Сава Гроздев

University of Finance Business and Entrepreneurship
1 Gusla Str.
1618 Sofia Bulgaria
E-mail: sava.grozdev@gmail.com

Веселин Ненков

Technical College Lovech
31 Sajko Saev Str.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: vnenkov@mail.bg

Резюме. В статията е направен анонс за няколко геометрични конструкции, породени от принципа за дуалност и получени с помощта на компютър. Доказателствата ще бъдат изложени в следваща публикация.

Ключови думи: triangle; centroid; Dezargues’ theorem; сircum curve; Euler curve; Euler line

Не е необичайна практика да се използват компютърни програми за изследване на свойствата на геометрични конструкции (Zlatanov, 2013), (Zlatanov, 2014). Тук ще разгледаме няколко конструкции, реализирани с програмата The Geometer’s Sketchpad (GSP). Идеята на разглежданите конструкции е породена от принципа за дуалност в равнината на даден триъгълник (Mateev, 1977), (Grozdev & Nenkov, 2014).

1. Едно съответствие в равнината на триъгълника. Нека \(P\) е точка в равнината на \(\triangle A B C\), която не лежи върху никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\). Да свържем точката \(P\) с върховете \(A, B\) и \(C\) на \(\triangle A B C\), аслед това да намерим пресечните точки на получените прави със срещуположните страни на съответните върхове. Така получаваме точките \(A_{1}=P A \cap B C, B_{1}=P B \cap C A\) и \(C_{1}=P C \cap A B\). Съгласно теоремата на Дезарг, приложена за триъгълниците \(A B C\) и \(A_{1} B_{1} C_{1}\), точките \(A_{0}=B C \cap B_{1} C_{1}, B_{0}=C A \cap C_{1} A_{1}\) и \(C_{0}=A B \cap A_{1} B_{1}\) лежат на една права \(p\) (фиг. 1) (Mateev, 1977). По този начин на точката \(P\) еднозначно съпоставяме правата \(p\). Сега да извършим дуалната конструкция. Свързваме пресечните точки \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) на правата \(p\) (същата права, която току-що построихме) с върховете \(A, B\) и \(C\) на \(\triangle A B C\). След това построяваме пресечните точки на правите \(A A_{0}, B B_{0}\) и \(C C_{0}\), като \(B B_{0} \cap C C_{0}=A^{\prime}\), \(C C_{0} \cap A A_{0}=B^{\prime}\) и \(A A_{0} \cap B B_{0}=C^{\prime}\) (фиг. 1). Тогава според обратната посока на теоремата на Дезарг, приложена за триъгълниците \(A B C\) и \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\), правите \(A A^{\prime}, B B^{\prime}\) и \(C C^{\prime}\) минават през една точка, която е точката \(P\) (фиг. 1) (Mateev, 1977). Следователно чрез дуалната конструкция на правата \(p\) съпоставяме точката \(P\), от която се е получила тази права. Така описаните конструкции, основаващи се на теоремата на Дезарг, определят взаимно еднозначно съответствие \(\varphi\) в равнината на триъгълника, което на точка съпоставя права и на права съпоставя точка, т.е. изпълнени са равенствата \(\varphi(P)=p, \varphi(p)=P\), \(\varphi^{2}(P)=P\) и \(\varphi^{2}(p)=p\).

При съответствието \(\varphi\) образът на медицентъра на триъгълника е безкрайната права на равнината му. Дуално всяка безкрайна точка \(P\) има за образ при \(\varphi\) някоя крайна права \(p\). Обратно, на всяка права \(p\), получена по този начин, е съответна безкрайна точка \(P\) (фиг. 2).

Съответствието \(\varphi\) притежава следните свойства:

1) съответните точки \(P=\varphi(p)\) на всички прави \(p\), минаващи през по-

стоянна точка \(C_{1}\) от правата \(A B\), лежат на една права през \(C\) (фиг. 3) ; 2) съответните прави \(q=\varphi(Q)\) на всички точки \(Q\), лежащи на права през \(C\), минават през постоянна точка \(C_{2}\) от правата \(A B\) (фиг. 3) .

Тези свойства са изпълнени и за другите два върха, както и за другите две страни на \(\triangle A B C\), но не са изпълнени за останалите точки и прави в равнината на \(\triangle A B C\).

