Резюме. В статията са доказани свойствата, които характеризират геометричните конструкции, описани в (Grozdev & Nenkov, 2017). Предложените доказателства водят до уточнения на някои от свойствата, формулирани в (Grozdev & Nenkov, 2017).

Ключови думи: triangle; centroid; circumcurve; Euler curve; Euler line

B (Grozdev \& Nenkov, 2017) с помощта на динамичните възможности на програмата THE GEOMETER'S SKETCHPAD (GSP) и логиката на принципа за дуалност в равнината на триъгълник без доказателства са описани конструкциите на едно изображение между точки и прави и една крива, зависеща от права. Тук ще докажем свойствата на изображението и кривата, формулирани в (Grozdev \(\&\) Nenkov, 2017). За целта разглеждаме произволен триъгълник \(A B C\), спрямо който ще използваме барицентрични координати, като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) (Paskalev \& Chobanov, 1985).

1. Аналитични изрази, свързани с изображението \(\varphi\). Нека \(P\left(x_{\grave{u}}, y, z\right)\) е крайна (\(x_{P}+y_{P}+z_{P}=1\) ) или безкрайна (\(x_{P}+y_{P}+z_{P}=0\) ) точка в равнината на \(\triangle A B C\), която не лежи върху никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\). Ако \(A_{1}=P A \cap B C, B_{1}=P B \cap C A\) и \(C_{1}=P C \cap A B\) (фиг. 1), то

(1) \(A_{1}\left(0, \tfrac{y_{p}}{y_{P}+z_{P}}, \tfrac{z_{P}}{y_{P}+z_{P}}\right), B_{1}\left(\tfrac{x_{P}}{z_{P}+x_{P}}, 0, \tfrac{z_{P}}{z_{P}+x_{P}}\right), C_{1}\left(\tfrac{x_{P}}{x_{P}+y_{P}}, \tfrac{y_{P}}{x_{P}+y_{P}}, 0\right)\).

След това намираме, че координатите на точките \(A_{0}=B C \cap B_{1} C_{1}\), \(B_{0}=C A \cap C_{1} A_{1}\) и \(C_{0}=A B \cap A_{1} B_{1}\) (фиг. 1) са следните:

(2) \(A_{0}\left(0, \tfrac{y_{P}}{y_{P}-z_{P}}, \tfrac{z_{P}}{z_{P}-y_{P}}\right), B_{0}\left(\tfrac{x_{P}}{x_{P}-z_{P}}, 0, \tfrac{z_{P}}{z_{P}-x_{P}}\right), C_{0}\left(\tfrac{x_{P}}{x_{P}-y_{P}}, \tfrac{y_{P}}{y_{P}-x_{P}}, 0\right)\).

От (Paskalev & Chobanov, 1985) е известно, че точките \(P_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\), \(P_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\) и \(P_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)\) лежат на една права тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството

(3) \[ \left|\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{array}\right|=0 . \]

Като приложим (3) към координатите на точките \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\), , получаваме, че те лежат на една права \(p\) (фиг. 1), чието уравнение е следното:

(4) \[ p: y_{P} z_{P} x+z_{P} x_{P} y+x_{P} y_{P} z=0 \]

Така получаваме едно доказателство на известната теорема на Дезарг за перспективните триъгълници (Mateev, 1977).

С помощта на уравнението (4) получаваме единствена права \(p\), която е съответна на точката \(P\left(x_{P}, y_{P}, z_{P}\right)\) при изображение \(\varphi\) в равнината на \(\triangle A B C\). Ако \(P\) съвпада с медицентъра \(G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\) на \(A B C\), от (4) следва, че \(\varphi(P)\) е безкрайната права на равнината. Обратно, ако \(p: u x+v y+w z=0\) е права (неминаваща през никой от върховете \(A, B\) и \(C\) ) в равнината на \(\triangle A B C\), чрез равенствата \(y_{P} z_{P}=u, z_{P} x_{P}=v\) и \(x_{P} y_{P}=w\) еднозначно определяме точка \(P\), координатите на която са следните:

(5) \[ P\left(\tfrac{v w}{v w+w u+u v}, \tfrac{w u}{v w+w u+u v}, \tfrac{u v}{v w+w u+u v}\right) . \]

Когато \(P\) е безкрайна, изпълнено е равенството \(u v+v w+w u=0\). В този случай за координатите имаме \(P(v w, w u, u v)\). Така същото изображение \(\varphi\) съпоставя на правата \(p: u x+v y+w z=0\) еднозначно точка \(P\), чиито коор
динати се получават чрез \((5)\) . Ако \(P\) е безкрайна точка, правата \(p=\varphi(P)\) е такава, че \(v w+w u+u v=0\). Освен това за координатите на \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) имаме следното изразяване:

(6) \(A_{0}\left(0, \tfrac{w}{w-v}, \tfrac{v}{v-w}\right), B_{0}\left(\tfrac{w}{w-u}, 0, \tfrac{u}{u-w}\right), C_{0}\left(\tfrac{v}{v-u}, \tfrac{u}{u-v}, 0\right)\).

Ако \(C^{\prime}\left(c_{1}, c_{2}, 0\right)\left(c_{1}+c_{2}=1\right)\) е точка от правата \(A B\) (различна от \(A\) и \(B\) ), произволна права \(p^{\prime}\) през \(C^{\prime}\) има следното уравнение \(p^{\prime}: v^{\prime} c_{2} x-v^{\prime} c_{1} y-w^{\prime} c_{1} z=0\). След прилагане на формулите (5) получаваме, че точката \(P^{\prime}\), съответна на \(p^{\prime}\) при \(\varphi\), има следното координатно представяне:

\[ P^{\prime}\left(\tfrac{w^{\prime} c_{1}}{w^{\prime}\left(c_{1}-c_{2}\right)-v^{\prime} c_{2}}, \tfrac{w^{\prime} c_{2}}{w^{\prime}\left(c_{2}-c_{1}\right)+v^{\prime} c_{2}}, \tfrac{v^{\prime} c_{2}}{w^{\prime}\left(c_{2}-c_{1}\right)+v^{\prime} c_{2}}\right) \]

Аналогично образът на права \(p^{\prime \prime}: v^{\prime \prime} c_{\mathrm{u}} x \multimap \Downarrow^{\prime \prime} c y \quad w^{\prime \prime} c z \quad 0\) през \(C^{\prime}\) еточката \[ P^{\prime \prime}\left(\tfrac{w^{\prime \prime} c_{1}}{w^{\prime \prime}\left(c_{1}-c_{2}\right)-v^{\prime \prime} c_{2}}, \tfrac{w^{\prime \prime} c_{2}}{w^{\prime \prime}\left(c_{2}-c_{1}\right)+v^{\prime \prime} c_{2}}, \tfrac{v^{\prime \prime} c_{2}}{w^{\prime \prime}\left(c_{2}-c_{1}\right)+v^{\prime \prime} c_{2}}\right) \]

Сега чрез (3) намираме, че точките \(P^{\prime}\) и \(P^{\prime \prime}\) лежат на права \(p_{1}\) с уравнение \(p_{1}: c_{2} x+c_{1} y=0\). От това уравнение следва, че точките \(P^{\prime}\) и \(P^{\prime \prime}\) лежат на постоянна права \(p_{1}\), минаваща през \(C\). Ако \(C^{\prime}\) е средата на \(A B\), правата \(p_{1}\) е успоредна на \(A B\).

