Резюме. Статията представя обобщение на една задача за окръжности през постоянна точка в равнината на даден триъгълник.

Ключови думи: triangle; center; centroid; circum curve; Euler line

1. Търсене на обобщение

Целта на настоящите изследвания се състои в откриване на обобщение на следната задача: Точките \(O\) и \(G\) са съответно центърът на описаната окръжност и медицентърът на \(\triangle A B C\). Точките \(O_{1}, O_{2}\) и \(O_{3}\) са симетрични на \(O\) съответно спрямо правите \(B C, C A\) и \(A B\). Аналогично \(G_{1}, G_{2}\) и \(G_{3}\) са симетрични на \(G\) съответно спрямо \(B C, C A\) и \(A B\). Да се докаже, че описаните окръжности на триъгълниците \(\mathrm{AO}_{2} \mathrm{O}_{3}, \mathrm{BO}_{3} \mathrm{O}_{1}, \mathrm{CO}_{1} \mathrm{O}_{2}, A G_{2} G_{3}, B G_{3} G_{1}\) и \(C G_{1} G_{2}\) минават през една точка \(T\) от описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\).

При извършване на необходимите изследвания в процеса на търсене на желаното обобщение на тази задача е подходящо да се използват динамичните възможности на програмата THE GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP). В началото да отбележим, че според известно свойство на ортоцентъра \(H\) на \(\triangle A B C\) точките \(H_{1}, H_{2}\) и \(H_{3}\), , които са симетрични на \(H\) съответно спрямо \(B C, C A\) и \(A B\), лежат върху описаната около \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\). Следователно описаните окръжности на триъгълниците \(A H_{2} H_{3}, B H_{3} H_{1}\) и \(C H_{1} H_{2}\), BH3H1 и CH1H 2, които съвпадат с \(\Gamma\), също минават през \(T\). Това ни дава основание да предположим, че ако \(P\) е произволна точка от Ойлеровата права на \(\triangle A B C\), а точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) са симетричните на \(P\) съответно спрямо \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB , описаните окръжности на триъгълниците \(A P_{2} P_{3}, B P_{3} P_{1}\) и \(C P_{1} P_{2}\) минават през същата точка \(T\), която участва във формулировката на задачата. Експериментите с GSP показват, че това предположение е основателно. Така получаваме едно обобщение на задачата.

По-нататък ще търсим обобщение на задачата, като заменим окръжностите с подходящи конични сечения. За целта заменяме описаната окръжността \(\Gamma\) с произволно описано за \(\triangle A B C\) конично сечение \(k\) с център \(O\). Освен това нека \(P\) е произволна точка в равнината на \(\triangle A B C\). С \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) означаваме точките, симетрични на \(P\) съответно спрямо \(B C, C A\) и \(A B\). През средите на отсечките \(A P_{2}, A P_{3}\) и \(P_{2} P_{3}\) построяваме прави, които са съответно спрегнати с правите \(A P_{2}, A P_{3}\) и \(P_{2} P_{3}\) спрямо \(k\). Тези прави се пресичат в една точка и затова общата им точка може да се разглежда като център на описано за \(\Delta A P_{2} P_{3}\) конично сечение. Аналогично построяваме конични сечения, които са описани около триъгълниците \(B P_{3} P_{1}\) и \(C P_{1} P_{2}\). Наблюденията с GSP обаче показват, че така построените конични сечения нямат обща точка дори в случаите, когато \(P \equiv O\) и \(P \equiv G\). Затова по този начин няма как да се получи обобщение на задачата. Следователно точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) трябва да се построят по друг начин.

Нека \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\) са средите съответно на страните \(B C, C A\) и \(A B\). При симетрия спрямо някоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\) образът на \(P\) образува с \(P\) права, която е успоредна на симетралата на съответната страна. Затова през \(P\) построяваме права \(p_{1}\), успоредна на \(O M_{a}\), а след това върху правата \(p_{1}\) построяваме точка \(P_{1}\) така, че средата на отсечката \(P P_{1}\) да лежи върху \(B C\) (фиг. 1). Аналогично по отношение на правите \(C A\) и \(A B\) построяваме съответно точките \(P_{2}\) и . Сега, по описания по-горе начин, построяваме конични сечения \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\), , които са описани съответно за триъгълниците \(A P_{2} P_{3}, B P_{3} P_{1}\) и \(C P_{1} P_{2}\). След извършване на всички тези построения за произволна точка \(P\) забелязваме следното

Твърдение 1. Ако \(P\) е произволна точка в равнината на \(\triangle A B C\), коничните сечения \(k, k_{a}, k_{b} u k_{c}\) минават през една точка (фиг. 2, 3).

