Резюме. В статията се описват нови геометрични връзки между различни забележителни точки в четириъгълника. Доказва се, че правите, определени от три конкретни двойки такива точки, са конкурентни. Разглеждат се и връзки между забележителни точки в четириъгълника, породени от изображенията изогонална спрегнатост и допълнение в триъгълника.

Ключови думи: четириъгълник; забележителни точки; линия; изогонална спрегнатост; допълнение

В статията (Nenkov & Stefanov, 2018) бяха разгледани редица геометрични връзки между различни забележителни точки в произволен изпъкнал четириъгълник. Към тях тук ще добавим нови. Една от тези връзки се заключава в това, че три прави, определени от три двойки забележителни точки, са конкурентни. Други са свързани с изображенията изогонална спрегнатост и допълнение в триъгълника. Преди да изложим въпросните връзки, ще припомним дефинициите на забележителните точки, които те касаят, и ще приведем тези от свойствата им, които ще използваме при доказателствата на тези връзки.

I. Дефиниции и свойства на забележителни точки в четириъгълника 1. Брокариани \(K_{1}\) и \(K_{2}\) на четириъгълник. Нека \(T\) е пресечната точка на диагоналите \(A C\) и \(B D\) на четириъгълника \(A B C D\). Брокариана \(K_{1}\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\), се нарича втората обща точка на описаните окръжности около \(\triangle A B T\) и \(\triangle C D T\) (фиг. 1). Аналогично се дефинира и брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\) (фиг. 1).

Да отбележим, че брокарианите на четириъгълника са аналози на точките на Брокар в триъгълника.

2. Псевдоцентър \(\boldsymbol{O}\) и ортоцентър \(\boldsymbol{H}\) на четириъгълник. Н Нека в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) радиусите на описаните около триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) окръжности са съответно \(R_{A B C}, R_{B C D}, R_{C D A}\) и \(R_{D A B}\) (фиг. 2). Доказва се, че в равнината на \(A B C D\) съществува единствена точка \(O\), за разстоянията от която до върховете му са изпълнени равенствата \(A O \cdot R_{B C D}=B O \cdot R_{C D A}=C O \cdot R_{D A B}=D O \cdot R_{A B C}\).RBCD = BO.RCDA = CO.R DAB = DO.R ABC . Тя се нарича псевдоцентър, или още първи псевдоцентър на четириъгълника \(A B C D\).

Едно основно свойство на псевдоцентъра на четириъгълника се състои в това, че ортогоналните му проекции върху правите, определени от страните, са върхове на успоредник (фиг. 2). Доказва се, че правите през върховете на този успоредник, перпендикулярни на срещуположните страни, се пресичат в една точка \(H\). Тя се нарича ортоцентър на четириъгълника.

Да отбележим, че псевдоцентърът и ортоцентърът на изпъкналия четириъгълник са обобщения съответно на центъра на описаната окръжност и ортоцентъра на вписания четириъгълник.

3. Втори псевдоцентър \(\boldsymbol{O}_{1}\) на четириъгълник. Освен псевдоцентъра друго обобщение на центъра на описаната окръжност на вписания четириъгълник за произволен изпъкнал четириъгълник е вторият му псевдоцентър \(O_{1}\). Ако \(E_{1}\) и \(E_{4}\) са средите съответно на страните \(A B\) и \(A D\) на четириъгълника \(A B C D\), а \(E\) е средата на диагонала му \(A C\), окръжността (\(c 1\) ), определена от точките \(E_{1}, E\) и \(E_{4}\), , се нарича окръжност на Хапач, съответна на върха \(A\). Аналогично се дефинират окръжностите на Хапач, съответни на другите му върхове. Доказва се, че четирите окръжности на Хапач в произволен изпъкнал четириъгълник се пресичат в една точка. Тя се нарича втори псевдоцентър на \(A B C D\) (фиг. 3).

4. Точка на Лемоан на четириъгълник. Нека \(h_{1}, h_{2}, h_{3}\) и \(h_{4}\) са разстоянията от произволна точка в равнината на четириъгълник \(A B C D\) съответно до правите, определени от страните му \(A B, B C, C D\) и \(D A\) (фиг. 4). Доказва се, че във вътрешността на \(A B C D\) съществува единствена точка \(L\), за която \(\tfrac{h_{1}}{h_{3}}=\tfrac{A B}{C D}\) и \(\tfrac{h_{2}}{h_{4}}=\tfrac{B C}{D A}\). Тя се нарича точка на Лемоан на \(A B C D\).

