Йоана Христова

Mathematical High School – Lovech
1 Akad. Urumov St.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: yoana2910@abv.bg

Геновева Маринова

Mathematical High School – Lovech
1 Akad. Urumov St.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: geviC2@abv.bg

Никола Кушев

Mathematical High School – Lovech
1 Akad. Urumov St.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: nikola.kushev2002@gmail.com

Светослав Апостолов

Mathematical High School – Lovech
1 Akad. Urumov St.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: svetoslav.k.602@gmail.com

Цветомир Иванов

Mathematical High School – Lovech
1 Akad. Urumov St.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: darkbrotherhood@abv.bg

Резюме. Статията е ученическа разработка под ръководството на доц. д-р Веселин Ненков. Тя съдържа нови резултати по темата, които донесоха първа награда на авторите по време на националния етап на Международния конкурс MITE (Методология и информационни технологии в образованието) през м. февруари 2020 г. Разработката е посветена на пресичащи се в една точка прави, породени от точки върху Ойлеровите прави на вписани многоъгълници.

Ключови думи: многоъгълник; кръг; Ойлерова права, Ойлерова окръжност; перпендикуляр; изогонални точки

1. Конкурентни прави, определени от равностранен триъгълник. Много конструкции в равнината на равностранен триъгълник водят до забелязване на интересни геометрични закономерности. За да получим една такава закономерност, разглеждаме равностранен триъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3}\) с описана окръжност \(\Gamma\), която има център \(O\).

Разглеждаме произволна точка \(P\) от \(\Gamma\). Нека \(H_{1}, H_{2}\) и \(H_{3}\) са ортоцентровете съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\). С помощта на Geometer’s Sketchpad (GSP) построяваме правите \(h_{1}, h_{2}\) и \(h_{3}\), h2 и h3 , които минават съответно през \(H_{1}, H_{2}\) и \(H_{3}\) и са пърпендикулярни на \(O H_{1}, O H_{2}\) и \(O H_{3}\). Забелязваме, че правите \(h_{1}, h_{2}\) и \(h_{3}\) се пресичат в една точка (фиг. 1). Ако правите \(g_{1}, g_{2}\) и \(g_{3}\) минават през медицентровете \(G_{1}, G_{2}\) и \(G_{3}\) съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\) и са перпендикулярни съответно на \(O G_{1}, O G_{2}\) и \(O G_{3}\), OG2 и OG3 , забелязваме, че тези прави също се пресичат в една точка (фиг. 2). След това през центровете \(E_{1}, E_{2}\) и \(E_{3}\) на Ойлеровата окръжност за триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\) построяваме прави \(e_{1}, e_{2}\) и \(e_{3}\), , които са перпендикулярни съответно на \(O E_{1}, O E_{2}\) и \(O E_{3}\). Този път забелязваме, че правите \(e_{1}, e_{2}\) и \(e_{3}\) се пресичат в точката \(P\) (фиг. 3). В разгледаните три случая са построени перпендикуляри през едноименни точки от Ойлеровите прави на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\) към съответните Ойлерови прави. Затова можем да предположим, че ако три точки са разположени по един и същи начин върху Ойлеровите прави на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\), то перпендикулярите през тези точки, построени към съответните Ойлерови прави, се пресичат в една точка. Как обаче да определим понятието еднакво разположени точки? Един начин за определяне на еднакво разположени точки върху Ойлеровите прави на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\) е като разглеждането на точки, които делят в едно и също отношение отсечките \(O H_{1}\), \(\mathrm{OH}_{2}\) и \(\mathrm{OH}_{3}\) (те лежат върху съответните Ойлерови прави).

Нека \(\lambda\) е произволно реално число, точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) лежат върху Ойлеровите прави съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3}A_{1}P\) и \(A_1A_2P\) и са изпълнени равенствата \(\cfrac{\overline{P_{1} O}}{\overline{P_{1} H_{1}}}=\cfrac{\overline{P_{2} O}}{\overline{P_{2} H_{2}}}=\cfrac{\overline{P_{3} O}}{\overline{P_{3} H_{3}}}=\lambda\) λ. През точките \(P_1,P_2\) и \(P_3\) построяваме съответно прави \(p_{1}, p_{2}\) и \(p_{3}\), , които са перпендикулярни на Ойлеровите прави съответно на триъгълниците A2 A3 P , A3 A1P и ъгьлниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\). Наблюденията с GSP показват, че можем да формулираме следното

Твърдение 1. При всяка реална стойност на \(\lambda\) правите \(p_{1}, p_{2}\) и \(p_{3}\) се пресичат в една точка \(T\) (фиг. 4).

