)\) се определя от общите решения на уравнението й ( (1) и уравнението на безкрайната права \(x+y+z=0\). От тези уравнения се получава \(y_{I}^{2} x^{2}+\left(x_{I}^{2}+y_{I}^{2}-z_{I}^{2}\right) x y+x_{I}^{2} y^{2}=0\). Последното уравнение има реални решения само когато изразът \(D=-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\) е положителен. В тези случаи \(\bar{k}(O)\) е хипербола, а в останалите – елипса. Ако \(I \in K\), то е изпълнено \(D=-2 x_{I} y_{I} z_{I}\). От друга страна, точките от \(K\), които са различни от \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\), Mb и имат една отрицателна и две положителни координати (фиг. 2). Следователно, когато \(I \in K\), кривата \(\bar{k}(O)\) е хипербола. Така получаваме следното

Следствие 1. Ако \(I \in K\), то съответната Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\) се състои от хиперболи (фиг. 2) .

Оттук следва още

Следствие 2. Ако една Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\) не е специална и се състои от елипси, тя не притежава точка на Нагел, чиято крива на Чева има за център точка от описаната крива \(\bar{k}(O)\).

От следствие 2 непосредствено се получава

Следствие 3. Ако центърът \(O\) на описаната окръжност \(\bar{k}(O) \equiv \Gamma(O)\) не лежи върху страна на \(\triangle A B C\), съответната Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\), състояща се от окръжности, не притежава точка на Нагел, чиято окръжност на Чева има център, лежащ на \(\bar{k}(O)\).

Ако \(I \in K\), можем да предположим, че някоя от точките \(I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) също лежи върху \(K\). Това е възможно, когато освен \(2 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)=0\) е изпълнено и поне едно от равенстват а \(2 x_{I} y_{I} z_{I}+\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)=0\), \(2 x_{I} y_{I} z_{I}+\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)=0,2 x_{I} y_{I} z_{I}+\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)=0\). Лесно се проверява, че от тези четири равенства едновременно могат да бъдат изпълнени най-много две. Следователно

Следствие 4. Ако \(I \in K\), то съответната Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\) притежава най-много две точки на Нагел, чиито криви на Чева имат центрове, лежащи върху описаната крива \(\bar{k}(O)\).

В случай че \(I_{A}\) и \(I_{B}\) са двете точки, лежащи върху \(K\) (фиг. 2), то центровете на вписаните криви координатно се представят по следния начин:

\[ I\left(\tfrac{-2+\sqrt{6}}{2}, \tfrac{-2+\sqrt{6}}{2}, 3-\sqrt{6}\right), \quad I_{A}\left(-\tfrac{\sqrt{6}}{6}, \tfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right), \quad I_{B}\left(\tfrac{\sqrt{6}}{6},-\tfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right), \] \(I_{C}\left(\tfrac{-2-\sqrt{6}}{2}, \tfrac{-2-\sqrt{6}}{2}, 3+\sqrt{6}\right)\) или \(I\left(\tfrac{-2-\sqrt{6}}{2}, \tfrac{-2-\sqrt{6}}{2}, 3+\sqrt{6}\right), I_{A}\left(\tfrac{\sqrt{6}}{6},-\tfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right)\), \(I_{B}\left(-\tfrac{\sqrt{6}}{6}, \tfrac{\sqrt{6}}{6}, 1\right), I_{C}\left(\tfrac{-2+\sqrt{6}}{2}, \tfrac{-2+\sqrt{6}}{2}, 3-\sqrt{6}\right)\). От тези координати се вижда, че точките \(I_{A}\) и \(I_{B}\) лежат на правата през върха \(C\), която е успоредна на \(A B\). Освен това тези точки са равно отдалечени от \(C\).

Нека сега точката \(I\) лежи върху някоя от хиперболите \(\chi_{a}, \chi_{b}\) или \(\chi_{c}\). Тогава породената от \(I\) Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\) е специална. Както беше отбелязано, в този случай точките \(I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) лежат върху същата хипербола. Така от твърдение 1 непосредствено се получава търсеното естествено обобщение на формулираната в началото задача във вид на следното

Следствие 5. За произволна специална Фойербахова конфигурачия за \(\triangle A B C\) всяка точка на Нагел има крива на Чева, центърът на която лежи върху описаната крива \(\bar{k}(O)\) ( O) (Фиг. 3) .

