Образователни технологии
ОБОБЩЕНИЕ НА ТЕОРЕМАТА НА ЧЕЗАР КОШНИЦА
Резюме. Във връзка с описаните за даден триъгълник \(A B C\) конични сечения е установено едно обобщение на теорема на Чезар Кошница. Описаното обобщение е свързано със специални криви в равнината на \(\triangle A B C\) и спрегнати спрямо описаното конично сечение точки.
Ключови думи: triangle, conic, Euler circle, Euler line, conjugate lines
Увод. За произволен неправоъгълен триъгълник \(A B C\) с център на описаната окръжност \(O\) е известна следната теорема на Кошница: Ако центровете на описаните окръжности за \(\triangle B C O, \triangle C A O\) и \(\triangle A B O\) са съответно \(O_{a}\), \(O_{b}\) и \(O_{c}\), то правите \(A O_{a}, B O_{b}\) и \(C O_{c}\) се пресичат в една точка (Simeonov, 1992).
Оказва се, че теоремата на Кошница може да се обобщи, като описаната около \(\Delta A B C\) окръжност се замени с произволно описано за \(\Delta A B C\) конично сечение \(\bar{k}(O)\), което има за център точка \(O\), нележаща на никоя от страните \(B C, C A\) и \(A B\). От друга страна, в специалния случай, когато \(O\) лежи на някоя от страните \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB, се получава интересен вариант на теоремата на Кошница. Затова ще разгледаме двата случая поотделно.
Разглеждаме произволен триъгълник \(A B C\). Спрямо \(\triangle A B C\) ще използваме барицентрични координати, като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) ( (Paskalev \(\&\) Chobanov, 2015). Средите на страните \(B C, C A\) и \(A B\) означаваме съответно с \(M_{a}\left(0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right), M_{b}\left(\tfrac{1}{2}, 0, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(M_{c}\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 0\right)\), а с \(G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\)– медицентъра \(\triangle A B C\). В равнината на \(\triangle A B C\) ще разглеждаме произволно конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}+z_{0}=1\right)\).
Преди да преминем към обобщението на теоремата на Кошница, ще припомним някои понятия, които са свързани с това обобщение.
Описана крива и асоциирани с нея Ойлерова права и Ойлерова крива. Спрегнати точки спрямо описана крива. Забележителните за триъгълника права на Ойлер и окръжност на Ойлер могат да се обобщят спрямо произволна описана за \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}(O)\). Освен това изогоналното изображение в равнината на \(\triangle A B C\) може да се обобщи спрямо \(\bar{k}(O)\). Ще разгледаме различните възможности в зависимост от положението на центъра \(O\) в равнината на \(\triangle A B C\).
1. Центърът \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) на \(\bar{k}(O)\) е точка, различна от \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\). В този случай координатите на точките от \(\bar{k}(O)\) удовлетворяват уравнението (1) \(\bar{k}(O):\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y=0 \quad\).
Определяме правите \(h_{a}, h_{b}\) и \(h_{c}\) като минаващи съответно през върховете \(A, B\) и \(C\) и успоредни съответно на правите \(O M_{a}, O M_{b}\) и \(O M_{c}\). Тези прави се пресичат в една точка \(H\left(1-2 x_{0}, 1-2 y_{0}, 1-2 z_{0}\right)\), 1− 2 y0 , 1− 2z0 ) , която се получава от \(O\) посредством равенството \(\overrightarrow{G H}=\tfrac{1}{2} \overrightarrow{G O}\). Тъй като точката \(H\) притежава свойства, подобни на ортоцентъра, ще я наричаме ортоид на _ \(\triangle A B C\) относно \(\bar{k}(O)\), а правата \(O H\)– Ойлерова права, асоциирана с \(\bar{k}(O)\). Средите на отсечките \(A H, B H, C H\) и точките \(M_{a}, M_{b}, M_{c}, h_{a} \cap B C, h_{b} \cap C A\), \(h_{c} \cap A B\) лежат на едно конично сечение \(\Omega\), което наричаме Ойлерова крива, асоциирана с \(\bar{k}(O)\) ( (Grozdev & Nenkov, 2014). Ойлеровата крива \(\Omega\) има за център средата \(F\left(\tfrac{1-x_{0}}{2}, \tfrac{1-y_{0}}{2}, \tfrac{1-z_{0}}{2}\right)\) на отсечката \(O H\).
