Образователни технологии
КОНФИГУРАЦИИ ОТ ПЕДАЛНИ ОКРЪЖНОСТИ НА ПРОИЗВОЛНА ТОЧКА В РАВНИНАТА НА МНОГОЪГЪЛНИК
Резюме. В тази статия се описва взаимното разположение на педалните окръжности на произволна точка в равнината на произволен четириъгълник и петоъгълник спрямо триъгълниците, определени от страните и диагоналите им. В резултат на това се дефинира Симсънова окръжност за точка в равнината на произволен петоъгълник. Намират се Симсъновите окръжности за точки от определени прави в равнината на петоъгълника.
Ключови думи: четириъгълник; петоъгълник; педални окръжности; Симсънова окръжност
Въведение. Педална окръжност на точка, нележаща на описаната окръжност на даден триъгълник, се нарича окръжността, определена от ортогоналните проекции на точката върху правите, съдържащи страните му. Нека \(X\) е точка в равнината на произволен многоъгълник. Занапред ще предполагаме, че тя не лежи на една окръжност с никои три от върховете му. Тогава за точката \(X\) са определени педалните є окръжности спрямо всички триъгълници, имащи за върхове по три от върховете на многоъгълника. Оказва се, че в многоъгълници с различен брой страни тези окръжности или част от тях образуват интересни конфигурации.
Определение 1. Многоъгълник, върховете на който са част от върховете на даден многоъгълник, ще наричаме негов пиков многоъгълник. Многоъгълник, върховете на който са последователни върхове на даден многоъгълник, ще наричаме негов периферен многоъгълник.
Ще изследваме разположението на педалните окръжности на произволна точка в равнината на многоъгълник, отговаряща на поставеното по-горе условие, спрямо пиковите му триъгълници.
1. Конфигурации от педални окръжности на произволна точка в равнината на четириъгълник и петоъгълник. Когато многоъгълникът е произволен четириъгълник \(A B C D\) (фиг. 1), както е показано в (Haimov, 2019), разположението на педалните окръжности на произволна точка \(X\) спрямо неговите пикови триъгълници се характеризира със следното свойство: педалните окръжности (\(c_{1}\) ) , \(\left(c_{2}\right),\left(c_{3}\right)\) и \(\left(c_{4}\right)\) на точката \(X\) спрямо четирите пикови триъгълника \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) минават през една точка \(Y\). Тази точка \(Y\) се нарича педален образ на точката \(X\) спрямо четириъгълника \(A B C D\) (фиг.1).
В тази част от публикацията ще видим, че в случая, когато многоъгълникът е произволен петоъгълник, педалните окръжности на точката \(X\) спрямо периферните му триъгълници също образуват интересна конфигурация. Ще докажем следното твърдение. Петте педални окръжности \((a),(b),(c),(d)\) и (e) на точката \(X\) спрямо последователните периферни триъгълници \(E A B\), \(A B C, B C D, C D E\) и \(D E A\) на петоъгълника \(A B C D E\) са разположени така, че вторите общи точки \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) на двойките последователни окръжности (a) и (b); (b) и (c) ; (c) и (d ) ; (d ) и (e); (e) и (a) лежат на една окръжност (фиг. 2).
Фигура 1
Фигура 2
Да вземем предвид, че втората обща точка \(A_{1}\) на педалните окръжности \((a)\) и \((b)\) на точката \(X\) спрямо периферните триъгълници \(E A B\) и \(A B C\) на петоъгълника \(E A B C\), съгласно цитираното свойство на четириъгълника, лежи и на педалните окръжности на \(X\) спрямо другите два пикови триъгълника \(A E C\) и \(E B C\) на четириъгълника \(E A B C\) и се явява педален образ на точката \(X\) спрямо този четириъгълник. Аналогично свойство имат и вторите общи точки \(B_{1}, C_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) на другите двойки педални окръжности \((b)\) и \((c),(c)\) и \((d),(d)\) и \((e)\), \((b)\) и ( a) . Затова току-що формулираното твърдение може да се изкаже по следния по-удобен начин: Педалните образи \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\), \(D_{1}\) и \(E_{1}\) на точката \(X\) спрямо петте периферни четириъгълника \(E A B C\), \(A B C D, B C D E, C D E A\) и \(D E A B\) на произволен петоъгълник \(A B C D E\) лежат на една окръжност. Преди да дадем доказателството на това твърдение, ще въведем някои означения и ще докажем една лема.