Нека сега точката \(H\) е такава, че \(G H=-2 . \overrightarrow{G O}\) . Тогава точките \(O, G\) и \(H\) лежат на права \(l_{0}\), която е обобщение на Ойлеровата права, поради което я наричаме Ойлерова права, определена от кривата \(k\) (Grozdev \& Nenkov, 2014 a). Точката \(H\) притежава редица свойства, подобни на тези на ортоцентъра на \(\triangle A B C\). Затова точката \(H\) наричаме ортоид, определен от \(k\) (Grozdev \& Nenkov, 2014, a). Ако точката \(P\) описва правата \(l_{0}\), забелязваме, че коничните сечения \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) минават през постоянна точка \(T\) от \(k\). По този начин получаваме обобщение на формулираното по-рано твърдение за класическата Ойлерова права на \(\triangle A B C\). Когато \(P \equiv H\) ( \(H\) е обобщение на ортоцентъра на \(\triangle A B C\) ), кривите \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) съвпадат с \(k\). Затова можем да предполагаме, че точката \(H\) има специален статут в извършените построения. Това означава, че може би всяка права през \(H\) притежава свойствата на Ойлеровата права \(l_{0}\). Наблюденията с GSP потвърждават тези предположения. По-точно наблюдава се следното

Твърдение 2. Ако \(l\) е произволна права през ортоида \(H\), коничните сечения \(k_{a}, k_{b} u k_{c}\) минават през постоянна точка \(T\) от \(k\) (фиг. 2, 3).

От твърдение 2 следва, че на всяка права \(l\) през \(H\) съответства точка \(T\) от \(k\). Нека \(\bar{l}\) е правата през \(H\), която е спрегната с \(l\) спрямо \(k\). На правата \(\bar{l}\) съответства точка \(\bar{T}\) от \(k\). Точките \(T\) и \(\bar{T}\) са свързани по следния начин:

Твърдение 3. Точките \(T\) и \(\bar{T}\) са разположени диаметрално противоположно върху \(k\) (фиг. 2, 3).

2. Доказателства и уточнения на формулираните твърдения

За да бъдат узаконени формулираните твърдения, те се нуждаят от строги доказателства. Тези доказателства ще извършим с помощта на барицентрични координати спрямо \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) ( (Paskalev \& Chobanov, 1985).

Нека координатните представяния на точките \(P\) и \(O\) са следните \(P(\lambda, \mu, v)\) и \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\), y0, z0 ) , където \(\lambda+\mu+v=1\) и \(x_{0}+y_{0}+z_{0}=1\). Оттук следва, че описаната крива \(k\) има следното уравнение

(1)\[ \left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) x y=0 \]

Параметричните уравнения на правата \(p_{1}\), минаваща през \(P\) и успоредна на \(O M_{a}\) (фиг. 1), са следните

\[ p_{1}: x=\lambda-2 x_{0} t_{1}, y=\mu+\left(1-2 y_{0}\right) t_{1}, z=v+\left(1-2 z_{0}\right) t_{1} \]

От тези уравнения намираме координатите на пресечната точка \(P_{1}^{\prime}\) на \(p_{1}\) с правата \(B C: x=0\) във вида \(P_{1}^{\prime}\left(0, \cfrac{\left(1-2 x_{0}\right) \lambda+2 x_{0} \mu}{2 x_{0}}, \cfrac{\left(1-2 z_{0}\right) \lambda+2 x_{0} v}{2 x_{0}}\right)\). Оттук получаваме, че точката \(P_{1}\), която е симетрична на \(P\) спрямо \(P_{1}^{\prime}\), има следното координатно представяне

(2)\[ P_{1}\left(-\lambda, \cfrac{\left(1-2 y_{0}\right) \lambda+x_{0} \mu}{x_{0}}, \cfrac{\left(1-2 z_{0}\right) \lambda+x_{0} v}{x_{0}}\right) \]

По същия начин се получават координатите на аналогичните точки \(P_{2}\) и \(P_{3}\) във вида

(3)\(P_{2}\left(\cfrac{y_{0} \lambda+\left(1-2 x_{0}\right) \mu}{y_{0}},-\mu, \cfrac{z_{0} v+\left(1-2 z_{\mathrm{c}}\right.}{y_{0}}, P_{3}\left(\cfrac{z_{0} \lambda+\left(1-2 x_{0}\right) v}{z_{0}}, \cfrac{z_{0} \mu+\left(1-2 y_{0}\right) v}{z_{0}},-v\right)\right.\).

