Научно-методически статии
ГЕОМЕТРИЧНА КОНСТРУКЦИЯ НА КРИВА НА ЧЕВА
Резюме. В настоящата статия е описана геометрична конструкция на кривата на Чева, получена в (Гроздев & Ненков, 2014) чрез аналитични средства.
Ключови думи: triangle, conic, Ceva circle, Ceva curve, conjugate lines, GSP.
За произволна точка \(P\) от равнината на даден \(\triangle A B C\) петите \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) на Чевианите през \(P\) съответно върху правите \(B C, C A\) и \(A B\) лежат на една окръжност, която наричаме окръжност на Чева за точката \(P\). В (Гроздев & Ненков, 2014) е описан един начин за получаване на конично сечение, минаващо през точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\), което обобщава окръжността на Чева в зависимост от произволно описано за \(\triangle A B C\) конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\). Това обобщение е наречено крива на Чева за точката \(P\) спрямо кривата \(\bar{k}(O)\). Кривата на Чева в (Гроздев & Ненков, 2014) е определена с аналитични средства. Обобщават се уравнението и координатите на центъра на окръжността на Чева, така че да зависят само от координатите на центъра \(O\) на \(\bar{k}(O)\) ( (по-точно от коефициентите на уравнението на \(\bar{k}(O)\) ) ). Центърът на кривата на Чева може да се построи, когато са известни координатите му, а след това и самата крива на Чева. Обаче центърът на окръжността на Чева (както на произволна друга окръжност, минаваща през три точки) може да се построи само с геометрични средства (като пресечна точка на симетрали). Такъв геометричен подход към построяването на центъра на кривата на Чева (некоординатен) по никакъв начин не следва от аналитичните изрази, получени в (Гроздев & Ненков, 2014). Затова целта на настоящата статия е да определим центъра на крива на Чева само чрез геометрични построения.
Оказва се, че не е много лесно да се забележи чисто геометричното построение на центъра на кривата на Чева. Затова ще обърнем специално внимание на едно основно понятие от теорията на коничните сечения. Освен това ще използваме конструктивните и динамични възможности на софтуерния продукт “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP), за да проверим състоятелността на нашите разсъждения.
Първо построяваме центъра на кривата на Чева за точката \(P\) спрямо кривата \(\bar{k}(O)\) по координатите, които са ни известни от (Гроздев & Ненков, 2014). Центърът на окръжността, описана около \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\), лежи върху симетралата на всяка своя хорда – например страната \(B_{1} C_{1}\). В геометрията на коничните сечения е определено понятието спрегнати прави спрямо конично сечение. В частния случай, когато коничното сечение е окръжност, всеки две перпендикулярни прави са спрегнати. По-специално правата \(B_{1} C_{1}\) и нейната симетрала са спрегнати спрямо описаната за \(\triangle A B C\) окръжност. Затова можем да предположим, че правата \(s_{a}\), минаваща през средата на \(B_{1} C_{1}\) и спрегната с правата \(B_{1} C_{1}\) спрямо описаната крива \(\bar{k}(O)\), минава през центъра на кривата на Чева за точката \(P\). Аналогично можем да очакваме, че центърът на кривата на Чева лежи върху правите \(s_{b}\) и \(s_{c}\), които минават съответно през средите на отсечките \(C_{1} A_{1}\) и \(A_{1} B_{1}\), така че да са спрегнати със същите прави спрямо \(\bar{k}(O)\). Построенията с GSP оправдават нашите очаквания. Затова следващата стъпка е да докажем валидността на наблюдаваното съвпадение на резултатите за центъра на кривата на Чева, получени в (Гроздев \(\&\) Ненков, 2014), с резултата от извършената конструкция на конкурентни прави (ако са такива). За да извършим това доказателство, ще използваме барицентрични координати спрямо \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) (Паскалев & Чобанов, 1985).
Тъй като описаната конструкция съдържа спрегнати прави, в началото ще определим барицентричните координати на вектор, който е спрегнат с даден вектор.