Формулираното твърдение 1 обобщава първоначалните наблюдения, направени при \(\lambda=\infty, \lambda=-\tfrac{1}{2}\) и \(\lambda=-1\). Очевидният случай, при който правите \(p_{1}, p_{2}\) и \(p_{3}\) минават през \(O\) се получава при \(\lambda=0\). На фиг. 4 са показани случаи при други три стойности, на \(\lambda\). Освен свойството на правите, изразено чрез твърдение 1, наблюденията с GSP ни дават основание да формулираме и следното

Твърдение 2. Ако \(P\) е фиксирана точка от \(\Gamma\) и числото \(\lambda\) описва множеството на реалните числа, точката \(T\) описва правата \(O P\) (фиг. 4).

По естествен начин възниква въпросът за разглеждане на подобни конфигурации, свързани правилни \(n\)-ъгълници, когато \(n \geq 4\). За разледаме този въпрос е необходимо да се запознаем с понятието Ойлерова права на вписан многоъгълник.

2. Медицентър и ортоцентър на вписан многоъгълник. Преди да покажем по какъв начин се получават Ойлеровата права и Ойлеровата окръжност, е необходимо да определим понятията център на тежестта и ортоцентър на вписан многоъгълник като аналози на съответните понятия от геометрията на триъгълника.

2.1. Център на тежестта. Центърът на тежестта \(G\) на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) е пресечната точка на правите, свързващи върховете \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) с центровете на тежестта на съответните им срещуположни страни \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\). За \(G\) е изпълнено равенството

(1)\[ \overrightarrow{O G}=\tfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\overrightarrow{O A_{3}}\right) . \]

Аналогично с помощта на GSP, можем да свържем върховете \(A_{1}, A_{2}\), \(A_{3}\) и \(A_{4}\) на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) с центровете на тежестта \(G_{1}, G_{2}\), \(G_{3}\) и \(G_{4}\) съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4} A_{1}, A_{4} A_{2} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3}\) (фиг. 5). Установяваме, че правите \(A_{1} G_{1}, A_{2} G_{2}, A_{3} G_{3}\) и \(A_{4} G_{4}\) минават през една точка \(G\). С помощта на (1) получаваме и векторното равенство \(\overrightarrow{O G}=\tfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\overrightarrow{O A_{3}}+\overrightarrow{O A_{4}}\right)\), при произволна точка \(O\) в пространството. Получената по този начин точка \(G\) наричаме център на тежестта (медицентър) на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 5).

След това, с помощта на GSP свързваме върховете \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\) и \(A_{5}\) на петоъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) с центровете на тежестта \(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\) и \(G_{5}\) съответно на четириъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}, A_{3} A_{4} A_{5} A_{1}, A_{4} A_{5} A_{2} A_{1}, A_{5} A_{1} A_{2} A_{3}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 6). Установяваме, че правите \(A_{1} G_{1}, A_{2} G_{2}, A_{3} G_{3}, A_{4} G_{4}\) и \(A_{5} G_{5}\) минава през една точка \(G\), за която е изпълнено векторното равенство \(\overrightarrow{O G}=\tfrac{1}{5}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\overrightarrow{O A_{3}}+\overrightarrow{O A_{4}}+\overrightarrow{O A_{5}}\right)\), при произволна точка \(O\) в пространството. Точката \(G\) наричаме център на тежестта (медицентър) на петоъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) (фиг. 6). До подобни изводи стигаме и при разглеждането на шестоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) (фиг. 7). Така по индукция стигаме до извода, че ако \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е произволен \(n\)-ъгълник, правата, свързваща върха \(A_{i}\) с центъра на тежестта \(G_{i}(i=1, \ldots, n)\) за \(n-1\)-ъгълника, образуван от останалите върхове, минават през една точка \(G\), за която е изпълнено векторното равенство

(2)\[ \overrightarrow{O G}=\tfrac{1}{n}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{O A_{n}}\right), \]

при произволна точка \(O\) в пространството.

