Научно-методически статии
ФОРМУЛИ ЗА ЛИЦАТА НА НЯКОИ ВИДОВЕ МНОГОЪГЪЛНИЦИ И ПРИЛОЖЕНИЕТО ИМ ЗА ДОКАЗВАНЕ НА ЗАВИСИМОСТИ В ТЯХ
https://doi.org/10.53656/math2023-1-3-for
Резюме. В тази публикация една новооткрита формула за лице на четириъгълник се прилага за извеждането на формули за лицата на някои видове многоъгълници с произволен брой страни. С помощта на тези формули се доказват някои зависимости в такива многоъгълници при конкретен брой техни страни.
Ключови думи: четириъгълник; многоъгълник; лице; формула; зависимости
1. Въведение
Неотдавна бяха открити две нови формули за лице на четириъгълник и формули за лицата на определен вид многоъгълници, наречени диагонално равноъгълни от първи тип (Haimov 2021, Haimov 2022). Формулите за лице на четириъгълник бяха използвани за доказването на ред интересни неравенства в него, както и за извеждането на една важна зависимост между дължините на страните и диагоналите му (Haimov 2021). Освен това в четириъгълник и многоъгълник с по-голям брой страни бяха заимствани и пренесени от триъгълника косинусовата и т.нар. котангенсова теорема.
С помощта на получената котангенсова теорема за многоъгълник бяха изведени формулите за лицата на споменатите по-горе диагонално равноъгълни многоъгълници от първи тип (Haimov 2022). В тази публикация ще приложим една от новооткритите формули за лице на четириъгълник за извеждането на формули за лицата на друг вид многоъгълници, наречени диагонално равноъгълни многоъгълници от втори тип. С помощта на така получените формули ще изведем някои зависимости в равноъгълни многоъгълници с конкретен брой страни. Предварително ще приведем новите формули за лице на четириъгълник и формулите за лицата на диагонално равноъгълните многоъгълници от първи тип, изведени в (Haimov 2022), които ще използваме тук.
2. Формули за лице на четириъгълник и равноъгълни многоъгълници от първи тип
Въпросните формули за лице на четириъгълник са следните:
(1) \(S=\cfrac{1}{4}\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \quad \varphi \neq 90^{\circ} ,\)
(2) \(S=\cfrac{1}{4} \sqrt{4 m^{2} n^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}.\)
Тук \(a, b, c\) и \(d\) са дължините на последователните страни на четириъгълника, \(\varphi\) е ъгълът между диагоналите, който лежи срещу страните с дължини \(a\) и \(c\), а \(m\) и \(n\) са дължините на диагоналите.
Сега ще приведем определението за диагонално равноъгълни многоъгълници от първи тип, дадено в (Haimov 2022). За многоъгълници с четен и нечетен брой страни, то е различно.
Фигура 1
Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{2 n}\) е произволен \(2 n\)-ъгълник (фиг. 1). На страната му \(A_{1} A_{2}\) да съпоставим редицата от \(n-1\) четириъгълника: \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{2 n}\), \(A_{3} A_{4} A_{2 n-1} A_{2 n}, \ldots, A_{n} A_{n+1} A_{n+2} A_{n+3}\), която се получава, като се построят диагоналите \(A_{3} A_{2 n}, A_{4} A_{2 n-1}, \ldots, A_{n} A_{n+3}\) на многоъгълника, краищата на всеки от които се намират през равен брой върхове спрямо краищата на страната \(A_{1} A_{2}\). Ще бележим тази редица с \(\delta_{1}^{1}, \delta_{2}^{1}, . ., \delta_{n-1}^{1}\) и ще я наричаме редица от четириъгълници, съответна на страната \(A_{1} A_{2}\).
