Резюме. Във връзка с описаните за даден триъгълник \(A B C\) конични сечения е установено едно обобщение на известна теорема на Дроз-Фарни. Описаното обобщение е свързано със специални вписани за \(\triangle A B C\) конични сечения.

Ключови думи: triangle, conic, Euler circle, Euler line, conjugate line

1. Увод. Геометрията на триъгълника е изпъстрена с прости и красиви теореми. Една от тях е открита през 1899 г. от швейцарския математик Арнолд Дроз-Фарни (1856 – 1912). Тази теорема може да се формулира по следния начин.

Теорема на Дроз-Фарни. Перпендикулярните прави \(l_{1} u l_{2}\) минават през ортоцентъра \(H\) на \(\triangle A B C\). Ако \(l_{i}(i=1,2)\) пресича правите \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките \(A_{i}, B_{i}\) и \(C_{i}(i=1,2)\), Bi и Ci (i = 1, 2) , то средите \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) съответно на отсечките \(A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}\) и \(C_{1} C_{2}\) лежат на една права \(d\).

Любопитно е, че теоремата на Дроз-Фарни често привлича вниманието на математиците, като предизвиква търсене на различни доказателства и обобщения. Синтетични доказателства на тази теорема могат да се намерят в Бележките \({ }^{1,2,3}\), а аналитични доказателства се съдържат в (Sharygin, 1986), (Karlov, 2015) и (Nenkov, 1996). Освен това в Бележката \({ }^{3}\) е доказано твърдението на Ван Ламоен, че ако точките \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) делят отсечките \(A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}\) и \(C_{1} C_{2}\) в едно и също просто отношение, те отново лежат на една права. Друго обобщение, получено с проективни средства, е представено в Бележката \({ }^{4}\), където \(H\) е произволна точка в равнината на \(\triangle A B C\). Показано е, че средите \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) съответно на отсечките \(A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}\) и \(C_{1} C_{2}\) лежат на една права \(d\) тогава и само тогава, когато правите \(l_{1}\) и \(l_{2}\) са допирателни за парабола, вписана в \(\triangle A B C\). Самата права \(d\) също е допирателна за параболата. В Бележката \({ }^{5}\) е изяснено, че ако правите, минаващи през върховете на \(\triangle A B C\) и успоредни на срещуположните им страни, образуват \(\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\), то правите \(l_{1}\) и \(l_{2}\) от Бележката \({ }^{4}\) са спрегнати диаметри на коничното сечение, което има за център точката \(H\) и е описано за \(\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\). Във връзка с коничните сечения трябва да се отбележи и това, че в оригиналната теорема на Дроз-Фарни правите \(d\) са допирателни за едно специално конично сечение, вписано в \(\triangle A B C\).

Целта на настоящата работа е да се покаже едно обобщение на теоремата на Дроз-Фарни от гледна точка на описаните за триъгълника криви от втора степен. Споменатите по-горе резултати ще се получат по естествен начин от настоящите изследвания. Така ще покажем друг начин за доказване на споменатите резултати, свързани с конични сечения. Освен това ще намерим и някои нови резултати.

Разглеждаме произволен триъгълник \(A B C\). Спрямо \(\triangle A B C\) ще използваме барицентрични координати, като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) (Grozdev & Nenkov , 2015). Средите на страните \(B C, C A\) и \(A B\) означаваме съответно с \(M_{a}\left(0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right), M_{b}\left(\tfrac{1}{2}, 0, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(M_{c}\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 0\right)\), а с \(G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\)– медицентъра на \(\triangle A B C\). В равнината на \(\triangle A B C\) ще разглеждаме произволно конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\left(x_{0}+y_{0}+z_{0}=1\right)\). Координатите на точките от \(\bar{k}(O)\) удовлетворяват уравнението Преди да преминем към обобщението на теоремата на Дроз-Фарни, ще припомним някои понятия, свързани с описаната крива. Освен това в някои от изследванията ще използваме програмата The Geometer’s Sketchpad (Gsp).

2. Ойлерова права и Ойлерова крива, асоциирани с описана за триъгълника крива. Забележителните за триъгълника права на Ойлер и окръжност на Ойлер могат да се обобщят спрямо произволна описана за \(\triangle A B C\) крива. Определяме правите \(h_{a}, h_{b}\) и \(h_{c}\) като минаващи съответно през върховете \(A, B\) и \(C\) и успоредни съответно на правите \(O M_{a}, O M_{b}\) и \(O M_{c}\) (фиг. 1). Тези прави се пресичат в една точка \(H\left(1-2 x_{0}, 1-2 y_{0}, 1-2 z_{0}\right)\), която се получава от \(O\) посредством равенството \(\overrightarrow{G H}=\tfrac{1}{2} \overrightarrow{G O}\). Тъй като точката \(H\) притежава свойства, подобни на ортоцентъра, ще я наричаме ортоид на \(\triangle A B C\) относно \(\bar{k}(O)\) , а правата \(OH\) – Ойлерова права, асоциирана с \(\bar{k}(O)\) (фиг. 1). Средите на отсечките \(A H, B H, C H\) и точките \(M_{a}, M_{b}\), \(M_{c}, h_{a} \cap B C, h_{b} \cap C A, h_{c} \cap A B\) лежат на едно конично сечение \(\Omega\), което наричаме Ойлерова крива, асоциирана с \(\bar{k}(O)\) (фиг. 1) (Mateev, 1977). Уравнението на Ойлеровата крива може да се представи във вида:

(2) \[ \begin{aligned} & 4\left[\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} y z+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z x+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} x y\right]- \\ & -\left[\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) x+\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) y+\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) z\right](x+y+z)=0 \end{aligned} \]

Ойлеровата крива \(\Omega\) има за център средата \(F\left(\tfrac{1-x_{0}}{2}, \tfrac{1-y_{0}}{2}, \tfrac{1-z_{0}}{2}\right)\) на отсечката \(O H\) (фиг. 1) .