Равенството ( 2) по естествен начин обобщава (1) и еднозначно определя точка \(G\), която се нарича център на тежестта (медицентър) за \(n\)-ъгълника \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\). Така за центъра на тежестта на \(n\)-ъгълника \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) имаме индуктивна конструкция за построяване и аналитично представяне с ( 2) .

2.2. Ортоцентър. За определяне на ортоцентър на вписан в окръжност многоъгълник можем да приложим два подхода, основани на аналогии с по-строяването на центъра на тежестта. Първо разглеждаме вписан в окръжност четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Аналогично на конструирането на центъра на тежестта \(G\) на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) построяваме ортоцентровете \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) съответно на триъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4}, A_{4} A_{2} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3}\). След това по-строяваме правите \(A_{1} H_{1}, A_{2} H_{2}, A_{3} H_{3}\) и \(A_{4} H_{4}\). Забелязваме, че тези прави се пресичат в една точка \(H\) (фиг. 8). Нещо повече, четириъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) и \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4}\) са симетрични спрямо точката \(H\) (фиг . 8). Това наблюдение можем да изразим с векторните равенства \( {\overrightarrow{H H_{i}}}=-\overrightarrow{H A_{i}}(i=1,2,3,4) \). По-нататък да обърнем внимание, че ортоцентърът на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) лежи върху правата, която минава през центъра на тежестта на върха \(A_{i}\) (който съвпада с \(A_{i}\) ), и е перпендикулярна на правата, определена от останалите два върха на \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\). Това ни дава основание при \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) да построим през центъра на тежестта на всяка от шестте двойки върхове (средите на свързващите ги отсечки) перпендикуляр към правата, определена от другата двойка върхове (фиг. 9). Оказва се, че получените шест прави се пресичат в същата точка \(H\), получена при предишната конструкция (четириъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) на фиг. 8 и 9 са еднакви). Получената по този начин точка \(H\) наричаме ортоцентър на четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 8, 9).

По-нататък, следвайки опита от изследванията върху четириъгълника, разглеждаме вписан в окръжност петоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\). Построяваме ортоцентровете \(H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}\) и \(H_{5}\) съответно на четириъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}, A_{3} A_{4} A_{5} A_{1}, A_{4} A_{5} A_{2} A_{1}, A_{5} A_{1} A_{2} A_{3}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Забелязваме, че правите \(A_{1} H_{1}, A_{2} H_{2}, A_{3} H_{3}, A_{4} H_{4}\) и \(A_{5} H_{5}\) минават през една точка \(H\) (фиг. 10). Освен това \(H\) е център на хомотетия за петоъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) и \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4} H_{5}\), като са изпълнени векторните равенства \( \overrightarrow{H H_{i}}=-\tfrac{1}{2} \overrightarrow{H A_{i}} \) \((i=1,2,3,4,5)\). Подходът с центровете на тежестта се състои в следното: построяваме през центъра на тежестта на всеки от десетте триъгълника, образувани от върховете на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\), права, перпендикулярна на страната, съдържаща останалите два върха на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\). Тези десет прави се пресичат в същата точка \(H\) (фиг. 11). Точката \(H\) наричаме ортоцентър на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) (фиг. 10, 11).

По подобен начин разглеждаме и вписан в окръжност шестоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\). Ако \(H_{i}\) е ортоцентърът на петоъгълника, образуван от върховете на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) без \(A_{i}\), правите \(A_{i} H_{i} \quad(i=1,2,3,4,5,6)\) се пресичат в точка \(H\) (фиг. 12), която е център на хомотетия за шестоъгълниците \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) и \(H_{1} H_{2} H_{3} H_{4} H_{5} H_{6}\). Изпълнени са векторните равенства \(\overrightarrow{H H}_{i}=-\tfrac{1}{3} \overrightarrow{H A}_{i}(i=1,2,3,4,5,6)\). Освен това всяка от петнадесетте прави, минаваща през центъра на тежестта на четириъгълник, върховете на който са измежду точките \(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}\) и \(A_{6}\), , и перпендикулярна на страната, определена от останалите два върха, минава през същата точка \(H\) (фиг. 13). Точката \(H\) наричаме ортоцентър на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) (фиг. 12, 13).