За да определим спрегнатите прави \(s_{2}\) и \(s_{3}\) съответно на \(A P_{2}\) и \(A P_{3}\) през техните сре ди (фиг . 1), е необходимо да знаем спрегнатите направления на векторите \(\overrightarrow{A P_{2}}\) и \(\overrightarrow{A P_{3}}\). В (Grozdev & Nenkov, 2015) е показано, че ако векторът \(\vec{v}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)\) е спрегнат с вектора \(u\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right)\) спрямо \(k\), то са изпълнени равенствата

(4)\[ \begin{aligned} & v_{1}=\left(1-2 x_{0}\right)\left[\left(y_{0}-z_{0}\right) u_{1}-x_{0} u_{2}+x_{0} u_{3}\right] \\ & v_{2}=\left(1-2 y_{0}\right)\left[y_{0} u_{1}+\left(z_{0}-x_{0}\right) u_{2}-y_{0} u_{3}\right] \\ & v_{3}=\left(1-2 z_{0}\right)\left[-z_{0} u_{1}+z_{0} u_{2}+\left(x_{0}-y_{0}\right) u_{3}\right] . \end{aligned} \]

От (3) и (4) намираме спрегнатите направления на векторите \(\overrightarrow{A P_{2}}\) и \(\overrightarrow{A P_{3}}\), а от тях определяме параметричните уравнения на правите \(S_{2}\) и \(S_{3}\) във вида:

\[ \begin{aligned} & s_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=\cfrac{y_{0}(1+\lambda)+\left(1-2 x_{0}\right) \mu}{2 y_{0}}+\left(1-2 x_{0}\right)\left[\left(1-y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \mu+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} v\right] t_{2} \\ y=-\cfrac{\mu}{2}-\left(1-2 y_{0}\right) y_{0}\left[\left(1-2 z_{0}\right) \mu+2 y_{0} v\right] t_{2} \\ z=\cfrac{y_{0} v+\left(1-2 z_{0}\right) \mu}{2 y_{0}}+\left(1-2 z_{0}\right)\left[\left(2 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1\right) \mu+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} v\right] t_{2} \end{array}\right. \\ & s_{3}:\left\{\begin{array}{l} x=\cfrac{z_{0}(1+\lambda)+\left(1-2 x_{0}\right) v}{2 z_{0}}+\left(1-2 x_{0}\right)\left[\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \mu+\left(1-z_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) v\right] t_{3} \\ y=\cfrac{z_{0} \mu+\left(1-2 y_{0}\right) v}{2 z_{0}}+\left(1-2 y_{0}\right)\left[\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \mu+\left(2 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1\right)_{0} v\right] t_{3} \\ z=-\cfrac{v}{2}-\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}\left[2 z_{0} \mu+\left(1-2 y_{0}\right) v\right] t_{3} \end{array}\right. \end{aligned} \] От последните уравнения намираме координатите на пресечната точка \(P_{a}\) на правите \(s_{2}\) и \(s_{3}\) във вида:

(5)\[ \text { (5) } P_{a}\left(\cfrac{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \lambda+\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right) \mu+\left(1-2 y_{0}\right)\left(x_{0}-z_{0}\right) v}{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}, \cfrac{y_{0} v}{1-2 z_{0}}, \cfrac{z_{0} \mu}{1-2 y_{0}}\right. \]

От \((4)\) и \((5)\) лесно се вижда, че векторът, определен от средата на отсечката \(P_2P_3\) и точката \(P_a\) , е спрегнат с вектора \(\overrightarrow{P_2P_3}\) . Следователно правата, минаваща през средата на \(P_{2} P_{3}\) и спрегната с \(P_{2} P_{3}\) спрямо \(k\), минава през \(P_{a}\). Затова точката \(P_{a}\) разглеждаме като център на описано около \(\Delta A P_{2} P_{3}\) конично сечение \(k_{a}\). Аналогично определяме точките \(P_{b}\) и \(P_{c}\) като центрове на описани съответно около триъгълниците \(B P_{3} P_{1}\) и \(C P_{1} P_{2}\) конични сечения \(k_{b}\) и \(k_{c}\). Техните координати са следните:

(6)\[ \begin{aligned} & P_{b}\left(\cfrac{x_{0} v}{1-2 z_{0}}, \cfrac{\left(1-2 x_{0}\right)\left(y_{0}-x_{0}\right) \lambda+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \mu+\left(1-2 z_{0}\right)\left(y_{0}-z_{0}\right) v}{\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right)}, \cfrac{z_{0} \lambda}{1-2 x_{0}}\right) \\ & P_{c}\left(\cfrac{x_{0} \mu}{1-2 y_{0}}, \cfrac{y_{0} \lambda}{1-2 x_{0}}, \cfrac{\left(1-2 x_{0}\right)\left(z_{0}-x_{0}\right) \lambda+\left(1-2 y_{0}\right)\left(z_{0}-y_{0}\right) \mu+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) v}{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)}\right) \end{aligned} \]

Сега ще намерим уравнението на кривата \(k_{a}\). За целта разглеждаме координати и спрямо \(\Delta A P_{2} P_{3}\). Ако точка \(M\) има координати \((x, y, z)\) спрямо \(\triangle A B C\) и координати (\(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\) ) спрямо \(\Delta A P_{2} P_{3}\), от \((3)\) следва, че връзките между тези координати се изразяват с равенствата:

(7) \(\begin{aligned} x&=x^{\prime}+\cfrac{y_{0} \lambda+\left(1-2 x_{0}\right) \mu}{y_{0}} y^{\prime}+\cfrac{z_{0} \lambda+\left(1-2 x_{0}\right) v}{z_{0}} z^{\prime}, \\ y&=-\mu y^{\prime}+\cfrac{z_{0} \mu+\left(1-2 y_{0}\right) v}{z_{0}} z^{\prime}, \\ z&=\cfrac{y_{0} v+\left(1-2 z_{0}\right) \mu}{y_{0}} y^{\prime}-v z^{\prime}, \\ \end{aligned}\)

(8) \(\begin{aligned} x^{\prime}&=\cfrac{t x+\left[t-\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \mu-2 y_{0} z_{0} v\right] y+\left[t-x_{0} y_{0} \mu-\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} v\right] z}{t}, \\ y^{\prime}&=\cfrac{y_{0} z_{0} v y+\left[z_{0} \mu+\left(1-2 y_{0}\right) v\right] y_{0} z}{t} t, \\ z^{\prime}&=\cfrac{\left[\left(1-2 z_{0}\right) \mu+y_{0} v\right] z_{0} y+y_{0} z_{0} \mu z}{t}, \end{aligned}\)

където \(t=\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \mu^{2}+\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \mu \nu+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \nu^{2}\).

Ако координатите на \(P_{a}\) спрямо \(\Delta A P_{2} P_{3}\) са \(\left(x_{a}^{\prime}, y_{a}^{\prime}, z_{a}^{\prime}\right)\), , то от \((5)\) и \((8)\) следват равенствата

(9)\(x_{a}^{\prime}=\cfrac{2 y_{0} z_{0}+2 x_{0}-1}{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}, y_{a}^{\prime}=\cfrac{y_{0} z_{0}}{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}, z_{a}^{\prime}=\cfrac{y_{0} z_{0}}{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}\).

(Координатите \((9)\) показват, че точката \(P_{a}\) лежи върху правата, минаваща през върха \(A\) и средата на отсечката \(P_{2} P_{3}\).)

Сега да обърнем внимание, че според(1) уравнението на \(k_{a}\) спрямо \(\triangle A P_{2} P_{3}\) е \(\left(1-2 x_{a}^{\prime}\right) x_{a}^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}+\left(1-2 y_{b}^{\prime}\right) y_{b}^{\prime} z^{\prime} x^{\prime}+\left(1-2 z_{c}^{\prime}\right) z_{c}^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}=0\). В това уравнение заместваме равенствата \((8)\) и \((9)\) . След известни преобразувания получаваме

(10) \(k_{a}:\begin{aligned} &\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) x y- \\ &-\left\{\left[\left(1-2 z_{0}\right) \lambda-\left(1-2 x_{0}\right) v\right] z_{0} y+\left[\left(1-2 y_{0}\right) \lambda-\left(1-2 x_{0}\right) \mu\right] y_{0} z\right\}(x+y+z)=0 \end{aligned}\)