Двойките изогонално спрегнати точки спрямо \(\triangle A B C\) също могат да се обобщят по отношение на описаното централно коничното сечение \(\bar{k}(O)\). Нека \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\left(x_{P}+y_{P}+z_{P}=1\right)\) е точка от равнината на \(\triangle A B C\), която не лежи върху \(\bar{k}(O)\). Еднозначно е определена точката \(Q\left(x_{Q}, y_{Q}, z_{Q}\right)\), yQ , zQ ) , чиито координати са следните:
\[ \begin{aligned} & \text { (2) } x_{Q}=\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y_{P} z_{P}}{\vartheta(P)}, y_{Q}=\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z_{P} x_{P}}{\vartheta(P)}, z_{Q}=\tfrac{\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x_{P} y_{P}}{\vartheta(P)} \\ & \text { където } \vartheta(P)=\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y_{P} z_{P}+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z_{P} x_{P}+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x_{P} y_{P} \end{aligned} \]
Точката \(Q\) ще наричаме спрегната на \(P\) спрямо \(\bar{k}(O)\).
2. Центърът \(O\) на \(\bar{k}(O)\) е някоя от точките \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\). Нека \(O \equiv M_{c}\) и \(C_{1}(l, m, 0)(l+\underline{m}=1)\) е точка от правата \(A B\). Тогава съществува единствена крива \(\bar{k}(O) \equiv \bar{k}\left(M_{c}, C_{1}\right)\) с център в точката \(M_{c}\), която има следното уравнение (l + m = 1) \(\bar{k}\left(M_{c}, C_{1}\right): l y z+m z x+x y=0,(l+m=1)\).
В този случай разглеждаме ортоида \(H\) като точка, съвпадаща с върха \(C\), а Ойлеровата права е правата \(C M_{c}\). Ойлеровата крива \(\Omega\left(M_{c}, C_{1}\right)\) определяме като минаваща през \(M_{a}, M_{b}, M_{c}, C\) и \(C_{1}\) (тази крива е единствена, защот\(F\left(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}\right)\) о минавана през отсечк петата различни \(C M_{c}\). точки). Центърът на \(\Omega\left(M_{c}, C_{1}\right)\) е средата
Ако точката \(P\) не лежи върху \(\bar{k}\left(M_{c}, C_{1}\right)\), C1 ) , то еднозначно е определена точка \(Q\left(x_{Q}, y_{Q}, z_{Q}\right)\), yQ , zQ ) , чиито координати са следните:
(4) \(x_{Q}=\tfrac{l y_{P} z_{P}}{\vartheta\left(P, C_{1}\right)}, y_{Q}=\tfrac{m z_{P} x_{P}}{\vartheta\left(P, C_{1}\right)}, z_{Q}=\tfrac{x_{P} y_{P}}{\vartheta\left(P, C_{1}\right)}\), където \(\vartheta\left(P, C_{1}\right)=l y_{P} z_{P}+m z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}\).
Точката \(Q\) ще наричаме спрегната на \(P\) спрямо \(\bar{k}\left(M_{c}, C_{1}\right)\).
Обобщение на теоремата на Кошница. Нека центърът \(O\) на \(\bar{k}(O)\) не лежи върху никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\). Основната част в намирането на обобщение на теоремата на Кошница е откриването на подходящи точки, които да заменят центровете на описаните окръжности. Центровете на описаните окръжности са пресечни точки на симетрали. От друга страна, симетралите са прави, които минават през средите на страните на триъгълника и са спрегнати с тях спрямо описаната окръжност на \(\triangle A B C\). Затова ще заменим симетралите на отсечките \(O A, O B\) и \(O C\) със съответните им спрегнати спрямо \(\bar{k}(O)\) прави, минаващи съответно през средите на \(O A\), \(O B\) и \(O C\).