От следствие 5 и следствие 3 се вижда, че олимпиадната задача (за класическата точка на Нагел) се уточнява в следното

Следствие 6. Центърът на окръжността на Чева за точката на Нагел лежи върху описаната окръжност на \(\triangle A B C\) тогава и само тогава, когато \(\triangle A B C\) е правоъгълен.

Тъй като всяка Фойербахова конфигурация притежава четири точки на Нагел, от следствие 5 можем да останем с впечатление, че за произволна специална Фойербахова конфигурация точките на Нагел имат четири криви на Чева, центровете на които лежат върху \(\bar{k}(O)\). Оказва се обаче, че тези криви са две. За да обосновем това, ще уточним положението на центъра на кривата на Чева за точката на Нагел \(N\) върху \(\bar{k}(O)\), когато \(I \in \chi_{c}\). В този случай е изпълнено равенството \(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}=0\). След заместване на последното равенство в координатите на центъра \(O(N)\) получаваме \(O(N)\left(\tfrac{x_{I}\left(-x_{I}+y_{I}\right)}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}, \tfrac{y_{I}\left(-y_{I}+x_{I}\right)}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}, \tfrac{z_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}\right)\). Ноточката, която има такива координати, е средата на отсечката \(I_{A} I_{B}\). Следователно \(O(N)\) е средата на \(I_{A} I_{B}\) (фиг. 3). След заместване на същото равенство в координатите на \(N^{\prime}\) по-лучаваме \(N^{\prime}\left(\tfrac{2 y_{I}-1}{1-2 z_{I}}, \tfrac{2 x_{I}-1}{1-2 z_{I}}, \tfrac{1}{1-2 z_{I}}\right)\), т.е. \(N^{\prime} \equiv N_{C}\). Следователно точките \(N\) и \(N_{C}\) имат обща крива на Чева \(\bar{c}_{N}\), чийто център е средата на \(I_{A} I_{B}\) (Фиг. 3). Оттук следва още, че точките \(A_{2}\left(0, \tfrac{2 x_{I}-1}{2 x_{I}}, \tfrac{1}{2 x_{I}}\right), B_{2}\left(\tfrac{2 y_{I}-1}{2 y_{I}}, 0, \tfrac{1}{2 y_{I}}\right)\) и \(C_{2}\left(\tfrac{1-2 y_{I}}{2 z_{I}}, \tfrac{1-2 x_{I}}{2 z_{I}}, 0\right)\) са допирните точки на \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k(I)\) съответно с правите \(B C, C A\) и \(A B\) (фиг. 3). Сега, ако в горните разсъждения заменим точката \(I\) с \(I_{A}\) (или \(I_{B}\) ), получаваме, че точките на Нагел \(N_{A}\) и \(N_{\underline{B}}\) имат обща крива на Чева \(\overline{\bar{c}}_{N}\), чийто център е средата на отсечката \(I I_{C}\). Кривата \(\overline{\bar{c}}_{N}\) минава през останалите шест допирни точки на кривите \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\) с правите \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB, които не принадлежат на \(\bar{c}_{N}\) (фиг. 3). Освен това центровете на \(\bar{c}_{N}\) и \(\overline{\bar{c}}_{N}\) са диаметрално противоположни точки за описаната крива \(\bar{k}(O)\).

Последните резултати обобщаваме в следващите следствия.

Следствие 7. При всяка специална Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\) центърът на кривата на Чева за произволна точка на Нагел е средата на някоя от отсечките \(I_{A} I_{B}, I_{B} I_{C}, I_{C} I_{A}, I I_{A}, I I_{B}\) и \(I I_{C}\).

Следствие 8. Ако \(I \in \chi_{c}\), то допирните точки на \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k(I)\) съответно с правите \(B C, C A\) и \(A B\) лежат на кривата на Чева \(\bar{c}_{N}\).

Следствие 9. Ако \(I \in \chi_{c}\), то точките на Нагел \(N\) и \(N_{C}\) имат обща крива на Чева \(\bar{c}_{N}\).

Следствие 10. При всяка специална Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\) точките на Нагел имат две криви на Чева, центровете на които са диаметрално противоположни точки за описаната крива \(\bar{k}(O)\).