2. Ойлерова крива на точка спрямо триъгълник. Нека отново \(P\) е точка в равнината на \(\triangle A B C\), която не лежи върху никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\), като \(A_{1}=P A \cap B C, B_{1}=P B \cap C A\) и \(C_{1}=P C \cap A B\). С \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\) означаваме съответно средите на отсечките \(B C, C A\) и \(A B\), , а с \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) – средите съответно отсечките \(A P, B P\) и \(C P\) (фиг. 4).

Деветте точки \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, M_{a}, M_{b}, M_{c}, P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) лежат на една крива от втора степен \(\omega\), която наричаме крива на Ойлер за точката \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 4) (Grozdev \& Nenkov, 2014). Ако \(G\) е медицентърът на \(\triangle A B C\), а \(O\) е такава точка, че \(\overrightarrow{G O}=\tfrac{1}{2} \overrightarrow{G P}\), то средата \(\Omega\) на отсечката \(O P\) е център на \(\omega\). Следователно точките \(P, O, G\) и \(\Omega\) лежат на една права, която наричаме Ойлерова права за точката \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 4) (Grozdev \& Nenkov, 2014). Кривата от втора степен \(k\), която е описана около \(\triangle A B C\) и има за център точката \(O\), е хомотетична на \(\omega\). Кривите \(\omega\) и \(k\) наричаме асоциирани спрямо \(\triangle A B C\) (Grozdev \& Nenkov, 2014).

Някои свойства на съответните при изображението \(\varphi\) точка \(P\) и права \(p\), свързани с асоциираните криви \(k\) и \(\omega\), са описани в (Grozdev & Nenkov, 2015).

3. Ойлерова крива на права спрямо триъгълник. Нека \(p\) е права в равнината на \(\triangle A B C\), като \(p \cap B C=A_{0}, p \cap C A=B\) и \(p \cap A B=C_{0}\). В конструкцията на кривата \(\omega\) заменяме точката \(P\) с правата \(p\). След това заменяме пресечните точки \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) съответно с правите \(A A_{0}, B B_{0}\) и \(C C_{0}\) (фиг. 5). Заменяме средите \(M_{a}, M_{b}\) и \(M_{c}\) с правите \(a_{0}, b_{0}\) и \(c_{0}\), , които минават съответно през върховете \(A, B\) и \(C\) и са съответно успоредни на страните \(B C, C A\) и \(A B\). Оказва се, че шестте прави \(A A_{0}, B B_{0}, C C_{0}, a_{0}\), \(b_{0}\) и \(c_{0}\) са допирателни към крива от втора степен \(\bar{\omega}\), т.е. тези прави принадлежат на крива от втори клас \(\tilde{\omega}\). Кривата \(\bar{\omega}\) ще наричаме крива на Ойлер за правата p спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 5).

4. Две свойства на шестте основни точки на \(\bar{\omega}\). Съответствието \(\varphi\) съпоставя на дадената права \(p\) определена точка \(P\) от равнината на \(\triangle A B C\). Нека както преди \(P_{a}, P_{b}\) и \(P_{c}\) са средите на отсечките \(A P, B P\) и \(C P\). Според една теорема на Шльомилх, когато \(P\) е ортоцентърът на \(\triangle A B C\), правите \(M_{a} P_{a}, M_{b} P_{b}\) и \(M_{c} P_{c}\) се пресичат в точката на Лемоан за \(\triangle A B C\) (Paskalev \(\&\) Chobanov, 1985). Оказва се, че тези прави в общия случай имат връзка и с кривата на Ойлер \(\bar{\omega}\).

Свойство 1. Образите на правите \(M_{a} P_{a}, M_{b} P_{\underline{b}}\) и \(M_{c} P_{c}\) при \(\varphi\) са допирните точки съответно на правите \(a_{0}, b_{0} u c_{0} c \bar{\omega}\) (фиг. 6).

Другите три допирни точки, лежащи на \(\bar{\omega}\), притежават следното свойство.

Свойство 2. Образите на допирните точки на правите \(A A_{0}, B B_{0}\) и \(C C_{0}\) с \(\bar{\omega}\) при \(\varphi\) са прави, минаващи през една точка \(P_{0}\) от правата \(P G\) (фиг. 7).

Следователно точката \(P_{0}\) лежи върху Ойлеровата права \(l_{0}\), определена от \(P\) (фиг. 7).

