Веселин Ненков

“Nikola Vaptsarov” Naval Academy
73 Vasil Drumev St.
Varna Bulgaria
E-mail: vnenkov@mail.bg

Станислав Стефанов

Technical University – Sofia
1000 Sofia Bulgaria
E-mail: stanislav.toshkov@abv.bg

Хаим Хаимов

16 Bratya Shkorpil St.
9000 Varna Bulgaria

Резюме. В настоящата публикация се извеждат формули за разстоянията от три забележителни точки в четириъгълника до върховете, средите на страните и диагоналите му. Те се прилагат за доказателството на редица неравенства, свързващи дължините на страните и диагоналите на произволен четириъгълник, за установяване колинеарността на тези забележителни точки с други точки в определени видове четириъгълници и за откриването на едно интересно свойство на центъра на тежестта на вписан в окръжност четириъгълник.

Ключови думи: четириъгълник; забележителни точки; неравенства; медицентър; Ойлерова окръжност

Брокарианите на четириъгълника и точката му на Микел са сходни по-между си забележителни точки, които се характеризират с много и разнообразни свойства (Haimov, 2001), (Haimov, 2005). Сходството помежду им, както ще видим, се потвърждава и от съществуването на идентични формули за разстоянията от тях до върховете на четириъгълника и до средите на страните и диагоналите му. При това тези формули се извеждат по един и същи начин както за брокарианите, така и за точката на Микел. Той се основава на подобието на триъгълници, свързани с тези точки със определени триъгълници с върхове измежду средите на страните и диагоналите на четиръгълника. Изведените формули ще използваме за получаването на редица неравенства, свързващи дължините на страните и диагоналите на произволен четириъгълник, за установяването колинеарността на брокарианите и точката на Микел с други точки в някои видове четириъгълници и за доказателството на едно свойство на центъра на тежестта на вписан в окръжност четириъгълник.

1. Разстояния, свързани с брокарианите на четириъгълник. Най-напред ще припомним определението на брокарианите в четириъгълник, дадено в (Haimov, 2001).

Определение. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и пресечната точка на диагоналите му е \(T\). Втората обща точка \(K_{1}\) на описаните около триъгълниците \(A B T\) и \(C D T\) окръжности се нарича брокариана, съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (фиг. 1).

Аналогично се дефинира и брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\) (фиг. 2). От (Haimov, 2001) е известно следното

Свойство 1. Изпълнени са следните подобия на триъгълници: \(\Delta A K_{1} B \sim \Delta C K_{1} D\) и \(\Delta A K_{1} C \sim \Delta B K_{1} D\) (фиг. 1).

Както ще видим, триъгълниците, участващи в свойство 1, са подобни още и с определени триъгълници, върховете на които са измежду средите на страните и диагоналите на четириъгълника. Да се условим средите на страните \(A B\), \(B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника \(A B C D\) да бележим съответно с \(E_{1}\), \(E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), , а средите на диагоналите му \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(E\) и \(F\) (фиг. 1, 2). Добре известно е, а и лесно се доказва, че трите отсечки \(E_{1} E_{3}\), \(E_{4} E_{2}\) и \(E F\), които ще наричаме средни отсечки на четириъгълника, се пресичат в една точка \(G\), която ги разполовява (фиг. 1, 2). Тя се нарича център на тежестта (медицентър) на четириъгълника. Да се условим още дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на разглеждания четириъгълник да бележим съответно с \(a, b, c\) и \(d\), b , c и d , дължините на диагоналите \(A C\) и \(B D\) – съответно с \(m\) и \(n\), и дължините на отсечките \(E_{4} E_{2}, E_{1} E_{3}\) и \(E F\)– съответно с \(l_{1}, l_{2}\) и \(l_{3}\) (фиг. 1, 2). Освен това ще предполагаме, че разглежданият четириъгълник \(A B C D\) няма двойка успоредни страни.

В началото ще докажем следното

Свойство 2. Изпълнено е следното подобие на триъгълници: \(\Delta A B K_{1} \sim \Delta E_{4} E_{2} E_{3}\) (фиг. 1).

Доказателство. Брокарианата \(K_{1}\) лежи на описаната около \(\triangle A B T\) окръжност (по определение). Затова \(∢ A K_{1} B=∢ A T B\) (вписани ъгли). От друга страна, понеже \(E_{4} E_{3} \| A C\) и \(E_{2} E_{3} B D\) (средни отсечки), имаме \(∢ E_{4} E_{3} E_{2}=∢ A T B\). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(∢ A K_{1} B=∢ E_{4} E_{3} E_{2}\). Същевременно от свойство 1 имаме \(\triangle A K_{1} C \sim \Delta B K_{1} D\), откъдето \(\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}=\tfrac{A C}{B D}\). Тъйкато \(E_{4} E_{3}=\tfrac{1}{2} A C\) и \(E_{2} E_{3}=\tfrac{1}{2} B D\), то \(\tfrac{E_{4} E_{3}}{E_{2} E_{3}}=\tfrac{A C}{B D}\). Като сравним последните две равенства, получаваме \(\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}=\tfrac{E_{4} E_{3}}{E_{2} E_{3}}\). От това равенство и установеното по-рано \(∢ A K_{1} B=∢ E_{4} E_{3} E_{2}\) заключаваме, че \(\Delta A B K_{1} \sim \Delta E_{4} E_{2} E_{3}\). Така доказахме желаното подобие.

С помощта на свойство 2 се получават прости формули за разстоянията от брокарианите до върховете на четириъгълника.

