Резюме. Описват се някои свойства на полюси и поляри, породени от чевиани в равнината на даден триъгълник.

Ключови думи: triangle, conic, Euler curve, GSP

Нека \(A B C\) е произволен триъгълник с медицентър \(G\), а \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\) са средите съответно на страните \(B C, C A\) и \(A B\). За произволна точка \(P\) от равнината на \(A B C\), която не лежи върху никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB, определяме \(A_{1}=A P \cap B C\), \(B_{1}=B P \cap C A\) и \(C_{1}=C P \cap A B\). Тъй като триъгълниците \(A B C\) и \(A_{1} B_{1} C_{1}\) са перспективни с център на перспективност \(P\), то от теоремата на Дезарг следва, че точките \(A_{0}=B C \cap B_{1} C_{1}, B_{0}=C A \cap C_{1} A_{1}\) и \(C_{0}=\mathrm{A} B \cap A_{1} B_{1}\) лежат на една права \(p\) (ос на перспективност за \(A B C\) и \(A_{1} B_{1} C_{1}\) ) (Матеев, 1977). Точките \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\) лежат на една крива от втора степен \(\Omega\), която наричаме Ойлерова крива на \(P\) спрямо \(A B C\) (фиг. 1) (Гроздев & Ненков, 2014). С \(\Omega\) е свързана описана за \(A B C\) крива \(k(O)_{2}\) чиито център \(O\) се получава от \(P\) посредством векторното равенство \(\overrightarrow{P G}=2 . \overrightarrow{G O}\) (фиг. 1) (Гроздев & Ненков, 2014).

Всяка точка (права) има поляра (полюс) спрямо произволно конично сечение (Матеев, 1977). Затова е любопитно да се открият зависимости между полярите и полюсите на \(P\) и \(p\) спрямо \(k(O)\) и \(\Omega\). Търсенето на връзки може съществено да се улесни, като се използва помощта на програмата “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP), за да се реализират с геометрични средства необходимите построения и да се извършат някои експерименти с получените обекти. Експериментите с GSP върху полярите \(p_{o}\) и \(p_{w}\) на точката \(P\) съответно спрямо \(k(O)\) и \(\Omega\) дават основание да формулираме следното:

Свойство 1. Полярите \(p_{o} u p_{w}\) са успоредно симетрични спрямо правата \(p\) (фиг. 1) .

Относно полюсите \(P_{o}\) и \(P_{w}\) на правата \(p\) съответно спрямо \(k(O)\) и \(\Omega\) експериментите с GSP дават основание да формулираме следното:

Свойство 2. Полюсите Po и те \(P_{o}\) и \(P_{w}\) лежат на правата \(P G\) и са хармонично спрегнати спрямо \(P\) и \(G\) (фиг. 1) .

Първо трябва да отбележим, че както е показано в (Гроздев & Ненков, 2014), \(P \equiv O\) точно когато \(P \equiv G\). Но в такъв случай \(p\) е безкрайната права \(u_{\propto}\) на равнината \(A B C\) и затова полюсите й спрямо \(k(O)\) и \(\Omega\) съвпадат с \(G\) (Матеев, 1977). Следователно \(P \equiv P_{o} \equiv P_{\omega} \equiv G\) и \(p \equiv p_{o} \equiv p_{\omega} \equiv u_{\infty}\). При това положение и двете свойства не изглеждат достатъчно коректни. Затова по-нататък ще предполагаме, че \(P \neq G\) . При доказването на формулираните свойства ще използваме барицентрични координати спрямо координатен триъгълник \(A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)\) и O(x0, y0, z0) (x0 + y0 + z0 =1)(Паскалев & Чобанов, 1985).

От \(A_{1}\left(0, \tfrac{1-2 y_{0}}{2 x_{0}}, \tfrac{1-2 z_{0}}{2 x_{0}}\right), B_{1}\left(\tfrac{1-2 x_{0}}{2 y_{0}}, 0, \tfrac{1-2 z_{0}}{2 y_{0}}\right)\) и \(C_{1}\left(\tfrac{1-2 x_{0}}{2 z_{0}}, \tfrac{1-2 y_{0}}{2 z_{0}}, 0\right)\) (Гроздев \(\&\) Ненков, 2014) намираме скаларно параметричните уравнения на правата \(B_{1} C_{1}\). Те заедно с уравнението \(x=0\) на правата \(B C\) определят координатния вид на точката \(A_{0}\) по следния начин: \(A_{0}\left(0, \tfrac{1-2 y_{0}}{2 z_{0}-y_{0}}, \tfrac{1-2 z_{0}}{2 y_{0}-z_{0}}\right)\). По аналогичен начин определяме