Нека \(s_{a}\) е спрегната права на \(O A\) спрямо \(\bar{k}(O)\), минаваща през средата на отсечката \(O A\). По същия начин през средите на отсечките \(O B\) и \(O C\) определяме съответно правите \(s_{b}\) и \(s_{c}\). Ще намерим координатите на точките \(s_{b} \cap s_{c}=O_{a}, s_{c} \cap s_{a}=O_{b}\) и \(s_{a} \cap s_{b}=O_{c}\). За целта трябва да намерим уравненията на правите \(s_{a}, s_{b}\) и \(s_{c}\).
От резултатите, получени в (Гроздев \(\&\) Ненков, 2015), следва, че ако векторът \(\overrightarrow{v}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)\) е спрегнат с вектора \(\overrightarrow{u}\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\), u2 , u3 ) , то са изпълнени равенствата
\[ \begin{aligned} v_{1} & =\left(1-2 x_{0}\right)\left[\left(y_{0}-z_{0}\right) u_{1}-x_{0} u_{2}+x_{0} u_{3}\right] \\ v_{2} & =\left(1-2 y_{0}\right)\left[y_{0} u_{1}+\left(z_{0}-x_{0}\right) u_{2}-y_{0} u_{3}\right] \\ v_{3} & =\left(1-2 z_{0}\right)\left[-z_{0} u_{1}+z_{0} u_{2}+\left(x_{0}-y_{0}\right) u_{3}\right] \end{aligned} \]
От (5) следва, че спрегнати вектори на \(\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\) и \(\overrightarrow{O C}\) са съответно \[ \begin{aligned} & \left(\left(z_{0}-y_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right),-\left(1-2 y_{0}\right) y_{0},\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}\right) \\ & \left(\left(1-2 x_{0}\right) x_{0},\left(x_{0}-z_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right),-\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}\right) \\ & \left(-\left(1-2 x_{0}\right) x_{0},\left(1-2 y_{0}\right) y_{0},\left(y_{0}-x_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\right) \end{aligned} \]
Оттук за параметричните уравнения на правите \(s_{a}, s_{b}\) и \(s_{c}\) намираме: \[ \begin{aligned} & s_{a}: x=\tfrac{1+x_{0}}{2}+\left(z_{0}-y_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) t_{a}, y=\tfrac{y_{0}}{2}-\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} t_{a}, z=\tfrac{z_{0}}{2}+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} t_{a}, \\ & s_{b}: x=\tfrac{x_{0}}{2}+\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} t_{b}, y=\tfrac{1+y_{0}}{2}+\left(x_{0}-z_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) t_{b}, z=\tfrac{y_{0}}{2}-\left(1-2 z_{0}\right) z t_{b}, \\ & s_{c}: x=\tfrac{x_{0}}{2}-\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} t_{c}, y=\tfrac{y_{0}}{2}+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} t_{c}, z=\tfrac{1+z_{0}}{2}+\left(y_{0}-x_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) t_{c} . \end{aligned} \]
От последните уравнения определяме координатите на точките \(O_{a}, O_{b}\) и \(O_{c}\) във вида:
\[ \begin{array}{r} O_{a}\left(\tfrac{x_{0}\left(2 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1\right)}{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}, \tfrac{y_{0}\left(1-z_{0}\right)}{1-2 z_{0}}, \tfrac{z_{0}\left(1-y_{0}\right)}{1-2 y_{0}}\right) \\ \text { (6) } O_{b}\left(\tfrac{x_{0}\left(1-z_{0}\right)}{1-2 z_{0}}, \tfrac{y_{0}\left(2 z_{0} x_{0}+2 y_{0}-1\right)}{\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}, \tfrac{z_{0}\left(1-x_{0}\right)}{1-2 x_{0}}\right) \\ O_{c}\left(\tfrac{x_{0}\left(1-y_{0}\right)}{1-2 y_{0}}, \tfrac{y_{0}\left(1-x_{0}\right)}{1-2 x_{0}}, \tfrac{z_{0}\left(2 x_{0} y_{0}+2 z_{0}-1\right)}{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}\right) \end{array} \]