Свойство 3. За разстоянията от върховете на \(A B C D\) до брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) са изпълнени следните равенства:

(1)\[ \begin{aligned} & A K_{1}=\tfrac{a m}{2 l_{1}}, B K_{1}=\tfrac{a n}{2 l_{1}}, C K_{1}=\tfrac{c m}{2 l_{1}}, D K_{1}=\tfrac{c n}{2 l_{1}} \\ & A K_{2}=\tfrac{d m}{2 l_{2}}, B K_{2}=\tfrac{b n}{2 l_{2}}, C K_{2}=\tfrac{b m}{2 l_{2}}, D K_{2}=\tfrac{d n}{2 l_{2}} \end{aligned} \]

Доказателство. От свойство 2 имаме \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta E_{4} E_{2} E_{3}\) (фиг. 1 1). Затова \(\tfrac{A K_{1}}{E_{4} E_{3}}=\tfrac{A B}{E_{4} E_{2}}\), т.е. \(A K_{1}=\tfrac{A B \cdot E_{4} E_{3}}{E_{4} E_{2}}\). Като вземем предвид, че \(A B=a\), \(E_{4} E_{3}=\tfrac{m}{2}\) и \(E_{4} E_{2}=l_{1}\), получаваме \(A K_{1}=\tfrac{a m}{2 l_{1}}\), което е първото от равенствата ( 1) . Останалите равенства се доказват аналогично.

С помощта на свойство 2 се получават и формули за разстоянията от брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) до средите на страните на четириъгълника \(A B C D\).

Свойство 4. За разстоянията от брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) до средите на страните на \(A B C D\) са изпълнени следните равенства:

(2) \(K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}, K_{1} E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}}, K_{2} E_{4}=\tfrac{d l_{1}}{2 l_{2}}, K_{2} E_{2}=\tfrac{b l_{1}}{2 l_{2}}\).

Доказателство. От свойство 2 следва, че триъгълниците \(A B K_{1}\) и \(E_{4} E_{2} E_{3}\) са подобни (фиг. 1). В тях \(K_{1} E_{1}\) и \(E_{3} G\) са медиани към съответните страни \(A B\) и \(E_{4} E_{2}\). Затова \(\tfrac{K_{1} E_{1}}{A B}=\tfrac{E_{3} G}{E_{4} E_{2}}\), т.е. \(K_{1} E_{1}=\tfrac{A B \cdot E_{3} G}{E_{4} E_{2}}\). Като вземем предвид, че \(A B=a, E_{3} G=\tfrac{1}{2} E_{1} E_{3}=\tfrac{l_{2}}{2}\) и \(E_{4} E_{2}=l_{1}\), получаваме \(K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}\), което е първото от равенствата \((2)\) . Останалите равенства се доказват аналогично.

Ще използваме още едно подобие на триъгълници, свързани с брокарианите. За доказателството му ще ни послужи следното свойство, доказано в (Haimov, 2005).

Свойство 5. Брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) лежат на една окръжност (\(c\) ) \(c\) ъс средите \(E\) и \(F\) и пресечната точка \(T\) на ди агоналите \(A C\) и \(B D\), като са изпълнени равенствата

\[ \tfrac{K_{1} E}{K_{1} F}=\tfrac{K_{2} E}{K_{2} F}=\tfrac{A C}{B D} . \]

Окръжността (\(c\) ) наричаме Брокарова окръжност на четириъгълника (фиг. 3). Изпълнено е следното:

Свойство 6. Изпълнено е следното подобие на триъгълници: \(\Delta E F K_{1} \sim \triangle A B K_{1}\) (фиг. 3).

Доказателство. От свойство 5 имаме имаме \(\tfrac{K_{1} E}{K_{1} F}=\tfrac{A C}{B D}\). Като използваме формулите \((1)\) , получаваме \(\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}=\tfrac{a m}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 l_{1}}{a n}=\tfrac{m}{n}=\tfrac{A C}{B D}\). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(\tfrac{K_{1} E}{K_{1} F}=\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}\). От друга страна, \(∢ A K_{1} B=∢ A T B\) (понеже брокарианата \(K_{1}\) лежи на описаната около \(\triangle A T B\) окръжност), т.е. \(∢ A K_{1} B=∢ A T B=∢ E T F\). Същевременно \(∢ E K_{1} F\) \(=∢ E T F\) (вписани ъгли). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(∢ A K_{1} B=∢ E K_{1} F\). Като вземем предвид и доказаната пропорция, се убеждаваме, че \(\triangle E F K_{1} \sim \triangle A B K_{1}\).

С помощта на доказаното свойство се получават прости формули за разстоянията от брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) до центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\).

Свойство 7. Изпълнени са равенствата:

(3) \(K_{1} G=\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}}, K_{2} G=\tfrac{l_{1} l_{3}}{2 l_{2}}\).

Доказателство. Според свойство 6 триъгълниците \(E F K_{1}\) и \(A B K_{1}\) са подобни (фиг. 3). В тях \(K_{1} G\) и \(K_{1} E_{1}\) са медиани към съответните страни \(E F\) и \(A B\), затова \(\tfrac{K_{1} G}{K_{1} E_{1}}=\tfrac{E F}{A B}\), т.е. \(K_{1} G=\tfrac{K_{1} E_{1} \cdot E F}{A B}\). Като вземем предвид, че \(K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}, E F=l_{3}\) и \(A B=a\), EF = l3 и AB = a, получаваме \(K_{1} G=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{l_{3}}{a}=\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}}\) \(K_{1} G=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{l_{3}}{a}=\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}}\). С това е доказано първото от равенствата ( 3) . Аналогично се доказва и другото равенство.

Сега ще докажем подобия на триъгълници, свързани с брокарианите, с определени триъгълници с върхове измежду средите на страните и диагоналите на четиръгълника, от които следват формули за разстоянията на брокарианите до средите на дигоналите.

Свойство 8. Изпълнено е следното подобие на триъгълници: \(\Delta A C K_{1} \sim \Delta E_{2} E_{4} E\) (фиг. 4).