1. Спрегнати вектори в барицентрични координати. Нека в равнината на \(\triangle A B C\) е дадена крива с уравнение
(1) \[ k: a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{23} y z+2 a_{31} z x=0 . \]
В последното уравнение заместваме \(z=1-x-y\). Получаваме
(2) \[ \begin{aligned} k: & \left(a_{11}+a_{33}-2 a_{31}\right) x^{2}+\left(a_{22}+a_{33}-2 a_{23}\right) y^{2}+2\left(a_{12}-a_{31}-a_{23}+a_{33}\right) x y+ \\ & +2\left(a_{31}-a_{33}\right) x+2\left(a_{23}-a_{33}\right) y+a_{33}=0 . \end{aligned} \]
Разглеждаме това равенство като уравнение на \(k\) спрямо афинна координатна система. От аналитичната геометрия (Мартинов, 1989) е известно, че векторите \(\overrightarrow{u}\left(u_{1}, u_{2}\right)\) и \(\overrightarrow{v}\left(v_{1}, v_{2}\right)\), координатите на които са определени спрямо същата афинна координатна система, спрямо която е зададена кривата \(k^{\prime}\) с уравнение \(k^{\prime}: a_{11}^{\prime} x^{2}+a_{22}^{\prime} y^{2}+2 a_{12}^{\prime} x y+2 a_{31}^{\prime} x+2 a_{23}^{\prime} y+a_{33}^{\prime}=0\), са спрегнати спрямо \(k^{\prime}\) тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството
(3) \(a_{11}^{\prime} u_{1} v_{1}+a_{12}^{\prime}\left(u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}\right)+a_{22}^{\prime} u_{2} v_{2}=0\).
От (2) и (3) получаваме равенството
\[ \begin{aligned} & {\left[\left(a_{11}+a_{33}-a_{31}\right) u_{1}+\left(a_{12}-a_{31}-a_{23}+a_{33}\right) u_{2}\right] v_{1}+} \\ & +\left[\left(a_{12}-a_{31}-a_{23}+a_{33}\right) u_{1}+\left(a_{22}+a_{33}-2 a_{23}\right) u_{2}\right] v_{2}=0 \end{aligned} \]
Последното равенство е изпълнено при \[ \begin{aligned} & v_{1}=\left(a_{12}-a_{31}-a_{23}+a_{33}\right) u_{1}+\left(a_{22}+a_{33}-2 a_{23}\right) u_{2} \text { и } \\ & v_{2}=-\left(a_{11}+a_{33}-a_{31}\right) u_{1}-\left(a_{12}-a_{31}-a_{23}+a_{33}\right) u_{2} . \end{aligned} \] Спрямо \(\triangle A B C\) векторите \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) имат следните барицентрични координати \(\overrightarrow{u}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}=-u_{1}-u_{2}\right)\) и \(\overrightarrow{v}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}=-v_{1}-v_{2}\right)\). Сега от последните равенства намираме, че барицентричните координати на вектора \(\overrightarrow{v}\) спрямо \(\triangle A B C\) се изразяват със следните формули:
(4) \[ \begin{aligned} & v_{1}=\left(a_{12}-a_{13}\right) u_{1}+\left(a_{22}-a_{23}\right) u_{2}+\left(a_{32}-a_{33}\right) v_{3}, \\ & v_{2}=\left(a_{13}-a_{11}\right) u_{1}+\left(a_{23}-a_{21}\right) u_{2}+\left(a_{33}-a_{31}\right) v_{3}, \\ & v_{3}=\left(a_{11}-a_{12}\right) u_{1}+\left(a_{21}-a_{22}\right) u_{2}+\left(a_{33}-a_{32}\right) v_{3} . \end{aligned} \]
По този начин получихме, че векторът \(\overrightarrow{v}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)\) е спрегнат с вектора \(\overrightarrow{u}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\) спрямо \(k\), u2 , u3 ) спрямо k, ако координатите му се изразяват с равенствата (4).