\(B_{0}\left(\tfrac{1-2 x_{0}}{2\left(z_{0}-x_{0}\right)}, 0, \tfrac{1-2 z_{0}}{2\left(x_{0}-z_{0}\right)}\right), C_{0}\left(\tfrac{1-2 x_{0}}{2\left(y_{0}-x_{0}\right)}, \tfrac{1-2 y_{0}}{2\left(x_{0}-y_{0}\right)}, 0\right)\).

Точките \(M_{1}\left(x_{1}, y_{1} z_{1}\right)\) и \(M_{2}\left(x_{2}, y_{2} z_{2}\right)\) определят права \(M_{1} M_{2}\), която има уравнение

\(\left|\begin{array}{lll}x & y & z \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{array}\right|=0\) (Паскалев & Чобанов, 1985).

(1)

От координатите на \(A_{0}, B_{0}, C_{0}\) и (1) лесно се вижда, че правата \(p\) има следното уравнение:

(2) \[ \left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) x+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) y+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) z=0 . \]

В (Гроздев & Ненков, 2014) е показано, че точките

\[ \begin{aligned} & A_{2}\left(2 x_{0}-1, \tfrac{\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}{x_{0}}, \tfrac{\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}{x_{0}}\right), \\ & B_{2}\left(\tfrac{\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}{y_{0}}, 2 y_{0}-1, \tfrac{\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}{y_{0}}\right), \\ & C_{2}\left(\tfrac{\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}{z_{0}}, \tfrac{\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}{z_{0}}, 2 z_{0}-1\right), \end{aligned} \] лежат на \(k(O)\) и са симетрични съответно на \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) спрямо дадената точка \(P\left(1-2 x_{0}, 1-2 y_{0}, 1-2 z_{0}\right)\) (фиг. 1).

От свойствата на вписаните в дадено конично сечение пълни четириъгълници (Матеев, 1977) следва, че точките \(A^{\prime}=B C_{2} \cap C B_{2}, B^{\prime}=C A_{2} \cap A C_{2}\) и \(C^{\prime}=A B_{2} \cap B A_{2}\) лежат върху полярата \(p_{o}\) на \(P\) спрямо \(k(O)\) (O) (това всъщност е перспективната ос на \(A B C\) и \(A_{2} B_{2} C_{2}\) ) (фиг. 1). Като използваме координатите на точките \(A_{2}, B_{2}\) и \(C_{2}\), намираме уравненията на необходимите двойки прави, а от тях получаваме координатните представяния на \(A^{\prime}, B^{\prime}\) и \(C^{\prime}\) в следния вид:

\[ \begin{aligned} & A^{\prime}\left(-\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-y_{0}\right)\left(1-z_{0}\right)}{3 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1}, \tfrac{y_{0}\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-z_{0}\right)}{3 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1}, \tfrac{z_{0}\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-y_{0}\right)}{3 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1}\right), \\ & B^{\prime}\left(\tfrac{x_{0}\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-z_{0}\right)}{3 z_{0} x_{0}+2 y_{0}-1},-\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-z_{0}\right)\left(1-x_{0}\right)}{3 z_{0} x_{0}+2 y_{0}-1}, \tfrac{z_{0}\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-x_{0}\right)}{3 z_{0} x_{0}+2 y_{0}-1}\right), \\ & C^{\prime}\left(\tfrac{x_{0}\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-y_{0}\right)}{3 x_{0} y_{0}+2 z_{0}-1}, \tfrac{y_{0}\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-x_{0}\right)}{3 x_{0} y_{0}+2 z_{0}-1}, \tfrac{\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-x_{0}\right)\left(1-y_{0}\right)}{3 x_{0} y_{0}+2 z_{0}-1}\right) . \end{aligned} \]

От координатите на точките \(A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\) и (1) лесно се вижда, че полярата \(p_{o}\) има следното уравнение:

(3) \[ \left(1-x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) x+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) y+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-z_{0}\right) z=0 . \]

В (Гроздев \(\&\) Ненков, 2014) е показано, че точките \(A_{3}, B_{3}\) и \(C_{3}\), които са симетрични съответно на \(A, B\) и \(C\) спрямо \(P\), лежат на \(\Omega\) (фиг. 1). От свойствата на вписаните в дадено конично сечение пълни четириъгълници (Матеев, 1977) следва, че точките \(A^{\prime \prime}=B_{1} C_{1} \cap B_{3} C_{3}, B^{\prime \prime}=C_{1} A_{1} \cap C_{3} A_{3}\) и \(C^{\prime \prime}=A_{1} B_{1} \cap A_{3} B_{3}\) лежат върху полярата \(p_{w}\) на \(P\) спрямо \(\Omega\) (това всъщност е перспективната ос на \(A_{1} B_{1} C_{1}\) и \(A_{3} B_{3} C_{3}\) ) (фиг. 1).

