Научно-методически статии
НОВА ФОРМУЛА ЗА ЛИЦЕ НА ЧЕТИРИЪГЪЛНИК (ЧЕТИВО ЗА VII КЛАС)
https://doi.org/10.53656/math2023-1-1-ane
Резюме. В статията се извежда формула за лице на четириъгълник с ъгъл между диагоналите \(45^{\circ}\), която е частен случай на по-обща формула за лице на произволен четириъгълник (Haimov 2022). Попътно се извеждат формули и за лице на триъгълник с ъгъл \(45^{\circ}\) (или с ъгъл \(135^{\circ}\) ). Привеждат се и формули за лицата на един вид петоъгълници и шестоъгълници под формата на задачи.
Ключови думи: формула за лице на четириъгълник; петоъгълник; шестоъгълник
1. Въведение
Формулите за лице на триъгълник и специални видове четириъгълници – успоредник и трапец, са важен инструмент при изследването на различни въпроси от геометрията, в частност при решаването на задачи, в които участват лица на фигури. Към арсенала от тези инструменти отскоро се прибави нова формула за лице на произволен четириъгълник, останала незабелязана през дългите векове на развитие на математиката. Удобно е тя да се изучава в по-горните класове, но един неин частен случай е достъпен и за малки ученици. Тази статия е посветена на въпросната формула, разгледана в този частен случай, когато диагоналите на четириъгълника сключват ъгъл \(45^{\circ}\). Ако \(a, b, c\) и \(d c\) а дължините на последователните страни на четириъгълника, като \(b\) и \(d\) лежат срещу ъгъла от \(45^{\circ}\), а \(S\) е лицето му (фиг. 1), тази формула е:
2. Формула за лице на триъгълник с ъгъл \(45^{\circ}\) (с ъгъл \(135^{\circ}\) )
Преди да пристъпим към доказателството на формула (1), ще изведем специална формула за лице на триъгълник, един от ъглите на който е \(45^{\circ}\), както и формула за лице на триъгълник с ъгъл \(135^{\circ}\). Те ще ни послужат и в това доказателство.
Фигура 1
Теорема 1. Нека в \(\triangle A B C\) дължините на страните \(B C, C A\) и \(A B\) са съответно \(a, b\) и \(c\), b и c, а \(\angle B A C=45^{\circ}\). Тогава лицето \(S\) на триъгълника се определя по формулата:
(2) \[ 4 S=b^{2}+c^{2}-a^{2} \]
Доказателство. Означаваме с \(C H\) височината към страната \(A B\) на \(\triangle A B C\), \(H \in A B\) (виж фигури 2а, 2б и 2в. Възможни са три случая.
1) Нека ъгълът при върха \(B\) на триъгълника е остър, т.е. точката \(H\) лежи върху страната \(A B, H \neq B\) (фиг. 2а).
Триъгълниците \(A C H\) и \(B C H\) са правоъгълни и от Питагоровата теорема \(b^{2}=A H^{2}+C H^{2}\) и \(a^{2}=B H^{2}+C H^{2}\) следва:
\[ \begin{gathered} b^{2}-a^{2}=\left(A H^{2}+C H^{2}\right)-\left(B H^{2}+C H^{2}\right)=A H^{2}-B H^{2}= \\ =(A H-B H) \cdot(A H+B H)=[A H-(c-A H)] \cdot c, \end{gathered} \]
т.е.
Фигура 2а
Фигура 2б
Фигура 2в
2) Нека сега ъгълът при върха \(B\) в \(\triangle A B C\) е тъп, т.е. точката \(H\) лежи на продължението на страната \(A B\) (фиг. 2б). В този случай с помощта на Питагоровата теорема получаваме:
\[ \begin{aligned} b^{2}-a^{2}= & \left(A H^{2}+C H^{2}\right)-\left(B H^{2}+C H^{2}\right)=A H^{2}-B H^{2}= \\ & =(A H-B H) \cdot(A H+B H)=c \cdot[A H+(A H-c)] \end{aligned} \] т .e. \(b^{2}-a^{2}=2 . A H . c-c^{2}\).
3) Ако ъгълът при върха \(B\) в \(\triangle A B C\) е прав, т.е. точка \(H\) съвпада с точка \(B\) (фиг. 2в) и \(c=a c=a\), тогава от Питагоровата теорема получаваме:
\(b^{2}-a^{2}=c^{2}=2 . c . c-c^{2}=2 . A H . c-c^{2}\), т.е. едно и също в трите случая.
От друга страна, от равнобедрения правоъгълен \(\Delta A C H\) имаме \(AH=CH\) (фиг. 2а, 2б и 2в). Тогава \(b^{2}-a^{2}=2.AH.c-c^{2}=2.CH.c-c^{2}=4S-c^{2}\) . Оттук и получаваме непосредствено формулата (2) за лицето \(S\).
Ще докажем и използваме и една формула за лице на триъгълник с ъгъл \(135^{\circ}\).
Теорема 2. Нека в \(\triangle A B C\) дължините на страните са \(B C=a, C A=b, A B=c\) и \(\angle B A C=135^{\circ}\) (фиг. 3). Тогава лицето \(S\) на триъгълника се определя по формулата:
(3) \[ 4 S=a^{2}-b^{2}-c^{2} . \]
Фигура 3
Доказателство. Построяваме височината \(C H\) към страната \(A B\) на \(\triangle A B C(H \in A B)\) (Фиг. 3). Понеже \(\angle B A C\) е тъп, точката \(H\) лежи на продължението на отсечката \(B A\). От правоъгълния \(\triangle A C H\), в който \(\angle C A H=45^{\circ}\), имаме: \(A H=C H\). С помощта на Питагоровата теорема получаваме по-следователно:
\[ \begin{gathered} a^{2}-b^{2}=\left(B H^{2}+C H^{2}\right)-\left(A H^{2}+C H^{2}\right)=B H^{2}-A H^{2}=(B H-A H) \cdot(B H+A H) \\ =c \cdot[(c+A H)+A H]=c^{2}+2 \cdot A H \cdot c=c^{2}+2 \cdot C H \cdot c=c^{2}+4 S, \end{gathered} \]
откъдето непосредствено следва доказваната формула (3).