Точките на произволно описано за \(\triangle A B C\) конично сечение \(\bar{k}(O)\) удовлетворяват уравнението:
(5) \[ \bar{k}(O): x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y=0, \]
където xI, yI и zI са координатите на центъра на специално конично сечение, което е вписано в ABC (Ненков, 2008). От (4) и (5) за координатите на вектор v (v1, v2, v3 ) , който е спрегнат с даден вектор \(\overrightarrow{u}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\) спрямо \(\bar{k}(O)\), определяме равенствата:
(6) \[ \begin{gathered} v_{1}=\left(z_{I}^{2}-y_{I}^{2}\right) u_{1}-x_{I}^{2} u_{2}+x_{I}^{2} u_{3}, v_{2}=y_{I}^{2} u_{1}+\left(x_{I}^{2}-z_{I}^{2}\right) u_{2}-y_{I}^{2} u_{3} \\ v_{3}=-z_{I}^{2} u_{1}+z_{I}^{2} u_{2}+\left(y_{I}^{2}-x_{I}^{2}\right) u_{3} \end{gathered} \]
2. Центърът на крива на Чева като пресечна точка на три прави. Нека \(\bar{k}(O)\) е описано конично сечение за \(\triangle A B C\) с център \(O\), а \(P(\lambda, \mu, v)\) е произволна точка от равнината на \(\triangle A B C\). Координатите на точките \(A_{1}=A P \cap B C, B_{1}=B P \cap C_{1} A_{1}\), \(C_{1}=C P \cap A B\) се представят по следния начин:
(7) \[ A_{1}\left(0, \tfrac{\mu}{\mu+v}, \tfrac{v}{\mu+v}\right), B_{1}\left(\tfrac{\lambda}{v+\lambda}, 0, \tfrac{v}{v+\lambda}\right), C_{1}\left(\tfrac{\lambda}{\lambda+\mu}, \tfrac{\mu}{\lambda+\mu}, 0\right) . \]
Сега на базата на разсъжденията и наблюденията, извършени по-рано, ще определим центъра на едно специално конично сечение \(\bar{c}_{P}\), минаващо през точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\). За целта с \(s_{a}, s_{b}\) и \(s_{c}\) означаваме правите, които минават съответно през средите на отсечките \(B_{1} C_{1}, C_{1} A_{1}\) и \(A_{1} B_{1}\), C1A1 и A1B1, така че да са спрегнати съответно с правите \(B_{1} C_{1}, C_{1} A_{1}\) и \(A_{1} B_{1}\) спрямо \(\bar{k}(O)\).
Първо да отбележим, че, ако \(\bar{k}(O)\) е парабола (точката \(O\) е безкрайна), правите \(s_{a}, s_{b}\) и \(s_{c}\) са успоредни на оста на параболата. Следователно минават през безкрайния център \(O\) на параболата. Затова е определена единствена парабола \(\bar{c}_{P}\), която е описана за \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\) с ос, успоредна на оста на \(\bar{k}(O)\). Това заключение съвпада с резултата, получен в (Гроздев & Ненков, 2014).
Нека сега \(\bar{k}(O)\) е централно конично сечение (точката \(O\) е крайна). Параметричните уравнения на правите \(s_{a}, s_{b}\) и \(s_{c}\) са следните:
\[ s_{a}:\left\{\begin{array}{l} x=\tfrac{\lambda(2 \lambda+\mu+v)}{2(v+\lambda)(\lambda+\mu)}+\left[\lambda(v-\mu)\left(z_{I}^{2}-y_{I}^{2}\right)-(2 \mu v+v \lambda+\lambda \mu) x_{I}^{2}\right] t_{a}, \\ y=\tfrac{\mu}{2(\lambda+\mu)}+\left[\mu(v+\lambda)\left(x_{I}^{2}-z_{I}^{2}\right)+(\mu v+2 v \lambda-\lambda \mu) y_{I}^{2}\right] t_{a}, \\ z=\tfrac{v}{2(v+\lambda)}+\left[v(\lambda+\mu)\left(x_{I}^{2}-y_{I}^{2}\right)+(\mu v-v \lambda+2 \lambda \mu) z_{I}^{2}\right] t_{a}, \end{array}\right. \] \[ \begin{gathered} s_{b}:\left\{\begin{array}{l} x=\tfrac{\lambda}{2(\lambda+\mu)}+\left[\lambda(\mu+v)\left(y_{I}^{2}-z_{I}^{2}\right)+(2 \mu v+v \lambda-\lambda \mu) x_{I}^{2}\right] t_{b} \\ y=\tfrac{\mu(\lambda+2 \mu+v)}{2(\lambda+\mu)(\mu+v)}+\left[\mu(\lambda-v)\left(x_{I}^{2}-z_{I}^{2}\right)-(\mu v+2 v \lambda+\lambda \mu) y_{I}^{2}\right] t_{b} \\ z=\tfrac{v}{2(\mu+v)}+\left[v(\lambda+\mu)\left(y_{I}^{2}-x_{I}^{2}\right)+(-\mu v+v \lambda+2 \lambda \mu) z_{I}^{2}\right] t_{b} \end{array}\right. \\ s_{c}:\left\{\begin{array}{l} x=\tfrac{\lambda}{2(v+\lambda)}+\left[\lambda(\lambda+\mu)\left(z_{I}^{2}-y_{I}^{2}\right)+(2 \mu v-v \lambda+\lambda \mu) x_{I}^{2}\right] t_{c} \\ y=\tfrac{\mu}{2(\mu+v)}+\left[\mu(v+\lambda)\left(z_{I}^{2}-x_{I}^{2}\right)+(-\mu v+2 v \lambda+\lambda \mu) y_{I}^{2}\right] t_{c} \\ z=\tfrac{v}{2(\mu+v)(v+\lambda)}+\left[v(\mu-\lambda)\left(y_{I}^{2}-x_{I}^{2}\right)-(\mu v+v \lambda+2 \lambda \mu) z_{I}^{2}\right] t_{c} \end{array}\right. \end{gathered} \] След несложни пресмятания се вижда, че двойките прави \(s_{a}, s_{b}\) и \(s_{a}\) и \(s_{c}\) се пресичат в точка \(O(P)\), чиито координати се представят с формулите:
\[ \begin{aligned} x_{O(P)} & =\tfrac{\lambda(\bar{b} \cdot \overline{\bar{b}}+\bar{c} \cdot \overline{\bar{c}})}{2 \lambda^{2} \mu^{2} v^{2}(\mu+v)(v+\lambda)(\lambda+\mu)\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)} \\ y_{O(P)} & =\tfrac{\mu(\bar{c} \cdot \overline{\bar{c}}+\bar{a} \cdot \overline{\bar{a}})}{2 \lambda^{2} \mu^{2} v^{2}(\mu+v)(v+\lambda)(\lambda+\mu)\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)} \\ z_{O(P)} & =\tfrac{v(\bar{a} \cdot \overline{\bar{a}}+\bar{b} \cdot \overline{\bar{b}})}{2 \lambda^{2} \mu^{2} v^{2}(\mu+v)(v+\lambda)(\lambda+\mu)\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)} \end{aligned} \] където
\[ \begin{gathered} \bar{a}=(v+\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}+(v-\mu)(\lambda+\mu) v \lambda b^{2}+(\mu-v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2} \\ \bar{b}=(v-\lambda)(\lambda+\mu) \mu v a^{2}+(\lambda+\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}+(\lambda-v)(\mu+v) \lambda \mu c^{2} \\ \bar{c}=(\mu-\lambda)(v+\lambda) \mu v a^{2}+(\lambda-\mu)(\mu+v) v \lambda b^{2}+(\mu+v)(v+\lambda) \lambda \mu c^{2} \\ \overline{\bar{a}}=-\left(\lambda^{2}+\mu v\right) \mu v a^{2}+(\mu+v) v \lambda^{2} b^{2}+(\mu+v) \mu \lambda^{2} c^{2} \\ \overline{\bar{b}}=(v+\lambda) v \mu^{2} a^{2}-\left(\mu^{2}+v \lambda\right) v \lambda b^{2}+(v+\lambda) \lambda \mu^{2} c^{2} \\ \overline{\bar{c}}=(\lambda+\mu) \mu v^{2} a^{2}+(\lambda+\mu) \lambda v^{2} b^{2}-\left(v^{2}+\lambda \mu\right) \lambda \mu c^{2} \end{gathered} \]
Този резултат съвпада със съответния, получен в (Гроздев \(\&\) Ненков, 2014). По този начин показахме, че описаното за \(A_{1} B_{1} C_{1}\) конично сечение чрез разгледаната конструкция съвпада с коничното сечение, получено в (Гроздев \(\&\) Ненков, 2014) чрез аналитични средства. Затова вече имаме чисто геометричен метод за построяване на кривата на Чева за произволна точка от равнината на \(\triangle A B C\).
ЛИТЕРАТУРА
Гроздев, С. & В. Ненков. (2014). Крива на Чева за точка от равнината на триъгълник. Математика и информатика, 57 (3), 285-298.
Мартинов, Н. (1989). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.
Ненков, В. (2008) Обобщение на теоремата на Фойербах. Математика и информатика, 51 (2), 35 – 42.
Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.
REFERENCES
Grozdev, S. & Nenkov, V. (2014). Ceva curve for a point from the plane of a triangle. Mathematics and Informatics, 57 (3), 285 – 298.
Martinov, N. (1989). Analytical Geometry. Sofia: Nauka i izkustvo.
Nenkov, V. (2008). A generalization of the Feuerbach theorem. Mathematics and Informatics, 51 (2), 35 – 42.
Paskalev, G. & Chobanov, G. (1985). Zabelezhitelni tochki v tri’g’lnika. Sofia: Narodna prosveta.