Като използваме координатите на точките \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, A_{3}, B_{3}\) и \(C_{3}\), намираме уравненията на необходимите двойки прави, а от тях получаваме координатните представяния на \(A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}\) и \(C^{\prime \prime}\) в следния вид:

\[ \begin{aligned} & A^{\prime \prime}\left(\tfrac{1-2 x_{0}}{2}, \tfrac{\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}{2\left(z_{0}-y_{0}\right)}, \tfrac{\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}{2\left(y_{0}-z_{0}\right)}\right), \\ & B^{\prime \prime}\left(\tfrac{\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}{2\left(z_{0}-x_{0}\right)}, \tfrac{1-2 y_{0}}{2}, \tfrac{\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}{2\left(x_{0}-z_{0}\right)}\right), \\ & C^{\prime \prime}\left(\tfrac{\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}{2\left(y_{0}-x_{0}\right)}, \tfrac{\left(1-y_{0}\right)\left(1-z_{0}\right)}{2\left(x_{0}-y_{0}\right)}, \tfrac{1-2 z_{0}}{2}\right) . \end{aligned} \]

От координатите на точките \(A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}\) и \(C^{\prime \prime}\) и (1) лесно се вижда, че полярата \(p_{w}\) има следното уравнение:

(4) \[ x_{0}\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) x+y_{0}\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) y+z_{0}\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) z=0 . \]

Сега от координатите на точките \(A_{0}, B_{0}, A^{\prime}, B^{\prime}, A^{\prime \prime}\) и \(B^{\prime \prime}\) лесно се вижда, че векторите \(\overrightarrow{A_{0} B_{0}}, \overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\) и \(\overrightarrow{A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}\) са колинеарни с вектора

\[ \left(\left(1-2 x_{0}\right)\left(y_{0}-z_{0}\right),\left(1-2 y_{0}\right)\left(z_{0}-x_{0}\right),\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)\right) . \]

Това доказва, че правите \(p_{o}\) и \(p_{w}\) са успоредни на \(p\).

За да докажем, че правите \(p_{o}\) и \(p_{w}\) са симетрични спрямо \(p\), ще използваме, че разстоянието \(d\) от точка \(M^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\) до права \(g: u x+v y+w z=0\) се пресмята по формулата:

(5) \[ d=\tfrac{2 \cdot u x^{\prime}+v y^{\prime}+w z^{\prime} \cdot S}{\sqrt{(u-v)(u-w) a^{2}+(v-u)(v-w) b^{2}+(w-u)(w-v) c^{2}}}, \]

където \(a, b, c\) и \(S\) са дължините съответно на страните \(B C, C A, A B\) и лицето на \(\triangle A B C\) (Паскалев & Чобанов, 1985).

Нека \(M(\lambda, \mu, v)\) е произволна точка от правата \(p\). Тогава от (2) следва, че е изпълнено равенството \(\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \lambda+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \mu+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) v=0\). Като вземем предвид последното равенство, от (3), (4) и (5) се получава, че разстоянията от \(M\) до правите \(p_{o}\) и \(p_{w}\) са равни на

\[ \tfrac{\left|\lambda x_{0}\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)+\mu y_{0}\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)+v z_{0}\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\right|}{\sqrt{\delta}}, \] където

\[ \begin{aligned} & \delta=\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)\left(x_{0}-z_{0}\right) a^{2}+ \\ & +\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)\left(y_{0}-z_{0}\right)\left(y_{0}-x_{0}\right) b^{2}+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(z_{0}-x_{0}\right)\left(z_{0}-y_{0}\right) c^{2} . \end{aligned} \]

Тъй като \(M\) е произволна точка от \(p\), то това доказва симетричността на полярите \(p_{o}\) и \(p_{w}\) спрямо \(p\). С това свойство 1 е напълно доказано.