Така по индукция получаваме, че за вписания в окръжност \(n\)-ъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) съществува точка \(H\), която притежава следните свойства:

1) Правите, минаващи през центровете на тежестта за \(n-2\)-ъгълниците, образувани от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\), , които са перпендикулярни на правите, свързващи останалите два върха, се пресичат в една точка .

2) Ако \(H_{i}\) е ортоцентъра на \(n-1\)-ъгълника, образуван от точките \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) с изключение на \(A_{i}\), то правите \(A_{i} H_{i}(i=1,2, \ldots, n)\) се пресичат в \(H\).

3) Изпълнени са векторните равенства \(\overrightarrow{H H_{i}}=-\tfrac{1}{n-3} \overrightarrow{H A_{i}}\).

4) Многоъгълникът \(H_{1} H_{2} \ldots H_{n}\) е хомотетичен на \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

Ясно е, че 2) и 4) следват от 3).

2.3. Ойлерова права и Ойлерова окръжност. Ако \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е многоъгълник, вписан в окръжност с център \(O\), наблюденията с GSP показват, че точките \(H, G\) и \(O\) лежат на една права, която се нарича права на Ойлер за \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\). На фиг. 1 14 са показани случаите при \(n=4,5,6\). По индукция се получава равенството

(3)\[ \overrightarrow{O H}=\tfrac{1}{n-2}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{O A_{n}}\right) . \]

От това равенство и ( 2) следва, че

(4)\[ \overrightarrow{O H}=\tfrac{n}{n-2} \overrightarrow{O G} \]

Последното равенство доказва, че точките \(H, G\) и \(O\) лежат на една права.

Нека \(G_{i}\) е центърът на тежестта на \(n-1\)-ъгълника, образуван от точкитепоказв \(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) ат, че точкитес изклю \(G_{1} \quad(i=1,2, \ldots, n)\) чение на \(A_{i}(i=1,2, \ldots, n)\)лежат на окръжно. Наблюст, кдениятоято сеа с нари GSP ча окръжност на Ойлер за \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\). На фиг. 14 са показани случаите при \(n=4,5,6\). За центъра \(E\) на Ойлеровата окръжност е изпълнено векторното равенство \(\overrightarrow{O E}=\tfrac{1}{n-1}\left(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{O A_{n}}\right)\). Оттук векторното равенство (3) за \(H\) и векторното равенство ( 2) за \(G\) следват:

(5) \(\begin{aligned} \overrightarrow{H E} & =\tfrac{1}{n-1} \overrightarrow{H O} \\ \end{aligned}\) ,

(6) \(\begin{aligned} \overrightarrow{G E} & =-\tfrac{1}{n-1} \overrightarrow{G O} \end{aligned}\) .

Равенствата (5) и (6 ) показват, че \(H\) и \(G\) са центрове на хомотетия за описаната и Ойлеровата окръжност.

3. Конкурентни прави, определени от правилен многоъгълник. След като сме запознати с понятията медицентър, ортоцентър и Ойлерова права на вписан в окръжност многоъгълник, можем да продължим изследванията си върху перпендикуляри, минаващи през точки от Ойлеровите прави на многоъгълници, породени от върховете на правилен многоъгълник, и точка от описаната му окръжност.

