Резюме. В статия е описано обобщение на понятието педална окръжност от геометрията на триъгълника.

Ключови думи: triangle, conic, pedal curve, Feuerbach configuration, GSP.

Много основни понятия от геометрията на триъгълника могат да се обобщят по естествен начин чрез подходящи конструкции, зависещи от конични сечения. Тук ще покажем едно обобщение на понятието педална окръжност на точка в равнината на даден \(\triangle A B C\). Обосноваването на получените резултати ще осъществим с помощта на барицентрични координати спрямо \(\Delta A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) (Паскалев & Чобанов, 1985). Средите на страните \(B C, C A\) и \(A B\) означаваме съответно с \(M_{a}\left(0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right), M_{b}\left(\tfrac{1}{2}, 0, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(M_{c}\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 0\right)\). Освен това при извършване на необходимите построения ще използваме конструктивните и динамични възможности на програмата “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP).

1. Педални окръжности и Симсънови прави. Нека \(P\left(x_{p}, y_{p}, z_{p}\right)\left(x_{p}+y_{p}+z_{p}=1\right)\) е произволна точка от равнината на \(\triangle A B C\). Ако \(P\) лежи върху описаната за триъгълника окръжност \(\Gamma\), то ортогоналните проекции \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) на \(P\), , съответно върху правите BC, CA и AB, лежат на една права sP – Симсънова права на P. Във всички останали случаи точките \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) са върхове на триъгълник, който притежава описана окръжност \(\pi_{P}\)– педална окръжност на \(P\). Целта ни е да намерим крива от втора степен, която да е обобщение на педалната окръжност на произволна точка \(P\). Тъй като точките, определящи окръжността \(\pi_{p}\), се получават по същия начин както точките, определящи произволна Симсънова права, можем да очакваме, че обобщаването на понятието педална окръжност ще се получи подобно на обобщаването на понятието Симсънова права. Обобщение на понятието Симсънова права е направено в (Ненков, 2007) по следния начин: нека \(\bar{k}(O)\) е произволно описано за \(\triangle A B C\) конично сечение с център \(O\) и \(P\) е точка от \(\bar{k}(O)\). Ако правите \(p_{a}\), \(p_{b}\) и \(p_{c}\) са успоредни съответно на \(O M_{a}, O M_{b}\) и \(O M_{c}\), OMbи OMc, то точките \(P_{a}=p_{a} \cap B C, P_{b}=p_{b} \cap C A\) и \(\underline{P}_{c}=p_{c} \cap A B\) лежат на една права \(s_{P}\), която наричаме \(C\) имсънова права на \(P\) спрямо \(\bar{k}(O)\). Аналогично можем да разгледаме същите прави през произволна точка \(P\), нележаща на \(\bar{k}(O)\). Тогава обаче трите точки \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) няма да са достатъчни за еднозначно определяне на крива от втора степен. Затова е необходимо да припомним едно свойство на педалната окръжност \(\pi_{P}\). Ако \(Q\) е изогонално спрегнатата точка на \(P\) спрямо \(\triangle A B C\), а \(Q_{a}\), \(Q_{b}\) и \(Q_{c}\) са ортогоналните проекции на \(Q\) съответно върху правите \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB, то \(\pi_{P}\) минава през \(Q_{a}, Q_{b}\) и \(Q_{c}\). Освен тов а центьрьт на окрьжността \(\pi_{P}\) е средата на \(P Q\). Следователно търсеното обобщение трябва да се свърже с точка, която съответства на \(P\) при изображение спрямо \(\triangle A B C\) и \(\bar{k}(O)\) подобно на изогоналното. Затова ще покажем как се определя едно изображение, което обобщава изогоналното.