Доказателство. Означаваме пресечната точка на продълженията на страните \(B A\) и \(C D\) с \(V\) (фиг. 4). От свойство 1 имаме \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta C D K_{1}\). Оттук \(∢ K_{1} A B=∢ K_{1} C D\), т.е. \(∢ K_{1} A B=∢ K_{1} C V\). Тогава четириъгълникът \(A V C K_{1}\) е вписан в окръжност, затова \(∢ A K_{1} C=180^{\circ}-∢ A V C\). От друга страна, \(E_{4} E \| D C\) и \(E E_{2} \| A B\) (средни отсечки), откъдето следва, че \(∢ E_{4} E E_{2}=180^{\circ}-∢ A V C\). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(∢ A K_{1} C=∢ E_{4} E E_{2}\). Същевременно от подобието \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta C D K_{1}\) (по свойство 1) имаме още \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{A B}{C D}\). Като вземем предвид, че \(E E_{2}=\tfrac{1}{2} A B\)

и \(E_{4} E=\tfrac{1}{2} C D\), получаваме \(\tfrac{E E_{2}}{E_{4} E}=\tfrac{A B}{C D}\). Сравнявайки последните две равенства, получаваме \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{E E_{2}}{E_{4} E}\). Сега от полученото по-горе равенство \(∢ A K_{1} C=∢ E_{4} E E_{2}\) следва, че \(\triangle A C K_{1} \sim \Delta E_{2} E_{4} E\).

Свойство 9. Разстоянията от брокарианите до средите \(E\) и \(F\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) се определят по формулите:

(4)\(K_{1} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}}, K_{1} F=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}}, K_{2} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{2}}, K_{2} F=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{2}}\).

Доказателство. Според свойство 8 триъгълниците \(A C K_{1}\) и \(E_{2} E_{4} E\) са по-добни (фиг. 4). В тях \(K_{1} E\) е \(E G\) са медиани към съответните страни \(A C\) и \(E_{4} E_{2}\). Затова \(\tfrac{K_{1} E}{A C}=\tfrac{E G}{E_{4} E_{2}}\). Като вземем предвид, че \(A C=m, E G=\tfrac{l_{3}}{2}\) и \(E_{4} E_{2}=l_{1}\), получаваме \(K_{1} E=\tfrac{A C \cdot E G}{E_{4} E_{2}}=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}}\), което съвпада с първото от равенствата \((4)\) . Останалите равенства \((4)\) се доказват аналогично.

С помощта на доказаните равенства \((4)\) се получава формула за разстоянието между самите брокариани \(K_{1}\) и \(K_{2}\).

Свойство 10. Разстоянието между брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) се пресмята по формулата:

(5) \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\).

Доказателство. Точките \(K_{1}\) и \(K_{2}\) според свойство 5 лежат на една окръжност ( \(c\) ) с точките \(E\) и \(F\) (фиг. 3). От теоремата на Птоломей за вписания четириъгълник \(E K_{2} F K_{1}\) имаме \(K_{1} K_{2} \cdot E F=K_{1} E \cdot K_{2} F+K_{1} F \cdot K_{2} E\). Като заместим с равенствата (4), получаваме формулата (5).

2. Разстояния, свързани с точката на Микел на четириъгълник. Сега ще разгледаме формули, аналогични на горните, но за разстоянията от точката на Микел до върховете на четириъгълника и до средите на страните му.

Нека \(A B C D\) е четириъгълник, в който продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а продълженията на страните \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\). Доказва се, че описаните окръжности около триъгълниците \(A B U, C D U, A D V\) и \(B V C\) се пресичат в една точка \(M\) (фиг. 5). Тя се нарича точка на Микел на четириъгълника \(A B C D\). В (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017) е доказано следното свойство на точката на Микел.

Свойство 11. Изпълнени са следните подобия на триъгълници: \(\triangle A B M \sim \triangle C D M\) и \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) (фиг. 6).

Както ще видим, триъгълниците, участващи в тези подобия, са подобни още с определени триъгълници с върхове измежду средите на страните и диагоналите на четириъгълника.

Свойство 12. Изпълнени са следните подобия на триъгълници: \(\triangle A B M \sim \triangle E F E_{3}\) и \(\triangle A D M \sim \triangle E F E_{2}\) (фиг. 5).

Доказателство. От свойство 11 имаме \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\). Оттук следва,(средни че \(\tfrac{A M}{B M}=\tfrac{A D}{B C}\) отсечки),(фиг. 5). Същевременно \(E E_{3}=\tfrac{1}{2} A D\) и \(F E_{3}=\tfrac{1}{2} B C\) ваме \(\tfrac{A M}{B M}=\tfrac{E E_{3}}{F E_{3}}\). зат Отова друга \(\tfrac{E E_{3}}{F E_{3}}=\tfrac{A D}{B C}\) страна,. то Отчка потаследните на Микел две \(M\) равенстваза четириъгълни получака \(A B C D\) лежи върху описаната около \(\triangle A B U\) окръжност (по определение), откъдето имаме \(∢ A M B=∢ A U B\). Същевременно \(E E_{3} \| A D\) и \(F E_{3} \| B C\), затова \(∢ E E_{3} F=∢ A U B\). От последните две равенства получаваме \(∢ A M B=∢ E E_{3} F\). Оттук и от полученото по-горе равенство \(\tfrac{A M}{B M}=\tfrac{E E_{3}}{F E_{3}}\) следва, че \(\triangle A B M \sim \triangle E F E_{3}\). Така доказахме първото от желаните подобия. Аналогично се доказва \(\triangle A D M \sim \triangle E F E_{2}\).

С помощта на доказаните подобия се получават формули за разстоянията от точката на Микел \(M\) до върховете на четириъгълника.

Свойство 13. За разстоянията от точката на Микел M до върховете на \(A B C D\) са изпълнени следните равенства:

(6)\(M A=\tfrac{a d}{2 l_{3}}, M B=\tfrac{a b}{2 l_{3}}, M C=\tfrac{b c}{2 l_{3}}, M D=\tfrac{c d}{2 l_{3}}\).