Нека сега \(q: u x+v y=0\) е права през върха \(C\). Тогава точката \(Q^{\prime}\left(-\tfrac{v}{u} y^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\) лежи върху \(q\). От (4) следва, че правата \(q^{\prime}\), съответна на точката \(Q^{\prime}\) при \(\varphi\), има следното уравнение \(q^{\prime}: u z^{\prime} x-v z^{\prime} y-v y^{\prime} z=0\). Ако \(C^{\prime \prime}=q^{\prime} \cap A B\), то \(C^{\prime \prime}\left(\tfrac{v}{u+v}, \tfrac{u}{u+v}, 0\right)\). Това означава, че образът на всяка точка от \(q\) има за образ при \(\varphi\) права, която минава през постоянната точка \(C^{\prime \prime}\). Ако \(q \| A B\), то \(u=v=1\) и \(C^{\prime \prime}\) е средата на \(A B\).

Проведените разсъждения доказват, че съответствието \(\varphi\) притежава следните свойства:

1) съответните точки \(P=\varphi(p)\) на всички прави \(p\), минаващи през постоянна точка \(C^{\prime}\) от правата \(A B\), лежат на една права през \(C\);

2) съответните прави \(q=\varphi(Q)\) на всички точки \(Q\), лежащи на права през \(C\), минават през постоянна точка \(C^{\prime \prime}\) от правата \(A B\).

Тези свойства показват как може да се допълни изображението \(\varphi\), така че да съпоставя взаимно еднозначно точките от \(A B\) и правите през \(C\). Аналогично стоят нещата и с другите два върха на \(\triangle A B C\).

Преди да преминем към описване на кривата на Ойлер за права спрямо \(\triangle A B C\) и нейните свойства, ще изведем уравнението на крива, вписана в \(\triangle A B C\) и допираща се до две прави, различни от \(B C, C A\) и \(A B\).

2. Крива, допираща се до страните на координатния триъгълник и две прави. Нека кривата \(k: a_{11} x^{\grave{u}}+a_{22} y+a_{33} z+2 a_{12} x y+2 a_{23} y z+2 a_{31} z x=0\) се допира до правите \(B C: x=0, C A: y=0, A B: z=0, l_{1}: u_{1} x+v_{1} y+w_{1} z=0\) и \(l_{2}: u_{2} x+v_{2} y+w_{2} z=0\), съответно в точките \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, L_{1}\) и \(L_{2}\).

Общите точки на \(k\) и \(B C\) удовлетворяват уравнението \(a_{22} y^{2}+2 a_{23} y z+a_{33} z^{2}=0\). Тъй като \(B C\) се допира до \(k\), от последното уравнение следва, че за координатите \(y\) и \(z\) на допирната точка \(A_{1}\) са изпълнени равенствата \(\tfrac{y}{z}=-\tfrac{a_{23}}{a_{22}}\) и \(\tfrac{z}{y}=-\tfrac{a_{23}}{a_{33}}\). Аналогично за допирните точки \(B_{1}\) и \(C_{1}\) получаваме съответно двойките равенства \(\tfrac{z}{x}=-\tfrac{a_{31}}{a_{33}}, \tfrac{x}{z}=-\tfrac{a_{31}}{a_{11}}\) и \(\tfrac{x}{y}=-\tfrac{a_{12}}{a_{11}}\), \(\tfrac{y}{x}=-\tfrac{a_{12}}{a_{22}}\). Правите \(A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\) минават през една точка \(P(x, y, z)\). Ако \(\cfrac{\overline{BA_1}}{\overline{CA_1}}=k_{a}\) , \(\cfrac{\overline{CB_{1}}}{\overline{AB_{1}}}=k_{c}\) и \(\cfrac{\overline{A C_{1}}}{\overline{B C_{1}}}=k_{c}\) , то координатите на \(P\) са свързани с числата \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) чрез равенствата \(k_{a}=-\tfrac{y}{z}, k_{b}=-\tfrac{z}{x}\) и \(k_{c}=-\tfrac{x}{y}\) (Paskalev \(\&\) Chobanov, 1985). Като комбинираме тези равенства с предишните шест, получаваме \(a_{22}=k_{a} a_{23}, a_{33}=\tfrac{1}{k_{a}} a_{23}, a_{33}=k_{b} a_{31}, a_{11}=\tfrac{1}{k_{2}} a_{31}, a_{11}=k_{3} a_{12}\) и \(a_{22}=\tfrac{1}{k_{3}} a_{12}\). Оттук и теоремата на Чева, изразяваща се с равенството \(k_{a} k_{b} k_{c}=-1\) (Paskalev & Chobanov, 1985), следват зависимостите \(\grave{u}_{11}={ }_{c_{12}}\), \(a_{22}=\tfrac{1}{k_{c}} a_{12}, a_{33}=k_{b}^{2} k_{c} a_{12}, a_{23}=-k_{b} a_{12}\) и \(a_{31}=k_{b} k_{c} a_{12}\). След заместване на тези равенства в уравнението на \(k\) получаваме

(7) \(\quad k: k_{c}^{2} x^{2}+y^{2}+k_{b}^{2} k_{c}^{2} z^{2}+2 k_{c} x y-2 k_{b} k_{c} y z+2 k_{b} k_{c}^{2} z x=0\)

От равенствата \(x+y+z=1\) и \(u_{i} x+v_{i} y+w_{i} z=0\) намираме \(y=\tfrac{\left(w_{i}-u_{i}\right) x-w_{i}}{v_{i}-w_{i}}\) и \(z=\tfrac{\left(u_{i}-v_{i}\right) x+v_{i}}{v_{i}-w_{i}}(i=1,2)\). След заместване на тези равенства в \((7)\) се получава:

(8) \(\begin{aligned} & \left[\left(k_{b} k_{c}+1\right)^{2} u_{i}^{2}+k_{c}^{2}\left(k_{b}-1\right)^{2} v_{i}^{2}+\left(k_{c}-1\right)^{2} w_{i}^{2}-2 k_{c}\left(k_{b}^{2} k_{c}-k_{b} k_{c}+k_{b}+1\right) u_{i} v_{i}\right.+ \\ &\left.+2k_c(k_bk_c+k_b-k_c+1)v_iw_i-2(k_bk_c^2+k_bk_c-k_c+1)w_iu_i\right]x^2+\\ & +\left[2 k_{b} k_{c}\left(k_{b} k_{c}+1\right) u_{i} v_{i}-2 k_{c}\left(k_{2} k_{3}+2 k_{2}+1\right) v_{i} w_{i}+2\left(k_{b} k_{c}+1\right) w_{i} u_{i}-\right. \\ & \left.-2 k_{b} k_{c}^{2}\left(k_{b}-1\right) v_{i}^{2}+2\left(k_{c}-1\right) w_{i}^{2}\right] x+\left(k_{b} k_{c} v_{i}+w_{i}\right)^{2}=0 \end{aligned}\)

Дискриминантата на уравнение (8) е \(k_{b} k_{c}^{2}\left(v_{i}-w_{i}\right)^{2}\left(k_{b} k_{c} u_{i} v_{i}-k_{c} v_{i} w_{i}+w_{i} u_{i}\right)\) \((i=1,2)\). Правата \(l_{i}\) е допирателна за \(k\) тогава и само тогава, когато \(k_{b} k_{c} u_{i} v_{i}-k_{c} v_{i} w_{i}+w_{i} u_{i}=0(i=1,2)\). Оттук \(k_{b}=\tfrac{w_{i}\left(k_{c} v_{i}-u_{i}\right)}{k_{c} u_{i} v_{i}}(i=1,2)\). Затова \(k_{b}=\tfrac{w_{1}\left(k_{c} v_{1}-u_{1}\right)}{k_{c} u_{1} v_{1}}=\tfrac{w_{2}\left(k_{c} v_{2}-u_{2}\right)}{k_{c} u_{2} v_{2}}\). Следователно \(k_{c}=-\tfrac{u_{1} u_{2}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)}{v_{1} v_{2}\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right)}\) и \(k_{b}=-\tfrac{w_{1} w_{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)}{u_{1} u_{2}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)}\). Сега заместваме тези равенства в (7) и получаваме, че кривата \(k\) има следното уравнение