2. Изображение спрямо Фойербахова конфигурация. Нека \(I\left(x_{I}, y_{I}, z_{I}\right)\) \(\left(x_{I}+y_{I}+z_{I}=1\right)\) е произволна точка от равнината на \(\triangle A B C\), нележаща на никоя от правите \(B C, C A, A B, M_{b} M_{c}, M_{c} M_{a}\) и \(M_{a} M_{b}\). Спрямо \(\triangle A B C\) точката \(I\) има спрегнат триъгълник \(I_{A} I_{B} I_{C}\) (Паскалев & Чобанов, 1985). Точките \(I\left(x_{I}, y_{I}, z_{I}\right), I_{A}\left(-\tfrac{x_{I}}{1-2 x_{I}}, \tfrac{y_{I}}{1-2 x_{I}}, \tfrac{z_{I}}{1-2 x_{I}}\right), I_{B}\left(\tfrac{x_{I}}{1-2 y_{I}},-\tfrac{y_{I}}{1-2 y_{I}}, \tfrac{z_{I}}{1-2 y_{I}}\right)\) и \(I_{C}\left(\tfrac{x_{I}}{1-2 z_{I}}, \tfrac{y_{I}}{1-2 z_{I}},-\tfrac{z_{I}}{1-2 z_{I}}\right)\) са центрове на конични сечения \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\), вписани в \(\triangle A B C\). Средите на отсечките \(I_{A}, I_{B}, I_{C}, I_{B} I_{C}, I_{C} I_{A}\) и \(I_{A} I_{B}\) лежат на конично сечение \(\bar{k}(O)\), описано за \(\triangle A B C\) (Ненков, 2008). От резултатите, по-лучени в (Ненков, 2008), следва, че уравнението на кривата \(\bar{k}(O)\) и координатите на центъра й \(O\) са съответно следните:

(1) \[ \bar{k}(O): x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y=0 \]

(2) \[ O\left(\tfrac{\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right) x_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) y_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right) z_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}\right) . \]

Коничните сечения \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right)\) и \(\bar{k}(O)\) са свързани с редица общи свойства. Поради едно от тях казваме, че те са елементи на една Фойербахова конфигурация (Ненков, 2010).

Сега ако \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) е произволна точка, нележаща върху никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\), въвеждаме означенията \(A_{1}=A P \cap B C, B_{1}=B P \cap C A\) и \(C_{1}=A C \cap A B\). Нека \(A A_{2}\left(A_{2} \in B C\right)\) е хармонично спрегната на \(A A_{1}\) спрямо \(A I\) и \(I_{B} I_{C}, B B_{2}\left(B_{2} \in C A\right)\) е хармонично спрегната на \(B B_{1}\) спрямо \(B I\) и \(I_{C} I_{A}\), а \(C C_{2}\left(C_{2} \in A B\right)\) е хармонично спрегната на \(C C_{1}\) спрямо \(C I\) и \(I_{A} I_{B}\). В (Гроздев \(\&\) Ненков, 2012) е показано, че правите \(A A_{2}, B B_{2}\) и \(C C_{2}\) минават през една точка \(Q\left(x_{Q}, y_{Q}, z_{Q}\right)\), координатите на която се изразяват с равенствата:

(3) \[ x_{Q}=\tfrac{x_{I}^{2} y_{P} z_{P}}{\vartheta(P)}, y_{Q}=\tfrac{y_{I}^{2} z_{P} x_{P}}{\vartheta(P)}, z_{Q}=\tfrac{z_{I}^{2} x_{P} y_{P}}{\vartheta(P)} \]

където

(4) \(\vartheta(P)=x_{I}^{2} y_{P} z_{P}+y_{I}^{2} z_{P} x_{P}+z_{I}^{2} x_{P} y_{P} .\)

Равенствата (3) задават изображение в равнината на \(\triangle A B C\), което на точката \(P\) съпоставя единствена точка \(Q\). В (Гроздев & Ненков, 2012) точките \(P\) и \(Q\) са наречени спрегнати спрямо \(\bar{k}(O)\). Тъй като кривата \(\bar{k}(O)\) е елемент на разглежданата Фойербахова конфигурация, можем да казваме още, че точките \(P\) и \(Q\) са спрегнати спрямо Фойербаховата конфигурация, на която принадлежи \(\bar{k}(O)\). От резултатите, получени в (Гроздев & Ненков, 2012), следва, че двойните елементи спрямо произволна Фойербахова конфигурация са точките \(I, I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\).