Определение 1. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{2 n}\) е произволен \(2 n\)-ъгълник (фиг. 1). Разглеждаме редицата от четириъгълници, съответна на страната му \(A_{1} A_{2}: A_{2} A_{3} A_{2 n} A_{1}, A_{3} A_{4} A_{2 n-1} A_{2 n}, \ldots, A_{n} A_{n+1} A_{n+2} A_{n+3}\). Означаваме пресечните точки на диагоналите на четириъгълниците от тази редица съответно c: \(T_{1}, T_{2}, . ., T_{n-1}\). Нека ъглите между диагоналите на всички четириъгълници от редицата имат една и съща мярка \(\varphi\), като в първия четириъгълник \(A_{2} A_{3} A_{2 n} A_{1}\) това е ъгълът \(\angle A_{2} T_{1} A_{3}\) срещу страна на многоъгълника, във втория – ъгълът \(\angle A_{3} T_{2} A_{2 n}\) срещу диагонал на многоъгълника, в третия – ъгъл \(\angle A_{4} T_{3} A_{5}\), отново срещу страна на многоъгълника, в четвъртия – ъгъл, отново срещу диагонал на многоъгълника, и т.н. Ще казваме, че този \(2 n\)-ъгълник е диагонално равноъгълен от първи тип по отношение на страната си \(A_{1} A_{2}\) с константен ъгъл \(\varphi\).
Да разгледаме сега произволен многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{2 n-1}\) с нечетен брой страни (фиг. 2). Нека \(A_{2} A_{3} \ldots A_{n} A_{n+1} \ldots A_{2 n-2} A_{2 n-1}\) е \(2 n\)-ъгълникът от върховете му без върха \(A_{1}\). Редицата \(\delta_{1}^{1}, \delta_{2}^{1}, . ., \delta_{n-2}^{1}\) от четириъгълници, съответна на страната му \(A_{\mathrm{u}} A_{n-}\), ще наричаме редица, съответна на върха \(A_{1}\) на многоъгълника \(A_{1} A_{2} \ldots A_{2 n-1}\).
Фигура 2
Определение 2. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} A_{n} A_{n+1} A_{2 n-1}\) е произволен \(2 n-1\)-ъгълник (фиг. 2). Разглеждаме редицата от четириъгълници, съответна на върха му \(A_{1}: A_{2} A_{3} A_{2 n-2} A_{2 n-1}, A_{3} A_{4} A_{2 n-3} A_{2 n-2}, \ldots, A_{n-1} A_{n} A_{n+1} A_{n+2}\). Означаваме пресечните точки на диагоналите на тези четириъгълници съответно c: \(T_{1}, T_{2}, . ., T_{n-2}\). Нека ъглите между диагоналите на всички четириъгълници от редицата \(\delta_{1}^{1}, \delta_{2}^{1}, . ., \delta_{n-2}^{1}\) имат една и съща мярка \(\varphi\), като в първия четириъгълник \(A_{2} A_{3} A_{2 n-2} A_{2 n-1}\) това е ъгълът \(\angle A_{2} T_{1} A_{3}\) срещу страна на многоъгълника, във втория – \(A_{3} A_{4} A_{2 n-3} A_{2 n-2}\)– ъгълът \(\angle A_{3} T_{2} A_{2 n-2}\) срещу диагонал на многоъгълника, в третия четириъгълник \(A_{4} A_{5} A_{2 n-4} A_{2 n-3}\) – ъгълът \(\angle A_{4} T_{3} A_{5}\), отново срещу страна на многоъгълника, в четвъртия – ъгъл, отново срещу диагонал на многоъгълника и т.н. Нека освен това и \(\angle A_{2} A_{1} A_{2 n-1}\) има мярка \(\varphi\). Ще казваме тогава, че \(2 n-1\)-ъгълникът \(A_{1} A_{2} \ldots A_{2 n-1}\) е диагонално равноъгълен от първи тип по отношение на върха си \(A_{1}\), с константен ъгъл \(\varphi\).
В (Haimov 2022) изведохме следните формули за лицата на диагонално равноъгълните многоъгълници от първи тип, съответно с четен и нечетен брой страни.