Нека страните \(B^{\prime} C^{\prime}, C^{\prime} A^{\prime}\) и \(A^{\prime} B^{\prime}\) на \(\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\) минават съответно през върховете \(A, B\) и \(C\) на \(\triangle A B C\), B и C на ∆ABC , като са съответно успоредни на \(B C, C A\) и \(A B\) (фиг. 1). Кривата \(\overline{k^{\prime}}(H)\), която има за център точката \(H\) и е описана около \(\Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\), е хомотетична на \(\bar{k}(O)\) с център на хомотетия \(G\) и коефициент (фиг. 1). Затова спрегнатите диаметри на \(\bar{k}^{\prime}(H)\) са спрегнати прави спрямо \(\bar{k}(O)\). Това наблюдение обяснява връзката на изследванията, които следват, с описаното в Бележката \({ }^{5}\) пояснение към работата в Бележката \({ }^{4}\).

3. Обобщение на теоремата на Дроз-Фарни. Тъй като ортоидът \(H\) спрямо \(\bar{k}(O)\) има свойства, подобни на тези на ортоцентъра спрямо описаната за триъгълника окръжност, то е естествено в оригиналната теорема на Дроз-Фарни да заместим ортоцентъра с ортоида. От друга страна, перпендикулярните прави в теоремата на Дроз-Фарни са спрегнати спрямо описаната окръжност. Затова е естествено да заменим тези прави с прави през ортоида \(H\), които са спрегнати спрямо \(\bar{k}(O)\).

Нека \(l_{1}\) е права през \(H\), която е колинеарна с вектор (\(\alpha, \beta, \gamma\) ) \((\alpha+\beta+\gamma=0)\). Тогава параметричните уравнения на \(l_{1}\) се изразяват с равенствата

(3) \[ l_{1}: x=1-2 x_{0}+\alpha t, y=1-2 y_{0}+\beta t, z=1-2 z_{0}+\gamma t . \]

Преди да продължим, за да се опрости записът на някои от следващите изрази, въвеждаме следните означения:

\(\grave{u}_{a}=\left(1-2_{0}\right) \beta-\left(1-2_{0}\right) \gamma, p_{b}=\left(1-2 x_{0}\right) \gamma-\left(1-2 z_{0}\right) \alpha\),

\(p_{c}=\left(1-2 y_{0}\right) \alpha-\left(1-2 x_{0}\right) \beta, f=\left(1-2 x_{0}\right) x_{0} \beta \gamma+\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+\left(1-2 z_{0}\right) z_{0} \alpha \beta\).

Оттук се получават равенствата

(4) \(p_{b} p_{c}=2 f-\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma, p_{c} p_{a}=2 f-\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha, p_{a} p_{b}=2 f-\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\).

От \((3)\) и уравненията на правите \(B C, C A\) и \(A B\) намираме, че точките

\(A_{1}=l_{1} \cap B C, B_{1}=l_{1} \cap C A\) и \(C_{1}=l_{1} \cap A B\) имат следните координати

(5) (5) \(A_{1}\left(0, \tfrac{p_{c}}{\alpha},-\tfrac{p_{b}}{\alpha}\right), B_{1}\left(-\tfrac{p_{c}}{\beta}, 0, \tfrac{p_{a}}{\beta}\right), C_{1}\left(\tfrac{p_{b}}{\gamma},-\tfrac{p_{a}}{\gamma}, 0\right)\).

Нека сега правата \(l_{2}\), минаваща през \(H\), е спрегната с \(l_{1}\) спрямо \(\bar{k}(O)\). Ако векторът \(\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right)\) е спрегнат с \((\alpha, \beta, \gamma)\), то уравненията на \(l_{2}\) записваме във вида

От резултатите за спрегнати вектори, получени в (Grozdev \& Nenkov, 2015), следва, че са изпълнени равенствата: \(\alpha_{1}=-\left(1-2 x_{0}\right) p_{a}, \beta_{1}=-\left(1-2 y_{0}\right) p_{b}\), \(\gamma_{1}=-\left(1-2 z_{0}\right) p_{c}\). От тези равенства, от (6) и от уравненията на правите \(B C, C A\) и \(A B\) намираме, че точките \(A_{2}=l_{2} \cap B C, B_{2}=l_{2} \cap C A\) и \(C_{2}=l_{2} \cap A B\) имат следните координати

(7) \[ \begin{aligned} & A_{2}\left(0,-\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) \gamma}{p_{a}}, \tfrac{\left(1-2 z_{0}\right) \beta}{p_{a}}\right) \\ & B_{2}\left(\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) \gamma}{p_{b}}, 0,-\tfrac{\left(1-2 z_{0}\right) \alpha}{p_{b}}\right) \\ & C_{2}\left(-\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) \alpha}{p_{c}}, \tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) \beta}{p_{c}}, 0\right) \end{aligned} \]

Нека \(r \neq 1\) е реално число, а точките \(A_{r}, B_{r}\) и \(C_{r}\) са такива, че са изпълнени равенствата \(\tfrac{\overline{A_{1} A_{r}}}{\overline{A_{2} A_{r}}}=r, \tfrac{\overline{B_{1} B_{r}}}{\overline{B_{2} B_{r}}}=r, \tfrac{\overline{C_{1} C_{r}}}{\overline{C_{2} C_{r}}}=r\). Тогава от (5) и (7) за координатите на точките \(A_{r}, B_{r}\) и \(C_{r}\) получаваме