3. Педална крива. Нека \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\left(x_{P}+y_{P}+z_{P}=1\right)\) е точка от равнината на \(\triangle A B C \triangle A B C\), нележаща върху \(\bar{k}(O)\), а точката \(Q\) е нейната спрегната спрямо разглежданата Фойербахова конфигурация. Построяваме правите \(q_{a}, q_{b}\) и \(q_{c}\), qb и qc, които са успоредни съответно на \(O M_{a}, O M_{b}\) и \(O M_{c}\). Ще докажем, че построените по-рано точки \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) заедно с точките \(Q_{a}=q_{a} \cap B C, Q_{b}=q_{b} \cap C A\) и \(Q_{c}=q_{c} \cap A B\) лежат на една крива от втора степен \(\pi_{P}\).

Координатите на точката \(P_{a}\) намираме от параметричните уравнения на правата \(p_{a}\), записани във вида \(x=x_{P}+2 x_{0} \bar{p}_{a}, y=y_{P}+\left(2 y_{0}-1\right) \bar{p}_{a}, z=z_{P}+\left(2 z_{0}-1\right) \bar{p}_{a}\) и уравнението \(x=0\) направата \(B C\). Получаваме \(P_{a}\left(0, \tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) x_{P}+2 x_{0} y_{P}}{2 x_{0}}, \tfrac{\left(1-2 z_{0}\right) x_{P}+2 x_{0} z_{P}}{2 x_{0}}\right)\).

По аналогичен начин координатите на \(P_{b}\) и \(P_{c}\) се получават във вида \[ \begin{aligned} & P_{b}\left(\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) y_{P}+2 y_{0} x_{P}}{2 y_{0}}, 0, \tfrac{\left(1-2 z_{0}\right) y_{P}+2 y_{0} z_{P}}{2 y_{0}}\right) \\ & P_{c}\left(\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) z_{P}+2 z_{0} x_{P}}{2 z_{0}}, \tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) z_{P}+2 z_{0} y_{P}}{2 z_{0}}, 0\right) \end{aligned} \]

Сега от (2) следва, че точките \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) имат и следните координатни представяния

(5) \(\begin{aligned} & P_{a}\left(0, \tfrac{1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}}{2 x_{I}^{2}} x_{P}+y_{P}, \tfrac{1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}}{2 x_{I}^{2}} x_{P}+z_{P}\right) \\ & P_{b}\left(\tfrac{1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}}{2 y_{I}^{2}} y_{P}+x_{P}, 0, \tfrac{1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}}{2 y_{I}^{2}} y_{P}+z_{P}\right) \\ & P_{c}\left(\tfrac{1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}}{2 z_{I}^{2}} z_{P}+x_{P}, \tfrac{1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}}{2 z_{I}^{2}} z_{P}+y_{P}, 0\right) \end{aligned}\)

Като се заместят \(x_{P}, y_{P}\) и \(z_{P}\) в (5) съответно с \(x_{Q}, y_{Q}\) и \(z_{Q}\), от (3) се получават координатите на точките Qa, Qb и Qc във вида:

(6) \(\begin{array}{r} \quad Q_{a}\left(0, \tfrac{\left[\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right) y_{P}+2 y_{I}^{2} x_{P}\right] z_{P}}{2 \vartheta(P)}, \tfrac{\left[\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) z_{P}+2 z_{I}^{2} x_{P}\right] y_{P}}{2 \vartheta(P)}\right) \\ Q_{b}\left(\tfrac{\left[\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right) x_{P}+2 x_{I}^{2} y_{P}\right] z_{P}}{2 \vartheta(P)}, 0, \tfrac{\left[\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right) z_{P}+2 z_{I}^{2} y_{P}\right] x_{P}}{2 \vartheta(P)}\right) \\ \quad Q_{c}\left(\tfrac{\left[\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) x_{P}+2 x_{I}^{2} z_{P}\right] y_{P}}{2 \vartheta(P)}, \tfrac{\left[\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right) y_{P}+2 y_{I}^{2} z_{P}\right] x_{P}}{2 \vartheta(P)}, 0\right) \end{array}\)