Преминаваме към доказателството на свойство 2. За целта ще използваме, че полюсът на една права спрямо дадено конично сечение е общата точка на полярите на всички точки от тази права (Матеев, 1977). Нека \(A_{0}^{\prime}\), \(B_{0}^{\prime}\) и \(C_{0}^{\prime}\) са пресечните точки съответно на \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) с \(k(O)\). От уравнението \(k(O):\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y=0\) (Гроздев \(\&\) Ненков, 2014) и скаларно параметричните уравнения на правите \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) определяме

\[ \begin{aligned} & A_{0}^{\prime}\left(\tfrac{x_{0}\left(2 x_{0}-1\right)}{8 y_{0} z_{0}+3 x_{0}-2}, \tfrac{\left(2 y_{0}-1\right)\left(z_{0}-y_{0}\right)}{8 y_{0} z_{0}+3 x_{0}-2}, \tfrac{\left(2 z_{0}-1\right)\left(y_{0}-z_{0}\right)}{8 y_{0} z_{0}+3 x_{0}-2}\right) \\ & B_{0}^{\prime}\left(\tfrac{\left(2 x_{0}-1\right)\left(z_{0}-x_{0}\right)}{8 z_{0} x_{0}+3 y_{0}-2}, \tfrac{y_{0}\left(2 y_{0}-1\right)}{8 z_{0} x_{0}+3 y_{0}-2}, \tfrac{\left(2 z_{0}-1\right)\left(x_{0}-z_{0}\right)}{8 z_{0} x_{0}+3 y_{0}-2}\right) \\ & C_{0}^{\prime}\left(\tfrac{\left(2 x_{0}-1\right)\left(y_{0}-x_{0}\right)}{8 x_{0} y_{0}+3 z_{0}-2}, \tfrac{\left(2 y_{0}-1\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)}{8 x_{0} y_{0}+3 z_{0}-2}, \tfrac{z_{0}\left(2 z_{0}-1\right)}{8 x_{0} y_{0}+3 z_{0}-2}\right) \end{aligned} \]

Като използваме тези координати, намираме точките

\[ \begin{aligned} & C A_{0}^{\prime} \cap A B\left(\tfrac{x_{0}\left(2 x_{0}-1\right)}{4 y_{0} z_{0}-2 z_{0} x_{0}+2 x_{0}-1}, \tfrac{\left(2 y_{0}-1\right)\left(z_{0}-y_{0}\right)}{4 y_{0} z_{0}-2 z_{0} x_{0}+2 x_{0}-1}, 0\right), \\ & B A_{0}^{\prime} \cap B C\left(\tfrac{x_{0}\left(2 x_{0}-1\right)}{4 y_{0} z_{0}-2 z_{0} x_{0}+2 x_{0}-1}, 0, \tfrac{\left(2 z_{0}-1\right)\left(y_{0}-z_{0}\right)}{4 y_{0} z_{0}-2 z_{0} x_{0}+2 x_{0}-1}\right), \end{aligned} \] които определят полярата на \(A_{0}\) спрямо \(k(O)\) (O) (фиг. 2) и точките

\[ \begin{aligned} & C B_{0}^{\prime} \cap A B\left(\tfrac{\left(2 x_{0}-1\right)\left(z_{0}-x_{0}\right)}{4 z_{0} x_{0}-2 y_{0} z_{0}+2 y_{0}-1}, \tfrac{y_{0}\left(2 y_{0}-1\right)}{4 z_{0} x_{0}-2 y_{0} z_{0}+2 y_{0}-1}, 0\right) \\ & A B_{0}^{\prime} \cap B C\left(0, \tfrac{y_{0}\left(2 y_{0}-1\right)}{4 z_{0} x_{0}-2 y_{0} z_{0}+2 y_{0}-1}, \tfrac{\left(2 z_{0}-1\right)\left(x_{0}-z_{0}\right)}{4 z_{0} x_{0}-2 y_{0} z_{0}+2 y_{0}-1}\right) \end{aligned} \] които определят полярата на \(B_{0}\) спрямо \(k(O)\) (O) (фиг. 2).

Пресечната точка \(P_{o}\) на тези две поляри в координати се представя по следния начин:

(6) \[ P_{o}\left(\tfrac{x_{0}\left(1-2 x_{0}\right)^{2}}{\tau}, \tfrac{y_{0}\left(1-2 y_{0}\right)^{2}}{\tau}, \tfrac{z_{0}\left(1-2 z_{0}\right)^{2}}{\tau}\right) \]

където \(\tau=4 x_{0} y_{0} z_{0}-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\).