5. Няколко общи свойства на Ойлеровите криви. Нека \(P=\varphi(p)\) и \(\omega\) е Ойлеровата крива на точката \(P\). Ако \(O\) е центърът на \(\bar{\omega}\), то точката \(O\) е симетрична на \(P\) спрямо центьра \(\Omega\) на \(\omega\). Кривата \(k\), описана за \(\triangle A B C\) и асоциирана с \(\omega\), има за център същата точка \(O\). Следователно имаме следното

Свойство 3. Кривите \(k\) и \(\bar{\omega}\) имат общ центьр (фиг. 8, 9, 10, 11) .

Друго свойство, което свързва \(k\) и \(\bar{\omega}\), е следното:

Свойство 4. Кривите \(k\) и \(\bar{\omega}\) са допирателни и допирните им точки лежат върху Ойлеровата права \(l_{0}\), определена от точката \(P\) (фиг. 8,9,10,11) .

На представените фигури се вижда, че Ойлеровите криви \(\omega\) и \(\bar{\omega}\) могат да са от различен или еднакъв вид. Затова, ако кривите \(\omega\) и \(\bar{\omega}\) са централни, можем да предположим, че няма специална зависимост между \(\omega\) и \(\bar{\omega}\), която е свързана с техния вид.

Още едно свойство, свързано с Ойлеровата права, е следното:

Свойство 5. Ойл еровата крива \(\bar{\omega}_{0}\) на Ойлеровата права \(l_{0}\), определена от точката \(P\), е допирателна за \(l_{0}\) в медицентъра \(G\) на \(\triangle A B C\) (фиг. 12) .

Ако правата \(p\) е такава, че точката \(P\) е безкрайна, кривата \(\bar{\omega}\) е парабола (фиг. 13). Всъщност в този случай всички криви \(k, \omega\) и \(\bar{\omega}\) са параболи. Описаните свойства остават валидни.

Този случай показва, че видът на \(\bar{\omega}\) зависи от положението на точката \(P\) в равнината на \(\triangle A B C\). По-точно видът на \(\bar{\omega}\) зависи от положението на точката \(P\) спрямо триъгълника, определен от правите \(a_{0}, b_{0}\) и \(c_{0}\) (фиг. 14).

Накрая трябва да се отбележи, че при някои от конструкциите принципът за дуалността е приложен само частично. Освен това всички формулирани твърдения се нуждаят от доказателства. Това ще бъде осъществено в следваща публикация.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014). Two applications of the duality principle. Informatization of Education – 2014 (Proc. Int. Sci. Conf. with Appl., Volgograd, April 23 – 26, 2014, 268 – 271), Volgograd: “Peremena”, ISBN 978-5-9935-0324-0. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2014). Два приложения принципа дуальности. Информатизация образования – 2014 (Материалы международной научно-практической конференции, Волгоград, \(23-26\) апреля 2014 г., 268 – 271), Волгоград: ВГСПУ “Перемена”, ISBN 978-5-9935-0324-0.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014). Generalizations of some classical theorems of the triangle geometry. Theoretical and applied aspects of Mathematics, Informatics and Education (Proc. Int. Sci. Conf.). Arhangelsk: SAFU, 35 – 54, ISBN 978-5-261-00990-0. [Гроздев, С. \(\&\) В. Ненков. (2014). Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника. Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования (Сборник материалов международной научной конференции). Архангельск: САФУ, 35 – 54, ISBN 978-5-261-00990-0.]

Grozdev, S. & V. Nenkov(2015). Two symmetric polarsandtwoharmonically conjugated poles. Mathematics and Informatics, 4, 415 – 425, ISSN 1310-2230. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2015). Две симетрични поляри и два хармонично спрегнати полюса, Математика и информатика, 4, 415 – 425, ISSN 1310-2230.]

Martinov, N. (1989). Analytical geometry. Sofia: Nauka i izkustvo. [Мартинов, Н. (1989). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Mateev, A. (1977). Projective Geometry. Sofia: Nauka i Izkustvo. [Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство.]

Modenov, P. (1969). Analytical geometry. Moscow: Moscow University Press. [Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Изд. Московского университета.]

Pascalev, G. & I. Chobanov (1985). Notable points in the thriangle. Sofia: Narodna Prosveta. [Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.]

Stanilov, G. (1979). Analytical geometry. Sofia: Nauka i izkustvo. [Станилов, Г. (1979). Аналитична геометрия. София: Наука и изкуство.]

Zlatanov, B. (2013). Some Properties of Reflection of Quadrangle about Point, Annals. Computer Science Series, 11, (1), 79 – 91.

Zlatanov, B. (2014). An Etude on one Sharygin’s Problem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 3, (2), 50 – 61.