Доказателство. От свойство 12 следва, че триъгълниците \(A D M\) и \(E F E_{2}\) \(M A=\tfrac{A D \cdot E E_{2}}{E F}=\tfrac{d a}{2 l_{3}}\), с което е доказано първото от равенствата (6). Оста- са подобни (фиг. 5). Следователно \(\tfrac{M A}{A D}=\tfrac{E E_{2}}{E F}\). Оттук получаваме налите се доказват аналогично.

С помощта на свойство 12 се получават формули и за разстоянията от точката на Микел \(M\) до средите на страните на четириъгълника.

Свойство 14. За разстоянията от точката на Микел до средите на страните на \(A B C D\) са изпълнени следните равенства:

(7)\(M E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{3}}, M E_{2}=\tfrac{b l_{1}}{2 l_{3}}, M E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}, M E_{4}=\tfrac{d l_{1}}{2 l_{3}}\).

Доказателство. От свойство 12 следва, че триъгълницитеABM и ьгълниците \(A B M\) и \(E F E_{3}\) са по-добни (фиг. 6). В тях \(M E\) и \(E_{3} G\) са медиани към съответните страни \(A B\) и \(E F\). Следователно \(\tfrac{M E_{1}}{A B}=\tfrac{E_{3} G}{E F}\). Оттук получаваме \(M E_{1}=\tfrac{A B \cdot E_{3} G}{E F}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{3}}\), с което е доказано първото от равенствата (7). Останалите равенства (7) се доказват аналогично.

Сега ще изведем формули за разстоянията от точката на Микел \(M\) до центъра на тежестта \(G\) и до брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) на четириъгълника \(A B C D\). Ще ни бъде нужно следващото твърдение, доказано в (Stefanov, 2017).

Свойство 15. Ако продълженията на страните \(A B\) и \(D C\) на четириъгълника \(A B C D\) се пресичат в точка \(V\), то брокарианата \(K_{1}\) и точката на Микел \(M\) лежат на една окръжност със средите \(E_{1} u E_{3}\) на страните \(A B\) и \(D C\) и точката \(V\) (фиг. 7).

Тази окръжност се нарича Брокарова окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). С помощта на това твърдение се получава следната формула за разстоянието от точката на Микел \(M\) до брокарианата \(K_{1}\).

Свойство 16. За разстоянието между точката на Микел M и брокари

аната \(K_{1}\) е изпълнена формулата:

(8) \(M K_{1}=\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}\).

Доказателство. Тъй като според свойство 15 точките \(E_{1}, K_{1}, E_{3}\) и \(M\) лежат на една окръжност (Брокаровата окръжност), съответна на страните \(A B\) и \(C D\), то от теорема на Птоломей за четириъгълника \(E_{1} K_{1} E_{3} M\) имаме \(M K_{1} \cdot E_{1} E_{3}=K_{1} E_{1} \cdot M E_{3}+K_{1} E_{3} \cdot M E_{1}\) (фиг. 7). Сега след заместване с равенствата ( 2) и ( 7) получаваме ( 8) .

Забележка 1. Аналогично сe доказва равенството:

(9)\(M K_{2}=\tfrac{b d l_{1}}{2 l_{2} l_{3}}\)

Свойство 17. За разстоянието между точката на Микел \(M\) и центъра на тежестта на четириъгълника \(A B C D\) е изпълнена формулата:

(10)\[ M G=\tfrac{l_{1} l_{2}}{2 l_{3}} \]

Доказателство. Ще докажем, че \(\Delta E_{1} E_{3} M \sim \Delta B C M\) (фиг. 8). От свойство 11 имаме \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\). В тези триъгълници \(M E_{1}\) и \(M E_{3}\) са съответни медиани \(M B\) и \(M C\)– съответни страни. Следователно \(\tfrac{M E_{1}}{M E_{3}}=\tfrac{B M}{C M}\). От друга страна, точката \(M\) лежи на описаната около \(\Delta B C V\) окръжност (по определение), затова \(∢ B M C=∢ B V C\). Същевременно точките \(E_{1}, E_{3}, M\) и \(V\) лежат на Брокаровата окръжност на \(A B C D\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (по свойство 15). Следователно \(∢ E_{1} M E_{3}=∢ E_{1} V E_{3}=∢ B V C\). От последните две равенства получаваме \(∢ E_{1} M E_{3}=∢ B M C\). Оттук и получената по-рано пропорция \(\tfrac{M E_{1}}{M E_{3}}=\tfrac{B M}{C M}\) следва, че \(\Delta E_{1} E_{3} M \sim \Delta B C M\). В тези триъгълници \(M G\) и \(M E_{2}\) са медиани към съответните страни \(E_{1} E_{3}\) и \(B C\). Затова \(\tfrac{M G}{E_{1} E_{3}}=\tfrac{M E_{2}}{B C}\). Като използваме (7), получаваме \(M G=\tfrac{M E_{2} \cdot E_{1} E_{3}}{B C}=\tfrac{l_{1} l_{2}}{2 l_{3}}\). С това равенството (10) e доказано.

3. Някои неравенства в четириъгълника. С помощта на изведените формули (1) – (10) ще получим редица неравенства в произволен четириъгълник \(A B C D\), свързващи дължините на страните и диагоналите му.

Свойство 18. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенството:

(11)\[ m^{2}+n^{2} \leq b^{2}+d^{2}+2 a c . \]

Доказателство. Към тройката точки \(M, K_{1}\) и \(G\) прилагаме неравенството на триъгълника и получаваме \(M G \leq M K_{1}+K_{1} G\) (фиг. 9). От равенствата(10) и

(8)следва \(\tfrac{l_{1} l_{2}}{2 l_{3}} \leq \tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}+\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}}\) или \(l_{1}^{2} \leq a c+l_{3}^{2}\). Като вземем предвид формулата

на Ойлер за разстоянието между средите на диагоналите на четириъгълник имаме \(l_{3}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)\) и \(l_{1}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(a^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2}-b^{2}-d^{2}\right)\). След заместване на тези равенства в последното неравенство получаваме (11).