Точките \(O_{a}, O_{b}\) и \(O_{c}\) са центрове на конични сечения \(\bar{k}_{a}\left(O_{a}\right), \bar{k}_{b}\left(O_{b}\right)\) и \(\bar{k}_{c}\left(O_{c}\right)\), които са описани съответно за \(\triangle B C O, \triangle C A O\) и \(\triangle A B O\). От (6) лесно се определя, че уравненията на тези криви са следните:
\[ \begin{aligned} \bar{k}_{a}\left(O_{a}\right): & \left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y-y_{0} z_{0} x(x+y+z)=0 \\ \text { (7) } \bar{k}_{b}\left(O_{b}\right): & \left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y-z_{0} x_{0} y(x+y+z)=0 \\ \bar{k}_{c}\left(O_{c}\right): & \left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y-x_{0} y_{0} z(x+y+z)=0 \end{aligned} \]
Фигура 1
Интересно е да се определи видът на кривите \(\bar{k}_{a}\left(O_{a}\right), \bar{k}_{b}\left(O_{b}\right)\) и \(\bar{k}_{c}\left(O_{c}\right)\) в зависимост от вида на \(\bar{k}(O)\). От (7) и резултатите, получени в (Grozdev & Nenkov, 2014, а), следват твърденията:
Теорема 1. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е елипса, то кривите \(\bar{k}_{a}\left(O_{a}\right), \bar{k}_{b}\left(O_{b}\right) u\) \(\bar{k}_{c}\left(O_{c}\right)\) са елипси, хомотетични на \(\bar{k}(O)\) (фиг. 1) .
Теорема 2. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е хипербола, то кривите \(\bar{k}_{a}\left(O_{a}\right), \bar{k}_{b}\left(O_{b}\right)\) \(u \bar{k}_{c}\left(O_{c}\right)\) са хиперболи, хомотетични на \(\bar{k}(O)\) или на нейната спрегната \(\bar{k}(O)\).
От теорема 1 следва, че когато \(\bar{k}(O)\) е окръжност, кривите \(\bar{k}_{a}\left(O_{a}\right)\), \(\bar{k}_{b}\left(O_{b}\right)\) и \(\bar{k}_{c}\left(O_{c}\right)\) са окръжностите от теоремата на Кошница. Така, за да по-лучим желаното обобщение, остава да проверим дали правите \(A O_{a}, B O_{b}\) и \(C O_{c}\) минават през една точка. Затова от \((6)\) определяме уравненията на тези прави във вида:
\[ \begin{aligned} & A O_{a}:\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} y-\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z=0 \\ & B O_{b}:\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x-\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} z=0 \\ & C O_{c}:\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} x-\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y=0 \end{aligned} \]
След несложни пресмятания от последните равенства намираме, че правите \(A O_{a}, B O_{b}\) и \(C O_{c}\) минават през точката \(K\), която има следните координати
(8) \(K\left(\tfrac{\left(1-y_{0}\right)\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) x_{0}}{\tau}, \tfrac{\left(1-z_{0}\right)\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) y_{0}}{\tau}, \tfrac{\left(1-x_{0}\right)\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}}{\tau}\right)\),
където \(\tau=\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)+3 x_{0} y_{0} z_{0}\).
Фигура 2
Точката \(K\) е безкрайна, когато за координатите на центъра \(O\) е изпълнено равенството \(\tau=0\). Това означава, че правите \(A O_{a}, B O_{b}\) и \(C O_{c}\) са успоредни и направлението им се определя от вектора \[ \left(\left(1-y_{0}\right)\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) x_{0},\left(1-z_{0}\right)\left(1-x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) y_{0},\left(1-x_{0}\right)\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}\right) \]
Така получихме следните твърдения.