По аналогичен начин се получават уравненията на кривите \(k_{b}\) и \(k_{c}\) във вида

(11) \(k_{b}: \begin{aligned} &\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) x y-\\ &-\left\{\left[\left(1-2 z_{0}\right) \mu-\left(1-2 y_{0}\right) v\right] z_{0} x+\left[\left(1-2 x_{0}\right) \mu-\left(1-2 y_{0}\right) \lambda\right] x_{0} z\right\}(x+y+z)=0 \end{aligned}\)

(12) \(k_{c} : \begin{aligned} & \left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) x y- \\ & -\left\{\left[\left(1-2 y_{0}\right) v-\left(1-2 z_{0}\right) \mu\right] y_{0} x+\left[\left(1-2 x_{0}\right) v-\left(1-2 z_{0}\right) \lambda\right] x_{0} y\right\}(x+y+z)=0 \end{aligned}\)

От уравненията (10), (11), (12) и резултатите, получени в (Grozdev & Nenkov, 2014, b), имаме

Следствие 1. Ако кривата \(k\) е елипса, то кривите \(k_{a}, k_{b} u k_{c}\) са елипси (фиг. 2).

Следствие 2. Ако кривата \(k\) е хипербола, то кривите \(k_{a}, k_{b} u k_{c}\) са хиперболи (фиг. 3, 4).

По-нататък от \((1)\) и \((10)\) следва, че кривите \(k\) и имат обща точка \(T\left(x_{T}, y_{T}, z_{T}\right)\), чиито координати се изразяват с формулите:

(13)\[ \begin{aligned} x_{T} & =\cfrac{\left[\left(1-2 z_{0}\right) \lambda-\left(1-2 x_{0}\right) v\right]\left[\left(1-2 y_{0}\right) \lambda-\left(1-2 x_{0}\right) \mu\right] x_{0}}{\tau} \\ y_{T} & =\cfrac{\left[\left(1-2 z_{0}\right) \mu-\left(1-2 y_{0}\right) v\right]\left[\left(1-2 x_{0}\right) \mu-\left(1-2 y_{0}\right) \lambda\right] y_{0}}{\tau} \\ z_{T} & =\cfrac{\left[\left(1-2 y_{0}\right) v-\left(1-2 z_{0}\right) \mu\right]\left[\left(1-2 x_{0}\right) v-\left(1-2 z_{0}\right) \lambda\right] z_{0}}{\tau} \end{aligned} \]

където

(14)\[ \begin{aligned} & \tau=\left[\left(1-2 z_{0}\right) \lambda-\left(1-2 x_{0}\right) v\right]\left[\left(1-2 y_{0}\right) \lambda-\left(1-2 x_{0}\right) \mu\right] x_{0} \\ & +\left[\left(1-2 z_{0}\right) \mu-\left(1-2 y_{0}\right) v\right]\left[\left(1-2 x_{0}\right) \mu-\left(1-2 y_{0}\right) \lambda\right] y_{0}+ \\ & +\left[\left(1-2 y_{0}\right) v-\left(1-2 z_{0}\right) \mu\right]\left[\left(1-2 x_{0}\right) v-\left(1-2 z_{0}\right) \lambda\right] z_{0} . \end{aligned} \]

От (11), (12) и (13) лесно се вижда, че точката \(T\) лежи и върху кривите \(k_{b}\) и \(k_{c}\). С това твърдение 1 е доказано.

Ако правата \(l\) минава през ортоида \(H\left(1-2 x_{0}, 1-2 y_{0}, 1-2 z_{0}\right)\) и е колинеарна с вектора \((\alpha \beta \gamma)(\alpha+\beta+\gamma=0)\), нейните параметрични уравнения са следните

(15)\[ l: x=1-2 x_{0}+\alpha \rho, y=1-2 y_{0}+\beta \rho, z=1-2 z+\gamma \rho \]

Когато \(P\) лежи върху \(l\), от (15) следва, че при подходяща стойност на параметъра \(\rho\) са изпълнени равенствата \(\lambda=1-2 x_{0}+\alpha \rho, \mu=1-2 y_{0}+\beta \rho\) и \(v=1-2 z_{0}+\gamma \rho\). Заместваме тези равенства в (13) и получаваме:

(16)\[ \begin{aligned} x_{T} & =-\cfrac{\left[2 y_{0} \alpha+\left(1-2 x_{0}\right) \beta\right]\left[2 z_{0} \alpha+\left(1-2 x_{0}\right) \gamma\right] x_{0}}{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta}, \\ y_{T} & =-\cfrac{\left[2 z_{0} \beta+\left(1-2 y_{0}\right) \gamma\right]\left[2 x_{0} \beta+\left(1-2 y_{0}\right) \alpha\right] y_{0}}{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta}, \\ z_{T} & =-\cfrac{\left[2 x_{0} \gamma+\left(1-2 z_{0}\right) \alpha\right]\left[2 y_{0} \gamma+\left(1-2 z_{0}\right) \beta\right] z_{0}}{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta} . \end{aligned} \]

Координатите (16) зависят от координатите на вектора \(\vec{l}\), но не зависят от параметъра \(\rho\). Поради това точката \(T\) зависи от правата \(l\), но не зависи от положението на точката \(P\) върху нея. С това твърдение 2 е доказано.

Ако \(k\) ехипербола, отследствие 2 следва, че \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) също сахиперболи. Когато \(k\) е хипербола и векторът \(\vec{l}(\alpha, \beta, \gamma)\) е колинеарен с асимптота на \(k\) (фиг.4), координатите на \(l\) удовлетворяват равенството

(17)\[ \left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta=0 . \]

От (16) и (17) следва, че когато правата \(l\) е успоредна на някоя асимптота на хиперболата \(k\), общата точка на кривите \(k, k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) е безкрайна. Формулираме това заключение във вид на следното

Следствие 3. Ако правата \(l\) е успоредна на асимптота на хиперболата \(k\), четирите хиперболи \(k, k_{a}, k_{b} u k_{c}\) и имат обща асимптота (фиг. 4).

Кривата \(k\) е хипербола тогава и само тогава, когато числото \(\Delta=\sqrt{-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)}\) е реално. Освен това векторите \(\left(\left(1-3 x_{0}\right) \Delta+\left(1-2 x_{0}\right)\left(y_{0}-z_{0}\right),\left(1-3 y_{0}\right) \Delta+\left(1-2 y_{0}\right)\left(z_{0}-x_{0}\right),\left(1-3 z_{0}\right) \Delta+\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)\right)\), \(\left(\left(1-3 x_{0}\right) \Delta-\left(1-2 x_{0}\right)\left(y_{0}-z_{0}\right),\left(1-3 y_{0}\right) \Delta-\left(1-2 y_{0}\right)\left(z_{0}-x_{0}\right),\left(1-3 z_{0}\right) \Delta-\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)\right)\) са колинеарни с асимптотите на \(k\). Следователно уравненията на асимптотите \(x_{1}\) и \(x_{2}\) на хиперболата \(k\) имат следните уравнения:

\[ \begin{aligned} & {\left[\left(y_{0}-z_{0}\right) \Delta+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0}+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}-6 x_{0} y_{0} z_{0}\right] x+} \\ & +\left[\left(z_{0}-x_{0}\right) \Delta+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}+\left(1-2 x_{0}\right) x_{0}-6 x_{0} y_{0} z_{0}\right] y+ \\ x_{1} & :+\left[\left(x_{0}-y_{0}\right) \Delta+\left(1-2 x_{0}\right) x_{0}+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0}-6 x_{0} y_{0} z_{0}\right] z=0 \end{aligned} \]

\[ \begin{gathered} {\left[\left(y_{0}-z_{0}\right) \Delta-\left(1-2 y_{0}\right) y_{0}-\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}+6 x_{0} y_{0} z_{0}\right] x+} \\ x_{2}:+\left[\left(z_{0}-x_{0}\right) \Delta-\left(1-2 z_{0}\right) z_{0}-\left(1-2 x_{0}\right) x_{0}+6 x_{0} y_{0} z_{0}\right] y+ \\ +\left[\left(x_{0}-y_{0}\right) \Delta-\left(1-2 x_{0}\right) x_{0}-\left(1-2 y_{0}\right) y_{0}+6 x_{0} y_{0} z_{0}\right] z=0 \end{gathered} \]