След известни пресмятания, получени с помощта на софтуерния продукт Maple, от (5) и (6) се установява, че шестте точки \(P_{a}, P_{b}, P_{c}, Q_{a}, Q_{b}\) и \(Q_{c}\) удовлетворяват уравнението

(7) \(4 . \vartheta(P) \cdot\left(x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y\right)-\left(a_{11} x+a_{22} y+a_{33} z\right)(x+y+z)=0\) ,

където \[ \begin{gathered} a_{11}=\left[\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right) y_{P}+2 y_{I}^{2} z_{P}\right]\left[\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right) z_{P}+2 z_{I}^{2} y_{P}\right] x_{P}, \\ a_{22}=\left[\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) z_{P}+2 z_{I}^{2} x_{P}\right]\left[\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) x_{P}+2 x_{I}^{2} z_{P}\right] y_{P}, \\ a_{33}=\left[\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right) x_{P}+2 x_{I}^{2} y_{P}\right]\left[\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right) y_{P}+2 y_{I}^{2} x_{P}\right] z_{P}, \end{gathered} \] а \(\vartheta(P)\) се изразява с равенството (4).

От (7), като вземем предвид (1), се получава следното

Твърдение 1. Ако точката \(P\) не лежи върху \(\bar{k}(O)\), то точките \(P_{a}, P_{b}, P_{c}, Q_{a}\), \(Q_{b}\) и \(Q_{c}\) лежат на една крива от втора степен \(\pi_{P}\) (фиг. 1).

Кривата \(\pi_{P}\) ще наричаме педална крива на \(P\) и \(Q\) спрямо разглежданата Фойербахова конфигурация или спрямо описаната крива \(\bar{k}(O)\).

Относно вида на педалната крива на дадена точка с GSP се забелязва следното

Твърдение 2. Всички педални криви спрямо постоянна, описана за \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}(O)\), са от същия вид, от който е \(\bar{k}(O)\).

Нещо повече, от резултатите, получени в (Гроздев \(\&\) Ненков, 2014), твърдение 2 се уточнява чрез следващите твърдения:

Твърдение 3. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е елипса, то за всяка точка \(P \notin \bar{k}(O)\) от равнината на \(\triangle A B C\) кривата \(\pi_{P} \pi_{P}\) е елипса, хомотетична на \(\bar{k}(O)\) (фиг. 1) .

Твърдение 4. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е хипербола, то за всяка точка \(P \notin \bar{k}(O)\) от равнината на \(\triangle A B C\) кривата \(\pi_{P}\) е хипербола, хомотетична на \(\bar{k}(O)\) или на нейната спрегната \(\overline{\bar{k}}(O)\).

Забележка. Тук разглеждаме само централни криви, но ако \(\bar{k}(O)\) е парабола, можем да считаме двете прави, минаващи през \(P\) и \(Q\), които са успоредни на оста на параболата, като педална крива на тези точки. В този случай обаче твърдение 2 не е изпълнено.

4. Няколко свойства на центъра на педална крива. Нека \(W\) е средата на отсечката \(P Q\). Тогава за координатите на \(W\) от (3) и (4) се получават равенствата

(8) \(x_{W}=\tfrac{\vartheta(P) x_{P}+x_{I}^{2} y_{P} z_{P}}{2 \vartheta(P)}, y_{W}=\tfrac{\vartheta(P) y_{P}+y_{I}^{2} z_{P} x_{P}}{2 \vartheta(P)}, z_{W}=\tfrac{\vartheta(P) z_{P}+z_{I}^{2} x_{P} y_{P}}{2 \vartheta(P)}\).