Като използваме (1) от (6), лесно получаваме, че точките \(P, G\) и \(P_{o}\) лежат на една права. Всъщност, както е показано в (Гроздев & Ненков, 2014), на същата права лежи и точката \(O\) (фиг. 1, 2, 3.).

Експериментите с GSP показват още, че е изпълнено следното:

Свойство 3. Полярите на \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) спрямо \(k(O)\) минават съответно през точките \(A_{1}, B_{1} u C_{1}\) (фиг. 2) .

Доказателството на това свойство за полярата на \(A_{0}\) се получава от (1) и намерените по-рано координати на точките \(C A_{0}^{\prime} \cap A B\) и \(B A_{0}^{\prime} \cap B C\). Аналогично се показва свойство 3 и за точките \(B_{0}\) и \(C_{0}\).

Сега от (6) определяме простото отношение

\[ \left(G P P_{o}\right)=\tfrac{\overline{G P_{o}}}{\overline{P P_{o}}}=\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)+8 x_{0} y_{0} z_{0}}{3\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}=h . \]

Точката \(P_{0}^{\prime}\) определяме като хармонично спрегната на \(P_{o}\) спрямо \(G\) и \(P\). Затова е изпълнено \(\left(G P P_{o}^{\prime}\right)=-h\). От това равенство следва, че в координати \(P_{0}^{\prime}\) се представя по следния начин: \(P_{o}^{\prime}\left(\tfrac{3 h x_{P_{o}}+1}{3(1+h)}, \tfrac{3 h y_{P_{o}}+1}{3(1+h)}, \tfrac{3 h z_{P_{o}}+1}{3(1+h)}\right)\), което според (6) води окончателно до координатите:

(7) \[ \begin{aligned} & x_{P_{o}^{\prime}}=\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right)\left[\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)+4 x_{0} y_{0} z_{0}\right]}{\bar{\tau}} \\ & y_{P_{o}^{\prime}}=\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right)\left[\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)+4 x_{0} y_{0} z_{0}\right]}{\bar{\tau}} \\ & z_{P_{o}^{\prime}}=\tfrac{\left(1-2 z_{0}\right)\left[\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-z_{0}\right)+4 x_{0} y_{0} z_{0}\right]}{\bar{\tau}} \end{aligned} \]

където \(\bar{\tau}=2\left[x_{0} y_{0} z_{0}+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\right]\).

Сега да намерим полярата на \(A_{0}\) спрямо \(\Omega\). Тя е определена от точките \[ \begin{aligned} & A_{1} B_{1} \cap C_{1} M_{a}\left(\tfrac{\left(z_{0}-y_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}{2\left(2 y_{0} z_{0}-z_{0} x_{0}+x_{0}-z_{0}\right)}, \tfrac{x_{0}\left(1-2 y_{0}\right)}{2\left(2 y_{0} z_{0}-z_{0} x_{0}+x_{0}-z_{0}\right)}, \tfrac{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}{2\left(2 y_{0} z_{0}-z_{0} x_{0}+x_{0}-z_{0}\right)}\right) \\ & A_{1} C_{1} \cap B_{1} M_{a}\left(\tfrac{\left(y_{0}-y_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}{2\left(2 y_{0} z_{0}-x_{0} y_{0}+x_{0}-z_{0}\right)}, \tfrac{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}{2\left(2 y_{0} z_{0}-x_{0} y_{0}+x_{0}-z_{0}\right)}, \tfrac{x_{0}\left(1-2 z_{0}\right)}{2\left(2 y_{0} z_{0}-x_{0} y_{0}+x_{0}-z_{0}\right)}\right) \end{aligned} \] (фиг. 3).

От координатите на последните две точки и (7) с помощта на (1) установяваме, че полярата на \(A_{0}\) минава през \(P_{0}^{\prime}\). По аналогичен начин установяваме, че полярите на \(B_{0}\) и \(C_{0}\) спрямо \(\Omega\) също минават през \(P_{0}^{\prime}\). Следователно \(P_{0}^{\prime}\) е полюсът на \(p\) спрямо \(\Omega\). Това означава, че \(P_{w} \equiv P_{0}^{\prime}\) и затова координатите на \(P_{w}\) се изразяват с (7).