(8) \[ \begin{aligned} & A_{r}\left(0, \tfrac{2 f-(1-r)\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha}{(1-r) \alpha p_{a}}, \tfrac{-2 f+(1-r)\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta}{(1-r) \alpha p_{a}}\right), \\ & B_{r}\left(\tfrac{-2 f+(1-r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma}{(1-r) \beta p_{b}}, 0, \tfrac{2 f-(1-r)\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta}{(1-r) \beta p_{b}}\right), \\ & C_{r}\left(\tfrac{2 f-(1-r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma}{(1-r) \gamma p_{c}}, \tfrac{-2 f+(1-r)\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha}{(1-r) \gamma p_{c}}, 0\right) . \end{aligned} \]

Сега да отбележим, че точките \(M(x, y, z), M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\) лежат на една права тогава и само тогава, когато е изпълнено равенството

(9) \(\left|\begin{array}{lll}x & y & z \\ x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{array}\right|=0\).

От (8) и (9) получаваме, че точките \(A_{r}, B_{r}\) и \(C_{r}\) лежат на една права \(d_{r}\) (фиг. 2), чието уравнение е следното

(10) \[ d_{r}:\begin{aligned} & {\left[2 f-(1-r)\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right]\left[2 f-(1-r)\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\right] x+} \\ + & {\left[2 f-(1-r)\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\right]\left[2 f-(1-r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right] y+} \\ + & {\left[2 f-(1-r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]\left[2 f-(1-r)\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right] z=0 . } \end{aligned} \]

По този начин получихме следното обобщение на теоремата на Дроз-Фарни.

Теорема 1. Спрегнатите спрямо описаното конично сечение \(\bar{k}(O)\) прави \(l_{1}\) и \(l_{2}\) минават през ортоида \(H\) на \(\triangle A B C\), определен от \(\bar{k}(O)\). Ако \(l_{i}\) \((i=1,2)\) пресича правите \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките \(A_{i}, B_{i}\) и \(C_{i}(i=1,2)\), то точките \(A_{r}, B_{r}\) и \(C_{r}\), , делящи съответно отсечките \(A_{1} A_{2}\), \(B_{1} B_{2}\) и \(C_{1} C_{2}\) в просто отношение \(r\), лежат на една права \(d_{r}\) (фиг. 2) .

Правата \(d_{r}\) ще наричаме обобщена права на Дроз-Фарни, съответстваща на спрегнатите спрямо \(\bar{k}(O)\) прави \(l_{1} u l_{2}\). В случая, при който \(r=-1\), приемаме, че \(A_{0} \equiv A_{-1}, B_{0} \equiv B_{-1}\) и \(C_{0} \equiv C_{-1}\). В този случай от теорема 1 се получава следното

Следствие 1. Средите \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) на отсечките \(A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}\) и \(C_{1} C_{2}\) лежат на една права \(d_{0}\) (фиг. 2) .

Правата \(d_{0}\) ще наричаме права на Дроз-Фарни, съответстваща на спрегнатите спрямо \(\bar{k}(O)\) прави \(l_{1} u l_{2}\). От \((10)\) , при \(r=-1\), се получава, че уравнението на правата на Дроз-Фарни спрямо \(\bar{k}(O)\) има следното уравнение

(11) \(d_{0}:\begin{aligned} &{\left[f-\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right]\left[f-\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\right] x+} \\ +&\left[f-\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\right]\left[f-\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right] y+ \\ +&\left[f-\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]\left[f-\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right] z=0 . \end{aligned}\)

4. Крива на Дроз-Фарни. Ако с помощта на GSP извършим някои целенасочени наблюдения, се забелязва, че когато правите \(l_{1}\) и \(l_{2}\) описват множеството на всички двойки спрегнати спрямо \(\bar{k}(O)\) прави, които минават през точката \(H\), правата на Дроз-Фарни \(d_{0}\) описва множеството от допирателните към едно вписано в \(\triangle A B C\) конично сечение. Затова си поставяме задачата да определим тази крива и някои нейни свойства.

Лесно се забелязва, че правата \(m_{c}\), спрегната на \(C H\), е успоредна на \(A B\). Оттук се вижда, че правата на Дроз-Фарни, съответстваща на тези спрегнати прави, минава през средата на \(C H\) (фиг. 2). Аналогични свойства притежават и правите \(m_{a}\) и \(m_{b}\), които са спрегнати съответно на \(A H\) и \(B H\) (фиг. 2). Сега с GSP лесно се построява крива, която се допира до правите \(B C, C A\), \(A B, m_{a}, m_{b}\) и \(m_{c}\) (фиг. 2). Наблюденията с GSP ни показват, че построената крива се допира до правата \(m_{c}\) в пресечната точка на \(m_{c}\) и \(O C\) (фиг. 2). Тъй като правите \(m_{c}\) и \(O C\) имат съответно уравнения \(z=1-z_{0}\) и \(y_{0} x-x_{0} y=0\), то за координатите на пресечната им точка \(\quad '\) получаваме \(T_{c}^{\prime}\left(\tfrac{z_{0} x_{0}}{1-z_{0}}, \tfrac{y_{0} z_{0}}{1-z_{0}}, 1-z_{0}\right)\). Аналогично се определят координатите на точките \(T_{a}^{\prime}=m_{a} \cap O A\) и \(T_{b}^{\prime}=m_{b} \cap O B\). Така, като обобщим получените резултати, имаме

(12) \[ T_{a}^{\prime}\left(1-x_{0}, \tfrac{x_{0} y_{0}}{1-x_{0}}, \tfrac{z_{0} x_{0}}{1-x_{0}}\right), T_{b}^{\prime}\left(\tfrac{x_{0} y_{0}}{1-y_{0}} \grave{u}-y_{0} \tfrac{y_{0} z_{0}}{1-z_{0}}\right), T_{c}^{\prime}\left(\tfrac{z_{0} x_{0}}{1-z_{0}}, \tfrac{y_{0} z_{0}}{1-z_{0}}, 1-z_{0}\right) . \]