Да отбележим, че точката на Лемоан на изпъкнал четириъгълник е аналог на точката на Лемоан в триъгълника.

5. Точка на Микел \(\boldsymbol{M}\) на четириъгълник. Нека в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) правите \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а правите \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\). Доказва се, че описаните около триъгълниците \(A B U\), \(B C V, C D U\) и \(D A V\) окръжности имат обща точка \(M\). Тя се нарича точка на Микел на \(A B C D\) (фиг. 5).

6. Инцентър \(J\) на четириъгълник. Доказва се, че в изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) съществува единствена точка \(J\), за която са изпълнени равенствата: \(∢ J A D+∢ J C D=\tfrac{1}{2}(∢ A+∢ C)\) и \(∢ J B A+∢ J D A=\tfrac{1}{2}(∢ B+∢ D)\). Тя се нарича инцентър на \(A B C D\) (фиг. 6).

Да отбележим, че инцентърът на изпъкнал четириъгълник е обобщение на центъра на вписаната окръжност на описания четириъгълник.

Тук ще използваме следните свойства на така дефинираните забележителни точки в четириъгълника.

(I.1). Ако псевдоцентърът O лежи във вътрешността на четириъгълника \(A B C D\), то са изпълнени равенствата: \(∢ A O B=∢ A D B+∢ A C B\), \(∢ B O C=∢ B A C+∢ B D C, ∢ C O D=∢ C A D+∢ C B D u ∢ D O A=∢ D B A+∢ D C A\) (фиг. 2).

(I.2). Вторият псевдоц ентър \(O_{1}\) е симетричен на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника.

(I.3). Ако M е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 5), то са изпълнени равенствата \(A M . C M=B M . D M=U M . V M=r^{2}\). Числото \(r^{2}\) се нарича константа на Микел за \(A B C D\).

(I.4). Ако M е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\), то ъглите \(A M C, B M D\) и \(U M V\) имат обща ъглополовяща \(m\). Тя се нарича ос на Микел за \(A B C D\) (фиг. 5).

С точката на Микел на четириъгълника е свързано едно изображение в равнината, наречено инверсна симетрия, свойствата на което играят важна роля при доказателствата на почти всички твърдения в настоящата статия. Нека в равнината са дадени точка \(M\), права \(m\) през \(M\) и положително число \(r^{2}\) (фиг. 7). Композицията от симетрията \(g\) спрямо правата \(m\) и инверсията \(I\) с полюс \(M\) и степен \(r^{2}\) се нарича инверсна симетрия с полюс \(M\), ос \(m u\) cmenet \(r^{2}\) и се бележи с \(\operatorname{Ig}\left(M ; m ; r^{2}\right)\) или само с \(\operatorname{Ig}\). Инверсната симетрия се характеризира със следните свойства.

(I.5). Ако \(A\) и \(B\) са две точки в равнината, нележащи на една права с полюса M на инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\), и \(\operatorname{Ig}(A)=C, \operatorname{Ig}(B)=D\), то M е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 8).

(I.6). Ако \(X_{1}\) е образът на точката \(X\) при инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\left(M ; m: r^{2}\right)\), то лъчът \(M X_{1}\) е симетричен на лъча \(M X \rightarrow\) спрямо оста \(m\) и е изпълнено равенството \(M X_{1} . M X=r^{2}\) (фиг. 7).

(I.7). Ако \(A\) и \(B\) са две точки в равнината, нележащи на една права с полюса \(M\) на инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\), и \(\operatorname{Ig}(A)=C\), \(\operatorname{Ig}(B)=D\), то \(\triangle D C M \sim \triangle A B M\) (фиг. 8).

(I.8). Ако \(A\) и \(B\) са две точки в равнината, различни от полюса \(M\) на инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\left(M, m, r^{2}\right), u \operatorname{Ig}(A)=C, \operatorname{Ig}(B)=D\), , то \(C D=\tfrac{A B \cdot r^{2}}{M A \cdot M B}\) (фиг. 8).

Нека \(M\) е точката на Микел на четириъгълника \(A B C D, m\) е оста му на Микел и \(r^{2}\) е константата му на Микел. Инверсната симетрия \(\operatorname{Ig}\left(M, m, r^{2}\right)\) се нарича инверсна изогоналност спрямо \(A B C D\) и се бележи с \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\).

Тук ще използуваме следните свойства на инверсната изогоналност \(\operatorname{Ig}\left(M, r^{2}\right)\).