Теорема 1. Лицето \(S\) на диагонално равноъгълния от първи тип, по отношение на страната си \(A_{1} A_{2}\) многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{2 n}\) с константен ъгъл \(\varphi, \varphi \neq 90^{\circ}\), ϕ ≠ 90 , се изразява чрез дължините \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}\) на страните му \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \ldots, A_{2 n} A_{1}\) и тангенса на ъгъл \(\varphi\), , по формулата (фиг. 1):
(3) \[ S=\tfrac{1}{4} \sum_{k=1}^{n}\left(a_{2 k-1}^{2}-a_{2 k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi . \]
Теорема 2. Лицето \(S\) на диагонално равноъгълния от първи тип, по отношение на върха си \(A_{1}\) многоъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{2 n-1}\) с константен ъгъл \(\varphi\), \(\varphi \neq 90^{\circ}\), се изразява чрез дължините \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n-1}\), съответно на страните му \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \ldots, A_{2 n-1} A_{1}\) и тангенса на ъгъл \(\varphi\) по формулата (фиг. 2):
(4) \(S=\cfrac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{2 k-1}^{2}-\sum_{k=1}^{n-1} a_{2 k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi .\)
В изложението по-нататък ще използваме и следната формула за лице на триъгълник, следваща непосредствено от котангенсовата теорема (Haimov 2022):
(5) \(S=\cfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right) \operatorname{tg} \gamma, \quad \gamma \neq 90^{\circ},\) ,
при стандартните означения в триъгълника.
3. Формули за лицата на диагонално равноъгълни многоъгълници от втори тип
Определение 3. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} A_{n} A_{n+1} A_{2 n-1}\) е изпъкнал \(2 n-1\)-ъгълник и редицата от четириъгълници, съответна на върха му \(A_{1}\) е: \(A_{2} A_{3} A_{2 n-2} A_{2 n-1}\), \(A_{3} A_{4} A_{2 n-3} A_{2 n-2}, \ldots, A_{n-1} A_{n} A_{n+1} A_{n+2}\) (фиг. 3). Нека още във всеки четириъгълник от тази редица, например \(A_{2} A_{3} A_{2 n-2} A_{2 n-1}\), ъгълът между диагоналите, който лежи срещу страна на четириъгълника, явяваща се диагонал на многоъгълника – в случая ъгъл \(A_{2} T_{1} A_{2}\), има мярка \(\varphi\). Нека освен това и ъгъл \(A_{2} A_{1} A_{2 n-1}\) има мярка \(\varphi\). Ще казваме тогава, че многоъгълникът е диагонално равноъгълен от втори тип по отношение на върха си \(A_{1}\), с константен ъгъл \(\varphi\).
Теорема 3. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} A_{n} A_{n+1} A_{2 n-1}\) е диагонално равноъгълен от втори тип по отношение на върха си \(A_{1}\) многоъгълник, с константен ъгъл \(\varphi\), \(\varphi \neq 90^{\circ}\) (фиг. 3). Нека още дължините на страните му \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \ldots, A_{2 n-1} A_{1}\) са съответно \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n-l}\), , а дължините на диагоналите му \(A_{2} A_{2 n-1}, A_{3} A_{2 n-2}\), \(A_{\mathrm{u}} A_{n-}, \ldots, A_{n-1} A_{n+2}\) са респективно: \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n-2}\). Тогава лицето \(S\) на многоъгълника се определя по формулата:
(6) \(S=\cfrac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}^{2}-a_{n}^{2}+\sum_{k=n+1}^{2 n-1} a_{k}^{2}-2 \sum_{k=1}^{n-2} p_{k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi .\)
Фигура 3
Доказателство. Означаваме лицето на \(\triangle A_{1} A_{2} A_{2 n-1}\) с \(S_{0}\), а лицата на последователните четириъгълници от редицата, съответна на върха \(A_{1}-\) с \(S_{1}, S_{2}, S_{\mathrm{n}-2}\). По цитираните в началото формули (5) и (1) за лице на триъгълник и четириъгълник, от \(\Delta A_{1} A_{2} A_{2 n-1}\) и последователните четириъгълници от редицата, имаме съответно:
\[ \begin{aligned} & S_{0}=\tfrac{1}{4}\left(a_{1}^{2}+a_{2 n-1}^{2}-p_{1}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \\ & S_{1}=\tfrac{1}{4}\left(a_{2}^{2}+a_{2 n-2}^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \end{aligned} \]