Ако \(M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\) е точка от \(\pi_{P}\), а \(M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\) е точката, симетрична на \(M_{1}\) спрямо \(W\), от (8) следва, че \(x_{2}=\tfrac{\vartheta(P)\left(x_{P}-x_{1}\right)+x_{I}^{2} y_{P} z_{P}}{\vartheta(P)}, y_{2}=\tfrac{\vartheta(P)\left(y_{P}-y_{1}\right)+y_{I}^{2} z_{P} x_{P}}{\vartheta(P)}\) и \(z_{2}=\tfrac{\vartheta(P)\left(z_{P}-z_{1}\right)+z_{I}^{2} x_{P} y_{P}}{\vartheta(P)}\). Означаваме с \(f(x, y, z)\) лявата част на (7). След известни пресмятания с помощтана Mapleполучаваме, че \(\tfrac{f\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)-\vartheta(P) \cdot f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)}{\vartheta(P)}=0\). Тъй като \(f\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)=0\) (защото \(M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) \in \pi_{P}\) ), от последното равенство следва, че \(f\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)=0\). Следователно точката \(M_{2}\) лежи върху \(\pi_{P}\). Така установихме следното

Твърдение 5. Средата \(W\) на отсечката \(P Q\) е центърът на педалната крива \(\pi_{P}\).

Друго интересно свойство, свързано с педалните криви и Симсъновите прави, се получава чрез следващите построения. Нека \(l_{a}, l_{b}\) и \(l_{c}\) са прави, минаващи през \(P\) и успоредни съответно на \(A I, B I\) и \(C I\), като \(l_{a} \cap I_{B} I_{C}=P_{A}, l_{b} \cap I_{C} I_{A}=P_{B}\) и \(l_{c} \cap I_{A} I_{B}=P_{C}\). Освен това с \(l_{a}^{\prime}, l_{b}^{\prime}\) и \(l_{c}^{\prime}\) означаваме правите, минаващи през \(P\) и успоредни съответно на \(I_{B} I_{C}, I_{C} I_{A}\) и \(I_{A} I_{B}\), като \(l_{a}^{\prime} \cap A I=P_{A}^{\prime}, l_{b}^{\prime} \cap B I=P_{B}^{\prime}\) и \(l_{c}^{\prime} \cap C I=P_{C}^{\prime}\). Наблюденията с GSP показват, че правите \(P_{A} P_{A}^{\prime}, P_{B} P_{B}^{\prime}\) и \(P_{C} P_{C}^{\prime}\) се пресичат в една точка или са успоредни.

Записваме правите \(l_{a}, l_{a}^{\prime}, A I\) и \(I_{B} I_{C}\) със следващите параметрични уравнения:

\[ \begin{aligned} & l_{a}:\left\{\begin{array}{l} x=x_{P}+\left(x_{P}-1\right) \alpha, \\ y=y_{P}+y_{I} \alpha, \\ z=z_{P}+z_{I} \alpha, \end{array} \quad l_{a}^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=x_{P}+\left(z_{I}-y_{I}\right) \alpha^{\prime}, \\ y=y_{P}+y_{I} \alpha^{\prime}, \\ z=z_{P}-z_{I} \alpha^{\prime}, \end{array}\right.\right. \\ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & A I:\left\{\begin{array}{l} x=1+\left(x_{I}-1\right) \bar{\alpha}, \\ y=y_{I} \bar{\alpha}, \\ z=z_{I} \bar{\alpha}, \end{array}\right. \quad I_{B}I_C:\left\{\begin{array}{l} x=1+(z_I-y_I)\bar{\alpha}^{\prime}, \\ y=y_I\bar{\alpha}^{\prime}, \\ z=-z_I\bar{\alpha}^{\prime}, \end{array}\right. \end{aligned} \]