Нека \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е квадрат, вписан в окръжност \(\Gamma\) с център \(O\) и \(P\) е точка от \(\Gamma\). Ако точките \(H_{1}, H_{2}, H_{3}\) и \(H_{4}\) са ортоцентровете, съответно на четириъгьлниците \(A_{2} A_{3} A_{4} P, A_{3} A_{4} A_{1} P, A_{4} A_{1} A_{2} P\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} P\), A3 A4 A1P , A4 A1 A2 P и A1 A2 A3 P , а точките \(P_{1}, P_{2}\), \(P_{3}\) и \(P_{4}\) лежат върху Ойлеровате прави съответно на \(A_{2} A_{3} A_{4} P, A_{3} A_{4} A_{1} P\), \(A_{4} A_{1} A_{2} P\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} P\), така че \(\tfrac{\overline{P_{1} O}}{\overline{P_{1} H_{1}}}=\tfrac{\overline{P_{2} O}}{\overline{P_{2} H_{2}}}=\tfrac{\overline{P_{3} O}}{\overline{P_{3} H_{3}}}=\tfrac{\overline{P_{4} O}}{\overline{P_{4} H_{4}}}=\lambda\) ( \(\lambda\) е произволно реално число), построяваме правите \(p_{1}, p_{2}, p_{3}\), , и \(p_{4}\), през точките \(P_{1}\), \(P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\), P3 и P4 , които са перпендикулярни на Ойлеровите прави съответно на \(A_{2} A_{3} A_{4} P, A_{3} A_{4} A_{1} P, A_{4} A_{1} A_{2} P\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} P\). Наблюденията с GSP показват, че при произволна стойност на \(\lambda\) правите \(p_{1}, p_{2}, p_{3}\) и \(p_{4}\) се пресичат в една точка \(T\) (фиг. 15). Освен това, когато \(\lambda\) описва реалната права, точката \(T\) описва правата \(O P\) (фиг. 15).

Експериментите с GSP върху съответните конструкции, определени от правилни петоъгълници и правилни шестоъгълници, показват, че и в тези случаи се наблюдават такива конкурентни перпедикуляри (фиг. \(16-17\) ). Така индуктивно стигаме до идеята, че извършените наблюдения могат да се обобщят за произволен правилен \(n\)ъгълник.

Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е правилен \(n\)-ъгълник, вписан в окръжност \(\Gamma\) с център \(O\) и \(P\) е произволна точка от \(\Gamma\). С \(H_{1}, H_{2}, \ldots, H_{n}\) означаваме ортоцентровете съответно на \(n\)-ъгълниците \(A_{2} A_{3} \ldots A_{n} P, A_{3} A_{4} \ldots A_{1} P, \ldots\), \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} P\). Ако \(\lambda\) е реално число, точките \(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\) опредляме върху Ойлеровите прави съответно на \(n\)-ъгълниците \(A_{2} A_{3} \ldots A_{n} P\), \(A_{3} A_{4} \ldots A_{1} P, \ldots, A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} P\), така че да са изпълнени равенствата \(\tfrac{\overline{P_{1} O}}{\overline{P_{1} H_{1}}}=\tfrac{\overline{P_{2} O}}{\overline{P_{2} H_{2}}}=\cdots=\tfrac{\overline{P_{n} O}}{\overline{P_{n} H_{n}}}=\lambda\). Правите, които минават съответно през точките \(P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}\) и са перпендикулярни на Ойлеровите прави съответно на \(n\)-ъгълниците \(A_{2} A_{3} \ldots A_{n} P, A_{3} A_{4} \ldots A_{1} P, \ldots, A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} P\), A3 A4  A1P ,  , A1 A2 An−1 P , означаваме с \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\). Изпълнени са следните твърдения.

Твърдение 3. При всяка реална стойност на \(\lambda\) правите \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\)

се пресичат в една точка \(T\) (фиг. 4, 15, 16, 17).

Твърдение 4. Ако \(P\) е фиксирана точка от \(\Gamma\) и числото \(\lambda\) описва множеството на реалните числа, точката \(T\) описва правата \(O P\) (фиг. 4, 15, 16, 17).

Твърдения 1 и 2 се получават от последните при \(n=3\). По този начин откриваме техни обобщения.

4. Доказателство на твърдения 3 и 4. След като твърдения 3 и 4 са формулирани благодарение на експериментите с GSP, следва те да бъдат строго доказани. От равенството \(\tfrac{\overline{P_{k} O}}{\overline{P_{k} H_{k}}}=\lambda(k=1,2, \ldots, n)\) следва \(\overrightarrow{O P_{k}}=\tfrac{\lambda}{\lambda-1} \overrightarrow{O H_{k}}\). Освен това, когато \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) е правилен \(n\)-ъгълник и \(O\) е неговият център, е изпълнено равенството \(\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{O A_{2}}+\cdots+\overrightarrow{O A_{n}}=\overrightarrow{0}\). Оттук и (3) следва, че \(\overrightarrow{O H_{k}}=\tfrac{1}{n-2}\left(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A_{k}}\right)\).