\[ \begin{gathered} S_{2}=\tfrac{1}{4}\left(a_{3}^{2}+a_{2 n-3}^{2}-p_{2}^{2}-p_{3}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ S_{n-2}=\tfrac{1}{4}\left(a_{n-1}^{2}+a_{n+1}^{2}-a_{n}^{2}-p_{n-2}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi . \end{gathered} \]
Събираме почленно тези равенства и получаваме:
\(S=\tfrac{1}{4}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2 n-1}^{2}\right)+\left(a_{2}^{2}+a_{2 n-2}^{2}\right)+\left(a_{3}^{2}+a_{2 n-3}^{2}\right)+\ldots+\left(a_{n-1}^{2}+a_{n+1}^{2}\right)-a_{n}^{2}-2 p_{1}^{2}-2 p_{2}^{2}-\ldots-2 p_{n-2}^{2}\right] \operatorname{tg} \varphi\),
или след прегрупиране:
\(S=\tfrac{1}{4}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\ldots+a_{n-1}^{2}\right)-a_{n}^{2}+\left(a_{n+1}^{2}+\ldots+a_{2 n-1}^{2}\right)-2 p_{1}^{2}-2 p_{2}^{2}-\ldots-2 p_{n-2}^{2}\right] \operatorname{tg} \varphi\), което след въвеждане на знака за сума води до равенството: \[ S=\tfrac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}^{2}-a_{n}^{2}+\sum_{k=n+1}^{2 n-1} a_{k}^{2}-2 \sum_{k=1}^{n-2} p_{k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi . \]
Така доказахме желаната формула (6).
Сега ще изведем формула за лицето на диагонално равноъгълен многоъгълник от втори тип с четен брой страни.
Определение 4. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} A_{n} A_{n+1} A_{2 n}\) е изпъкнал \(2 n\)-ъгълник и редицата от четириъгълници, съответна на страната му \(A_{1} A_{2 n}\), е: \(A_{1} A_{2} A_{2 n-1} A_{2 n}\), \(A_{2} A_{3} A_{2 n-2} A_{2 n-1}, \ldots, A_{n-1} A_{n} A_{n+1} A_{n+2}\) (фиг. 4). Нека във всеки четириъгълник от тази редица, например в първия четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{2 n-1} A_{2 n}\), ъгълът между диагоналите, който лежи срещу страна на четириъгълника, явяваща се диагонал на многоъгълника – в случая \(\angle A_{2} T_{1} A_{2 n-1}\), има мярка \(\varphi\). Ще казваме тогава, че многоъгълникът е диагонално равноъгълен от втори тип по отношение на страната си \(A_{1} A_{2 n}\), с константен ъгъл \(\varphi\).
Фигура 4
Теорема 4. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} A_{n} A_{n+1} \ldots A_{2 n}\) е диагонално равноъгълен от втори тип по отношение на страната си \(A_{1} A_{2 n}\) многоъгълник, с константен ъгъл \(\varphi\), \(\varphi \neq 90^{\circ}\) (фиг. 4). Нека още дължините на страните му \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \ldots, A_{2 n} A_{1}\) са съответно \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2 n}\), a2,...,a2n, а дължините на диагоналите му \(A_{2} A_{\mathrm{n-1}}, A_{3} A_{2 n-2}, \ldots, \mathrm{~A}_{n-1} A_{n+2}\) – съответно: \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n-2}\). Лицето \(S\) на многоъгълника се определя по формулата:
(7) \(S=\tfrac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}^{2}-a_{n}^{2}+\sum_{k=n+1}^{2 n-1} a_{k}^{2}-a_{2 n}^{2}-2 \sum_{k=1}^{n-2} p_{k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi .\)
Доказателство. Означаваме лицата на четириъгълниците от редицата, съответна на страната \(A_{1} A_{2 n}\), респективно с: \(S_{1}, S_{2}, \ldots S_{n-1}\). По цитираната в началото формула (1) за лице на четириъгълник имаме последователно (фиг. 4):
\[ \begin{aligned} & S_{1}=\tfrac{1}{4}\left(a_{1}^{2}+a_{2 n-1}^{2}-a_{2 n}^{2}-p_{1}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \\ & S_{2}=\tfrac{1}{4}\left(a_{2}^{2}+a_{2 n-2}^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \\ & S_{3}=\tfrac{1}{4}\left(a_{3}^{2}+a_{2 n-3}^{2}-p_{2}^{2}-p_{3}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \\ & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ & S_{n-2}=\tfrac{1}{4}\left(a_{n-2}^{2}+a_{n+2}^{2}-p_{n-3}^{2}-p_{n-2}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \\ & S_{n-1}=\tfrac{1}{4}\left(a_{n-1}^{2}+a_{n+1}^{2}-p_{n-2}^{2}-a_{n}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi . \end{aligned} \]