Наблюденията с GSP показват още, че центърът на построената крива съвпада с центъра \(F\) на Ойлеровата крива \(\Omega\) (фиг. 2). Следователно, ако кривата се допира до \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките \(T_{a}, T_{b}\) и \(T_{c}\), , то тези точки са симетрични съответно на \(T_{a}^{\prime}, T_{b}^{\prime}\) и \(T_{c}^{\prime}\) спрямо \(F\) (фиг. 2). Така за координатите на точките \(T_{a}, T_{b}\) и \(T_{c}\) намираме

(13) \[ T_{a}\left(0, \tfrac{z_{0}}{1-x_{0}}, \tfrac{y_{0}}{1-x_{0}}\right), T_{b}\left(\tfrac{z_{0}}{1-y_{0}}, 0, \tfrac{x_{0}}{1-y_{0}}\right), T_{c}\left(\tfrac{y_{0}}{1-z_{0}}, \tfrac{x_{0}}{1-z_{0}}, 0\right). \]

Сега ще намерим уравнението на кривата от втора степен \(k_{D}\), която минава през точките \(T_{a}, T_{b}, T_{c}, T_{a}^{\prime}, T_{b}^{\prime}\) и \(T_{c}^{\prime}\). За целта извършваме смяна на координатния триъгълник \(A B C\) с \(T_{a} T_{b} T_{c}\). Ако координатите на точка \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) са \((x, y, z)\), а спрямо \(\Delta T_{a} T_{b} T_{c}\) са \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\), то са изпълнени равенствата

(14) \[ x=\tfrac{z_{0}}{1-y_{0}} y^{\prime}+\tfrac{y_{0}}{1-z_{0}} z^{\prime}, y=\tfrac{z_{0}}{1-x_{0}} x^{\prime}+\tfrac{x_{0}}{1-z_{0}} z^{\prime}, z=\tfrac{y_{0}}{1-x_{0}} x^{\prime}+\tfrac{x_{0}}{1-y_{0}} y^{\prime} \quad \text{[9].}\]

От (14) следват и равенствата

(15) \[ x^{\prime}=\tfrac{1-x_{0}}{2 y_{0} z_{0}}\left(-x_{0} x+y_{0} y+z_{0} z\right), y^{\prime}=\tfrac{1-y_{0}}{2 z_{0} x_{0}}\left(x_{0} x-y_{0} y+z_{0} z\right), z^{\prime}=\tfrac{1-z_{0}}{2 x_{0} y_{0}}\left(x_{0} x+y_{0} y-z_{0} z\right) \]

Тъй като спрямо \(\triangle A B C\) точката \(F\) има координати \(x_{F}=\tfrac{1-x_{0}}{2}\), \(y_{F}=\tfrac{1-y_{0}}{2}, z_{F}=\tfrac{1-z_{0}}{2}\), то за координатите (\(x_{F}^{\prime}, y_{F}^{\prime}, z_{F}^{\prime}\) ) на \(F\) спрямо \(\Delta T_{a} T_{b} T_{c}\) от (15) се получават равенствата \(x_{F}^{\prime}=\tfrac{1-x_{0}}{2}, y_{F}^{\prime}=\tfrac{1-y_{0}}{2} z_{F}^{\prime}=\tfrac{1-z_{0}}{2}\). Сега от \((1)\) следва, че уравнението на \(k_{D}\) е от вида \(\left(1-2 x_{F}^{\prime}\right) x_{F}^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}+\left(1-2 y_{F}^{\prime}\right) y_{F}^{\prime} z^{\prime} x^{\prime}+\left(1-2 z_{F}^{\prime}\right) z_{F}^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}=0\). След заместване в последното равенство на координатите на \(F\) и равенствата (15) получаваме уравнението

Сега остава да докажем, че намерената крива притежава свойството да се допира до всяка права \(d_{0}\) с уравнение (11) . След заместване на \(z\) от равенството \(z=1-x-y\) в \((11)\) получаваме \(y=\tfrac{\left[f-\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right]\left[f-\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma+p_{b} \beta x\right]}{p_{a} \alpha\left[f-\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]}\). Този израз за \(y\) заместваме в уравнението \((16)\) на кривата \(k_{D}\) и след известни преобразувания установяваме, че полученото квадратно уравнение притежава двоен корен \(x=\tfrac{\left[f-\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]^{2} x_{0}}{\tau}\), където \(\tau=-f^{2}+\left(1-2 x_{0}\right)^{2} x_{0} \beta^{2} \gamma^{2}+\left(1-2 y_{0}\right)^{2} y_{0} \gamma^{2} \alpha^{2}+\left(1-2 z_{0}\right)^{2} z_{0} \alpha^{2} \beta^{2}\). Сега се връщаме към предишните две равенства и получаваме останалите две координати на допирната точка \(T\left(x_{T}, y_{T}, z_{T}\right)\) на правата \(d_{0}\) с \(k_{D}\). След обобщаване на получените резултати имаме:

(17) \[ x_{T}=\tfrac{\left[f-\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]^{2} x_{0}}{\tau}, y_{T}=\tfrac{\left[f-\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right]^{2} y_{0}}{\tau}, z_{T}=\tfrac{\left[f-\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\right]^{2} z_{0}}{\tau} \]

където

\[ \tau=\left(1-2 x_{0}\right)^{2} x_{0} \beta^{2} \gamma^{2}+\left(1-2 y_{0}\right)^{2} y_{0} \gamma^{2} \alpha^{2}+\left(1-2 z_{0}\right)^{2} z_{0} \alpha^{2} \beta^{2}-f^{2} \]

Следователно всяка права \(d_{0}\) на Дроз-Фарни наистина се допира до кривата \(k_{D}\). Така доказахме следната

Теорема 2. Когато правите \(l_{1}\) и \(l_{2}\) описват множеството на всички двойки спрегнати спрямо \(\bar{k}(O)^{1}\) прави, които минават през точката \(H\), съответната права на Дроз-Фарни \(d_{0}\) описва множеството от допирателните към едно вписано в \(\triangle A B C\) конично сечение \(k_{D}\).