Точката \(P_{o}\) съществува във вида, представен с (6), само когато точката \(O\) не лежи върху кривата от трета степен \(K: 4 x y z-(1-2 x)(1-2 y)(1-2 z)=0\) ( (фиг. 4), а точката \(P_{w}\) съществува във вида, представен с (7), само когато точката \(O\) не лежи върху кривата от трета степен \(\bar{K}: x y z+(1-2 x)(1-2 y)(1-2 z)=0\) ( (фиг. 5). В тези случаи разглеждаме съответно \(P_{o}\) или \(P_{w}\) като безкрайната точка на правата \(O P\). В единия случай \(P_{w}\) е среда на отсечката \(G P\) и \(O\) лежи върху \(p\) (фиг. 6), а в другия – \(P_{o}\) е среда на отсечката \(G P\) и \(\Omega\) лежи върху \(p\) (фиг. 7). Тези специални случаи се съгласуват с проективното разбиране за връзката между диаметър и неговия безкраен полюс (Матеев, 1977).

Формалното аналитично доказателство на последните факти се получава лесно, като се използва (1), за да се покаже, че \(O(\Omega)\) лежи върху \(p\) точно когато \(O\) лежи върху \(K(\bar{K})\), ато се изпо ка лзват координатите на \(P_{w}\) и \(P_{o}\) в съответните случаи, когато \(O\) лежи на \(K\) или \(\bar{K}\), за да се покаже, че \(P_{w}\) или \(P_{o}\) е среда на \(G P\).

С това свойство 2 е напълно доказано.

За пълнота трябва да разгледаме и случая, при който правите през върховете на \(\triangle A B C\) са успоредни. В този случай разглеждаме \(P\) като безкрайна точка, определена от направлението на някакъв вектор \(\vec{P}\) . В този случай, както е показано в (Гроздев & Ненков, 2014), \(P \equiv O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}+z_{0}=0\right)\), а кривите \(k(O)\) и \(\Omega\) са параболи с оси по направлението на вектора \(\vec{P}\) (фиг. 8). Точката \(P\) лежи върху \(k(O)\) и \(\Omega\), затова безкрайната права \(u_{\infty}\) на равнината \(A B C\) като допирателна към тези параболи (Матеев, 1977) е поляра на \(P\) спрямо всяка от двете параболи (Матеев, 1977). При това положение, ако приемем, че \(u_{\infty}\) е симетрична на себе си спрямо всяка обикновена (крайна) права, то бихме получили съгласуване на този случай със свойство 1. Експериментите с GSP показват, че е изпълнено следното свойство:

Полюсите \(P_{o}\) и \(P_{w}\) на правата p съответно спрямо \(k(O)\) и \(\Omega\) са симетрични спрямо медицентъра \(G\) (фиг. 8).

Доказателството на този факт се получава от следните координатни представяния:

\[ P_{o}\left(\tfrac{x_{0}^{2}}{3 y_{0} z_{0}}, \tfrac{y_{0}^{2}}{3 z_{0} x_{0}}, \tfrac{z_{0}^{2}}{3 x_{0} y_{0}}\right), P_{\omega}\left(-\tfrac{y_{0}^{2}+z_{0}^{2}}{3 y_{0} z_{0}},-\tfrac{z_{0}^{2}+x_{0}^{2}}{3 z_{0} x_{0}},-\tfrac{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}{3 x_{0} y_{0}}\right) . \]

Това свойство напълно се съгласува със свойство 2, тъй като в случай че \(P\) е безкрайна точка, \(\left(P_{o} P_{\omega} G P\right)=\left(P_{o} P_{\omega} G\right)\) (Матеев, 1977).

Накрая лесно се проверява, че и свойство 3 е изпълнено, в случай че \(P\) е безкрайна точка (фиг. 8).

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С. & В. Ненков (2014). Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника. Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования. Сборник материалов международной научной конференции. Архангельск, САФУ, 35 – 54.

Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: „Наука и изкуство“.

Паскалев, Г. & И. Чобанов (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: „Народна просвета”.

REFERENCES

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2014). Obobshtenia nekotorih klasicheskih theorem geometrii treugolnika. Teoreticheskie i prikladnie aspekti matematiki, informatiki \(i\) obrazovania. Sbornik materialov mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii. Arhangelsk, SAFU, 35 – 54. Mateev, А. (1977). Proektivna geometria. Sofia: „Nauka i izkustvo“.

Paskalev, G. & Chobanov, G. (1985). Zabelezhitelni tochki v tri’g’lnika. Sofia: „Narodna prosveta“.