Разглеждаме точката \(T\), за която е изпълнено векторното равенство

(7)\[ \overrightarrow{O T}=\tfrac{2 \lambda}{(n-2)(\lambda-1)} \overrightarrow{O P} \]

От последните равенства получаваме

\[ \begin{gathered} \overrightarrow{P_{k} T}=\overrightarrow{O T}-\overrightarrow{O P_{k}}=\tfrac{2 \lambda}{(n-2)(\lambda-1)} \overrightarrow{O P}-\tfrac{\lambda}{\lambda-1} \overrightarrow{O H_{k}}= \\ =\tfrac{2 \lambda}{(n-2)(\lambda-1)} \overrightarrow{O P}-\tfrac{\lambda}{(n-2)(\lambda-1)}\left(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A_{k}}\right)=\tfrac{\lambda}{(n-2)(\lambda-1)}\left(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O A_{k}}\right) . \end{gathered} \]

Сега за скаларното произведение на векторите \(\overrightarrow{P_{k} T}\) и \(\overrightarrow{O H_{k}}\) получаваме \(\overrightarrow{P_{k} T} \cdot \overrightarrow{O H_{k}}=\tfrac{\lambda}{(n-2)(-1)}\left(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O A_{k}}\right) \cdot \tfrac{}{n-2}\left(\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A_{k}}\right)=\tfrac{\lambda}{(-2)(-1)}\left(\overrightarrow{O P}^{2}-{\overrightarrow{O A_{k}}}^{2}\right)\).

Тъй като точките \(P\) и \(A_{k}\) лежат върху \(\Gamma\), то \(\overrightarrow{O P}^{2}={\overrightarrow{O A_{k}}}^{2}(k=1,2, \ldots, n)\). Следователно \(\overrightarrow{P_{k} T} \cdot \overrightarrow{O H_{k}}=0\). Това означава, че за всяко \(k=1,2, \ldots, n\) е изпълнено \(\overrightarrow{P_{k} T} \perp \overrightarrow{O H_{k}}\), т.е. \(p_{k} \perp O H_{k}\). С това твърдение 3 е доказано. Освен това, като вземем предвид равенството (7) , забелязваме, че точката \(T\) винаги лежи върху правата \(O P\). С това е доказано и твърдение 4.

Като използваме равенството ( 7) , можем да установим кои са точките \(P_{k}\), при които съответните прави \(p_{k}(k=1,2, \ldots, n)\) минават през точката \(P\). Това се случва точно когато \(\tfrac{2 \lambda}{(n-2)(\lambda-1)}=1\), т.е. \(\lambda=\tfrac{n-2}{n-4}\). От (5) следва, че за центровете \(E_{k}(k=1,2, \ldots, n)\) на Ойлеровите окръжности съответно на \(A_{2} A_{3} \ldots A_{n} P, A_{3} A_{4} \ldots A_{1} P, \ldots, A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} P\) са изпълнени равенствата \(\overrightarrow{O E_{k}}=-(n-2) \overrightarrow{H E_{k}}\) , т.е. \(\cfrac{\overline{E_{k} O}}{\overline{E_{k} H_{k}}}=-(n-2)\) . Следователно перпендикулярите през точките \(E_{k}(k=1,2, \ldots, n)\) се пресичат в точката \(P\) тогава и само тогава, когато \(\tfrac{n-2}{n-4}=-(n-2)\), т.е. \(n=3\). Това означава, че случаят, показан на фиг. 3, е единственият, при който перпендикулярите през центровете на Ойлеровите окръжности се пресичат в точката \(P\).