Нека \(A B C D E\) е изпъкнал петоъгълник (фиг. 3). Ортогоналните проекции на точката \(X\) върху правите, съдържащи страните му \(A B, B C, C D, D E\) и \(E A\), BC , CD , DE и EA, ще бележим с \(A_{0}, B_{0}, C_{0}\), \(D_{0}\) и \(E_{0}\), а тези върху правите, съдържащи диагоналите му \(E B\), \(A C, B D, C E\) и \(D A\)– сътветно с \(A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}\) и \(E_{2}\). Педалните окръжности на \(X\) спрямо периферните триъгълници \(E A B, A B C\), \(B C D, C D E\) и \(D E A\) ще означаваме съответно с (a), (b) , (c) , (d ) и (e), а тези спрямо триъгълниците \(A C D, B D E, C E A, D A B\) и \(E B C\)– съответно с \(\left(a_{1}\right),\left(b_{1}\right),\left(c_{1}\right),\left(d_{1}\right)\) и \(\left(e_{1}\right)\). Ще докажем първо следната
Лема 1. Ако \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) са педалните образи на точката \(X\) съответно спрямо периферните четириъгълници съответно \(E A B C\), \(A B C D, B C D E, C D E A\) и \(D E A B\) на петоъгълника \(A B C D E\), то са изпълнени релациите \(A_{1}=(a) \cap(b) \cap\left(c_{1}\right) \cap\left(e_{1}\right)\), \(B_{1}=(b) \cap(c) \cap\left(a_{1}\right) \cap\left(d_{1}\right)\), \(D_{1}=(d) \cap(e) \cap\left(c_{1}\right) \cap\left(a_{1}\right), E_{1}=(e) \cap(a) \cap\left(d_{1}\right) \cap\left(b_{1}\right)\).
Доказателство. По условие точката \(A_{1}\) е педалният образ на \(X\) спрямо четириъгълника \(E A B C\) (фиг. 3). Това ще рече, че \(A_{1}\) е общата точка на педалните окръжности (a), (b) , (c1) и \((a),(b),\left(c_{1}\right)\) и \(\left(e_{1}\right)\) на точката \(X\) спрямо пиковите триъгълници на \(E A B C\). Последното се записва именно с първата от горните релации. Аналогично се проверяват и останалите релации.
Фигура 3
Теорема 1. Нека \(A B C D E\) е изпъкнал петоъгълник. Педалните образи \(A_{1}\), \(B_{1}, C_{1} D_{1}\) и \(E_{1}\) на точката \(X\) спрямо периферните му четириъгълници \(E A B C, A B C D, B C D E, C D E A\) и \(D E A B\) лежат на една окръжност (фиг. 3).