Събираме почленно тези равенства и получаваме:
\(S=\tfrac{1}{4}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\ldots+a_{n-2}^{2}+a_{n-1}^{2}\right)-a_{n}^{2}+\left(a_{n+1}^{2}+a_{n+2}^{2}+\ldots+a_{2 n-1}^{2}\right)-a_{2 n}^{2}-2 p_{1}^{2}-2 p_{2}^{2}-\ldots-2 p_{n-2}^{2}\right] \operatorname{tg} \varphi\), или като въведем знак за сума: \[ S=\tfrac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{n-1} a_{k}^{2}-a_{n}^{2}+\sum_{k=n+1}^{2 n-1} a_{k}^{2}-a_{2 n}^{2}-2 \sum_{k=1}^{n-2} p_{k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi . \]
Така доказахме желаната формула (7).
4. Приложение на формулите за лице на диагонално равноъгълни многоъгълници с конкретен брой страни за доказването на зависимости в тях
С помощта на формулите за лице на равноъгълни многоъгълници се доказват различни зависимости в тях. Такива зависимости съществуват в многоъгълници с произволен брой страни, които са равноъгълни по отношение на два или повече свои върха (респективно по отношение на две или повече свои страни), с един и същ константен ъгъл \(\varphi\). За да избегнем обаче сложни чертежи, ще се ограничим с извеждането на тези зависимости в диагонално равноъгълни многоъгълници с конкретен брой страни.
Ще разгледаме първо два примера на петоъгълници, които се оказват диагонално равноъгълни по отношение на два свои върха, с един и същ константен ъгъл \(\varphi\) :
Пример 1. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{5}\) е петоъгълник с дължини на страните си \(A_{1} A_{2}\), \(A_{2} A_{3}, \ldots, A_{5} A_{1}\) съответно \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{5}\) (фиг. 5). Нека още диагоналите му \(A_{2} A_{5}\) и \(A_{1} A_{3}\) се пресичат в точка \(T_{1}\), а диагоналите му \(A_{3} A_{5}\) и \(A_{2} A_{4}\)– съответно в точка \(T_{2}\). Ако ъглите \(\angle A_{2} A_{1} A_{5}, \angle A_{1} T_{1} A_{5}, \angle A_{3} A_{4} A_{5}\) и \(\angle A_{4} T_{2} A_{5}\) са равни на \(\varphi\), където \(\varphi \neq 90^{\circ}\), то е изпълнено равенството \(a_{4}=a_{5}\).
Фигура 5
Доказателство. Означаваме лицето на петоъгълника с \(S\). От условието следва, че той е диагонално равноъгълен от първи тип по отношение на върха си \(A_{1}\), с константен ъгъл \(\varphi\). Наистина, редицата, съответна на върха му \(A_{1}\), се състои от един четириъгълник \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) и ъгълът между диагоналите на последния, който лежи срещу страна на петоъгълника, има мярка \(\varphi\). Освен това и \(\angle A_{2} T_{1} A_{5}=\varphi\). От определение 2 следва, че петоъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) е диагонално равноъгълен от първи тип по отношение на върха си \(A_{1}\). По теорема 2 можем да заключим, че лицето му \(S\) се определя по формулата:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{3} a_{2 k-1}^{2}-\sum_{k=1}^{2} a_{2 k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \] или след освобождаване от знака за сума:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(a_{1}^{2}+a_{3}^{2}+a_{5}^{2}-a_{2}^{2}-a_{4}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi . \]
Аналогично от условието следва, че петоъгълникът е диагонално равноъгълен от първи тип и по отношение на върха си \(A_{4}\), с константен ъгъл \(\varphi\), откъдето по същия начин получаваме равенството:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{5}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi . \]
От последните две равенства (предвид условието \(\varphi \neq 90^{\circ}\) ) следва, че:
\[ a_{1}^{2}+a_{3}^{2}+a_{5}^{2}-a_{2}^{2}-a_{4}^{2}=a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{5}^{2}, \] или след унищожаване на еднаквите членове, че: \(a_{4}=a_{5}\).