(9) \(\begin{aligned} & u_{1}^{2} u_{2}^{2}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)^{2} x^{2}+v_{1}^{2} v_{2}^{2}\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right)^{2} y^{2}+w_{1}^{2} w_{2}^{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right) z^{2}+ \\ k:&+2 u_{1} u_{2} v_{1} v_{2}\left(u_{1} w_{2}-u_{2} w_{1}\right)\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right) x y+2 v_{1} v_{2} w_{1} w_{2}\left(v_{1} u_{2}-v_{2} u_{1}\right)\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right) y z+ \\ &+2 w_{1} w_{2} u_{1} u_{2}\left(w_{1} v_{2}-w_{2} v_{1}\right)\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right) z x=0 \end{aligned}\)

След решаване на системите, образувани от \(()\) и уравненията на правите \(B C, C A, A B, l_{1}\) и \(l_{2}\), определяме координатите на допирните точки \(A_{1}, B_{1}\), \(C_{1}, L_{1}\) и \(L_{2}\) във вида:

(10) \(\small{\begin{aligned} & A_{1}\left(0, \cfrac{w_{1} w_{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)}{u_{1} v_{2} w_{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)-u_{2} v_{1} w_{1}\left(v_{2}-w_{2}\right)}, \cfrac{v_{1} v_{2}\left(u_{1} w_{2}-u_{2} w_{1}\right)}{u_{1} v_{2} w_{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)-u_{2} v_{1} w_{1}\left(v_{2}-w_{2}\right)}\right), \\ & B_{1}\left(\cfrac{w_{1} w_{2}\left(v_{1} u_{2}-v_{2} u_{1}\right)}{v_{1} w_{2} u_{2}\left(w_{1}-u_{1}\right)+v_{2} w_{1} u_{1}\left(w_{2}-u_{2}\right)}, 0, \cfrac{u_{1} u_{2}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)}{v_{1} w_{2} u_{2}\left(w_{1}-u_{1}\right)+v_{2} w_{1} u_{1}\left(w_{2}-u_{2}\right)}\right), \\ & C_{1}\left(\cfrac{v_{1} v_{2}\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right)}{w_{1} u_{2} v_{2}\left(u_{1}-v_{1}\right)-w_{2} u_{1} v_{1}\left(u_{2}-v_{2}\right)}, \cfrac{u_{1} u_{2}\left(w_{1} v_{2}-w_{2} v_{1}\right)}{w_{1} u_{2} v_{2}\left(u_{1}-v_{1}\right)-w_{2} u_{1} v_{1}\left(u_{2}-v_{2}\right)}, 0\right), \end{aligned}}\)

(11.1) \(\begin{aligned} x_{L_{1}} & =\cfrac{u_{2} v_{1} w_{1}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)}{u_{1}^{2} v_{2} w_{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)+v_{1}^{2} w_{2} u_{2}\left(w_{1}-u_{1}\right)+w_{1}^{2} u_{2} v_{2}\left(u_{1}-v_{1}\right)}, \\ y_{L_{1}} & =\cfrac{v_{2} w_{1} u_{1}\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right)}{u_{1}^{2} v_{2} w_{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)+v_{1}^{2} w_{2} u_{2}\left(w_{1}-u_{1}\right)+w_{1}^{2} u_{2} v_{2}\left(u_{1}-v_{1}\right)}, \\ z_{L_{1}}&=\cfrac{w_{2} u_{1} v_{1}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)}{u_{1}^{2} v_{2} w_{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)+v_{1}^{2} w_{2} u_{2}\left(w_{1}-u_{1}\right)+w_{1}^{2} u_{2} v_{2}\left(u_{1}-v_{1}\right)}, \\ \end{aligned}\)

(11.2) \(\begin{aligned} x_{L_{2}} & =-\cfrac{u_{1} v_{2} w_{2}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)}{u_{2}^{\text {ù }} v_{1} w_{1}\left(v_{2}-w_{2}\right)+v_{2} w_{1} u_{1}\left(w_{2}-u_{2}\right)+w_{2} u_{1} v_{1}\left(u_{2}-v_{2}\right)}, \\ y_{L_{2}} & =-\cfrac{v_{1} w_{2} u_{2}\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right)}{u_{2}^{\text {ù }} v_{1} w_{1}\left(v_{2}-w_{2}\right)+v_{2} w_{1} u_{1}\left(w_{2}-u_{2}\right)+w_{2} u_{1} v_{1}\left(u_{2}-v_{2}\right)}, \\ z_{L_{2}} & =-\cfrac{w_{1} u_{2} v_{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)}{u_{2}^{\text {ù }} v_{1} w_{1}\left(v_{2}-w_{2}\right)+v_{2} w_{1} u_{1}\left(w_{2}-u_{2}\right)+w_{2} u_{1} v_{1}\left(u_{2}-v_{2}\right)} . \end{aligned}\)

Накрая ще определим координатите \(\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) на центъра на \(k\). Както е показано в (Grozdev & Nenkov, 2015), тези координати са решение на системата уравнения:

\[ \left\lvert\, \begin{aligned} & \left(a_{11}-a_{31}\right) x+\left(a_{12}-a_{23}\right) y+\left(a_{31}-a_{33}\right) z=0 \\ & \left(a_{12}-a_{31}\right) x+\left(a_{22}-a_{23}\right) y+\left(a_{23}-a_{33}\right) z=0 \\ & x+y+z=1 \end{aligned}\right. \]

След решаване на тази система за уравнението \((9)\) получаваме формулите:

(12) \(\begin{aligned} & x_{0}=-\cfrac{u_{1} v_{2} w_{2}\left(v_{1}-w_{1}\right)-u_{2} v_{1} w_{1}\left(v_{2}-w_{2}\right)}{2\left[u_{1} u_{2}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)+v_{1} v_{2}\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right)+w_{1} w_{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)\right]} \\ & y_{0}=-\cfrac{v_{1} w_{2} u_{2}\left(w_{1}-u_{1}\right)-v_{2} w_{1} u_{1}\left(w_{2}-u_{2}\right)}{2\left[u_{1} u_{2}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)+v_{1} v_{2}\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right)+w_{1} w_{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)\right]} \\ & z_{0}=-\cfrac{w_{1} u_{2} v_{2}\left(u_{1}-v_{1}\right)-w_{2} u_{1} v_{1}\left(u_{2}-v_{2}\right)}{2\left[u_{1} u_{2}\left(v_{1} w_{2}-v_{2} w_{1}\right)+v_{1} v_{2}\left(w_{1} u_{2}-w_{2} u_{1}\right)+w_{1} w_{2}\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)\right]} \end{aligned}\)

3. Ойлерова крива на права спрямо триъгълник. Нека \(p\) е права в равнината на \(\triangle A B C\), като \(p \cap B C=A_{0}, p \cap C A=B_{0}\) и \(p \cap A B=C_{0}\) (фиг. 2). Освен това с \(a_{0}, b_{0}\) и \(c_{0}\) означаваме правите, които минават съответно през върховете \(A, B\) и \(C\) и са съответно успоредни на страните \(B C, C A\) и \(A B\) (фиг. 2). Ще докажем, че шестте прави \(A A_{0}, B B_{0}, C C_{0}, a_{0}, b_{0}\) и са допирателни към една крива от втора степен \(\bar{\omega}\) (фиг. 2).