Забележка 2. Лесно се доказва, че в (11) равенство имаме само за четириъгълник, в който \(A B \| C D\).

Свойство 19. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенствата:

(12)\(m^{2}+n^{2}+\tfrac{(a d-b c)^{2}}{m^{2}} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \lt m^{2}+n^{2}+\tfrac{(a d+b c)^{2}}{m^{2}}\).

Доказателство. Към тройката точки \(A, C\) и \(M\) прилагаме неравенството на триъгълника и вземаме предвид факта, че \(M\) не може да лежи на диагонала \(A C\) (следва от определението на точката \(M\) ). Така получаваме \(|A M-C M| \leq A C \lt A M+C M\) (фиг. 10). След заместване на равенствата (6) имаме \(\left|\tfrac{a d}{2 l_{3}}-\tfrac{b c}{2 l_{3}}\right| \leq m \lt \tfrac{a d}{2 l_{3}}+\tfrac{b c}{2 l_{3}}\) или \(\tfrac{|a d-b c|}{m} \leq 2 l_{3} \lt \tfrac{a d+b c}{m}\). Сега от равенството \(l_{3}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)\), което беше отбелязано по-горе, получаваме неравенството (12).

Забележка 3. Лявото от неравенства (12) представлява усилване на известното неравенство в четириъгълника \(m^{2}+n^{2} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\).

Забележка 4. Равенството в (12) се достига при условие, че \(∢ A B C=∢ A D C\) (виж Haimov, 2007).

Забележка 5. Неравенства (12) остават в сила и ако в тях се извърши коя да е от замените: \(m \leftrightarrow n\) и \(a \leftrightarrow c ; a \leftrightarrow m\) и \(c \leftrightarrow n ; d \leftrightarrow n\) и \(b \leftrightarrow m\). Доказателствата на получените при тези замени неравенства се получават, като приложим неравенството на триъгълника съответно към тройките точки \(B, D\) и \(M ; A, B\) и \(K_{2}\); \(B, C\) и \(K_{1}\).

Свойство 20. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенствата:

Доказателство. Към тройката точки \(K_{1}, E_{1}\) и \(F\) прилагаме неравенството на триъгълника и получаваме \(\left|K_{1} E_{1}-F E_{1}\right| \leq K_{1} F \leq K_{1} E_{1}+F E_{1}\) (фиг. 11). От равенствата (2) и (4) следва \(\left|\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}-\tfrac{d}{2}\right| \leq \tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}} \leq \tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}+\tfrac{d}{2}\) или \(\left|a l_{2}-d l_{1}\right| \leq n l_{3} \leq a l_{2}+d l_{1}\). Като заместим с равенствата \(l_{1}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right), \quad l_{2}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right) \quad\) и \(l_{3}^{2}=\tfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)\), получаваме неравенствата (13).

Забележка 6. Неравенства (13) остават в сила и ако в тях се извърши една от замените: \(m \leftrightarrow n\) и \(b \leftrightarrow d ; c \leftrightarrow a\) и \(b \leftrightarrow d ; m \leftrightarrow n\) и \(a \leftrightarrow c ; a \leftrightarrow b\) и \(c \leftrightarrow d\). Доказателствата на получените по този начин неравенства се извършват, като неравенството на триъгълника се приложи съответно към т точки \(K_{1}, E_{1}\) и \(D ; K_{1}, A\) и \(E_{3} ; K_{1}, B\) и \(E_{3} ; A, K_{2}\) и \(E_{2}\).

По подобен начин се доказват и неравенствата:

\[ \begin{gathered} \left|a c\left(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)-b d\left(m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)\right| \leq \\ \leq m n\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right) \leq \\ \leq a c\left(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)+b d\left(m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right) \\ \left|b \sqrt{m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}-\sqrt{\left(2 a^{2}+2 m^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)}\right| \leq \\ \leq 2 a d \leq \\ \leq b \sqrt{m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}}+\sqrt{\left(2 a^{2}+2 m^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right)} \end{gathered} \]

\[ \begin{gathered} \left\lvert\, \begin{array}{c} a^{2}+\left.\tfrac{\left(2 c m-a \sqrt{b^{2}+d^{2}+m^{2}+n^{2}-a^{2}-c^{2}}\right)^{2}}{a^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2}-b^{2}-d^{2}}\right|^{2} \leq \\ \leq 2 m^{2}+2 b^{2} \leq \\ \leq a^{2}+\tfrac{\left(2 c m+\sqrt{b^{2}+d^{2}+m^{2}+n^{2}-a^{2}-c^{2}}\right)^{2}}{a^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2}-b^{2}-d^{2}} \end{array} .\right. \end{gathered} \] Ще докажем още две неравенства в произволен четириъгълник, които се получават с помощта на неравенството на инерционния момент.

Свойство 21. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенството:

(14)\[ a^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2} \leq b^{2}+d^{2}+\tfrac{3\left(a^{2} m^{2}+a^{2} n^{2}+n^{2} c^{2}\right)}{a^{2}+d^{2}+n^{2}} \]

Доказателство. Прилагаме неравенството на инерционния момент към точката \(K_{1}\) в \(\triangle A B D\) и получаваме \(A K_{1}^{2}+B K_{1}^{2}+D K_{1}^{2} \geq \tfrac{1}{3}\left(A B^{2}+A D^{2}+B D^{2}\right)\) (фиг. 12). След заместване с помощта на равенствата (1) получаваме: \(\tfrac{a^{2} m^{2}}{4 l_{1}^{2}}+\tfrac{a^{2} n^{2}}{4 l_{1}^{2}}+\tfrac{c^{2} n^{2}}{4 l_{1}^{2}} \geq \tfrac{1}{3}\left(a^{2}+d^{2}+n^{2}\right)\). Оттук, като вземем предвид равенството, което свързва \(l_{1}\) със страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\), получаваме \((14)\) .