Забележка. Петоъгълници, отговарящи на условията от примера, съществуват. Такъв петоъгълник може да се построи (например) така: построяваме произволен \(\Delta A_{1} A_{2} A_{5}\), в който \(\angle A_{2} A_{1} A_{5}=\varphi \lt 90^{\circ}\). Върху страната му \(A_{2} A_{5}\) вземаме точка \(T_{1}\) така, че \(\angle A_{1} T_{1} A_{5}=\varphi\). Построяваме произволна точка \(T_{2}\), от която отсечката \(A_{2} A_{5}\) се вижда под ъгъл \(180^{\circ}-\varphi\), и нека \(A_{1} T_{1} \cap A_{5} T_{2}=A_{3}\). Върху продължението на \(A_{2} T_{2}\) намираме точката \(A_{4}\), от която отсечката \(A_{3} A_{5}\) се вижда под ъгъл \(\varphi\). Тогава \(\angle A_{2} A_{1} A_{5}=\angle A_{5} T_{1} A_{1}=\angle A_{4} T_{2} A_{5}=\angle A_{3} A_{4} A_{5}=\varphi\).
Пример 2. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{5}\) е петоъгълник с дължини на страните си \(A_{1} A_{2}\), \(A_{2} A_{3}, \ldots, A_{5} A_{1}\) съответно \(a_{1}, a_{2}, \ldots a_{5}\) и дължини на диагоналите си \(A_{2} A_{5}\) и \(A_{3} A_{5}\) съответно \(p_{1}\) и \(p_{2}\). Означаваме пресечната точка на диагоналите \(A_{2} A_{4}\) и \(A_{3} A_{5}\) с \(T_{1}\) (фиг. 6), а тази на диагоналите \(A_{2} A_{5}\) и \(A_{1} A_{3}-\) с \(T_{2}\). Ако ъглите \(\angle A_{2} T_{1} A_{5}, \angle A_{3} T_{2} A_{5}, \angle A_{3} A_{4} A_{5}\) и \(\angle A_{2} A_{1} A_{5}\) имат една и съща мярка \(\varphi, \varphi \neq 90^{\circ}\), то е изпълнено равенството:
(8) \[ a_{3}^{2}-a_{1}^{2}=p_{2}^{2}-p_{1}^{2} . \]
Фигура 6
Доказателство. Означаваме лицето на петоъгълника с \(S\). Лесно се проверява, че той е диагонално равноъгълен от втори тип по отношение на върха си \(A_{1}\), с константен ъгъл \(\varphi\). Наистина, редицата, съответна на върха му \(A_{1}\), се състои от четириъгълника \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\), в който ъгълът между диагоналите, лежащ срещу диагонал на петоъгълника, има мярка \(\varphi\) и освен това \(\angle A_{2} A_{1} A_{5}=\varphi\). Затова по определение 2 петоъгълникът е диагонално равноъгълен от втори тип по отношение на върха си \(A_{1}\). По теорема 4 можем да заключим, че лицето му \(S\) се определя по формулата:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{2} a_{k}^{2}-a_{3}^{2}+\sum_{k=4}^{5} a_{k}^{2}-2 \sum_{k=1}^{1} p_{k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \]
която се записва и така:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}-a_{3}^{2}-2 p_{1}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \quad \varphi \neq 90^{\circ} . \]
Аналогично се доказва, че петоъгълникът е диагонално равноъгълен от втори тип и по отношение на върха си \(A_{4}\), откъдето получаваме равенството:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{2}^{2}+a_{5}^{2}-a_{1}^{2}-2 p_{2}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \quad \varphi \neq 90^{\circ} . \]
Като приравним десните части на последните две равенства и опростим, стигаме до доказваното равенство (8).