Уравненията на споменатите прави са следните: \(A A_{0}: v y+w z=0\), \(B B_{0}: u x+w z=0, C C_{0}: u x+v y=0, a_{0}: y+z=0, b_{0}: x+z=0, c_{0}: x+y=0\). Освен това \(b_{0} \cap c_{0}=\bar{A}(-1,1,1), c_{0} \cap a_{0}=\bar{B}(1,-1,1), \quad a_{0} \cap b_{0}=\bar{B}(1,1,-1)\) (фиг. 2). Ще намерим уравнението на кривата, която е вписана в \(\triangle \bar{A} \bar{B} \bar{C}\) и се допира до правите \(A A_{0}\) и \(B B_{0}\). За целта разглеждаме \(\bar{A} \bar{B} \bar{C}\) като координатен триъгълник. Ако \(\bar{A}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), \bar{B}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right), \bar{C}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)\), а точката \(M\) има координати \((x, y, z)\) спрямо \(\Delta \grave{u} \quad\) и координати \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\) спрямо \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\), то са изпълнени равенствата: \(x=x_{1} x^{\prime}+x_{2} y^{\prime}+x_{3} z^{\prime}, y=y_{1} x^{\prime}+y_{2} y^{\prime}+y_{3} z^{\prime}\), \(z=z_{1} x^{\prime}+z_{2} y^{\prime}+z_{3} z^{\prime}\) (Paskalev \& Chobanov, 1985). Като заместим координатите на \(\bar{A}, \bar{B}\) и \(\bar{C}\), получаваме:

(13) \(x=-x^{\prime}+y^{\prime}+z^{\prime}, y=x^{\prime}-y^{\prime}+z^{\prime}, z=x^{\prime}+y^{\prime}-z^{\prime}\)

От равенствата \((13)\) следва:

(14) \(x^{\prime}=\cfrac{1}{2}(y+z) \quad y^{\prime}=\cfrac{1}{2}(x+z) \quad z^{\prime}=\cfrac{1}{2}(x+y)\)

Като използваме (13) за уравненията на \(A A_{0}\) и \(B B_{0}\) спрямо \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\), намираме:

\(A A_{0}:(v+w) x^{\prime}+(w-v) y^{\prime}+(v-w) z^{\prime}=0, B B_{0}:(w-u) x^{\prime}+(w+u) y^{\prime}+(u-w) z^{\prime}=0\).

Приемаме, че правите \(l_{1}\) и \(l_{2}\) от предишния пункт съвпадат съответно с \(A A_{0}\) и \(B B_{0}\). Затова са изпълнени равенствата:

(15) \(u_{1}=v+w, v_{1}=w-v, w_{1}=v-w, u_{2}=w-u, v_{2}=w+u, w_{2}=u-w\).

Заместваме \((15)\) в \((9)\) и получаваме уравнението на крива \(\bar{\omega}\) спрямо \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\), която се допира до правите \(a_{0}, b_{0}, c_{0}, A A_{0}\) и \(B B_{0}\) :

(16) \(\bar{\omega}: \begin{aligned} &u^{2}(v+w)^{2} x^{\prime 2}+v^{2}(w+u)^{2} y^{\prime 2}+w^{2}(u+v)^{2} z^{\prime 2}-\\ &-2 u v(v+w)(w+u) x^{\prime} y^{\prime}-2 v w(w+u)(u+v) y^{\prime} z^{\prime}-2 w u(u+v)(v+w) z^{\prime} x^{\prime}=0 . \end{aligned}\)

В (16) заместваме (14) и получаваме уравнението на \(\bar{\omega}\) спрямо \(\triangle A B C\) :

(17) \(\bar{\omega}: \begin{aligned} &u^{2}(v-w)^{2} x^{2}+v^{2}(w-u)^{2} y^{2}+w^{2}(u-v)^{2} z^{2}-2 u v\left(3 w u+3 w v+u v+w^{2}\right) x y-\\ &-2 v w\left(3 u v+3 u w+v w+u^{2}\right) y z-2 w u\left(3 v u+3 v w+w u+v^{2}\right) z x=0 . \end{aligned}\)

Ако \(\bar{A}_{0}, \bar{B}_{0}\) и \(\bar{C}_{0}\) са допирните точки на \(\bar{\omega}\) съответно с правите \(a_{0}, b_{0}\) и \(c_{0}\) (фиг.2), от (10), (13) и (15) намираме техните координати:

(18) \(\begin{aligned} & \bar{A}_{0}\left(1, \cfrac{u(v-w)}{u(v+w)+2 v w}, \cfrac{u(w-v)}{u(v+w)+2 v w}\right) \\ & \bar{B}_{0}\left(\cfrac{v(u-w)}{v(w+u)+2 w u}, 1, \cfrac{v(w-u)}{v(w+u)+2 w u}\right) \\ & \bar{C}_{0}\left(\cfrac{w(u-v)}{w(u+v)+2 u v}, \cfrac{w(v-u)}{w(u+v)+2 u v}, 1\right) \end{aligned}\)

Координатите на допирните точки \(L_{a}\) и \(L_{b}\) (фиг.2) съответно на правите \(A A_{0}\) и \(B B_{0}\) с \(\bar{\omega}\) определяме от (11.1), (11.2), (13) и (15) във вида:

\((19) \begin{aligned} & L_{a}\left(\cfrac{(19) v w(2 u+v+w)}{(u+w) v^{2}+(u+v) w^{2}}, \cfrac{w u(w-v)}{(u+w) v^{2}+(u+v) w^{2}}, \cfrac{u v(v-w)}{(u+w) v^{2}+(u+v) w^{2}}\right), \\ & L_{b}\left(\cfrac{v w(w-u)}{(v+u) w^{2}+(v+w) u^{2}}, \cfrac{w u(2 v+w+u)}{(v+u) w^{2}+(v+w) u^{2}}, \cfrac{u v(u-w)}{(v+u) w^{2}+(v+w) u^{2}}\right) . \end{aligned} \)

По аналогия с точките \(L_{a}\) и \(L_{b}\) разглеждаме точка \(L_{c}\), чиито координати се изразяват по следния начин:

(20) \(L_{c}\left(\cfrac{v w(v-u)}{(w+v) u^{2}+(w+u) v^{2}}, \cfrac{w u(u-v)}{(w+v) u^{2}+(w+u) v^{2}}, \cfrac{u v(2 w+u+v)}{(w+v) u^{2}+(w+u) v^{2}}\right) \text {. }\)

От уравнението (17) на кривата \(\bar{\omega}\) и уравнението на правата \(C C_{0}\) се по-лучава, че те имат само една обща точка, координатите на която се изразяват с (20). Следователно \(C C_{0}\) се допира до \(\bar{\omega}\) в точката \(L_{c}\) (фиг. 2). С това е доказано, че правите \(A A_{0}, B B_{0}, C C_{0}, \quad, b_{0}\) и \(c_{0}\) се допират до една крива от втора степен \(\bar{\omega}\). Кривата \(\bar{\omega}\) ще наричаме крива на Ойлер за правата \(p\) спрямо \(\triangle A B C\).