Доказателство. Нека \(I\) е инверсия с полюс \(A_{1}\) (фиг.3). Образът на произ волнаточка \(P\) притазиинверсиящеозначавамес \(P^{\prime}\).Щедокажемпърво,че конфигурацията от точки \(\left\{A_{0}^{\prime}, B_{0}^{\prime}, C_{0}^{\prime}, D_{0}^{\prime}, E_{0}^{\prime}, B_{1}^{\prime}, C_{1}^{\prime}, D_{1}^{\prime}, E_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, B_{2}^{\prime}, C_{2}^{\prime}, D_{2}^{\prime}, E_{2}^{\prime}\right\}\) се характеризира със следващите седем свойства (фиг.4):
1 точките \(A_{0}^{\prime}, E_{0}^{\prime} u E_{1}^{\prime}\) лежат на една права \(a^{\prime}\) (фиг.4);
2 точките \(A_{0}{ }^{\prime}, B_{1}{ }^{\prime}\) и \(B_{2}{ }^{\prime}\) лежат на една права \(b^{\prime}\);
3 точките \(E_{0}{ }^{\prime}, D_{1}{ }^{\prime}\) и \(B_{2}{ }^{\prime}\) лежат на една права \(c_{1}{ }^{\prime}\);
4 точките \(E_{0}{ }^{\prime}, D_{1}{ }^{\prime}, E_{2}{ }^{\prime} u E_{1}^{\prime}\) лежат на една окръжност (\(e^{\prime}\) );
5 точките \(B_{1}^{\prime}, B_{2}^{\prime}, E_{2}^{\prime}\) и \(D_{1}^{\prime}\) лежат на една окръжност (\(a_{1}^{\prime}\) ) ;
6 точките \(A_{0}{ }^{\prime}, B_{1}{ }^{\prime}, E_{2}{ }^{\prime} u E_{1}^{\prime}\) лежат на една окръжност (\(d_{1}^{\prime}\) ) ;
7 точките \(A_{0}{ }^{\prime}, B_{2}{ }^{\prime}, E_{2}{ }^{\prime}\) и \(E_{0}{ }^{\prime}\) лежат на една окръжност (\(x^{\prime}\) ) .
Фигура 4
(1) Педалната окръжност (a) на точката \(X\) спрямо \(\triangle E A B\) е определена от ортогоналните проекции \(E_{0}, A_{2}\) и \(A_{0}\) на \(X\) върху правите, съдържащи страните на \(\triangle E A B\), и съдържа точките \(A_{1}\) и \(E_{1}\) (по лема 1) (фиг. 3). Изказано по друг начин, точките \(A_{0}, E_{0}\), E0, и \(E_{1}\) лежат на окръжност (a), минаваща през полюса \(A_{1}\) на инверсията \(I\). Следователно техните образи \(A_{0}^{\prime}, E_{0}^{\prime}\), E'0, и \(E_{1}^{\prime}\) при инверсията \(I\) лежат на една права \(a^{\prime}\) (фиг. 4).
( 2) Педалната окръжност (\(b\) ) на точката \(X\) спрямо \(\triangle A B C\) е определена от ортогоналните проекции \(A_{0}, B_{2}\) и \(B_{0}\) на \(X\) върху правите, съдържащи страните на \(\triangle A B C\), и минава през точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\) (по лема 1) (фиг. 3). Тогава точките \(A_{0}, B_{1}\) и \(B_{2}\) лежат на окръжност (\(b\) ) , която минава през полюса \(A_{1}\) на инверсията \(I\). Затова техните образи \(A_{0}^{\prime}, B_{1}^{\prime}\) и \(B_{2}^{\prime}\) при инверсията \(I\) лежат на една права \(b^{\prime}\) (фиг. 4).
( 3) Педалната окръжност (\(c_{1}\) ) на точката \(X\) спрямо \(\triangle C E A\) е определена от ортогоналните проекции \(E_{0}, B_{2}\) и \(D_{2}\) на \(X\) върху правите, съдържащи страните на \(\triangle C E A\), и минава през точките \(A_{1}\) и \(D_{1}\) (по лема 1) (фиг. 3). Тогава точките \(E_{0}, B_{2}\) и \(D_{1}\) лежат на окръжност (\(c_{1}\) ) , минаваща през полюса \(A_{1}\) на инверсията \(I\). Следователно техните образи \(E_{0}{ }^{\prime}, B_{2}{ }^{\prime}\) и \(D_{1}{ }^{\prime}\) при инверсията \(I\) лежат на една права \(c_{1}^{\prime}\) (фиг. 4).
( 4) Педалната окръжност (\(e\) ) на точката \(X\) спрямо \(\triangle D E A\) е определена от ортогоналните проекции \(E_{0}, E_{2}\) и \(D_{0}\) на точката \(X\) върху правите, съдържащи страните на \(\triangle D E A\), и съдържа точките \(E_{1}\) и \(D_{1}\) (по лема 1) (фиг. 3). Тогава точките \(E_{0}, E_{1}, E_{2}\), E1, E2, и \(D_{1}\) лежат на една окръжност (\(e\) ). Следователно техните образи \(E_{0}^{\prime}, E_{1}^{\prime}, E_{2}^{\prime}\), и \(D_{1}^{\prime}\) при инверсията \(I\) с полюс \(A_{1} \notin(e)\) също лежат на една окръжност (\(e^{\prime}\) ) (фиг. 4).