Кривата \(k_{D}\) ще наричаме крива на Дроз-Фарни спрямо описаната крива \(\bar{k}(O)\). Тази крива притежава някои интересни свойства. Първо ще отбележим, че видът на \(k_{D}\) може да се определи, като се реши системата от уравнението на безкрайната права \(x+y+z=0\) и уравнението \((16)\) на \(k_{D}\). След елиминиране на \(z\) от тези уравнения получаваме \(\left(1-y_{0}\right)^{2} x^{2}+2\left(z_{0}-x_{0} y_{0}\right) x y+\left(1-x_{0}\right)^{2} y^{2}=0\). Дискриминантата на тази квадратична форма е \(D=-4 x_{0} y_{0} z_{0}\). Оттук следва, че видът на кривата на Дроз-Фарни \(k_{D}\) зависи само от положението на центъра \(O\). По-специално, кривата \(k_{D}\) никога не е парабола. Зависимостта на вида на кривата на ДрозФарни \(k_{D}\) от положението на центъра \(O\) на описаната крива \(\bar{k}(O)\) в равнината на \(\triangle A B C\) е показана на фиг. 3. Различни видове криви \(k_{D}\) са показани на фиг. \(2,4,5,6\). На тези фигури се забелязва, че съществуват всички възможни комбинации от видове на двойките криви \(\bar{k}(O)\) и \(k_{D}\).

Наблюденията с GSP показват още, че е изпълнена следната

Теорема 3. Кривата на Дроз-Фарни \(k_{D}\) и Ойлеровата крива \(\Omega\) се допират в точки, лежащи на Ойлеровата права, асочиирана с \(\bar{k}(O)\) (фиг. 2, 4, 5, 6) .

Доказателството на това твърдение се получава лесно чрез следните пресмятания. Уравнението на Ойлеровата права е \(\left(y_{0}-z_{0}\right) x+\left(z_{0}-x_{0}\right) y+\left(x_{0}-y_{0}\right) z=0\). От това уравнение и равенството \(z=1-x-y\) получаваме \(y=\tfrac{\left(1-3 y_{0}\right) x-x_{0}+y_{0}}{1-3 x_{0}}\). След заместване на това равенство в уравненията (2) и (16) на кривите \(k_{D}\) и \(\Omega\) получаваме квадратното уравнение \(4 \Delta . x^{2}-4\left(1-x_{0}\right) \Delta . x-\left(1-2 x_{0}\right)^{2}\left(y_{0}-z_{0}\right)^{2}=0\), където \(\Delta=\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right)-x_{0} y_{0} z_{0}\). Това означава, че кривите \(k_{D}\) и \(\Omega\) пресичат Ойлеровата права в една и съща двойка точки. Освен това от \(z=1-x-y\) и уравненията (2) и (16) получаваме, че общите точки на кривите \(k_{D}\) и \(\Omega\) удовлетворяват същото уравнение. Следователно концентричните криви \(k_{D}\) и \(\Omega\) имат само две общи точки, лежащи върху техен общ диаметър - Ойлеровата права. Затова те се допират в тези точки.

По отношение на обобщените прави на Дроз-Фарни експериментите с GSP показват, че теорема 2 не е вярна.

5. Парабола на Дроз-Фарни. От проективни съображения следва, че петте прави \(a=B C, b=C A, c=A B, l_{1}\) и \(l_{2}\) са допирателни за еднозначно определено конично сечение \(\pi_{D}\) [12]. Затова е интересно на намерим уравнението на кривата \(\pi_{D}\), допираща се до тези прави. За намирането на уравнението на кривата \(\pi_{D}\) е необходимо да знаем допирните ѝ точки с правите \(a\), \(b, c, l_{1}\) и \(l_{2}\). Тези точки ще определим с помощта на теоремата на Брианшон (Mateev, 1977). За да определим допирната точка \(P_{a}\) на \(\pi_{D}\) с правата \(a\), прилагаме теоремата на Брианшон за правите \(a a b c l_{1} l_{2}\). Тук правите \(C H\) и \(A A_{2}\) се пресичат в точка \(K_{1}\), която лежи на правата през \(C_{1}\) и \(P_{a}\). От уравненията на \(C H\) и \(A A_{2}\) лесно се намират координатите на пресечната им точка \(K_{1}\left(-\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) \gamma}{\beta+2 \alpha z_{0}},-\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) \gamma}{\beta+2 \alpha z_{0}}, \tfrac{\left(1-2 z_{0}\right) \beta}{\beta+2 \alpha z_{0}}\right)\). Сега от уравненията на правите \(C_{1} K_{1}\) и \(a\) получаваме \(P_{a}\left(0,-\tfrac{p_{c} \gamma}{p_{a} \alpha},-\tfrac{p_{b} \beta}{p_{a} \alpha}\right)\). По аналогичен начин след прилагане на теоремата на Брианшон за последователностите от шесторки прави \(b b a c l_{1} l_{2}\) и \(c c b a l_{1} l_{2}\) се получават координатите на допирните точки \(P_{b}\) и \(P_{c}\) на \(\pi_{D}\) съответно с \(b\) и \(c\). Така, като обобщим резултатите, имаме

(18) \(P_{a}\left(0,-\tfrac{p_{c} \gamma}{p_{a} \alpha},-\tfrac{p_{b} \beta}{p_{a} \alpha}\right), P_{b}\left(-\tfrac{p_{c} \gamma}{p_{b} \beta}, 0,-\tfrac{p_{a} \alpha}{p_{b} \beta}\right), P_{c}\left(-\tfrac{p_{b} \gamma}{p_{c} \gamma},-\tfrac{p_{a} \alpha}{p_{c} \gamma}, 0\right)\).