Забележка. Построяването на петоъгълник, отговарящ на условията от примера, можем да извършим (например) така: построяваме \(\Delta A_{2} A_{5} A_{1}\) с ъгъл \(A_{2} A_{1} A_{5}=\varphi\). Върху страната му \(A_{2} A_{5}\) избираме точката \(T_{2}\) така, че да е изпълнено: \(\angle A_{2} T_{2} A_{1}=\varphi\). Построяваме произволна точка \(T_{1}\), от която отсечката \(A_{2} A_{5}\) се вижда под ъгъл \(\varphi\). Нека \(A_{3}=A_{1} T_{2} \cap A_{5} T_{1}\). Върху продължението на отсечката \(A_{2} T_{1}\) намираме точката \(A_{4}\), за която \(\angle A_{3} A_{4} A_{5}=\varphi\). Получаваме петоъгълник, в който всички ъгли от условието имат мярка \(\varphi\).
Ще разгледаме сега и два примера на шестоъгълници, които се оказват диагонално равноъгълни по отношение на две свои страни, с един и същ константен ъгъл \(\varphi\).
Пример 3. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{6}\) е шестоъгълник с дължини на страните си \(A_{1} A_{2}\), \(A_{2} A_{3}, \ldots, A_{6} A_{1}\) съответно \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{6}\) и дължини на диагоналите си \(A_{2} A_{5}\) и \(A_{3} A_{6}\)– съответно \(p_{1}\) и \(p_{2}\). Нека последователните диагонали \(A_{1} A_{3}, A_{2} A_{4}\), \(A_{3} A_{5}, \ldots, A_{6} A_{2}\) се пресичат съответно в точките \(M, N, P, Q, R\) и \(T\) (фиг. 7). Ако ъглите \(\angle T R Q, \angle M N P, \angle M T R\) и \(\angle N P Q\) имат една и съща мярка \(\varphi, \varphi \neq 90^{\circ}\), то е изпълнено равенството:
(9) \(a_{6}^{2}+p_{1}^{2}+a_{3}^{2}=a_{1}^{2}+p_{2}^{2}+a_{4}^{2}\)
Фигура 7
Доказателство. Означаваме лицето на шестоъгълника с \(S\). Лесно се проверява, че той е диагонално равноъгълен от втори тип по отношение на страната си \(A_{1} A_{6}\), с константен ъгъл \(\varphi\). Наистина, редицата, съответна на страната му \(A_{1} A_{6}\), се състои от два четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{5} A_{6}\) и \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\). Във всеки от тях ъгълът между диагоналите, който лежи срещу диагонал на шестоъгълника, има мярка \(\varphi\). Затова по определение 4 шестоъгълникът е диагонално равноъгълен от втори тип по отношение на страната си \(A_{1} A_{6}\). По теорема 4 можем да заключим, че лицето му \(S\) се изразява по формулата:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(\sum_{k=1}^{2} a_{k}^{2}-a_{3}^{2}+\sum_{k=4}^{5} a_{k}^{2}-a_{6}^{2}-2 \sum_{k=1}^{1} p_{k}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \quad \varphi \neq 90^{\circ}, \] или като се освободим от знака за сума:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}-a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}-a_{6}^{2}-2 p_{1}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \quad \varphi \neq 90^{\circ} . \]
Аналогично, понеже шестоъгълникът е диагонално равноъгълен от втори тип и по отношение на страната си \(A_{2} A_{1}\), с константен ъгъл \(\varphi\), се получава равенството:
\[ S=\tfrac{1}{4}\left(a_{2}^{2}+a_{6}^{2}-a_{1}^{2}+a_{3}^{2}+a_{5}^{2}-a_{4}^{2}-2 p_{2}^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi, \quad \varphi \neq 90^{\circ} . \]
Като приравним десните части на последните две равенства и опростим, непосредствено получаваме доказваното равенство (9).