( 5) Педалната окръжност (\(a_{1}\) ) на точката \(X\) спрямо \(\triangle A C D\) е определена от ортогоналните проекции \(B_{2}, C_{0}\) и \(E_{2}\) на \(X\) върху правите, съдържащи страните на \(\triangle A C D\), и минава през точките \(D_{1}\) и \(B_{1}\) (по лема 1) (фиг. 3). Тогава точките \(B_{2}, E_{2}, D_{1}\) и \(B_{1}\) лежат на една окръжност (\(a_{1}\) ) . Затова техните образи \(B_{2}{ }^{\prime}, E_{2}{ }^{\prime}, D_{1}{ }^{\prime}\) и \(B_{1}{ }^{\prime}\) при инверсията \(I\) с полюс \(A_{1} \notin\left(a_{1}\right)\) също лежат на една окръжност (\(a_{1}{ }^{\prime}\) ) (фиг. 4).
( 6) Педалната окръжност (\(d_{1}\) ) на точката \(X\) спрямо \(\triangle D A B\) е определена от ортогоналните проекции \(A_{0}, C_{2}\) и \(E_{2}\) и на \(X\) върху правите, съдържащи страните на \(\triangle D A B\), и минава през точките \(B_{1}\) и \(E_{1}\) (по лема 1) (фиг. 3). Тогава точките \(A_{0}, B_{1}, E_{2}\) и \(E_{1}\) лежат на една окръжност (\(d_{1}\) ) . Затова техните образи \(A_{0}{ }^{\prime}, B_{1}{ }^{\prime}, E_{2}{ }^{\prime}\) и \(E_{1}{ }^{\prime}\) при инвесията \(I\) с полюс \(A_{1} \notin\left(d_{1}\right)\) също лежат на една окръжност (\(d_{1}^{\prime}\) ) .
( 7) Точките \(A_{0}, E_{0}, E_{2}\) и \(B_{2}\) лежат на окръжността (\(x\) ) с диаметър \(A X\) (фиг. 3). Следователно техните образи \(A_{0}{ }^{\prime}, E_{0}{ }^{\prime}, E_{2}^{\prime}\) и \(B_{2}^{\prime}\) при инверсията \(I\) с полюс \(A_{1} \notin(x)\) също лежат на една окръжност (\(x^{\prime}\) ).
За да докажем, че точките \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) лежат на една окръжност, ще докажем първоначално, че точките \(A_{1}, B_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) лежат на една окръжност. От свойства ( 7) и (1) на разглежданата конфигурация от точки получаваме, че четириъгълникът \(A_{0}{ }^{\prime} B_{2}{ }^{\prime} E_{2}{ }^{\prime} E_{0}{ }^{\prime}\) е вписан в окръжността (\(x^{\prime}\) ) и че точките \(A_{0}{ }^{\prime}, E_{0}{ }^{\prime}\) и \(E_{1}{ }^{\prime}\) лежат на една права \(a^{\prime}\) (фиг. 4). Оттук получаваме \(∢ E_{1}{ }^{\prime} E_{0}{ }^{\prime} E_{2}{ }^{\prime}=∢ A_{0}{ }^{\prime} B_{2}{ }^{\prime} E_{2}{ }^{\prime}\). От свойства ( 6) и ( 2) следва, че четириъгълникът \(A_{0}{ }^{\prime} B_{1}{ }^{\prime} E_{2}{ }^{\prime} E_{1}{ }^{\prime}\) е вписан в окръжност и че точките \(A_{0}{ }^{\prime}, B_{1}{ }^{\prime}\) и \(B_{2}{ }^{\prime}\) лежат на една права \(b^{\prime}\). Оттук получаваме: \(∢ E_{0}{ }^{\prime} E_{1}{ }^{\prime} E_{2}{ }^{\prime}=∢ E_{2}{ }^{\prime} B_{1}{ }^{\prime} B_{2}{ }^{\prime}\). Получихме, че триъгълниците \(E_{0}{ }^{\prime} E_{1}{ }^{\prime} E_{2}^{\prime}\) и \(E_{2}{ }^{\prime} B_{1}{ }^{\prime} B_{2}^{\prime}\) имат по два съответно равни ъгъла. Следователно и третите ъгли в тях са равни, т.е.