Свойство 22. Страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\) са свързани с неравенството:

(15) \(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2} \leq a^{2}+c^{2}+\cfrac{15 d^{2} m^{2}+12 b^{2} n^{2}+3 m^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}-m^{2}-n^{2}\right)}{6 a^{2}+2 b^{2}}\)

Доказателство. Прилагаме неравенството на инерционния момент към точката \(K_{2}\) в \(\triangle A E B\) и получаваме \(A K_{2}^{2}+B K_{2}^{2}+E K_{2}^{2} \geq \tfrac{1}{3}\left(A B^{2}+A E^{2}+B E^{2}\right)\) (фиг. 13). От равенствата (1) , ( 4) и \(B E=-\sqrt{2 a^{2}+2 b^{2}-m^{2}}\) (като медиана в \(\triangle A B C\) ) следва \(3\left(\tfrac{d^{2} m^{2}}{4 l_{2}^{2}}+\tfrac{b^{2} n^{2}}{4 l_{2}^{2}}+\tfrac{m^{2} l_{3}^{2}}{4 l_{2}^{2}}\right) \geq a^{2}+\tfrac{m^{2}}{4}+\tfrac{1}{4}\left(2 a^{2}+2 b^{2}-m^{2}\right)\). Оттук, като вземем предвид равенствата, които свързват \(l_{2}\) и \(l_{3}\) със страните и диагоналите на четириъгълника \(A B C D\), получаваме \((15)\) .

По аналогичен начин се доказват и неравенствата:

\[ \begin{gathered} 3\left(d^{2} m^{2}+b^{2} n^{2}\right)\left(m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)+3 m^{2} n^{2}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}\right) \geq \\ \geq a^{2}\left(m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)\left(2 m^{2}+2 n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right), \\ 12\left(l_{1}^{4}+l_{1}^{2} l_{2}^{2}+l_{2}^{4}\right) \geq m^{2}\left(6 n^{2}+2 m^{2}\right), \\ 3\left(l_{2}^{4} l_{3}^{4}+l_{3}^{4} l_{1}^{4}+l_{1}^{4} l_{2}^{4}\right) \geq m^{2} n^{2} l_{3}^{4}+a^{2} c^{2} l_{2}^{4}+b^{2} d^{2} l_{1}^{4} \\ 3\left(a^{2} l_{2}^{2}+c^{2} l_{2}^{2}+n^{2} l_{3}^{2}\right) \geq l_{1}^{2}\left(4 l_{2}^{2}+b^{2}+d^{2}\right) . \end{gathered} \]

4. Колинеарни точки в някои специални четириъгълници. С помощта на формулите (1) – (10) се установява лесно и колинеарността на точки в четириъгълници с определени свойства.

Свойство 23. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, центърът на тежестта \(G\) на който лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\). Следните шест тройки точки са колинеарни: \(\left(K_{1}, K_{2}, B\right),\left(K_{1}, E, E_{1}\right),\left(E, K_{2}, E_{2}\right)\), \(\left(K_{1}, C, M\right),\left(A, K_{2} M\right),\left(E_{1}, E_{2}, M\right)\) ( (фиг. 14).

Доказателство. Първо ще докажем, че в разглеждания четириъгълник \(A B C D\) е изпълнена зависимостта:

(16)\[ a l_{2}=m l_{3}+b l_{1} . \]

Центърът на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\) по условие лежи на Ойлеровата окръжност на \(\triangle A B C\) (фиг. 14). Последната е определена от точките \(E_{1}, E_{2}\) и \(E\). От теоремата на Птоломей за четириъгълника \(E G E_{2} E_{1}\) имаме: \(E_{1} G \cdot E E_{2}=E_{1} E_{2} \cdot E G+E E_{1} \cdot G E_{2}\).EE2 = E1E2.EG + EE1.GE2 . Тъй като \(E_{1} G=\tfrac{l_{2}}{2}, E E_{2}=\tfrac{a}{2}, E_{1} E_{2}=\tfrac{m}{2}\), \(E G=\tfrac{l_{3}}{2}, E E_{1}=\tfrac{b}{2}\) и \(G E_{2}=\tfrac{l_{1}}{2}\), , последното равенство преминава в (16) .

За да докажем, че точките \(K_{1}, K_{2}\) и \(B\) лежат на една права, е достатъчно\(K_{2} B=\tfrac{b n}{2 l_{2}}\) да докажем,и \(K_{1} B=\tfrac{a n}{2 l_{1}}\) че \(K_{1} K_{2}+K_{2} B=K_{1} B\). Затова после. Отднот ( 5о) и равенство (1) имаме е \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\) равносилно с , \(\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}+\tfrac{b n}{2 l_{2}}=\tfrac{a n}{2 l_{1}}\). Оттук получаваме (16) . Така доказахме колинеарността на точките \(K_{1}, K_{2}\) и \(B\).

Аналогично колинеарността на точките \(K_{1}, E\) и \(E_{1}\) се свежда до равенството \(K_{1} E+E E_{1}=K_{1} E_{1}\), което отново води до равенство (16) .

Аналогично се доказва колинеарността и на останалите тройки точки.

Свойство 24. Ако в четириъгълника \(A B C D\) диагоналът \(B D\) разполовява диагонала \(A C\) и \(l_{1}^{2}=n l_{3}\), точките \(E_{3}, K_{1}\) и \(E_{2}\) са колинеарни.