5. Успоредни прави в равнината на равностранен триъгълник. От твърдение 3 и неговото доказателство (по-точно от равенството ( 7) ) следва, че не съществува точка \(P\) от \(\Gamma\), за която правите \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{\mathrm{n}}\) са успоредни. Следователно, ако съществуват точки в равнината на правилния многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), за които перпендикулярите към Ойлеровите прави на многоъгълниците \(A_{2} A_{3} \ldots A_{n} P, A_{3} A_{4} \ldots A_{1} P, \ldots, A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} P\) са успоредни, те не лежат върху \(\Gamma\). Тъй като за точките \(P\), нележащи върху \(\Gamma\), нито една от Ойлеровите прави на многоъгълниците \(A_{2} A_{3} \ldots A_{n} P, A_{3} A_{4} \ldots A_{1} P\), \(\ldots, A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} P\) не съществува при \(n \geq 4\), то въпросът за успоредност на перпендикулярите към Ойлеровите прави има смисъл само когато \(n=3\), т.е. за равностранен триъгълник. Така стигаме до търсенето на точките \(P\) в равнината на равностранен триъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3}\), за които перпендикулярите \(p_{1}\), \(p_{2}\) и \(p_{3}\) към Ойлеровите прави на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\) през точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\), , разположени по един и същи начин върху тези прави, са успоредни.

Множеството на тези точки се открива, ако се вземе предвид, че когато точката \(Q\) описва окръжността \(\Omega\) с център \(O\) и радиус два пъти по-голям от този на \(\Gamma\), изогоналната точка \(P\) на \(Q\) спрямо \(A_{1} A_{2} A_{3}\) описва крива \(k\) от четвърта степен (фиг. 18). Ойлеровите прави на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\), когато \(P \in k\), са успоредни (фиг. 18). Следователно всяка тройка прави, които са перпендикулярни на Ойлеровите прави на триъгълниците \(A_{2} A_{3} P, A_{3} A_{1} P\) и \(A_{1} A_{2} P\), когато \(P \in k\), са успоредни (фиг. 18).

ЛИТЕРАТУРА

Паскалев, Г. & П. Пенчев (1983). Задачи за подготовка за математически олимпиади. София: Народна просвета.

Гроздев, С. & В. Ненков (2011). Ортоцентър на вписан четириъгълник, Математика плюс, 4, 63 – 69, ISSN 0861-8321.

Ненков, В., & Д. Ангелов (2017). Ойлерова права и Ойлерова крива на вписан многоъгълник в конично сечение, Математика и информатика, 1, 64 – 80, ISSN 1310-2230.

Ненков, В. (2005). Четири Ойлерови прави в равнината на триъгълник, Математика и информатика, 2, 68 – 80, ISSN 1310-2230.

Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.

Гроздев, С. & В. Ненков. (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед.

Гроздев, С. & В., Ненков. (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000.

Георгиева, М. & С. Гроздев. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток-Запад, 987-619152-869-1, 327 стр.

Ненков, В. (2020). Повишаване на математически компетенции с динамична геометрия. София: Архимед 2000, ISBN 978-954-779291-3.

REFERENCES

Paskalev, G. & Penchev, P. (1983). Preparation problems for mathematical Olympiads. Sofia: Narodna Prosveta

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2011). Orthocenter of in-quadrilateral, Mathematics Plus, 4, 63 – 69, ISSN 0861-8321.

Nenkov, V. & Angelov, D. (2017). Euler line and Euler curve of in-polygon of a conic. Mathematics and Informatics, 1, 64 – 80, ISSN 1310-2230.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgaria Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-921391-1).

Nenkov, V. (2005). Four Euler lines in the plane of a triangle. Mathematics and Infromatics, 2, 68 – 80, ISSN 1310-2230.

Sergeeva, T., Shabanova, M. & Grozdev, S. (2014). Foundations of dynamic geometry. Moscow: ASOU.

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). About the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Archimedes 2000.

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). Three notable points on the median of a triangle. Sofia: Archimedes 2000.

Georgieva, M. & Grozdev, S. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.), Sofia: Publ. Hous “Iztok-Zapad”, ISBN 987-619-152-869-1, 327 pages

Nenkov, V. (2020). Mathematical competence increase through dynamic geometry. Sofia: Archimedes 2000, ISBN 978-954-779-291-3.