От последните уравнения намираме координатите на точките \(P_{A}\) и \(P_{A}^{\prime}\) по следния начин

\[ P_{A}\left(\tfrac{\left(z_{I}-y_{I}\right)\left(z_{I} y_{P}-y_{I} z_{P}\right)+2 y_{I} z_{I}}{2 y_{I} z_{I}}, \tfrac{y_{I}\left(z_{I} y_{P}-y_{I} z_{P}\right)}{2 y_{I} z_{I}},-\tfrac{y_{I}\left(z_{I} y_{P}-y_{I} z_{P}\right)}{2 y_{I} z_{I}}\right) \]

\[ P_{A}^{\prime}\left(\tfrac{\left(x_{I}-1\right)\left(z_{I} y_{P}+y_{I} z_{P}\right)+2 y_{I} z_{I}}{2 y_{I} z_{I}}, \tfrac{y_{I}\left(z_{I} y_{P}+y_{I} z_{P}\right)}{2 y_{I} z_{I}}, \tfrac{y_{I}\left(z_{I} y_{P}+y_{I} z_{P}\right)}{2 y_{I} z_{I}}\right) . \]

От координатите на точките \(P_{A}\) и \(P_{A}^{\prime}\) определяме общото уравнение на правата \(P_{A} P_{A}^{\prime}\) във вида:

\(P_{A} P_{A}^{\prime}:\left(z_{I}^{2} y_{P}^{2}-y_{I}^{2} z_{P}^{2}\right) x+\left(z_{I}^{2} y_{P}^{2}-y_{I}^{2} z_{P}^{2}-2 z_{I}^{2} y_{P}\right) y+\left(z_{I}^{2} y_{P}^{2}-y_{I}^{2} z_{P}^{2}+2 y_{I}^{2} z_{P}\right) z=0\).

По аналогичен начин намираме уравненията на правите \(P_{B} P_{B}^{\prime}\) и \(P_{C} P_{C}^{\prime}\) във вида:

\(P_{B} P_{B}^{\prime}:\left(x_{I}^{2} z_{P}^{2}-z_{I}^{2} x_{P}^{2}+2 z_{I}^{2} x_{P}\right) x+\left(x_{I}^{2} z_{P}^{2}-z_{I}^{2} x_{P}^{2}\right) y+\left(x_{I}^{2} z_{P}^{2}-z_{I}^{2} x_{P}^{2}-2 x_{I}^{2} z_{P}\right) z=0\),

\(P_{C} P_{C}^{\prime}:\left(y_{I}^{2} x_{P}^{2}-x_{I}^{2} y_{P}^{2}-2 y_{I}^{2} x_{P}\right) x+\left(y_{I}^{2} x_{P}^{2}-x_{I}^{2} y_{P}^{2}+2 x_{I}^{2} y_{P}\right) y+\left(y_{I}^{2} x_{P}^{2}-x_{I}^{2} y_{P}^{2}\right) z=0\).

Сега, като се заместят равенствата (8) във всяко от последните три уравнения, се вижда, че координатите на \(W\) удовлетворяват тези уравнения. С това е доказано следното:

Твърдение 6. Ако точката \(P\) не лежи върху описаната крива \(\bar{k}(O)\), правите \(P_{A} P_{A}^{\prime}, P_{B} P_{B}^{\prime}\) и \(P_{C} P_{C}^{\prime}\) минават през центъра на \(\pi_{P}\).

В случая \(P \in \bar{k}(O)\) от (1) следва, че е изпълнено равенството \(\vartheta(P)=0\). Тогава от уравненията на правите \(P_{A} P_{A}^{\prime}, P_{B} P_{B}^{\prime}\) и \(P_{C} P_{C}^{\prime}\) се вижда, че те са колинеарни с вектора \(\left(x_{I}^{2} y_{P} z_{P}, y_{I}^{2} z_{I} x_{I}, z_{I}^{2} x_{I} y_{I}\right)\). Следователно е изпълнено

Твърдение 7. Ако точката \(P\) лежи върху описаната крива \(\bar{k}(O)\), правите \(P_{A} P_{A}^{\prime}\), \(P_{B} P_{B}^{\prime}\) и \(P_{C} P_{C}^{\prime}\) са успоредни.