Доказателство. От свойства 1 и 8 имаме съответно \(\Delta A K_{1} C \sim \Delta B K_{1} D\) и \(\Delta A C K_{1} \sim \Delta E_{2} E_{4} E\) (фиг. 15). Следователно \(\Delta B K_{1} D \sim \Delta E_{2} E E_{4}\). Понеже \(K_{1} F\) и \(E G\) са съответни медиани в тези триъгълници, а \(K_{1} D\) и \(E E_{4}\)– съответни

страни, то \(\triangle D F K_{1} \sim \Delta E_{4} G E\), откъдето

(*)\(∢ D F K_{1}=∢ E_{4} G E\).

Средата \(E\) на диагонала \(A C\) лежи на диагонала \(B D\) (по условие) и \(G\) е средата на отсечката \(E F\). Тъй като \(F\) е средата на диагонала \(B D\), то и \(G\) лежи на \(B D\). От друга страна, \(E_{1} E_{4} \| B D\) (средна отсечка) и затова \(E_{1} E_{4} \| G E\). Оттук \(∢ E_{4} G E=∢ G E_{4} E_{1}\). От последното равенство и \((*)\) следва \(∢ D F K_{1}=∢ E_{4} G E=∢ G E_{4} E_{1}\), т.е.

\((* *) \quad ∢ D F K_{1}=∢ G E_{4} E_{1}\).

От свойства 1 и 2 от друга страна имаме \(\Delta D K_{1} C \sim \Delta B K_{1} A \sim \Delta E_{2} E_{3} E_{4} \cong \Delta E_{4} E_{1} E_{2}, \quad\) T.e. \(\quad \Delta D K_{1} C \sim \Delta E_{4} E_{1} E_{2}\). Oт тук \(∢ K_{1} D C=∢ E_{1} E_{4} E_{2}\), т.е. \(∢ K_{1} D E_{3}=∢ G E_{4} E_{1}\). От (**) и последното равенство получаваме \(∢ D F K_{1}=∢ G E_{4} E_{1}=∢ K_{1} D E_{3}\). Сега ще докажем, че \(\Delta D F K_{1} \sim \Delta K_{1} D E_{3}\). От току-що полученото равенство следва, че за това е достатъчно да докажем пропорцията \(\tfrac{F K_{1}}{F D}=\tfrac{D E_{3}}{D K_{1}}\). Понежепропорция \(F K_{1}=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}}\) е еквивалентна(от (4)), \(D K_{1}=\tfrac{n c}{2 l_{1}}\) (от (1) ), \(F D=\tfrac{n}{2}\) и \(D E_{3}=\tfrac{c}{2}\)то \(l_{1}^{2}=n l_{3}\), което е изпълнено с равенствот условие.о \(\tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2}{n}=\tfrac{c}{2} \cdot \tfrac{2 l_{1}}{n c}\) Следователно \(\triangle D F K_{1} \sim \Delta K_{1} D E_{3}\), т.е. с равенство, то тази , откъдето получаваме \(∢ F D K_{1}=∢ D K_{1} E_{3}\). Затова \(E_{3} K_{1} \| D B\). Освен това \(E_{3} E_{2} \| D B\) (средна отсечка). Оттук можем да заключим, че точките \(E_{3}, K_{1}\) и \(E_{2}\) са колинеарни.

Свойство 25. Ако в четириъгълник \(A B C D\) с пресечна точка на диагоналите \(T\) и са изпълнени равенствата \(\tfrac{m}{n}=\sqrt{\tfrac{c}{a}} u \quad ∢ A B D+∢ D C A=∢ A T B\), точките \(K_{1}, T\) и \(E_{4}\) са колинеарни.

Доказателство. Означаваме пресечната точка на правите \(T K_{1}\) и \(A D\) с \(P\) (фиг. 16). За да докажем, че точките \(K_{1}, T\) и \(E_{4}\) са колинеарни, е достатъчно да докажем, че \(P \equiv E_{4}\). Първо ще докажем, че \(\Delta A K_{1} D \sim \Delta B K_{1} A\). С помощта на формули (1) получаваме \(\tfrac{D K_{1}}{A K_{1}}=\tfrac{n c}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 l_{1}}{m a}=\tfrac{n c}{m a}\). Но по условие \(\tfrac{c}{a}=\tfrac{m^{2}}{n^{2}}\), затова \(\tfrac{D K_{1}}{A K_{1}}=\tfrac{m}{n}\). Същевременно с помощта на (1) по-лучаваме \(\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}=\tfrac{m a}{l_{1}} \cdot \tfrac{2 l_{1}}{n a}=\tfrac{m}{n}\). Като сравним десните части на получените равенства, установяваме пропорцията \(\tfrac{D K_{1}}{A K_{1}}=\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}\). От друга страна, \(K_{1}\) е втората обща точка на описаните окръжности \(c_{1}\) и \(c_{2}\) съответно за \(\triangle A B T\) и \(\triangle C D T\) (по дефиниция), затова четириъгълниците \(A K_{1} T B\) и \(D K_{1} T C\) са вписани. Оттук имаме \(∢ A K_{1} P=∢ A B T\) и \(∢ D K_{1} P=∢ D C T\). Тогава \(\quad ∢ A K_{1} D=∢ A K_{1} P+∢ D K_{1} P=∢ A B T+∢ D C T\). Но по условие \(\quad ∢ A B T+∢ D C T=∢ A B D+∢ D C A=∢ A T B, \quad\) следователно \(\quad ∢ A K_{1} D=∢ A B T+∢ D C T=∢ A T B\). Като вземем предвид, че \(∢ A T B=∢ B K_{1} A\) (вписани ъгли), получаваме \(∢ A K_{1} D=∢ B K_{1} A\). Оттук и доказаната пропорция \(\tfrac{D K_{1}}{A K_{1}}=\tfrac{A K_{1}}{B K_{1}}\) следва \(\Delta A K_{1} D \sim \Delta B K_{1} A\). От това подобие имаме \(∢ D A K_{1}=∢ A B K_{1}\). По теоремата за вписан и периферен ъгъл от последното равенство следва, че правата \(A D\) се допира до описаната около \(\triangle A B K_{1}\) окръжност \(c_{1}\). Тогава \(P A^{2}=P K_{1} \cdot P T\) (от свойството на секущите и допирателната). От \(\triangle A K_{1} D \sim \Delta B K_{1} A\) имаме още, че \(∢ A D K_{1}=∢ B A K_{1}\). Освен това \(∢ B A K_{1}=∢ D T K_{1}\) (от вписания четириъгълник \(A B T K_{1}\) ). Следователно \(∢ A D K_{1}=∢ D T K_{1}\). Оттук можем да заключим, че правата \(A D\) се допира и до описаната около \(\Delta D K_{1} T\) окръжност \(c_{2}\). Така получаваме \(P D^{2}=P K_{1} P T\). Като сравним това равенство с полученото по-горе \(P A^{2}=P K_{1} \cdot P T\), получаваме \(P A=P D\). Следователно \(P\) е средата на \(A D\), т.е. \(P \equiv E_{4}\). С това е доказано, че точките \(K_{1}, T\) и \(E_{4}\) са колинеарни.