4. Едно обобщение на кривата на Чева за точка на Нагел. От следствие 8 се вижда, че когато \(O \equiv M_{c}\), допирните точки \(A_{2}, B_{2}\) и \(C_{2}\) на \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k(I)\) съответно с правите \(B C, C A\) и \(A B\) лежат на кривата на Чева \(\bar{c}_{N}\) за точката на Нагел \(N\), минаваща през допирните точки \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) на \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\) съответно с правите \(B C, C A\) и \(A B\). От друга страна, при произволна Фойербахова конфигурация двете тройки точки \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\) и \(A_{2}, B_{2}, C_{2}\) са пети на две тройки чевиани за \(\triangle A B C\), минаващи през точките на Нагел \(N\) и \(N_{C}\). Но в (Гроздев \(\&\) Ненков, 2009) е показано, че шест точки от страните на триъгълник с тези свойства лежат на една крива от втора степен. Следователно е изпълнено следното

Твърдение 2. При произволна Фойербахова конфигурация за \(\triangle A B C\) допирните точки \(A_{1}\left(0, \tfrac{1-2 y_{I}}{2 x_{I}}, \tfrac{1-2 z_{I}}{2 x_{I}}\right), B_{1}\left(\tfrac{1-2 x_{I}}{2 y_{I}}, 0, \tfrac{1-2 z_{I}}{2 y_{I}}\right), C_{1}\left(\tfrac{1-2 x_{I}}{2 z_{I}}, \tfrac{1-2 y_{I}}{2 z_{I}}, 0\right)\), \(A_{2}\left(0, \tfrac{2 x_{I}-1}{2 x_{I}}, \tfrac{1}{2 x_{I}}\right), B_{2}\left(\tfrac{2 y_{I}-1}{2 y_{I}}, 0, \tfrac{1}{2 y_{I}}\right), C_{2}\left(\tfrac{1-2 y_{I}}{2 z_{I}}, \tfrac{1-2 x_{I}}{2 z_{I}}, 0\right)\) лежат на една крива от втора степен \(K\left(N, N_{C}\right)\).

От координатите на точките на Нагел \(N\left(1-2 x_{I}, 1-2 y_{I}, 1-2 z_{I}\right)\) и \(N_{C}\left(\tfrac{2 y_{I}-1}{1-2 z_{I}}, \tfrac{2 x_{I}-1}{1-2 z_{I}}, \tfrac{1}{1-2 z_{I}}\right)\), както и от резултатите, получени в (Гроздев \(\&\) Ненков, 2009), следва, че уравнението на кривата \(K\left(N, N_{C}\right)\) може да се представи по следния начин \(K\left(N, N_{C}\right)\) :

\[ \begin{aligned} & \left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right) x^{2}+\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right) y^{2}- \\ & -\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2} z^{2}-2\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) y z- \\ & -\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right) z x-\left[\left(1-2 x_{I}\right)^{2}+\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\right]\left(1-2 z_{I}\right) x y=0 \end{aligned} \]

Всъщност след заместване на координатите на точките \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, A_{2}, B_{2}\) и \(C_{2}\) в последното уравнение непосредствено се установява, че тези точки лежат на кривата \(K\left(N, N_{C}\right)\). По този начин получаваме още едно доказателство на твърдение 2.