* \(∢ E_{0}^{\prime} E_{2}^{\prime} E_{1}^{\prime}=∢ B_{1}^{\prime} E_{2}^{\prime} B_2{ }^{\prime}.\)
От друга страна са изпълнени равенствата
** \(∢ E_{0}^{\prime} E_{2}^{\prime} E_{1}^{\prime}=∢ E_{0}^{\prime} D_{1}^{\prime} E_1{ }^{\prime},\)
*** \(∢ B_{1}^{\prime} E_{2}^{\prime} B_{2}^{\prime}=∢ B_{1}^{\prime} D_{1}^{\prime} B_2{ }^{\prime},\)
които следват съответно от окръжностите(\(e^{\prime}\) ) и (\(a_{1}^{\prime}\) ).
Равенствата \((* *)\) и \((* * *)\) заместваме в \((*)\) и получаваме равенството \(∢ E_{0}{ }^{\prime} D_{1}{ }^{\prime} E_{1}{ }^{\prime}=∢ B_{1}{ }^{\prime} D_{1}{ }^{\prime} B_{2}{ }^{\prime}\). Освен това точките \(E_{0}{ }^{\prime}, D_{1}{ }^{\prime}\) и \(B_{2}{ }^{\prime}\) лежат на една права \(c_{1}{ }^{\prime}\) (от свойсто ( 3) , затова имаме:
\[ ∢ E_{0}^{\prime} D_{1}^{\prime} B_{1}^{\prime}+∢ B_{1}^{\prime} D_{1}^{\prime} B_{2}^{\prime}=180^{\circ} . \] От предходното равенство заместваме в последното и получаваме:
\[ ∢ E_{0}^{\prime} D_{1}^{\prime} B_{1}^{\prime}+∢ E_{0}^{\prime} D_{1}^{\prime} E_{1}^{\prime}=180^{\circ} . \]
От последното равенство следва, че точките \(B_{1}{ }^{\prime}, D_{1}{ }^{\prime}\) и \(E_{1}{ }^{\prime}\) лежат на една права. Тъй като тя не минава през полюса \(A_{1}\) на инверсията \(I\), образите на тези точки при инверсията \(I\)– точките \(B_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) лежат на окръжност, минаваща през точката \(A_{1}\). Така доказахме, че точките \(A_{1}, B_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) лежат на една окръжност (фиг. 3). Аналогично се доказва, че и точките \(B_{1}, C_{1}, E_{1}\) и \(A_{1}\) лежат на една окръжност. Тъй като двете окръжности имат три общи точки, те съвпадат. С това доказахме, че и петте точки \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) лежат на една окръжност.
Определение 2. Окръжността, определна от педалните образи \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\) на произволна точка \(X\) спрямо периферните четириъгълници на произволен петоъгълник \(A B C D E\) (фиг. 3) ще наричаме окръжност на Симсън за точката \(X\) спрямо петоъгълника \(A B C D E\), а петоъгълника \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1}\)– петоъгълник на Симсън за точката \(X\).
2. Окръжности на Симсън за произволни точки от правите в равнината на произволен петоъгълник, минаващи през двойките му върхове. Сега ще определим окръжностите на Симсън за точки, лежащи на правите в равнината на произволен петоъгълник, минаващи през двойките му върхове. Това ще ни даде възможност в третата част от публикацията да изясним взаимното разположение на педалните окръжности на определени точки в равнината на произволен шестоъгълник и седмоъгълник спрямо пиковите им триъгълници. Ще използваме следното твърдение от (Haimov, 2019):
Лема 2. Педалният образ \(Y\) на точка \(X\), лежаща на права, съдържаща произволна страна на четириъгълник, спрямо него съвпада с проекцията на X върху правата, съдържаща срещуположната страна (фиг. 4а).