Теорема 3. Правите \(A O_{a}, B O_{b}\) и \(C O_{c}\) минават през една крайна или безкрайна точка \(K\) (фиг. 2, 3).
Теорема 4. Правите \(A O_{a}, B O_{b} \quad u \quad C O_{c} \quad c a \quad\) успоредни тогава и само тогава, когато \(O\) лежи върху кривата от трета степен \(\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)+3 x_{0} y_{0} z_{0}=0\) (фиг. 3).
Теорема 3 се явява обобщение на формулираната в началото теорема на Кошница. Затова точката \(K\) (крайна или безкрайна) ще наричаме точка на Кошница спрямо \(\bar{k}(O)\). От теорема 4 следва, че точката на Кошница е безкрайна само когато центърът на \(\bar{k}(O)\) е точка от една специална крива от трета степен. Случаят, в който \(K\) е крайна, също се характеризира със забележително свойство. Той е свързан със спрегнатостта спрямо \(\bar{k}(O)\). След заместване на координатите (8 ) в равенствата ( 2) се вижда, че спрегнатата точка на \(K\) е точката \(F\left(\tfrac{1-x_{0}}{2}, \tfrac{1-y_{0}}{2}, \tfrac{1-z_{0}}{2}\right)\), която е центърът на Ойлеровата крива, асоциирана с \(\bar{k}(O)\). Така получихме следното
Фигура 3
Следствие 1. Точката на Кошница и центърът на Ойлеровата крива, асоциирана с \(\bar{k}(O)\), са спрегнати точки спрямо \(\bar{k}(O)\).
От следствие 1 се получава, че когато \(\bar{k}(O)\) е описаната за \(\triangle A B C\) окръжност, точката на Кошница е изогонално спрегната с центъра на Ойлеровата окръжност.
Едно конично сечение с център върху Ойлеровата права. Освен точката\(\bar{k}_{c}\left(O_{c}\right)\) на Кеошница свързано с и центровете едно специално \(O_{a}, O_{b}\) коничнои \(O_{c}\) на сечение кривите, което \(\bar{k}_{a}\left(O_{a}\right), \bar{k}_{b}\left(O_{b}\right)\) е описано около и \(\Delta O_{a} O_{b} O_{c}\).
Нека \(s_{a}\) е спрегната права на \(O_{b} O_{c}\) спрямо \(\bar{k}(O)\), минаваща през средата на отсечката \(O_{b} O_{c}\). По същия начин през средите на отсечките \(O_{c} O_{a}\) и \(O_{a} O_{b}\) определяме съответно правите \(s_{b}\) и \(s_{c}\). Тъй като векторите (\(1-x_{0},-y_{0}, z_{0}\) ), \(\left(-x_{0}, 1-y_{0},-z_{0}\right)\) и \(\left(-x_{0},-y_{0}, 1-z_{0}\right)\) са спрегнати съответно на \(\overrightarrow{O_{b} O_{c}}, \overrightarrow{O_{c} O_{a}}\) и \(\overrightarrow{O_{a} O_{b}}\), то параметричните уравнения на правите \(s_{a}^{\prime}, s_{b}^{\prime}\) и \(s_{c}^{\prime}\) се представят във вида
\(\begin{gathered} s_{a}^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=\cfrac{\left(4 y_{0} z_{0}+3 x_{0}-1\right) x_{0}}{2\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}+\left(1-x_{0}\right) t_{a}^{\prime} \\ y=\cfrac{\left(4 z_{0} x_{0}+3 y_{0}-z_{0}-1\right) y_{0}}{2\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}-y_{0} t_{a}^{\prime} \\ z=\cfrac{\left(4 x_{0} y_{0}+3 z_{0}-y_{0}-1\right) z_{0}}{2\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}-z_{0} t_{a}^{\prime} \end{array},s_{b}^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=\cfrac{\left(4 y_{0} z_{0}+3 x_{0}-z_{0}-1\right) x_{0}}{2\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}-x_{0} t_{b}^{\prime} \\ y=\cfrac{\left(4 z_{0} x_{0}+3 y_{0}-1\right) y_{0}}{2\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}+\left(1-y_{0}\right) t_{b}^{\prime} \\ z=\cfrac{\left(4 x_{0} y_{0}+3 z_{0}-x_{0}-1\right) z_{0}}{2\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}-z_{0} t_{b}^{\prime} \end{array}\right.