Правите \(h_{1}\) и \(h_{2}\), минаващи през \(H\) и успоредни съответно на \(x_{1}\) и \(x_{2}\) (те са колинеарни със съответните им направляващи вектори посочени по-горе) (фиг. 3), имат следните уравнения:

\[ h_{1}: u_{1} x+v_{1} y+w_{1} z=0, h_{2}: u_{2} x+v_{2} y+w_{2} z=0 \] където

(18)\[ \begin{aligned} & u_{1}=\left(y_{0}-z_{0}\right) \Delta+\left(1-3 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right), v_{1}=\left(z_{0}-x_{0}\right) \Delta+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-3 y_{0}\right)\left(1-2 z_{6}\right. \\ & w_{1}=\left(x_{0}-y_{0}\right) \Delta+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-3 z_{0}\right), u_{2}=\left(y_{0}-z_{0}\right) \Delta-\left(1-3 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)(1-2 \\ & v_{2}=\left(z_{0}-x_{0}\right) \Delta-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-3 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right), w_{2}=\left(x_{0}-y_{0}\right) \Delta-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)(1-3 ; \end{aligned} \]

От следствие 3 следва, че центровете \(O, P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) съответно на хиперболите \(k, k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) лежат на една права, която е асимптота на \(k\) (фиг. 4). Ако заместим \(\lambda=1-\mu-v, x_{0}=1-y_{0}-z_{0}\) и координатите (5) на точката \(P_{a}\) в уравнението на \(x_{1}\), получаваме следния израз за \(v\) : \[ \begin{aligned} & v=\cfrac{\left(1-2 z_{0}\right)}{y_{0}\left(1-2 y_{0}\right)\left[\left(1-3 z_{0}\right) \Delta+\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)\right]}\left\{\left[\left(1-3 y_{0}\right) z_{0} \mu+\left(1-2 y_{0}\right)\left(y_{0}-z_{0}\right)\right] \Delta-\right. \\ & \left.-z_{0}\left(1-2 y_{0}\right)\left(z_{0}-x_{0}\right) \mu+\left(1-2 y_{0}\right)\left[2\left(1-3 z_{0}\right) y_{0}^{2}+2\left(1-3 y_{0}\right) z_{0}^{2}+6 x_{0} y_{0}-y_{0}-z_{0}\right]\right\} . \end{aligned} \]

От \((13)\) следва, че когато \(T\) е безкрайна точка, нейните координати се представят във вида

\[ \begin{aligned} & x_{T}=\left[\left(1-2 z_{0}\right) \lambda-\left(1-2 x_{0}\right) v\right]\left[\left(1-2 y_{0}\right) \lambda-\left(1-2 x_{0}\right) \mu\right] x_{0} \\ & y_{T}=\left[\left(1-2 z_{0}\right) \mu-\left(1-2 y_{0}\right) v\right]\left[\left(1-2 x_{0}\right) \mu-\left(1-2 y_{0}\right) \lambda\right] y_{0} \\ & z_{T}=\left[\left(1-2 y_{0}\right) v-\left(1-2 z_{0}\right) \mu\right]\left[\left(1-2 x_{0}\right) v-\left(1-2 z_{0}\right) \lambda\right] z_{0} \end{aligned} \]

В тези координати заместваме \(\lambda=1-\mu-v, x_{0}=1-y_{0}-z_{0}\) и получената стойност за \(v\). Така получаваме следните равенства

\[ \begin{aligned} & x_{T}=-\cfrac{z_{0} x_{0}\left(1-2 z_{0}\right)\left(\mu-1+2 y_{0}\right)^{2}}{y_{0}\left(1-2 y_{0}\right)\left[\left(1-3 z_{0}\right) \Delta+\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)\right]^{2}} \times \\ & \times\left[\left(z_{0}-x_{0}\right) \Delta-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-3 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\right]\left[\left(x_{0}-y_{0}\right) \Delta-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-3 z_{0}\right)\right] \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} & y_{T}=-\cfrac{z_{0}\left(1-2 z_{0}\right)\left(\mu-1+2 y_{0}\right)^{2}\left[\left(z_{0}-x_{0}\right) \Delta-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-3 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)\right]}{y_{0}\left[\left(1-3 z_{0}\right) \Delta+\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)\right]^{2}} \times \\ & \times\left\{\left(y_{0}-z_{0}\right) \Delta-\left[2\left(1-3 z_{0}\right) y_{0}^{2}+2\left(1-3 y_{0}\right) z_{0}^{2}+6 x_{0} y_{0}-y_{0}-z_{0}\right]\right\} \\ & z_{T}=-\cfrac{z_{0}\left(1-2 z_{0}\right)^{2}\left(\mu-1+2 y_{0}\right)^{2}\left[\left(x_{0}-y_{0}\right) \Delta-\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-3 z_{0}\right)\right]}{y_{0}\left(1-2 y_{0}\right)\left[\left(1-3 z_{0}\right) \Delta+\left(1-2 z_{0}\right)\left(x_{0}-y_{0}\right)\right]^{2}} \times \\ & \times\left\{\left(y_{0}-z_{0}\right) \Delta-\left[2\left(1-3 z_{0}\right) y_{0}^{2}+2\left(1-3 y_{0}\right) z_{0}^{2}+6 x_{0} y_{0}-y_{0}-z_{0}\right]\right\} \end{aligned} \]