Теорема 2. Нека \(X\) е произволна точка от права, определена от два върха на произволен петоъгълник \(A B C D E\), различна от тези върхове (например точка от правата AB) (фиг. 4б). Окръжността на Симсън за точката \(X\) спрямо петоъгълника \(A B C D E\) съвпада с педалната окръжност \(\Gamma\) на \(X\) спрямо триъгълника, определен от останалите три върха на петоъгълника (в случая спрямо \(\triangle C E D\) ).
Фигура 4а
Фигура 4б
Фигура 5
Доказателство. а) Нека първо точката \(X\) лежи на правата, определена от два съседни върха на петоъгълника \(A B C D E\), например от върховете \(A\) и \(B\) и е различна от \(A\) и от \(B\) (фиг. 4б). Ще докажем, че окръжността на Симсън за точката \(X\) спрямо петоъгълника \(A B C D E\) съвпада с педалната окръжност \(\Gamma\) на \(X\) спрямо триъгълника \(E C D\) от останалите три върха \(E, C\) и \(D\). Достатъчно е да докажем, че педалните образи на точката \(X\) спрямо три периферни четириъгълника на \(A B C D E\) лежат на \(\Gamma\), защото тези три педални образа напълно определят окръжността на Симсън за точката \(\Gamma\) спрямо петоъгълника, а две окръжности, имащи три общи точки, съвпадат помежду си. Понеже \(X\) е точка от правата, съдържаща страната \(A B\) на периферния четириъгълник \(A B C E\), то педалният є образ спрямо него съвпада с проекцията \(N\) на точката \(X\) върху правата, определена от срещуположната страна \(E C\) (по лема 2). Тази проекция \(N\) ще лежи на педалната окръжност \(\Gamma\) на точката \(X\) спрямо \(\Delta E C D\), понеже е проекция към страна на \(\Delta E C D\). Получихме, че педалният образ \(N\) на \(X\) спрямо четириъгълника \(E A B C\) лежи на педалната окръжност \(\Gamma\) на точката \(X\) спрямо \(\Delta E C D\). Педалният образ на \(X\) спрямо периферния четириъгълник \(B C D E\) също лежи на педалната окръжност \(\Gamma\) на \(X\) спрямо \(\triangle E C D\), понеже последният е пиков триъгълник на \(B C D E\) (по определението на педален образ на точка спрямо четириъгълник). По същия начин се доказва, че педалният образ на точката \(X\) спрямо периферния четириъгълник \(C D E A\) лежи на \(\Gamma\). Доказахме, че педалните образи на точката \(X\) спрямо три периферни четириъгълника на петоъгълника \(A B C D E\) лежат на \(\Gamma\), откъдето, както видяхме по-горе следва, че окръжността на Симсън за точката \(X\) спрямо \(A B C D E\) съвпада с \(\Gamma\).
б) Нека сега точката \(X\) лежи на правата, определена от два върха на петоъгълника \(A B C D E\), взети през един, например от върховете \(A\) и \(C\) и е различна от \(A\) и от \(C\) (фиг. 5). Ще докажем, че окръжността на Симсън за точката \(X\) спрямо петоъгълника \(A B C D E\) съвпада с педалната окръжност (c) на \(X\) спрямо триъгълника \(B D E\), определен от останалите три върха на \(A B C D E\). Същокатова) едостатъчно дадокажем,че педалнитеобрази на \(X\) спрямотри периферни четириъгълника на петоъгълника \(A B C D E\) лежат на окръжността (c). Педалният образ на точката \(X\) спрямо четириъгълника \(A C D E\) съвпада с проекцията \(P\) на \(X\) върху правата \(E D\) (по лема 2). Тази проекция \(P\) лежи на педалната окръжност (\(c\) ) на точката \(X\) спрямо \(\triangle B D E\), понеже е проекция към страна на този триъгълик. Следователно педалният образ \(P\) на точката \(X\) спрямо четириъгълника \(A C D E\) лежи на окръжността (c). Педалният образ на точката \(X\) спрямо периферния четириъгълник \(B D E A\) на петоъгълника \(A B C D E\) също лежи на педалната окръжност (c) на \(X\) спрямо \(\triangle B D E\), понеже този триъгълник е пиков за четириъгълника \(B D E A\). По същия начин се доказва, че и педалният образ на точката \(X\) спрямо периферния четириъгълник \(B C D E\) на петоъгълника лежи на окръжността (c). С това доказахме, че педалните образи на \(X\) спрямо три периферни четириъгълника на \(A B C D E\) лежат на (c), откъдето, както видяхме, следва, че окръжността на Симсън за точката \(X\) спрямо \(A B C D E\) съвпада с (c).