\right. \\ s_{c}^{\prime}:\left\{\begin{array}{l} x=\cfrac{\left(4 y_{0} z_{0}+3 x_{0}-y_{0}-1\right) x_{0}}{2\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}-x_{0} t_{c}^{\prime} \\ y=\cfrac{\left(4 z_{0} x_{0}+3 y_{0}-x_{0}-1\right) y_{0}}{2\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}-y_{0} t_{c}^{\prime} \\ z=\cfrac{\left(4 x_{0} y_{0}+3 z_{0}-1\right) z_{0}}{2\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}+\left(1-z_{0}\right) t_{c}^{\prime} \end{array}\right. \end{gathered}\)
Чрез тези уравнения установяваме, че правите \(s_{a}^{\prime}, s_{b}^{\prime}\) и \(s_{c}^{\prime}\) се пресичат в една точка \(O_{1}\), която има следните координати
(9) \(O_{1}\left(\tfrac{\left[\Delta-\left(1-3 x_{0}\right) y_{0} z_{0}\right] x_{0}}{\Delta}, \tfrac{\left[\Delta-\left(1-3 y_{0}\right) z_{0} x_{0}\right] y_{0}}{\Delta}, \tfrac{\left[\Delta-\left(1-3 z_{0}\right) x_{0} y_{0}\right] z_{0}}{\Delta}\right)\),
където \(\Delta=\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\).
Точката \(O_{1}\) е център на конично сечение \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\), което е описано за \(\Delta O_{a} O_{b} O_{c}\). Ще определим уравнението на \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\). За целта извършваме смяна на координатния триъгълник \(A B C\) с \(O_{a} O_{b} O_{c}\). Ако координатите на точка \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) са \((x, y, z)\), а спрямо \(\Delta O_{a} O_{b} O_{c}\) са \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\), то са изпълнени равенствата
\[ \begin{aligned} & x=\tfrac{x_{0}\left(2 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1\right)}{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)} x^{\prime}+\tfrac{x_{0}\left(1-z_{0}\right)}{1-2 z_{0}} y^{\prime}+\tfrac{x_{0}\left(1-y_{0}\right)}{1-2 y_{0}} z^{\prime} \\ & y=\tfrac{y_{0}\left(1-z_{0}\right)}{1-2 z_{0}} x^{\prime}+\tfrac{y_{0}\left(2 z_{0} x_{0}+2 y_{0}-1\right)}{\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)} y^{\prime}+\tfrac{y_{0}\left(1-x_{0}\right)}{1-2 x_{0}} z^{\prime} \\ & z=\tfrac{z_{0}\left(1-y_{0}\right)}{1-2 y_{0}} x^{\prime}+\tfrac{z_{0}\left(1-x_{0}\right)}{1-2 x_{0}} y^{\prime}+\tfrac{z_{0}\left(2 x_{0} y_{0}+2 z_{0}-1\right)}{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)} z^{\prime} \end{aligned} \]
От тези равенства следва
(10) \[ \begin{aligned} & x^{\prime}=-\tfrac{1}{y_{0} z_{0}}\left[x_{0} y_{0} z_{0} x+z_{0}\left(x_{0} y_{0}+2 z_{0}-1\right) y+y_{0}\left(z_{0} x_{0}+2 y_{0}-1\right) z\right] \\ & y^{\prime}=-\tfrac{1}{z_{0} x_{0}}\left[z_{0}\left(x_{0} y_{0}+2 z_{0}-1\right) x+x_{0} y_{0} z_{0} y+x_{0}\left(y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1\right) z\right] \\ & z^{\prime}=-\tfrac{1}{x_{0} y_{0}}\left[y_{0}\left(z_{0} x_{0}+2 y_{0}-1\right) x+x_{0}\left(y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1\right) y+x_{0} y_{0} z_{0} z\right] \end{aligned} \]
От \((10)\) следва, че координатите (\(x_{O_{1}}^{\prime}, y_{O_{1}}^{\prime}, z_{O_{1}}^{\prime}\) ) на \(O_{1}\) спрямо \(\Delta O_{a} O_{b} O_{c}\) се изразяват с равенствата
(11) \(x_{O_{1}}^{\prime}=x_{0}^{2}\left(1-2 x_{0}-2 y_{0} z_{0}\right), y_{O_{1}}^{\prime}=y_{0}^{2}\left(1-2 y_{0}-2 z_{0} x_{0}\right), z_{O_{1}}^{\prime}=z_{0}^{2}\left(1-2 z_{0}-2 x_{0} y_{0}\right)\).