3. Доказателство на формулата за лице на четириъгълник с ъгъл между диагоналите \(45^{\circ}\)
Вече можем да докажем дадената в началото формула за лице на четириъгълник с ъгъл между диагоналите \(45^{0}\).
Теорема 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(O\) е пресечната точка на диагоналите му (фиг. 1). Ако \(\angle B O C=45^{\circ}\) и дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) са съответно \(a, b, c\) и \(d\), , то лицето на четириъгълника се определя по формулата:
(4) \(4S=a^2+c^2-b^2-d^2.\)
Доказателство. Триъгълниците BOC и AOD имат ъгъл \(45^{\circ}\), а триъгълниците \(A O B\) и \(C O D\)– ъгъл \(135^{\circ}\). Тогава от теореми 1 и 2 за техните лица следва съответно:
\[ \begin{aligned} & 4 S_{A B O}=a^{2}-A O^{2}-B O^{2}, 4 S_{B C O}=B O^{2}+C O^{2}-b^{2} \\ & 4 S_{C D O}=c^{2}-C O^{2}-D O^{2}, 4 S_{A D O}=D O^{2}+A O^{2}-d^{2} \end{aligned} \] Оттук за лицето \(S\) на четириъгълника \(A B C D\) получаваме последователно: \[ \begin{aligned} & 4 S=4 S_{A B O}+4 S_{B C O}+4 S_{C D O}+4 S_{A D O}= \\ & =\left(a^{2}-A O^{2}-B O^{2}\right)+\left(B O^{2}+C O^{2}-b^{2}\right)+\left(c^{2}-C O^{2}-D O^{2}\right)+\left(D O^{2}+A O^{2}-d^{2}\right)= \\ & =a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}-A O^{2}-B O^{2}+B O^{2}+C O^{2}-C O^{2}-D O^{2}+D O^{2}+A O^{2}= \\ & =a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}=a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} . \end{aligned} \]
С това формула (1) за лицето на разглеждания четириъгълник е доказана.
4. Задачи
Доказаната в предния раздел формула е с широко приложение. С нейна помощ (в общия случай, когато ъгълът \(\alpha\) между диагоналите на четириъгълника е произволен) се обобщава класическо твърдение от геометрията, известно като Теорема на Карно за триъгълника (Haimov 2021). Тя се използва и за извеждането на формули за лицата на един вид многоъгълници, както и за намирането на интересни зависимости между техни елементи (Haimov 2022). Предлагаме на читателите сами да приложат тази формула, както и формулата за лице на триъгълник с ъгъл \(45^{\circ}\) за решаване на следващите три задачи, две от които са снабдени с чертеж.
Задача 1. Нека \(A B C D E\) е петоъгълник с пресечна точка \(O\) на диагоналите \(B D\) и \(C E\), като \(\angle B O C=45^{\circ}\). Нека и \(\angle B A E=45^{\circ}\) (фиг. 4). Да се докаже, че ако дължините на страните му са \(A B=a, B C=b, C D=c, D E=d, E A=e\) съответно, то лицето \(S\) на петоъгълника се определя по формулата:
\[ 4 S=a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+e^{2} \]
Задача 2. Нека \(A B C D E F\) е шестоъгълник с пресечна точка \(O_{1}\) на диагоналите \(A E\) и \(D F\) и \(O_{2}\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\), като \(\angle E O_{1} D=45^{\circ}\) и \(\angle A O_{2} D=45^{\circ}\) (фиг. 5). Ако дължините на страните му са \(A B=a, B C=b\), \(C D=c, D E=d, E F=e\) и \(F A=f\) съответно, да се докаже, че лицето \(S\) на шестоъгълника се определя по формулата:
\[ 4 S=a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+e^{2}-f^{2} \]
Задача 3. Нека \(A B C D\) е четириъгълник с дължина на страната \(C D=c\), пресечна точка \(T\) на диагоналите, \(\angle A D C=\angle A C B=90^{\circ}\) и \(\angle B T C=45^{\circ}\). Докажете, че лицето му е \(S=\tfrac{1}{2} c^{2}\).
Упътване. Заедно с формула (1) за лице на четириъгълник ползвайте двукратно Питагоровата теорема.
Фигура 4
Фигура 5
5. Заключение
Нека отбележим, че от формула (1) за лице на четириъгълник следва и друга формула за лицето му (Haimov 2021; Haimov 2022), но доказателството ѝ надхвърля рамките на учебния материал за VII клас.
ЛИТЕРАТУРА
ХАИМОВ Х., 2021. Една кратка формула за лице на четириъгълник и нейното приложение, Математика плюс, 4, 68 – 77. ISSN 0861-8321.
ХАИМОВ, Х., 2022. Koсинусова и котангенсова теорема за четириъгълник и многоъгълник. Обобщение на една теорема на Карно. Математика плюс, 1, 52 – 64. ISSN 0861-8321.
REFERENCES
HAIMOV, H., 2021. A short formula for the area of a quadrilateral and its application, Mathematics plus, 4, 68 – 77. [in Bulgarian] ISSN 0861-8321.
HAIMOV, H., 2022. Cosine and cotangent theorems for quadrilateral and polygon. Generalization of a Carnot theorem. Mathematics plus, 1, 52 – 64. [in Bulgarian] ISSN 0861-8321.