4. Две свойства на шестте основни точки на \(\bar{\omega}\). Съответствието \(\varphi\) съпоставя на права \(p\) точка \(P\) от равнината на \(\triangle A B C\), координатите на която се изразяват с \((5)\) . Нека \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) са средите съответно на отсечките \(A P\), \(B P\) и \(C P\), а средите на страните \(B C, C A\) и \(A B\) са съответно \(M_{a}\left(0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right)\), \(M_{b}\left(\tfrac{1}{2}, 0, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(M_{c}\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 0\right)\).

Следващото свойство свързва правите \(M_{a} P_{a}, M_{b} P_{b}\) и \(M_{c} P_{c}\) с кривата на Ойлер \(\bar{\omega}\).

Свойство 1. Образите на правите \(M_{a} P_{a}, M_{b} P_{b}\) и \(M_{c} P_{c}\) при \(\varphi\) са допирните точки съответно на правите \(a_{0}, b_{0} u c_{0} c \bar{\omega}\).

От \((5)\) получаваме координатите на точките \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) по следния начин:

(21) \(\begin{aligned} & P_{a}\left(\cfrac{2 v w+w u+u v}{2(v w+w u+u v)}, \cfrac{w u}{2(v w+w u+u v)}, \cfrac{u v}{2(v w+w u+u v)}\right), \\ & P_{b}\left(\cfrac{v w}{2(v w+w u+u v)}, \cfrac{2 w u+u v+v w}{2(v w+w u+u v)}, \cfrac{u v}{2(v w+w u+u v)}\right), \\ & P_{c}\left(\cfrac{v w}{2(v w+w u+u v)}, \cfrac{w u}{2(v w+w u+u v)}, \cfrac{2 u v+v w+w u}{2(v w+w u+u v)}\right) . \end{aligned}\)

От (21), координатите на \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\) и равенството (3) намираме уравненията на правите \(M_{a} P_{a}, M_{b} P_{b}\) и \(M_{c} P_{c}\) :

\[ \begin{gathered} P_{a} M_{a}: u(v-w) x+(2 v w+w u+u v) y-(2 v w+w u+u v) z=0 \\ P_{b} M_{b}:-(2 w u+u v+v w) x+v(w-u) y+(2 w u+u v+v w) z=0 \end{gathered} \]

\[ P_{c} M_{c}:(2 u v+w u+v w) x-(2 u v+w u+v w) y+w(u-v) z=0 . \]

Сега, като използваме \((\underline{5})\) и \((18)\), получаваме, че \(\varphi\left(M_{a} P_{a}\right)=\bar{A}_{0}\), \(\varphi\left(M_{b} P_{b}\right)=\bar{B}_{0}\) и \(\varphi\left(M_{c} P_{c}\right)=\bar{C}_{0}\). Това доказва свойство 1.

Другите три допирни точки \(L_{a}, L_{b}\) и \(L_{c}\), лежащи на \(\bar{\omega}\), притежават следното свойство:

Свойство 2. Образите на допирните точки на правите \(A A_{0}, B B_{0}\) и \(C C_{0}\) с \(\bar{\omega}\) при \(\varphi\) са прави, минаващи през една точка \(P_{0}\) от правата \(P G\) (фиг. 2) .

Ако \(\varphi\left(L_{a}\right)=l_{a}, \varphi\left(L_{b}\right)=l_{b}\) и \(\varphi\left(L_{c}\right)=l_{c}\), то от \((19)\) , \((20)\) и (4) получаваме уравненията на правите \(l_{a}, l_{b}\) и \(l_{c}\) в следния вид:

\[ \begin{aligned} & l_{a}: u(v-w) x-v(2 u+v+w) y+w(2 u+v+w) z=0 \\ & l_{b}: u(u+2 v+w) x+v(w-u) y-w(u+2 v+w) z=0 \\ & l_{c}:-u(u+v+2 w) x+v(u+v+2 w) y+w(u-v) z=0 \end{aligned} \]

От последните уравнения получаваме, че правите \(l_{a}, l_{b}\) и \(l_{c}\) се пресичат в една точка \(P_{0}\), координатите на която са следните:

(22) \[ \begin{aligned} x_{P_{0}} & =\tfrac{v w(2 u+v+w)}{(v+w) u^{2}+(w+u) v^{2}+(u+v) w^{2}+6 u v w}, \\ y_{P_{0}} & =\tfrac{w u(u+2 v+w)}{(v+w) u^{2}+(w+u) v^{2}+(u+v) w^{2}+6 u v w}, \\ z_{P_{0}} & =\tfrac{u v(u+v+2 w)}{(v+w) u^{2}+(w+u) v^{2}+(u+v) w^{2}+6 u v w} \end{aligned} . \]

Освен това от \((3)\) следва, че правата \(l_{0}\), определена от точката \(P\) и медицентъра \(G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\), има следното уравнение:

(23) \[ l_{0}: u(v-w) x+v(w-u) y+w(u-v) z=0 . \]

След заместване на координатите \((22)\) в лявата част на уравнението \((23)\) установяваме, че точката \(P_{0}\) лежи върху правата \(l_{0}\) (фиг. 2).

5. Няколко свойства на Ойлеровата крива, свързани с определена описана за триъгълника крива. Нека \(P=\varphi(p), G\) е медицентьрът на \(\triangle A B C\) и \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\) е такава точка, за която \(\overrightarrow{G O}=\tfrac{1}{2} \overrightarrow{G P}\). Точката \(O\) е център на описана за \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}\) (фиг. 2). Освен това точките \(P, O\) и \(G\) лежат на една права, която наричаме Ойлерова права за точката \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 2) (Grozdev \& Nenkov, 2014,1).Следователно точката \(P_{0}\) от свойство 2 лежи върху Ойлеровата права \(l_{0}\), определена от \(P\) (фиг. 2). С Ойлеровата права \(l_{0}\) са свързани и други свойства на кривата \(\bar{\omega}\).

От дефиницията на точката \(O\) следва, че за координатите й са изпълнени равенствата \(x_{0}=\tfrac{1-x_{P}}{2}, y_{0}=\tfrac{1-y_{P}}{2}\) и \(z_{0}=\tfrac{1-z_{P}}{2}\). Като използваме (5), за тези координати получаваме:

(24) \(x_{0}=\tfrac{u(v+w)}{2(w v+w u+u v)}, y_{0}=\tfrac{v(w+u)}{2(w v+w u+u v)}, z_{0}=\tfrac{w(u+v)}{2(w v+w u+u v)}\).

Нека \(O_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)\) е центърьт на \(\bar{\omega}\). От (12), (13) и (15) след известни преобразувания получаваме равенствата \(x_{1}=x_{0}, y_{1}=y_{0}\) и \(z_{1}=z_{0}\). Така по-лучихме следното

Свойство 3. Кривите \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) имат общ център (фиг. 2) .