Сега заместваме \((10)\) и \((11)\) в уравнението \(x_{0}^{2} y^{\prime} z^{\prime}+y_{0}^{2} z^{\prime} x^{\prime}+z_{0}^{2} x^{\prime} y^{\prime}=0\) на \(\overline{k_{1}}\left(O_{1}\right)\) спрямо \(\Delta O_{a} O_{b} O_{c}\) и получаваме уравнението 3 спрямо \(\triangle A B C\) във вида
\[ \begin{aligned} \bar{k}\left(O_{1}\right): & \begin{array}{l} \left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\left[\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y\right]+ \\ \\ \\ +x_{0} y_{0} z_{0}\left[\left(3 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1\right) x_{0} x+\left(3 z_{0} x_{0}+2 y_{0}-1\right) y_{0} y+\left(3 x_{0} y_{0}+2 z_{0}-1\right) z_{0} z\right](x+y+z)=0 \end{array} \end{aligned} \]
От уравнението на \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\) и резултатите, получени в (Гроздев & Ненков, 2014, а), следва следната:
Теорема 5. Кривата \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\) е хомотетична на \(\bar{k}(O)\) с коефициент на хомотетия \(\pm \tfrac{x_{0} y_{0} z_{0}}{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}\).
Оттук следва, че кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\) са от един и същи вид. Това се уточнява чрез следните следствия:
Следствие 2. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е елипса, то кривата \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\) е елипса (фиг. 2).
Следствие 3. Ако кривата \(\bar{k}(O)\) е хипербола, то кривата \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\) е \(x\) ипербола.
Като използваме координатите (9) на \(O_{1}\), след известни несложни пресмятания установяваме, че \(O_{1}\) лежи на една права с точките \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) и \(G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\). Следователно е изпълнена следната
Теорема 6. Ойлеровата права \(\triangle A B C\), асочиирана с \(\bar{k}(O)\), минава през центъра \(O_{1}\) на \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\) (фиг. 2).
От следствие 2 и теорема 6 следва, че ако \(\bar{k}(O)\) е описаната за \(\triangle A B C\) окръжност, то \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\) е окръжност, центърът на която лежи върху Ойлеровата права на \(\triangle A B C\). Нещо повече, от теорема 5 следва, че ако \(\underline{\alpha}, \beta\) и \(\gamma\) са ъглите на \(\triangle A B C\), то отношението на радиусите на \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}\left(O_{1}\right)\) е равно на \(8 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma\).