Допирната точка \(P_{1}\) на правата \(l_{1}\) с \(\pi_{D}\) определяме от теоремата на Брианшон за последователността от прави \(l_{1} l_{1} a b c l_{2}\). Тук правите \(C H\) и \(A_{1} C_{2}\) се пресичат в точка \(L_{1}\), която лежи на правата през \(A\) и \(P_{1}\). От уравненията на \(C H\) и \(A_{1} C_{2}\) намираме координатите на пресечната им точка \(\quad x_{L_{1}}=\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right) p_{c} \beta}{\left(1-2 x_{0}\right)^{2} \beta \gamma-2\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+4 z_{0}^{2} \alpha \beta}\), \(y_{L_{1}}=\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right) p_{c} \beta}{\left(1-2 x_{0}\right)^{2} \beta \gamma-2\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+4 z_{0}^{2} \alpha \beta}, z_{L_{1}}=\tfrac{-\left(1-2 y_{0}\right)\left[\left(1-2 x_{0}\right) \beta+2 y_{0} \alpha\right] \gamma}{\left(1-2 x_{0}\right)^{2} \beta \gamma-2\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} \gamma \alpha+4 z_{0}^{2} \alpha \beta}\).

Сега от уравненията на правите \(A L_{1}\) и \(l_{1}\) получаваме

(19) \(P_{1}\left(-\tfrac{p_{b} p_{c}}{\beta \gamma},-\tfrac{p_{c} p_{a}}{\gamma \alpha},-\tfrac{p_{a} p_{b}}{\alpha \beta}\right)\).

Допирната точка \(P_{2}\) на правата \(l_{2}\) с \(\pi_{D}\) определяме от теоремата на Брианшон за последователността от прави \(l_{2} l_{2} a b c l_{1}\). Тук правите \(C H\) и \(A_{2} C_{1}\) се пресичат в точка \(L_{2}\), която лежи на правата през \(A\) и \(P_{2}\). От уравненията на \(C H\) и \(A_{2} C_{1}\) намираме координатите на пресечната им точка

\[ \begin{aligned} & x_{L_{2}}=\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) p_{b} \gamma}{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 z_{0}-4 z_{0} x_{0}\right) \beta \gamma-4\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z_{0} \gamma \alpha+4\left(1-2 z_{0}\right)^{2} z_{0} \alpha \beta} \\ & y_{L_{2}}=\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right)^{2} p_{b} \gamma}{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 z_{0}-4 z_{0} x_{0}\right) \beta \gamma-4\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z_{0} \gamma \alpha+4\left(1-2 z_{0}\right)^{2} z_{0} \alpha \beta} \\ & z_{L_{2}}=\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-4 y_{0} z_{0}-4 z_{0} x_{0}\right) \beta \gamma+4\left(1-2 z_{0}\right)^{2} z_{0} \alpha \beta}{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 z_{0}-4 z_{0} x_{0}\right) \beta \gamma-4\left(1-2 y_{0}\right) y_{0} z_{0} \gamma \alpha+4\left(1-2 z_{0}\right)^{2} z_{0} \alpha \beta} \end{aligned} \]

Сега от уравненията на правите \(A L_{2}\) и \(l_{2}\) получаваме

(20) \(P_{2}\left(-\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right)^{2} \beta \gamma}{p_{b} p_{c}},-\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right)^{2} \gamma \alpha}{p_{c} p_{a}},-\tfrac{\left(1-2 z_{0}\right)^{2} \alpha \beta}{p_{a} p_{b}}\right)\).

По-нататък ще намерим уравнението на кривата от втора степен \(\pi_{D}\), която минава през точките \(P_{a}, P_{b}, P_{c}, P_{1}\) и \(P_{2}\). За целта извършваме смяна на координатния триъгълник \(A B C\) с \(P_{a} P_{b} P_{c}\). Ако координатите на точка \(P\) спрямо \(\triangle A B C\) са \((x, y, z)\), а спрямо \(\Delta \stackrel{a}{P}_{a} \stackrel{P}{P}_{b} \stackrel{c}{P}_{c}\) са \(\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}\right)\), то са изпълнени равенствата

(21) \[ x=-\tfrac{p_{c} \gamma}{p_{b} \beta} y^{\prime \prime}-\tfrac{p_{b} \beta}{p_{c} \gamma} z^{\prime \prime}, \quad y=-\tfrac{p_{c} \gamma}{p_{a} \alpha} x^{\prime \prime}-\tfrac{p_{a} \alpha}{p_{c} \gamma} z^{\prime \prime}, \quad z=-\tfrac{p_{b} \beta}{p_{a} \alpha} x^{\prime \prime}-\tfrac{p_{a} \alpha}{p_{b} \beta} y^{\prime \prime} \]

(Grozdev & Nenkov, 2014) .