Сега ще намерим общите точки на \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) с \(l_{0}\). Уравнението на \(\bar{k}\) е следното \(\left(-x_{0}+y_{0}+z_{0}\right) x_{0} y z+\left(x_{0}-y_{0}+z_{0}\right) y_{0} z x+\left(x_{0}+y_{0}-z_{0}\right) z_{0} x y=0\). Като заместим с равенствата (24), получаваме:

(25) \[ \bar{k}:(v+w) y z+(w+u) z x+(u+v) x y=0 \]

От уравнението (23) на правата \(l_{0}\) и равенството \(x+y+z=1\) следва:

(26) \(y=\cfrac{(u v+v w-2 w u) x+w(u-v)}{u v+w u-2 v w}, z=\cfrac{(v w+w u-2 u v) x+v(u-w)}{u v+w u-2 v w}\)

След заместване на тези равенства в уравнението (25) на \(\bar{k}\) получаваме следващото квадратно уравнение относно \(x\) :

(27) \(\begin{aligned} &(vw+wu+uv)\left[ (v+w)u^2+(w+u)v^2+(u+v)w^2-6uvw \right]x^2-\\ & -u(v+w)\left[(v+w) u^{2}+(w+u) v^{2}+(u+v) w^{2}-6 u v w\right] x+v w(v+w)(w-u)(u-v)=0 \end{aligned}\)

По аналогичен начин от уравнението (17) на \(\bar{\omega}\), уравнението (23) на правата \(l_{0}\) и равенството \(x+y+z=1\) получаваме квадратното уравнение (27). Следователно кривите \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) имат едни и същи общи точки с правата \(l_{0}\). Координатите на тези общи точки намираме от (26) и (27) във вида:

(28) \(\begin{aligned} x_{1,2} & =\cfrac{u(v+w) \tau \pm(u v+w u-2 v w) \sqrt{(v+w)(w+u)(u+v) \tau}}{2(v w+w u+u v) \tau} \\ y_{1,2} & =\cfrac{v(w+u) \tau \pm(u v+v w-2 w u) \sqrt{(v+w)(w+u)(u+v) \tau}}{2(v w+w u+u v) \tau} \\ z_{1,2} & =\cfrac{w(u+v) \tau \pm(v w+w u-2 u v) \sqrt{(v+w)(w+u)(u+v) \tau}}{2(v w+w u+u v) \tau} \\ \end{aligned}\)

където \( \tau =(v+w) u^{2}+(w+u) v^{2}+(u+v) w^{2}-6 u v w \) .

От (28) се вижда, че пресечните точки на \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) с \(l_{0}\) не съществуват, когато \((v+w)(w+u)(u+v) \tau \lt 0\) (фиг. 3). Когато \((v+w)(w+u)(u+v) \tau \gt 0\), съществуват две такива точки (фиг. 2).

Ако е изпълнено някое от равенствата \(v+w=0, w+u=0\) или \(u+v=0\), правата \(p\) би съвпадала с някоя от правите \(a_{0}, b_{0}\) или \(c_{0}\), което е изключено по условие. Сега да обърнем внимание на това, че векторьт \(\overrightarrow{\alpha}(v-w, w-u, u-v)\) е колинеарен с правата \(p: u x+v y+w z=0\), пораждаща Ойлеровата крива \(\bar{\omega}\). Ако заместим координатите на \(\alpha\) в уравненията (17), (23) и (25), виждаме, че те се превръщат във верни равенства тогава и само тогава, когато \(\tau=0\). Следователно, когато \(\tau=0\), правите \(l_{0}\) и \(p\) са успоредни, а кривите \(k\) и \(\bar{\omega}\) имат само една обща безкрайна точка, определена от вектора \(\alpha\) (фиг. 4). Така получаваме, че при \(\tau=0\) кривите \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) са хиперболи, за които \(l_{0}\) е обща асимптота (фиг. 4). Сега да заместим \(u=y_{P} z_{P}, v=z_{P} x_{P}\) и \(w=x_{P} y_{P}\) в \(\tau=0\). Получаваме равенството \(y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}-9 x_{P} y_{P} z_{P}=0\). Следователно \(l_{0}\) е обща асимптота (допирателна в безкрайна точка) за \(k\) и \(\bar{\omega}\) тогава и само тогава, когато точката \(P\), която е съответна на \(p\) при \(\varphi\), лежи върху кривата от трета степен \(K: y z+z x+x y-9 x y z=0\) (фиг. 5).

Сега ще докажем, че и в останалите случаи кривите \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) се допират в общите си точкис \(l_{0}\) (фиг.2). B(Grozdev \& Nenkov, 2014, 2) е показано, че правата \(l\), допираща се до кривата \(k: a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{23} y z+2 a_{31} z x=0\) в точката \(M\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)\), има следното уравнение:

(29) \(l:\left(a_{11} x_{M}+a_{12} y_{M}+a_{13} z_{M}\right) x+\left(a_{21} x_{M}+a_{22} y_{M}+a_{23} z_{M}\right) y+\left(a_{31} x_{M}+a_{32} y_{M}+a_{33} z_{M}\right) z=0\).

От уравненията (17) и (25) на кривите \(\bar{\omega}\) и \(\bar{k}\), координатите (28) и уравнението (29) получаваме, че двете криви \(\bar{\omega}\) и \(\bar{k}\) имат общи допирателни в общите си точки (28). Тези допирателни имат следните уравнения:

\[ \begin{aligned} & \{[\mp(v+w)(w+u)(u+v)-s] \tau+2 u(v w+w u+u v) s\} x+ \\ & +\{[\mp(v+w)(w+u)(u+v)-s] \tau+2 v(v w+w u+u v) s\} y+ \\ & +\{[\mp(v+w)(w+u)(u+v)-s] \tau+2 w(v w+w u+u v) s\} z=0 \end{aligned} \] където \(s=\sqrt{(v+w)(w+u)(u+v) \tau}\).

Получените резултати обобщаваме в следващите свойства.

Свойство 4. Ако кривите \(\bar{k} u \bar{\omega}\) и имат общи точки с Ойлеровата права \(l_{0}\), определена от точката \(P\), то \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) са допирателни в тези точки (фиг. 2) .

Свойство 5. Ойлеровата права \(l_{0}\) е успоредна на правата \(p\) тогава \(u\) само тогава, когато точката \(P=\varphi(p)\) описва кривата от трета степен \(K: y z+z x+x y-9 x y z=0\) (фиг . 4,5).

Свойство 6. Кривите \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) са хиперболи, за които Ойлеровата права \(l_0\) е обща асимптота тогава и само тогава, когато \(l_{0} \| p\) (фиг. 4) .

Доказаното тук свойство 4 се различава от формулираното в (Grozdev \& Nenkov, 2017) свойство 4 по това, че в него изрично е отбелязано съществуването на общите точки на \(\bar{k}\) и \(\bar{\omega}\) с \(l_{0}\). Както е споменато по-горе, тези точки при определени условия може да не съществуват. Разликата се дължи на това, че свойство 4 в (Grozdev \& Nenkov, 2017) е формулирано само въз основа на извършени компютърни наблюдения, а уточнението му тук се дължи на аналитичните изследвания, които водят до извършеното доказателство на свойството. Освен това свойства 5 и 6 допълват свойство 4.

6. Крива на Ойлер за правата на Ойлер. С \(\bar{\omega}_{0}\) означаваме кривата на Ойлер за правата на Ойлер \(l_{0}\), определена от точката \(P\). От (17) и (25) намираме, че уравнението на кривата \(\bar{\omega}_{0}\) е следното:

(30) \(\bar{\omega}_{0}: \begin{aligned} & u^{2}(v-w)^{2}(u v+w u-2 v w)^{2} x^{2}+v^{2}(w-u)^{2}(u v+v w-2 w u)^{2} y^{2}+ \\ & +w^{2}(u-v)^{2}(w u+v w-2 u v)^{2} z^{2}+ \\ & +2 u v(v-w)(w-u)\left[\left(2 u^{2}+2 v^{2}-3 u v\right) w^{2}-u v w(u+v)+u^{2} v^{2}\right] x y+ \\ & +2 v w(w-u)(u-v)\left[\left(2 v^{2}+2 w^{2}-3 v w\right) u^{2}-u v w(v+w)+v^{2} w^{2}\right] y z+ \\ & +2 w u(u-v)(v-w)\left[\left(2 w^{2}+2 u^{2}-3 w u\right) v^{2}-u v w(w+u)+w^{2} u^{2}\right] z x=0 . \end{aligned}\)

След решаване на системата, определена от уравненията (17) и (30) и равенството \(x+y+z=1\), намираме, че тя притежава единствено решение \(\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\). Така получаваме следното

Свойство 7. Ойлеровата крива \(\bar{\omega}_{0}\) на Ойлеровата права \(l_{0}\), определена от точката \(P\), се допира до \(l_{0}\) в медицентъра \(G\) на \(\triangle A B C\).