Вариант на теоремата на Кошница при описана крива с център върху някоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\). Нека \(O \equiv M_{c}\) и \(C_{1}(l, m, 0)(l+m=1)\) е точка от правата \(A B\). Тогава съществува единствена описана за \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}(O) \equiv \bar{k}\left(M_{c}, C_{1}\right)\) с център \(M_{c}\), точките на която удовлетворяват уравнение \((3)\) . В този случай, ако \(s_{c}\) е правата, спрегната на \(C M_{c}\) и минаваща през средата на отсечката \(C M_{c}\), то \(O_{a}=s_{c} \cap M_{c} M_{a}\) и \(O_{b}=s_{c} \cap M_{c} M_{b}\). Координатите на центровете \(O_{a}\) и \(O_{b}\) са следните
(12) \[ O_{a}\left(\tfrac{1-2 l}{4 m}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4 m}\right), O_{b}\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1-2 m}{4 l}, \tfrac{1}{4 l}\right) . \]
Фигура 4
От \((12)\) за уравненията на правите \(A O_{a}\) и \(B O_{b}\) намираме: \(A O_{a}: y-2 m z=0, B O_{b}: x-2 l z=0\).
От тези уравнения намираме пресечната им точка \(A O_{a} \cap B O_{b}=K\left(\tfrac{2}{3} l, \tfrac{2}{3} m, \tfrac{1}{3}\right)\). Сега лесно се проверява, че координатите на точката \(K\) удовлетворяват уравнението \(m x-l y=0\) на правата \(C C_{1}\). Така по-лучаваме следната
Теорема 7. Правите \(A O_{a}, B O_{b}\) и \(C C_{1}\) се пресичат в една точка (фиг. 4)
Точката \(K\) и в този случай ще наричаме точка на Кошница спрямо тв\(\bar{k}(O) \equiv \bar{k}\left(M_{c}, C_{1}\right)\)ърдението: Точката. От на \((4)\) Кошница и координа е спрегнаттите наа с \(K\) центъраследва, че \(F\left(\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}\right)\) е изпълнено на Ойлеровата крива \(\Omega\left(M_{c}, C_{1}\right)\), асоциирана \(c \bar{k}\left(M_{c}, C_{1}\right)\). По този начин се установява, че и в този случай е изпълнено следствие 1. Ако \(\bar{k}\left(M_{c}, C_{1}\right)\) е описаната за \(\triangle A B C\) окръжност (това се случва, когато \(∢ A C B=90^{\circ}\) ), \(C C_{1}\) е височината на \(\triangle A B C\) през \(C\) и затова \(K\) е точка от височината към хипотенузата на \(\triangle A B C\).
Заключение. Извършените наблюдения върху зависимостите между основните елементи в теоремата на Кошница ни позволиха да получим нейно обобщение за всяко описано около триъгълника конично сечение. Извършените изследвания доведоха до откриване на допълнителни свойства на точката на Кошница. Освен това получихме и една допълнителна крива, която е тясно свързана с теоремата на Кошница, и други забележителни свойства на триъгълника, зависещи от описаната крива.
REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА
Simeonov, A. (1992). Kompleksni koordinati v teoremata na Chezar Koshnitsa, Obuchenieto po matematika i informatika, 1, 52 – 53. [Симеонов, А. (1992). Комплексни координати в теоремата на Чезар Кошница, Обучението по математика и информатика, 1, 52 – 53.]
Paskalev, G. & I. Chobanov . (1985). Zabelezhitelni tochki v triagalnika. Sofi a: Narodna prosveta. [Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.]
Grozdev, S. & V. Nenkov. (2014). Obobshteniya nekotorayh klassicheskih teorem geometrii treugolynika. Teoreticheskie i prikladnaye aspektay matematiki, informatiki i obrazovaniya. Sbornik materialov mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii. Arhangelysk, SAFU, 35 – 54. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2014). Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника. Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования. Сборник материалов международной научной конференции. Архангельск, САФУ, 35 – 54.]
Grozdev, S. & V . Nenkov (2014, a). Homotetichni konichni secheniya v ravninata na triagalnik. Matematika i informatika, 2, 139 – 154. [Гроздев, С. & В. Ненков (2014, а). Хомотетични конични сечения в равнината на триъгълник. Математика и информатика, 2, 139 – 154.]
Grozdev, S. & V. Nenkov. (2015). Geometrichna konstruktsiya na kriva na Cheva, Matematika i informatika, 1, 52 – 57. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2015). Геометрична конструкция на крива на Чева, Математика и информатика, 1, 52 – 57.]