От (21) следват и равенствата

(22) \[ \small{\begin{aligned} x^{\prime \prime} & =\cfrac{p_{a} \alpha}{2 p_{b} p_{c} \beta \gamma}\left(-p_{a} \alpha x+p_{b} \beta y+p_{c} \gamma z\right), \\ y^{\prime \prime} & =\cfrac{p_{b} \beta}{2 p_{c} p_{a} \gamma \alpha}\left(p_{a} \alpha x-p_{b} \beta y+p_{c} \gamma z\right), \\ z^{\prime \prime} & =\cfrac{p_{c} \gamma}{2 p_{a} p_{b} \alpha \beta}\left(p_{a} \alpha x+p_{b} \beta y-p_{c} \gamma z\right), \end{aligned} }\]

От (19), (20) и (22) намираме, че координатите на \(P_{1}\) и \(P_{2}\) спрямо \(\Delta P_{a} P_{b} P_{c}\) са следните

(23) \[ \begin{aligned} & P_{1}\left(-\tfrac{p_{a}^{2}}{\beta \gamma},-\tfrac{p_{b}^{2}}{\gamma \alpha},-\tfrac{p_{c}^{2}}{\alpha \beta}\right) \\ & P_{2}\left(-\tfrac{\left(1-2 y_{0}\right)\left(1-2 z_{0}\right) \alpha^{2}}{p_{b} p_{c}},-\tfrac{\left(1-2 z_{0}\right)\left(1-2 x_{0}\right) \beta^{2}}{p_{c} p_{a}},-\tfrac{\left(1-2 x_{0}\right)\left(1-2 y_{0}\right) \gamma^{2}}{p_{a} p_{b}}\right) \end{aligned} \]

Уравнението на \(\pi_{D}\) спрямо \(\Delta P_{a} P_{b} P_{c}\) има вида \(a_{11} y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}+a_{22} z^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+a_{33} x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}=0\). След заместване на координатите (23) в това равенство намираме, че \(a_{11}=p_{a}^{3} \alpha^{2}, a_{22}=p_{b}^{3} \beta^{2}\) и \(a_{33}=p_{c}^{3} \gamma^{2}\). Сега, като заместим тези равенства и равенствата (22) в уравнението на кривата, окончателно получаваме

(24) \(\pi_{D}: p_{a}^{2} \alpha^{2} y z+p_{b}^{2} \beta^{2} z x+p_{c}^{2} \gamma^{2} x y-\left(p_{a}^{2} \alpha^{2} x+p_{b}^{2} \beta^{2} y+p_{c}^{2} \gamma^{2} z\right)(x+y+z)=0\).

След заместване на \(z=-x-y\) в (24) получаваме равенството \(\left(p_{b} \beta x-p_{a} \alpha y\right)^{2}=0\). Това равенство означава, че кривата \(\pi_{D}\) е парабола. От последното равенство лесно се вижда още, че параболата \(\pi_{D}\) има ос, направлението на която се определя от вектора \(\overrightarrow{p}\left(p_{a} \alpha, p_{b} \beta, p_{c} \gamma\right)\).

Сега ще докажем, че намерената парабола притежава забележителното свойство да се допира до всяка права \(d_{r}\) с уравнение (10). След заместване на \(z\) от равенството \(z=1-x-y\) в (10) получаваме

\[ y=\tfrac{\left[2 f-(1-r)\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right]\left[2 f-(1-r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma+(1-r) p_{b} \beta x\right]}{(1-r) p_{a} \alpha\left[2 f-(1-r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]} . \]

Този израз за \(y\) заместваме в уравнението (24) на параболата \(\pi_{D}\) и след известни преобразувания установяваме, че полученото квадратно уравнение притежава двоен корен \(x=-\tfrac{\left[2 f-(1-r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]^{2}}{(1-r)^{2} p_{b} p_{c} \beta \gamma}\). Сега се връщаме към предишните две равенства и получаваме останалите две координати на допирната точка \(U_{r}\left(x_{U_{r}}, y_{U_{r}}, z_{U_{r}}\right)\) на правата \(d_{r}\) с . След обобщаване на получените резултати имаме:

(25) \[ \small{\begin{aligned} & x_{U_{r}}=-\cfrac{\left[2 f-(1-r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]^{2}}{(1-r)^{2} p_{b} p_{c} \beta \gamma}, \\ & y_{U_{r}}=-\cfrac{\left[2 f-(1-r)\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right]^{2}}{(1-r)^{2} p_{c} p_{a} \gamma \alpha}, \\ & z_{U_{r}}=-\cfrac{\left[2 f-(1-r)\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\right]^{2}}{(1-r)^{2} p_{a} p_{b} \alpha \beta}. \end{aligned}} \]

Следователно правата \(d_{r}\) се допира до параболата \(\pi_{D}\) в точка \(U_{r}\), чиито координати се изразяват с равенствата (25). Оттук следва, че ако \(r\) пробягва множеството на реалните числа, обобщените прави \(d_{r}\) на Дроз-Фарни описват множеството на всички допирателни на вписаната в \(\triangle A B C\) парабола \(\pi_{D}\). Така доказахме следната

Теорема 4. Ако \(l_{1}\) и \(l_{2}\) са две фиксирани спрегнати спрямо \(\bar{k}(O)\) прави, които минават през ортоида \(H\), то множеството на всички прави на ДрозФарни, определени от \(l_{1}\) и \(l_{2}\), образуват обвивка на парабола \(\pi_{D}\), вписана в \(\triangle A B C\).

От равенствата (25) се вижда, че правата на Дроз-Фарни \(d_{0}\) се допира до параболата \(\pi_{D}\) в точката \(U\left(x_{U_{0}}, y_{U_{0}}, z_{U_{0}}\right)\), чиито координати се изразяват с равенствата:

(26) \(x_{U_{0}}=-\tfrac{\left[f-\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]^{2}}{p_{b} p_{c} \beta \gamma}, y_{U_{0}}=-\tfrac{\left[f-\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right]^{2}}{p_{c} p_{a} \gamma \alpha}, z_{U_{0}}=-\tfrac{\left[f-\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\right]^{2}}{p_{a} p_{b} \alpha \beta}\).