7. Взаимно разположение на кривата \(\bar{\omega}\) и пораждащата я права. Сега ще намерим общите точки (когато те съществуват) на кривата \(\bar{\omega}\) с пораждащата я права \(p\). От уравнението на \(p\) и равенството \(x+y+z=1\) получаваме:

(31) \(y=\cfrac{(w-u) x-w}{v-w}, z=\cfrac{(u-v) x+v}{v-w} .\)

Заместваме равенствата (31) в (17) и получаваме квадратното уравнение \((v+w)(w+u)(u+v) \tau x^{2}+2 v w(v+w)(w+u)(u+v)(2 u-v-w) x+v^{2} w^{2}(2 u+v+w)^{2}=0\).

След решаване на това уравнение и заместване на получените резултати в (31) намираме, че координатите на общите точки на \(\bar{\omega}\) и \(p\) се изразяват с формулите:

(32) \(\begin{aligned} \bar{x}_{1,2} & =\cfrac{-v w(v+w)(w+u)(u+v)(2 u-v-w) \pm u v w(v-w) \vartheta}{(v+w)(w+u)(u+v) \tau} \\ \bar{y}_{1,2} & =\cfrac{-w u(v+w)(w+u)(u+v)(2 v-w-u) \pm u v w(w-u) \vartheta}{(v+w)(w+u)(u+v) \tau} \\ \bar{z}_{1,2} & =\cfrac{-u v(v+w)(w+u)(u+v)(2 w-u-v) \pm u v w(u-v) \vartheta}{(v+w)(w+u)(u+v) \tau} \end{aligned}\)

където \(\vartheta =2 \sqrt{-2(v+w)(w+u)(u+v)(u+v+w)}\) .

От (32) се вижда, че \(\bar{\omega}\) и \(p\) имат общи точки, когато \((v+w)(w+u)(u+v)(u+v+w) \leq 0\). Правата \(p\) е допирателна за \(\bar{\omega}\) тогава и само тогава, когато \(u+v+w=0\). От това равенство и \((32)\) следва, че \(p\) се допира до \(\bar{\omega}\) в точката \(G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\). Оттук получаваме следното

Свойство 8. Ако Ойлеровата крива \(\bar{\omega}\) се допира до пораждащата я права \(p\), то допирната точка е медицентърът \(G\) на \(\triangle A B C\) (фиг. 6) .

Ако в равенството \(u+v+w=0\) заместим \(u=y_{P} z_{P}, v=z_{P} x_{P}\) и \(w=x_{P} y_{P}\), получаваме \(y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}=0\). Това означава, че точката \(P=\varphi(p)\) лежи върху елипсата \(k_{G}: y z+z x+x y=0\), която има за център медицентъра \(G\) (фиг. 6). Така получихме следното

Свойство 9. Ако Ойлеровата крива \(\bar{\omega}\) се допира до пораждащата я права \(p\), то точката \(P=\varphi(p)\) лежи върху описаната за \(\triangle A B C\) елипса \(k_{G} c\) център неговия медицентър \(G\) (фиг. 6) .

Тъй като според свойство 7 кривата \(\bar{\omega}_{0}\) се допира до пораждащата я права \(l_{0}\), от свойство 9 следва

Свойство 10. Точката \(L_{0}=\varphi\left(l_{0}\right)\) лежи върху елипсата \(k_{G}\).

Всъщност от \((5)\) и \((23)\) следва, че координатите на \(L_{0}\) са следните:

(33) \[ \begin{aligned} x_{L_{0}} & =\tfrac{v w(u-v)(u-w)}{v^{2} w^{2}+w^{2} u^{2}+u^{2} v^{2}-u v w(u+v+w)}, \\ y_{L_{0}} & =\tfrac{w u(v-w)(v-u)}{v^{2} w^{2}+w^{2} u^{2}+u^{2} v^{2}-u v w(u+v+w)}, \\ z_{L_{0}} & =\tfrac{u v(w-u)(w-v)}{v^{2} w^{2}+w^{2} u^{2}+u^{2} v^{2}-u v w(u+v+w)} . \end{aligned} \]

От координатите (33) се вижда, че точката \(L_{0} \in k_{G}\), което по друг начин потвърждава свойство 10 .

8. Определяне вида на кривата \(\bar{\omega}\). За да определим взаимното положение на \(\bar{\omega}\) и безкрайната права на \(\triangle A B C\), в уравнението (16) на \(\bar{\omega}\) спрямо \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\) заместваме \(u=y_{P} z_{P}, v=z_{P} x_{P}, w=x_{P} y_{P}\) и \(z^{\prime}=-x^{\prime}-y^{\prime}\) и получаваме уравнението:

\[ \begin{aligned} & \left(x_{P}^{2}+4 y_{P}^{2}+z_{P}^{2}+4 y_{P} z_{P}+2 z_{P} x_{P}+4 x_{P} y_{P}\right) x^{\prime 2} \\ & +2\left(2 x_{P}^{2}+2 y_{P}^{2}-z_{P}^{2}+y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+3 x_{P} y_{P}\right) x^{\prime} y^{\prime}+ \\ & +\left(4 x_{P}^{2}+y_{P}^{2}+z_{P}^{2}+2 y_{P} z_{P}+4 z_{P} x_{P}+4 x_{P} y_{P}\right) y^{\prime 2}=0 \end{aligned} \]

Дискриминантата на това уравнение е \(D^{\prime}=-8\left(y_{P}+z_{P}\right)\left(z_{P}+x_{P}\right)\left(x_{P}+y_{P}\right)\left(x_{P}+y_{P}+z_{P}\right)\). От координатите на \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) в \(D^{\prime}\) преминаваме към координатите на \(P\) спрямо \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\) чрез равенствата (13). Така получаваме \(D^{\prime}=-64 x_{P}^{\prime} y_{P}^{\prime} z_{P}^{\prime}\left(x_{P}^{\prime}+y_{P}^{\prime}+z_{P}^{\prime}\right)\). От последния израз следва, че \(D^{\prime}=0\) тогава и само тогава, когато \(x_{P}^{\prime}+y_{P}^{\prime}+z_{P}^{\prime}=0\), т.е. когато \(P\) е безкрайна точка. Оттук получаваме

Свойство 11. Кривата \(\bar{\omega}\) е парабола тогава и само тогава, когато образът при \(\varphi\) на правата \(p\), пораждаща \(\bar{\omega}\), е безкрайна точка (фиг. 7) .

В случаите, когато \(P\) е безкрайна, описаната крива \(\bar{k}\) също е парабола. Според свойство 4 параболите имат две допирни точки, от които едната е крайна, а другата е общата им безкрайна точка (фиг. 7).