Нека сега забележим, че от координатите на точките \(A_{1}, B_{1}, A_{2}\) и \(B_{2}\) се получават векторните равенства \(\overrightarrow{A_{2} B_{1}}=\tfrac{1-2 x_{I}}{2 x_{I} y_{I}} \overrightarrow{C I}\) и \(\overrightarrow{B_{2} A_{1}}=\tfrac{1-2 y_{I}}{2 x_{I} y_{I}} \overrightarrow{C I}\). Следователно \(A_{2} B_{1}\left\|B_{2} A_{1}\right\| C I\). Оттук следва, че ако \(K\left(N, N_{C}\right)\) е изродена крива, тя се състои от две успоредни прави. Такива успоредни прави могат да се получат в следните два случая: 1) когато са колинеарни двете тройки точки (\(A_{2}, B_{1}, C_{2}\) ) и (\(A_{1}, B_{2}, C_{1}\) ) ; 2) когато са колинеарни двете тройки точки (\(A_{2}, B_{1}, C_{1}\) ) и (\(A_{1}, B_{2}, C_{2}\) ) . Според теоремата на Менелай случай 1) е възможен точно когато са изпълнени равенствата \(\tfrac{\overline{B A_{2}}}{\overline{C A_{2}}} \cdot \tfrac{\overline{C B_{1}}}{\overline{A B_{1}}} \cdot \tfrac{\overline{A C_{2}}}{\overline{B C_{2}}}=1\) и \(\tfrac{\overline{B A_{1}}}{\overline{C A_{1}}} \cdot \tfrac{\overline{C B_{2}}}{\overline{A B_{2}}} \cdot \tfrac{\overline{A C_{1}}}{\overline{B C_{1}}}=1\). Пресмятанията показват, че и двете равенства са изпълнени тогава и само тогава, когато е в сила равенството \(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}=0\). Последното, както знаем, е изпълнено тогава и само тогава, когато \(O \equiv M_{a}\). Аналогично се проверява, че случай 2) е възможен тогава и само тогава, когато е в сила равенството \(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}=0\), т.е. тогава и само тогава, когато \(O \equiv M_{b}\) (Фиг. 4). Така получихме следното

Твърдение 3. Кривата \(K\left(N, N_{C}\right)\) се състои от две успоредни прави тогава и само тогава, когато \(O \equiv M_{a}\) или \(O \equiv M_{b}\) (фиг. 4).

Случаите, в които кривата \(K\left(N, N_{C}\right)\) не е изродена, тя притежава еднозначно определен център \(W\). Ако \(P\left(\tfrac{1-2 x_{I}}{4 y_{I}}, \tfrac{2 x_{I}-1}{4 x_{I}}, \tfrac{x_{I}\left(1-2 z_{I}\right)+y_{I}}{4 x_{I} y_{I}}\right)\) и \(Q\left(\tfrac{2 y_{I}-1}{4 y_{I}}, \tfrac{1-2 y_{I}}{4 x_{I}}, \tfrac{y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)+x_{I}}{4 x_{I} y_{I}}\right)\) са среди съответно на отсечките \(A_{2} B_{1}\) и \(B_{2} A_{1}\), то е изпълнено равенството \(\overrightarrow{P Q}=\tfrac{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{4 x_{I} y_{I}} \overrightarrow{I_{A} I_{B}}\). Оттук следва, че точките \(P\) и \(Q\) лежат на правата \(I_{A} I_{B}\). Следователно четириъгьлникът \(A_{1} B_{2} A_{2} B_{1}\) е трапец, а правата \(I_{A} I_{B}\) минава през средите на основите му. Тъй като всяка крива от втора степен, която е описана около трапец, има за център точка, лежаща на правата през средите на основите му, то центърът \(W\) на \(K\left(N, N_{C}\right)\) лежи върху правата \(I_{A} I_{B}\). С това установихме следното

Твърдение 4. Центърът \(W\) на неизродената крива \(K\left(N, N_{C}\right)\) лежи върху правата \(I_{A} I_{B}\) (Фиг. 5, 6, 7, 8, 9) .

Това свойство на центъра \(W\) позволява лесно да определим координатите му. Нека правата \(l: x=t, y=\tfrac{2 x_{I}-1}{2 x_{I}}-t, z=\tfrac{1}{2 x_{I}}\), която минава през точката \(A_{2}\) и е успоредна на правата \(C_{1} C_{2} \equiv A B\), пресича за втори път \(K\left(N, N_{C}\right)\) в точката \(A_{2}^{\prime}\). От уравненията на \(l\) и \(K\left(N, N_{C}\right)\) за координатите на \(A_{2}^{\prime}\) намираме \(A_{2}^{\prime}\left(\tfrac{\left(2 x_{I}-1\right)\left[\left(1-2 z_{I}\right) z_{I}^{2}+\left(1-2 y_{I}\right)\left(x_{I}^{2}-y_{I}^{2}\right)\right]}{2 x_{I} z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(x_{I}^{2}-y_{I}^{2}\right)}{2 x_{I} z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{1}{2 x_{I}}\right)\). Сега правата през средите на отсечките \(A_{2} A_{2}^{\prime}\) и \(C_{1} C_{2}\) (която е \(M_{c}\) ) пресича \(I_{A} I_{B}\) в центъра \(W\). От уравненията на тези прави намираме координатите на \(W\) във вида

\[ \begin{aligned} & x_{W}=\tfrac{x_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(y_{I}-x_{I}\right)}{z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(x_{I}-y_{I}\right)^{2}}, \\ & y_{W}=\tfrac{y_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(x_{I}-y_{I}\right)}{z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(x_{I}-y_{I}\right)^{2}}, \\ & z_{W}=\tfrac{z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)}{z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(x_{I}-y_{I}\right)^{2}} . \end{aligned} \]