Нещо повече, може да се покаже, че тези прави принадлежат на спрегнатото направление на Симсъновата права \(s_{P}\). Други интересни свойства на Симсъновите прави се съдържат в (Гроздев & Ненков, 2014) и (Гроздев, Ненков, Хаимов, 2013).

Накрая ще отбележим някои специални педални криви за дадена Фойербахова конфигурация. Педалните криви на двойните елементи \(I, I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) за изображението спрямо Фойербаховата конфигурация са съответно вписаните криви \(k(I)\) , \(k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\). Педалната крива на центъра \(O\) на описаната крива \(\bar{k}(O)\) е крива \(\Omega(O)\), която минава през точките \(M_{a}, M_{b}, M_{c}\) и пресечните точки на правите през върховете \(A, B\) и \(C\), съответно успоредни на \(O M_{a}, O M_{b}\) и \(O M_{c}\), със срещуположните им прави \(B C, C A\) и \(A B\). Тази крива наричаме Ойлерова крива за \(\triangle A B C\) в разглежданата Фойербахова конфигурация. Ойлеровата крива е аналог на класическата Ойлерова окръжност за триъгълника.

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С. & Ненков, В. (2012). Две двойки точки, породени от асоциирани спрямо триъгълник централни конични сечения. Математика \(u\) и информатика, 55 (1) , 60 – 83.

Гроздев, С., Ненков, В. & Хаимов, Х. (2013). Осем линии през една забележителна точка за четириъгълник, Математика плюс, 21 (4) , 63 – 65.

Гроздев, С. & Ненков, В. (2014). Хомотетични конични сечения в равнината на триъгълник. Математика и информатика, 57 (2) , 139 – 154.

Гроздев, С. & Ненков, В. (2014). Няколко свойства на Симсъновите прави, свързани с Ойлерови криви. Математика и математическо образование, 43, 240 – 247.

Ненков, В. (2007). Две описани конични сечения и две породени от тях множества от прави. Математика и математическо образование, 36, 392 – 396.

Ненков, В. (2008) Обобщение на теоремата на Фойербах. Математика и информатика, 51 (2) , 35 – 42.

Ненков, В. (2010). Няколко свойства на Фойербаховата конфигурация. Математика и информатика, 53 (5) , 42 – 61.

Паскалев, Г. & Чобанов, И. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.

REFERENCES

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). Dve dvoyki tochki, porodeni ot asocirani spryamo tri’g’lnik centralni konichni sechenia. Мatematika i Informatika, 55 (1) , 60 – 83.

Grozdev, S., Nenkov, V. & Haimov, H. (2013). Osem linii prez edna zabelezhitelna tochka za chetiri’g’lnik. Matematika Plus, 21 (4) , 63 – 65.

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2014). Homotetichni konichni sechenyav ravninata na tri’g’lnik. Мatematika i Informatika, 57 (2) , 139 – 154.

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2014). Nyakolko svoystva na Sims’novite pravi, sv’rzani s Oylerovi krivi. Мatematika i matematichesko obrazovanie, 43, 240 – 247.

Nenkov, V. (2007). Dve opisani konichni sechenia i dve porodeni ot tyah mnozhestva ot pravi. Мatematika i matematichesko obrazovanie, 36, 392 – 396.

Nenkov, V. (2008). Obobshtenie na teoremata na Feuerbah. Мatematika i Informatika, 51 (2) , 35 – 42.

Nenkov, V. (2010). Nyakolko svoystva na Feuerbahovata konfiguracia. Matematika \(i\) Informatika, 53 (5) , 42 – 61.

Paskalev, G. & Chobanov, G. (1985). Zabelezhitelni tochki v tri’g’lnika. Sofia: Narodna prosveta.