В останалите случаи \(x_{P}^{\prime}+y_{P}^{\prime}+z_{P}^{\prime}=1\) и координатите \(x_{P}^{\prime}, y^{\prime}\) и \(z_{P}^{\prime}\) имат точно определени знаци в зависимост от положението на \(P=\varphi(p)\) спрямо \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\). От тях се определя, че \(D^{\prime} \lt 0\) или \(D^{\prime} \gt 0\). В първия случай кривата \(\bar{\omega}\) е елипса, а във втория - хипербола. На фиг. 8 е показан видът на \(\bar{\omega}\) в зависимост от положението на точката \(P=\varphi(p)\) спрямо \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\).

От направените изводи за вида на \(\bar{\omega}\) се вижда, че кривата от трета степен \(K\) се съдържа в областите, определени от \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\) , в които \(\bar{\omega}\) е хипербола (фиг. 5). Това кореспондира със свойства 5 и 6. Освен това елипсата \(k_{G}\) от свойство 9 е вписана в \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\), а когато \(P\) е вътрешна за \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\), кривата \(\bar{\omega}\) е елипса (фиг. 6, 8). Така получаваме следното

Свойство 12. Ако \(\bar{\omega}\) се допира до пораждащата я права \(p\), то кривата \(\bar{\omega}\) е елипса (фиг. 6, 7) .

Ако \(x_{P}+y_{P}+z_{P}=0\), то \(P\) е безкрайна и \(D^{\prime}=0\). Следователно в този случай \(\bar{\omega}\) е парабола. Нека сега \(P\) не е безкрайна точка. Случаят с допирането на \(k\) и \(\bar{\omega}\) до \(l_{0}\) също може да се прецизира, но преди това ще определим вида на кривата \(\bar{\omega}\) в зависимост от точката \(P\).

Когато се говори за вид на една крива от втора степен, е любопитно да се разбере кога тя е окръжност. Кривата \(\bar{\omega}\) е вписана в \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\). Затова тя е окръжност тогава и само тогава, когато е вписана окръжност на \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\). Следователно \(\bar{\omega}\) е окръжност в точно четири случая.

Ако \(B C=a, C A=b\) и \(A B=c\), центровете на вписаните в \(\triangle \bar{A} \bar{B} \bar{C}\) окръжности имат следните координатни представяния:

\[ \begin{gathered} \left(\tfrac{a}{a+b+c}, \tfrac{b}{a+b+c}, \tfrac{c}{a+b+c}\right),\left(\tfrac{-a}{-a+b+c}, \tfrac{b}{-a+b+c}, \tfrac{c}{-a+b+c}\right) \\ \left(\tfrac{a}{a-b+c}, \tfrac{-b}{a-b+c}, \tfrac{c}{a-b+c}\right),\left(\tfrac{a}{a+b-c}, \tfrac{b}{a+b-c}, \tfrac{-c}{a+b-c}\right) \end{gathered} \]

От тези координати, формулите (13) за преминаване на координати спрямо \(\Delta \bar{A} \bar{B} \bar{C}\) към координати спрямо \(\Delta A B C\) и формулите (24) за координатите на центъра на \(\bar{\omega}\) намираме, че вписаните в \(\triangle A B C\) окръжности са Ойлеровите криви на следващите прави:

\[ \begin{aligned} & r:(a-3 b+c)(a+b-3 c) x+(a+b-3 c)(-3 a+b+c) y+(-3 a+b+c)(a-3 b+c) z=0, \\ & r_{a}:-(a+3 b-c)(a-b+3 c) x+(a-b+3 c)(3 a+b+c) y+(a+3 b-c)(3 a+b+c) z=0, \\ & r_{b}:(-a+b+3 c)(a+3 b+c) x-(-a+b+3 c)(3 a+b-c) y+(3 a+b-c)(a+3 b+c) z=0, \\ & r_{c}:(-a+3 b+c)(a+b+3 c) x+(3 a-b+c)(a+b+3 c) y-(-a+3 b+c)(3 a-b+c) z=0 \end{aligned} \] Ако \(R=\varphi(r), R_{a}=\varphi\left(r_{a}\right), R_{b}=\varphi\left(r_{b}\right)\) и \(R_{c}=\varphi\left(r_{c}\right)\), от горните уравнения и (5) следва

\[ \begin{aligned} & R\left(-\tfrac{-3 a+b+c}{a+b+c},-\tfrac{a-3 b+c}{a+b+c},-\tfrac{a+b-3 c}{a+b+c}\right), R_{a}\left(-\tfrac{3 a+b+c}{-a+b+c}, \tfrac{a+3 b-c}{-a+b+c}, \tfrac{a-b+3 c}{-a+b+c}\right), \\ & R_{b}\left(\tfrac{3 a+b-c}{a-b+c},-\tfrac{a+3 b+c}{a-b+c}, \tfrac{-a+b+3 c}{a-b+c}\right), R_{c}\left(\tfrac{3 a-b+c}{a+b-c}, \tfrac{-a+3 b+c}{a+b-c},-\tfrac{a+b+3 c}{a+b-c}\right) . \end{aligned} \]

От тези окръжности само вътрешно вписаната може да се допира до по-раждащата я права \(r\), защото само тя би могла да съдържа медицентъра \(G\) на \(\triangle A B C\) (свойство 8). Тъй като триъгълниците \(\triangle A B C\) и \(\triangle A B C\) са хомотетични с център на хомотетия \(G\), то ако \(G\) лежи върху вписаната окръжност на единия триъгълник, тя лежи върху вписаната окръжност и на другия (фиг. 9). Освен това \(G\) е обща допирна точка за двете окръжности и правата \(r\) е тяхната обща допирателна в \(G\) (фиг. 9). Накрая от условието за допиране \(u+v+w=0\) и коефициентите в \(r\) получаваме, че \(G\) е обща допирна точка за вписаните окръжности на триъгълниците \(\bar{A} \bar{B} \bar{C}\) и \(A B C\) тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството \(\tfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{b c+c a+a b}=\tfrac{6}{5}\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014,1). Generalizations of some classical theorems of the triangle geometry (In Russian). Theoretical and applied aspects of mathematics, informatics and education. Proceedings of the International Scientific Conference, Archangelsk, SAFU, 35 – 54. (ISBN 978-5-261-00990-0) [Гроздев, С. & В. Ненков. (2014, 1). Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника. Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования. Сборник материалов международной научной конференции. Архангельск, САФУ, 35 – 54. (ISBN 978-5-261-00990-0)].

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014, 2). Concurrence, generated by tangents (In Bulgarian), Mathematics and Informatics, 6, 613 – 616. [Гроздев, С. & В. Ненков. \((2014,2)\).Конкурентност, породена от тангенти, Математика и информатика, 6, 613 – 616.]

Grozdev. S. &V. Nenkov (2015). Conics with collinear centers (In Bulgarian). Mathematics and mathematical education, 44, 291 – 298. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2015). Конични сечения с колинеарни центрове. Математика и математическо образование, 44, 291 – 298].

Grozdev, S. & V. Nenkov (2017). Some constructions, generated by the duality principle (In Bulgarian). Mathematics and informatics, 4, 391 – 400. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2017). Няколко конструкции, по-родени от принципа за дуалност, Математика и информатика, 4, 391 – 400].

Mateev, A. (1977). Projective Geometry (In Bulgarian). Sofia: Nauka i Izkustvo. [Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство].

Pascalev, G. & I. Chobanov (1985). Notable points in the triangle (In Bulgarian). Sofia: Narodna Prosveta. [Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна прос-вета].