Накрая чрез току-що получените изрази за \(x_{T}, y_{T}\) и \(z_{T}\) установяваме, че е изпълнено равенството \(u_{2} x_{T}+v_{2} y_{T}+w_{2} z_{T}=0\), което означава, че \(T\) е безкрайната точка на правата \(h_{2}\). Така получихме следното уточнение на следствие 3.

Следствие 4. Ако правата \(l\) е успоредна на едната асимптота на хиперболата \(k\), то другата ѝ асимптота е обща асимптота за хиперболите \(k, k_{a}, k_{b} u k_{c}\) (фиг. 4).

Трябва да отбележим още, че когато \(k\) е хипербола, изразът за \(\tau\) от (14) се представя по следния начин \(\tau=\cfrac{\left(u_{1} \lambda+v_{1} \mu+w_{1} v\right)\left(u_{2} \lambda+v_{2} \mu+w_{2} v\right)}{4\left[\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)-x_{0} y_{0} z_{0}\right]}\), където \(u_{i}, v_{i}\) и \(w_{i}(i=1,2)\) се изразяват с равенствата (18). Освен това правите \(h_{1}\) и \(h_{2}\) са хармонично спрегнати спрямо правите \(\cfrac{l}{\text { и }}\) и (фиг. 3).

Накрая от (4) и (16) следва, че точката \(\bar{T}\), която съответства на правата \(\bar{l}\), спрегната с \(l\) спрямо \(k\), има следните координати

(19)\[ \begin{aligned} & x_{\bar{T}}=\cfrac{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma}{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta} \\ & y_{\bar{T}}=\cfrac{\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha}{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta} \\ & z_{\bar{T}}=\cfrac{\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta}{\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta} \end{aligned} \]

От (16) и (19) следват равенствата \(x_{T}+x_{\bar{T}}=2 x_{0}, y_{T}+y_{\bar{T}}=2 y_{0}\) и \(z_{T}+z_{\bar{T}}=2 z_{0}\). Следователно точките \(T\) и \(\bar{T}\) са симетрични спрямо \(O\) (фиг. 2,3). С това е доказано и твърдение 3.

От твърдение 3 следва

Следствие 5. Ако \(k \equiv \Gamma\) е описаната около \(\triangle A B C\) окръжност, то на всеки две перпендикулярни прави, минаващи през ортоцентъра на \(\triangle A B C\), съответстват диаметрално противоположни точки от \(\Gamma\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014, a). Generalizations of some classical theorems of the triangle geometry (In Russian). Theoretical and applied aspects of mathematics, informatics and education. Proceedings of the International Scientific Conference, Archangelsk, SAFU, 35-54. (ISBN 978-5-261-00990-0) [Гроздев, С. & В. Ненков. (2014, 1). Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника. Теоретические \(u\) прикладные \(a c\)пекты математики, информатики и образования. Сборник материалов международной научной конференции. Архангельск, САФУ, 35-54. (ISBN 978-5-261-00990-0).]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014, b). Homothetic conics in the triangle plane (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 2, 139 – 154. [Гроздев, С. & В. Ненков (2014, b). Хомотетични конични сечения в равнината на триъгълник. Математика и информатика, 2, 139 – 154.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2015). Geometric construction of Ceva curve (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 1, 52 – 57. [Гроздев, С. & В. Ненков (2015). Геометрична конструкция на крива на Чева, Математика и информатика, 1, 52 – 57.]

Mateev, A. (1977). Projective Geometry (In Bulgarian). Sofia: Nauka i Izkustvo. [Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство.]

Pascalev, G. & I. Chobanov (1985). Notable points in the triangle (In Bulgarian). Sofia: Narodna Prosveta. [Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.]