Още едно любопитно свойство на допирателните към параболата \(\pi_{D}\) е свърано с хармонично спрегнатите точки \(A_{r}^{\prime}, B_{r}^{\prime}, C_{r}^{\prime}\) съответно на \(A_{r}, B_{r}\), \(C_{r}\) спрямо съответните двойки точки \(A_{1}, A_{2} ; B_{1}, B_{2} ; C_{1}, C_{2}\). От (25) следва, че координатите на допирателната \(d_{r}^{\prime}\) към \(\pi_{D}\), минаваща през точките \(A_{r}^{\prime}, B_{r}^{\prime}\) и \(C_{r}^{\prime}\), получаващи се при заместването на \(r\) с \(-r\), се определят с равенствата

(27) \[ \small{\begin{aligned} & x_{U_{r}^{\prime}}=-\cfrac{\left[2 f-(1+r)\left(1-2 x_{0}\right) \beta \gamma\right]^{2}}{(1+r)^{2} p_{b} p_{c} \beta \gamma} \\ & y_{U_{r}^{\prime}}=-\cfrac{\left[2 f-(1+r)\left(1-2 y_{0}\right) \gamma \alpha\right]^{2}}{(1+r)^{2} p_{c} p_{a} \gamma \alpha} \\ & z_{U_{r}^{\prime}}=-\cfrac{\left[2 f-(1+r)\left(1-2 z_{0}\right) \alpha \beta\right]^{2}}{(1+r)^{2} p_{a} p_{b} \alpha \beta} \end{aligned}} \]

Заместваме координатите на точките \(U_{r}\) и \(U_{r}^{\prime}\) от (25) и (27) и координатите \(x_{H}=1-2 x_{0}, y_{H}=1-2 y_{0}, z_{H}=1-2 z_{0}\) на \(H\) в лявата страна на (9). След извършване на известни преобразувания се получава, че (9) е вярно равенство. Така получаваме следното

Следствие 2. Точките \(U_{r}\) и \(U_{r}^{\prime}\) лежат на една права с ортоида \(H\).

В случая, когато разглеждаме правата на Дроз-Фарни \(d_{0}\), правата \(d_{0}^{\prime}\) е безкрайната права. Тя, от своя страна, се допира до параболата \(\pi_{D}\) в нейната безкрайна точка. Следователно правата \(H U_{0}\) е колинеарна с оста на параболата. Това се доказва и като се забележи, че \(H U_{0}\) е колинеарен с вектора \(p\left(p_{a} \alpha, p_{b} \beta, p_{c} \gamma\right)\), който определя направлението на оста на параболата \(\pi_{D}\).

Заключение. Полученото обобщение на теоремата на Дроз-Фарни беше съпроводено с описанието на две специални вписани за \(\triangle A B C\) криви, които са определени от описаното конично сечение \(\bar{k}(O)\). Всъщност правите на Дроз-Фарни и обобщените прави на Дроз-Фарни определят две криви от втори клас при дадено описано за триъгълника конично сечение.

NOTES / БЕЛЕЖКИ

1. Pamfilos, P. Droz-Farny, an inverse view, http://www.researchgate.net/ publication/273695589_Droz-Farny_an_inverse_view.

2. Ayme, J-L. A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem, http:// forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200426.pdf.

3. Pohoata, C., Son Hong Ta. A Short Proof of Lamoen’s Generalization of the Droz-Farny Line Theorem, http://geometry.ru/articles/short-Droz-Farny.pdf.

4. Ehrmann, J-P, Floor van Lamoen, A Projective Generalization of the Droz-Farny Line Theorem, http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200427.pdf.

5. Thas, C. A Note on the Droz-Farny Theorem, http://www.researchgate.net/ publication/238502384_A_Note_on_the_Droz-Farny_Theorem.

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Sharygin, I. (1986). Zadachi po geometrii. Planimetriya. Moskva: Nauka, zad. 206, 157 – 158. [Шарыгин, И. (1986). Задачи по геометрии. Планиметрия. Москва: Наука, зад. 206, 157 – 158.]

Karlov, E.(2015). Belezhki po teoremata na Droz-Farni, Matematika, 1, 27 – 28. [Карлов, Е.(2015). Бележки по теоремата на Дроз-Фарни, Математика, 1, 27 – 28.]

Nenkov, V. (1996). Nay-estestvenite koordinatni osi za teoremata na Droz – Farni, Matematika i informatika, 2, 78 – 79. [Ненков, В. (1996). Най-естествените координатни оси за теоремата на Дроз-Фарни, Математика и информатика, 2, 78 – 79.]

Paskalev, G. & I. Chobanov (1985). Zabelezhitelni tochki v triagalnika. Sofia: Narodna prosveta. [Паскалев, Г. & И. Чобанов (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2014). Obobshteniya nekotorayh klassicheskih teorem geometrii treugolynika. Teoreticheskie \(i\) prikladnaye aspektay matematiki, informatiki i obrazovaniya. Sbornik materialov mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii. Arhangelsk: SAFU, 35 – 54. [Гроздев, С. & В. Ненков (2014). Обобщения некоторых классических теорем геометрии треугольника. Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования. Сборник материалов международной научной конференции. Архангельск: САФУ, 35 – 54.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2015). Geometrichna konstruktsiya na kriva na Cheva, Matematika i informatika, 1, 52 – 57. [Гроздев, С. & В. Ненков (2015). Геометрична конструкция на крива на Чева, Математика \(u\) информатика, 1, 52-57.]

Mateev, A. (1977). Proektivna geometriya. Sofia: Nauka i izkustvo. [Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство.]