В твърдение 3 са определени случаите, в които кривата \(K\left(N, N_{C}\right)\) е изродена. Тъй като конструкцията на \(K\left(N, N_{C}\right)\) е твърде обща, не може да се очаква, че видът й в останалите случаи се определя по прост начин, както в твърдение 3. Наблюденията с GSP обаче показват, че видът на \(K\left(N, N_{C}\right)\) запазва известно по-стоянство в зависимост от положението на центъра \(O\) на описаната крива \(\bar{k}(O)\). За да определим вида на \(K\left(N, N_{C}\right)\), NC ) , необходимо е да определим броя на общите точки на \(K\left(N, N_{C}\right)\) и безкрайната права \(x+y+z=0\). От уравненията на \(K\left(N, N_{C}\right)\) и безкрайната права намираме

\[ \begin{aligned} & 2 y_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right) x^{2}+2 x_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right) y^{2}- \\ & -\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right)\left[\left(1-2 x_{I}\right)^{2}+\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\right] x y=0 \end{aligned} \]

Оттук следва, че видът на \(K\left(N, N_{C}\right)\) зависи от знака на израза

\[ \begin{aligned} & \bar{D}=-4\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) \times \\ & \times\left[-\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right)+4 x_{I} y_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right]= \\ & =-2\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right)\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) \times \\ & \times\left\{\left(1-2 z_{I}\right)\left[\left(1-2 x_{I}\right)^{2}+\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\right]-8 x_{I} y_{I}\left(x_{I}-y_{I}\right)^{2}\right\} . \end{aligned} \]

Нека \(\Delta=\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\). От координатите на точката \(O\) и първото представяне на \(\bar{D}\) получаваме \(\bar{D}=-4 x_{0} y_{0} \Delta^{2}\left[-x_{0} y_{0} \Delta^{2}+4 x_{I} y_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right]\). Ако са изпълне ни неравенстват а \(x_{0} \lt 0\) и \(y_{0} \gt 0\), то не зависи мо от знака на \(\Delta\) е изпълнено \(\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right) \lt 4 x_{I} y_{I} z_{I}^{2}\). Следователно \(4 x_{I} y_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)=\tfrac{\left(1-2 x_{I}\right)^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2}}{z_{I}^{2}} \gt 0\). Това означава, че \(\bar{D} \gt 0\). Оттук следва, че в този случай \(K\left(N, N_{C}\right)\) е хипербола (фиг. 5). Аналогично се получава, че когато \(x_{0} \gt 0\) и \(y_{0} \lt 0\), кривата \(K\left(N, N_{C}\right)\) е хипербола.

Сега да отбележим, че винаги една от точките \(I, I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) е вътрешна за \(\triangle A B C\). Тъй като всяка от тези точки поражда една и съща Фойербахова конфигурация, то оттук нататък ще смятаме, че точката \(I\) е вътрешна за \(\triangle A B C\). Ако точката \(I\) се намира в \(\Delta M_{a} M_{b} C\), то са изпълнени неравенствата \(1-2 x_{I} \gt 0\), \(1-2 y_{I} \gt 0, \quad 1-2 z_{I} \lt 0, \quad \Delta \lt 0, \quad 1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}=2 y_{I} z_{I}-\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right) \gt 0\), \(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}=2 z_{I} x_{I}-\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right) \gt 0\). Оттук следва, че ако точката \(I\) лежи в \(\Delta M_{a} M_{b} C\), описаната крива \(\bar{k}(O)\) е хипербола, а центърът й \(O\) лежи във външната върхова област на точката \(C\), т.е. \(x_{0} \lt 0\) и \(y_{0} \lt 0\). Сега от второто представяне на \(\bar{D}\) получаваме

\[ \bar{D}=-4 x_{0} y_{0} \Delta^{2}\left\{\left(1-2 z_{I}\right)\left[\left(1-2 x_{I}\right)^{2}+\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\right]-8 x_{I} y_{I}\left(x_{I}-y_{I}\right)^{2}\right\} \gt 0 \]

Следователно в този случай \(K\left(N, N_{C}\right)\) е хипербола (фиг. 6).