Забележка. Пример на шестоъгълник, за който са изпълнени условията от разгледания пример, е правилният шестоъгълник.
По аналогичен начин се разглежда и следният:
Пример 4. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{6}\) е шестоъгълник с дължини на страните си \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \ldots, A_{6} A_{1}\) съответно \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{6}\). Означаваме \(A_{1} A_{3} \cap A_{2} A_{6}=T_{1}\), \(A_{3} A_{5} \cap A_{4} A_{6}=T_{2}, A_{2} A_{6} \cap A_{1} A_{5}=T_{3}\) и \(A_{2} A_{4} \cap A_{3} A_{5}=T_{4}\). Ако ъглите \(\angle A_{2} T_{1} A_{3}\), \(\angle A_{3} T_{2} A_{6}, \angle A_{2} T_{3} A_{1}\) и \(\angle A_{2} A_{4} A_{5}\) имат една и съща мярка \(\varphi, \varphi \neq 90^{\circ}\), то е изпълнено равенството:
\[ a_{1}^{2}+a_{3}^{2}+a_{5}^{2}=a_{2}^{2}+a_{4}^{2}+a_{6}^{2} . \]
Доказателството тук предоставяме на читателите.
В заключение привеждаме два примера за приложението на формула (1) за лице на четириъгълник, за извеждането на зависимости в други видове многоъгълници.
Пример 5. Нека \(A B C D E\) е изпъкнал петоъгълник с дължини на страните си \(A B, B C, C D, D E\) и \(E A\), , съответно \(a, b, c, d\) и \(e\), , и дължини на диагоналите \(B E\) и \(C E\), съответно \(m\) и \(n\). Нека още средата на страната \(B C\) е \(F\) и \(A F \cap B E=T_{1}\), \(D F \cap C E=T_{2}\). Ако ъглите \(\angle E T_{1} F_{3}, \angle E T_{2} F, \angle B A E\) и \(\angle C D E\) имат една и съща мярка \(\varphi, \varphi \neq 90^{\circ}\), то е изпълнено равенството:
\[ m^{2}-n^{2}=2\left(a^{2}-c^{2}\right) . \]
Пример 6. Нека \(A_{1} A_{2} \ldots A_{5}\) е изпъкнал петоъгълник с дължини на страните \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, \ldots, A_{5} A_{1}\), , съответно \(a_{1}, a_{2}, \ldots ., a_{5}\) и дължини на диагоналите \(A_{2} A_{5}\) и \(A_{3} A_{5}\), съответно \(m\) и \(n\). Нека още \(A_{1} A_{3} \cap A_{2} A_{5}=T_{1}\) и \(A_{2} A_{4} \cap A_{5} A_{3}=T_{2}\). Ако ъглите \(\angle A_{1} A_{5} A_{2}, \angle A_{3} A_{5} A_{4}, \angle A_{2} T_{1} A_{3}\) и \(\angle A_{2} T_{2} A_{3}\) имат една и съща мярка \(\varphi\), \(\varphi \neq 90^{\circ}\), то е изпълнено равенството:
\[ a_{1}^{2}+a_{4}^{2}+n^{2}=a_{3}^{2}+a_{5}^{2}+m^{2} . \]
ЛИТЕРАТУРА
ХАИМОВ, Х., 2021. Една кратка формула за лице на четириъгълник и нейното приложение, Математика плюс, 4, 68 – 77. ISSN 0861-8321.
ХАИМОВ, Х., 2022. Koсинусова и котангенсова тереми за четириъгълник и многоъгълник. Обобщение на една теорема на Карно. Математика плюс, 1, 52 – 64. ISSN 0861-8321.
REFERENCES
HAIMOV, H., 2021. A short formula for the area of a quadrilateral and its application, Mathematics plus, 4, 68 – 77. ISSN 0861-8321.
HAIMOV, H., 2022. Cosine and cotangent theorems for quadrilateral and polygon. Generalization of a Carnot theorem. Mathematics plus, 1, \(52-\) 64, ISSN 0861-8321