Накрая ще докажем едно интересно свойство на центъра на тежестта на вписания в окръжност четириъгълник. Ще използуваме следащото свойство на брокарианите и точката на Микел, доказано в (Haimov, 2001).

Свойство 26. Ако четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност с център \(O\) и продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а продълженията на страните \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\), то \(\Delta K_{1} K_{2} M\) е ортоцентричният триъгълник за \(\Delta U O V\) (фиг. 17).

От това свойство, в частност, следва, че описаната около \(\Delta K_{1} K_{2} M\) окръжност е Ойлеровата окръжност за \(\Delta U O V\).

Свойство 27. Ако четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност с център \(O\) и продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а продълженията на страните \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\), то центърът на тежестта \(G\) за \(A B C D\) лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\Delta U O V\) (фиг. 17).

Доказателство. За да докажем, че точката \(G\) лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\Delta U O V\), т.е. на описаната около \(\Delta K_{1} K_{2} M\) окръжност, то според обобщената теорема на Птоломей е достатъчно да докажем равенството:

(17) \(\quad G M \cdot K_{1} K_{2}=G K_{1} \cdot M K_{2}+G K_{2} \cdot M K_{1}\).

От свойства (3), (5), (8) и (10) следва, че (17) е еквивалентно с \(\tfrac{l_{1} l_{2}}{2 l_{3}} \cdot \tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}=\tfrac{l_{2} l_{3}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{b d l_{1}}{2 l_{2} l_{3}}+\tfrac{l_{1} l_{3}}{2 l_{2}} \cdot \tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}\). Последното е равносилно с равенството \(m n=b d+a c\). Но това равенство е изпълнено, защото четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност. Следователно е изпълнено и равенство (17). Така доказахме, че центърът на тежестта \(G\) на \(A B C D\) лежи върху Ойлеровата окръжност на \(\triangle U O V\).

ЛИТЕРАТУРА

Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 17 – 23.

Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълник, Математика, 5, 15 – 21.

Ненков, В., Ст. Стефанов & Х. Хаимов (2017). Геометрия на четириъгълника, точка на Микел, инверсна изогоналност, Математика \(u\) информатика, \(1,81-93\).

Хаимов, Х (2007). Едно неравенство в четириъгълника, Математика, 6, 10 – 11.

Стефанов, С. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 3, 252 – 261.

Ненков, В. & С. Стефанов. (2018). Екстремални свойства на две забележителни точки в изпъкнал четириъгълник, Годишник на Шуменския университет „Епископ Константин Преславски“, Шумен, \(27-36\), ISSN 1311-834X.

Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE.

Karaibryamov, S., B. Tsareva & B. Zlatanov (2013). Optimization of the Courses in Geometry by the Usage of Dynamic Geometry Software Sam, The Electronic Journal of Mathematics and Technology, Volume 7, Number 1, 22 – 51, ISSN 1933-2823.

Zlatanov, B. (2013). Some Properties of Reflection of Quadrangle about Point, Annals. Computer Science Series, 11, (1), 79 – 91.

Zlatanov, B. (2014). An Etude on one Sharygin’s Problem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 3, (2), 50 – 61.

Георгиева, М., С. Гроздев (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток-Запад. ISBN 987-619-152-869-1

REFERENCES

Haimov, H. (2001). Brocardians – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6, 17 – 23.

Haimov, H. (2005). Brocardians of the quadrilateral, Mathematics, 5, 15 – 21.

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of quadrilateral, Miquel point, Inverse isogonality, Mathematics and Informatics, 1, 81 – 93.

Stefanov, S. (2017). Second pseudo center of quadrilateral, Mathematics and Informatics, 3, 261 – 270.

Nenkov, V. & S. Stefanov. (2018). Extremal properties of two notable points in a convex quadrilateral, Year Book of Shumen University, Shumen, 27 – 36, ISSN 1311-834X.

Sergeeva, T., M. Shabanova & S. Grozdev (2014). Foundation of dynamic geometry. Moscow: ASOU.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE.

Karaibryamov, S., B. Tsareva & B. Zlatanov (2013). Optimization of the Courses in Geometry by the Usage of Dynamic Geometry Software Sam, The Electronic Journal of Mathematics and Technology, Volume 7, Number 1, 22 – 51, ISSN 1933-2823.

Zlatanov, B. (2013). Some Properties of Reflection of Quadrangle about Point, Annals. Computer Science Series, 11, (1), 79 – 91.

Zlatanov, B. (2014). An Etude on one Sharygin’s Problem, Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, 3, (2), 50 – 61.

Georgieva, M. & S. Grozdev. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (4 \({ }^{\text {th }}\) ed.), Sofia: Iztok-Zapad, ISBN 987-619-152-869-1, 327 pages.