От последните разглеждания следва, че ако центърьт \(O\) на описаната крива \(\bar{k}(O)\) е вътрешна точка за \(\triangle A B C\), то точката \(I\) не лежи в никой от триъгълниците \(M_{b} M_{c} A, M_{c} M_{a} B\) и \(M_{a} M_{b} C\). Следователно \(I\) лежи в \(\Delta M_{a} M_{b} M_{c}\) и \(x_{I} \lt \tfrac{1}{2}, y_{I} \lt \tfrac{1}{2}\), \(z_{I} \lt \tfrac{1}{2}\). Тъй като \(\Delta \gt 0\), то от \(z_{0} \gt 0\) следва, че \(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I} \gt 0\). Оттук получаваме \[ \left(1-2 z_{I}\right)\left[\left(1-2 x_{I}\right)^{2}+\left(1-2 y_{I}\right)^{2}\right]-8 x_{I} y_{I}\left(x_{I}-y_{I}\right)^{2} \gt 4 x_{I} y_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right) \gt 0 . \]

Сега от второто представяне на \(\bar{D}\) получаваме \(\bar{D} \lt 0\). Следователно, когато \(O\) е вътрешна точка за \(\triangle A B C\), кривата \(K\left(N, N_{C}\right)\) е елипса (фиг. 7).

Остава да отбележим, че когато центърът \(O\) лежи в областта, при която \(x_{0} \gt 0\), \(y_{0} \gt 0\) и \(z_{0} \lt 0\), съществуват положения на \(O\), за които \(K\left(N, N_{C}\right)\) е елипса ( (фиг. 8), положения, при които \(K\left(N, N_{C}\right)\) е хипербола ( (фиг. 9), а също така и положения на \(O\), когато \(K\left(N, N_{C}\right)\) е парабола (фиг. 10).

Накрая можем да обобщим получените резултати за вида на \(K\left(N, N_{C}\right)\) на следващата фигура 11.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гроздев, С., Ненков, В. (2013). Един специален вид криви от втора степен, породени от точката на Нагел, Математика плюс, 2, 44 – 53.

1. Гроздев, С., Ненков, В. (2014). Крива на Чева за точка от равнината на триъгълник. Математика и информатика, 3, 285 – 298.

2. Гроздев, С., Ненков, В. (2009). Една крива от втора степен за две точки на Чева. Математика и математическо образование, 38, 245 – 248.

3. Ненков, В. (2010). Няколко свойства на Фойербаховата конфигурация. Математика и информатика, 5, 42 – 61.

4. Ненков, В. (2008) Обобщение на теоремата на Фойербах. Математика и информатика, 2, 35 – 42.

5. Паскалев, Г., Чобанов, И. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.

6. Хитов, Х. (1990). Геометрия на триъгълника. София: Народна просвета.

REFERENCES:

1. Grozdev, S., Nenkov, V. (2013). Edin spetsialen vid krivi ot vtora stepen, porodeni ot tochkata na Nagel, Matematika plyus, 2, 44 – 53.

2. Grozdev, S., Nenkov, V. (2014). Kriva na Cheva za tochka ot ravninata na triagalnik. Matematika i informatika, 3, 285 – 298.

3. Grozdev, S., Nenkov, V. (2009). Edna kriva ot vtora stepen za dve tochki na Cheva. Matematika i matematichesko obrazovanie, 38, 245 – 248.

4. Nenkov, V. (2010). Nyakolko svoystva na Foyerbahovata konfiguratsiya. Matematika i informatika, 5, 42 – 61.

5. Nenkov, V. (2008) Obobshtenie na teoremata na Foyerbah. Matematika i informatika, 2, 35 – 42.

6. Paskalev, G., Chobanov, I. (1985). Zabelezhitelni tochki v triagalnika. Sofiya: Narodna prosveta.

7. Hitov, H. (1990). Geometriya na triagalnika. Sofiya: Narodna prosveta.