Следствие. Нека \(X\) е общата точка на два пресичащи се диагонала на петоъгълника \(A B C D E\), например на диагоналите \(A C\) и \(B D\) (фиг. 6). Окръжността на Симсън за точката \(X\) спрямо \(A B C D E\) има за диаметър отсечката XE, свързваща точката X с върха на петоъгълника, различен от краищата на диагоналите \(A C\) и \(B D\).
Фигура 6
Доказателство. Понеже точката \(X\) лежи на правата \(A C\), определена от два върха \(A\) и \(C\) на петоъгълника, окръжността на Симсън за \(X\) спрямо петоъгълника \(A B C D E\) съвпада с педалната окръжност \(\Gamma\) на \(X\) спрямо триъгълника \(B D E\) от останалите три върха (по доказаната теорема). Означаваме проекциите на точката \(X\) върху правите \(B E\) и \(D E\) съответно с \(M\) и \(N\). Педалната окръжност \(\Gamma\) на \(X\) спрямо \(\Delta B D E\) е определена от точките \(M, X\) и \(N\). Последните лежат на окръжността с диаметър \(E X\). Следователно окръжността \(\Gamma\) съвпада с окръжността с диаметър \(E X\). Тогава и окръжността на Симсън за \(X\) спрямо петоъгълника \(A B C D E\) (която, както видяхме, съвпада с педалната окръжност \(\Gamma\) на \(X\) спрямо \(\triangle B D E\) ) има за диаметър отсечката \(X E\). С това следствието е доказано.
ЛИТЕРАТУРА
Хаимов, Х. (2019). Едно твърдение за конкурентност на педални окръжности на точка в равнина на четириъгълник, Математика и информатика”, 1, 77 – 97.
Гроздев, С. & В. Ненков (2017). Ветрила от окръжности във вписани многоъгълници, Математика и информатика, 2, 181 – 201.
Георгиева, М., С. Гроздев (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток-Запад, 987-619152-869-1, 327 стр.
Ненков, В. (2020). Повишаване на математически компетенции с динамична геометрия. София: Архимед 2000, ISBN 978-954-779-291-3.
Ненков, В. & С. Стефанов (2018). Връзки между забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 1, 73 – 82.
Ненков, В., Ст. Стефанов & Х. Хаимов (2017). Геометрия на четириъгълника, точка на Микел, инверсна изогоналност, Математика и информатика, 1, 81 – 93.
Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.
REFERENCES
Haimov, H. (2019). A statement for concurrence of pedal circles of a point in the plane of a quadrilateral, Mathematics and Informatics, 1, 77 – 97.
Grozdev, S. & V. Nenkov (2017). Fans of circles in inscribed polygons, Mathematics and Informatics, 2, 181 – 201.
Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgaria Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-921391-1).
Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. Iztok-Zapad, ISBN 987-619152-869-1, 327 pages.
Nenkov, V. (2020). Mathematical competence increase through dynamic geometry. Sofia: Archimedes 2000, ISBN 978-954-779-291-3.
Nenkov, V. & S. Stefanov (2018). Connections among notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 1, 73 – 82.
Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of the quadrilateral, Miquel point, Inverse isogonality, Mathematics and Informatics, 1, 81 – 93.
Sergeeva, T., M. Shabanova & S. Grozdev (2014). Foundation of dynamic geometry. Moscow: ASOU.