(I.9). При \(\operatorname{Ig}\left(M, r^{2}\right)\) брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) се и изобразяват една в друга, m.e. \(\operatorname{Ig}\left(K_{1}\right)=K_{2} u \operatorname{Ig}\left(K_{2}\right)=K_{1}\).

(I.10). При \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\) първият псевдоцентър \(O\) се изобразява в пресечната точка на \(T\) на диагоналите, т.е. \(\operatorname{Ig}(O)=T u \operatorname{Ig}(T)=O\).

(I.11). При \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\) вторият псевдоцентъ \(O_{1}\) се изобразява в точката \(L\) на Лемоан, т.е. \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\) и \(\operatorname{Ig}(L)=O_{1}\).

(I.12). Инцентърът I е нтърьт \(I\) е двойна точка на инверсната изогоналност \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\).

Ще използваме и следните, вече доказани, връзки между разглежданите забележителни точки в четириъгълника.

(I.13). Първият псевдоцентър \(O\), точката на Лемоан \(L\) и брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) лежат на една окръжност – окръжността на Лемоан.

(I.14). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\), пресечната точка \(T\) на диагоналите \(u\) брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) лежат на една окръжност – Брокаровата окръжност.

(I.15). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\), пресечната точка \(T\) на диагоналите \(u\) точката на Микел M лежат на една права – права на Микел.

(I.16). Първият псевдоцентър O, точката на Лемоан \(L\) и точката на Микел M лежат на една права – права на Лемоан – образ на правата на Микел при инверсна изогоналност \(\operatorname{Ig}\left(M ; r^{2}\right)\).

(I.17). Правата, определена от двата псевдоцентъра \(O\) и \(O_{1}\), е успоредна на правата, определена от точката на Лемоан \(L\) и пресечната точка \(T\) на диагоналите.

II. Нови връзки между забележителни точки в четириъгълника

1. Конкурентност на три прави, определени от три двойки забележителни точки. Ще докажем, че правите, определени от следните три двойки забележителни точки: \((O, T),\left(O_{1}, L\right)\) и \(\left(K_{1}, K_{2}\right)\), са конкурентни.

Теорема 1. Нека \(A B C D\) е четириъгълник с пресечна точка на диагоналите \(T\), който не е вписан в окръжност и не е успоредник. Ако точките \(O, O_{1}, L, K_{1} u K_{2}\) са съответно първи псевдоцентър, втори псевдоцентър, точка на Лемоан, първа брокариана и втора брокариана и втора брокариана на \(A B C D\), правите \(L O_{1}\), TO и \(K_{1} K_{2}\) минават през една точка (фиг. 9).

Доказателство. Означаваме точката, в която правата \(K_{1} K_{2}\) пресича правата \(O T\), с \(S_{1}\), а точката, в която правата \(L O_{1}\) пресича правата \(O T\)– с \(S_{2}\) (фиг. 9). Достатъчно е да докажем, че \(S_{2} \equiv S_{1}\). Понеже \(L T \| O O_{1}\) (от свойство (I.17), имаме: \(\tfrac{O S_{2}}{T S_{2}}=\tfrac{O O_{1}}{T L}\). Ще докажем, че \(∢ O_{1} K_{1} T=∢ O K_{2} L\). Означаваме с \(M\) точката на Микел на четириъгълника \(A B C D\) и с \(I \circ g\left(M, r^{2}\right)\) - инверсната изогоналност спрямо него. Понеже \(I \circ g\left(O_{1}\right)=L\) (от свойство (I.11)) и \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (от свойство (I.9), то \(\Delta O_{1} K_{1} M \sim \Delta K_{2} L M\) (от свойство \((I .7))\). Тогава \(∢ O_{1} K_{1} M=∢ K_{2} L M\). Понеже, от друга страна, \(I \circ g(T)=O\) (от свойство (I.10)) и \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (от свойство (I.9)), то аналогично \(\Delta T K_{1} M \sim \Delta K_{2} O M\), откъдето \(∢ T K_{1} M=∢ K_{2} O M\). Като използуваме последните две равенства, получаваме:

(II.1) \[ ∢ O_{1} K_{1} T=∢ O_{1} K_{1} M-∢ T K_{1} M=∢ K_{2} L M-∢ K_{2} O M=∢ O K_{2} L . \]

Така доказахме, че \(∢ O_{1} K_{1} T=∢ O K_{2} L\). Точките \(O, K_{2}, K_{1}\) и \(L\) лежат на една окръжност ( \(c_{1}\) ) - Лемоановата окръжност на четириъгълника \(A B C D\) (от свойство (I.13)), и точките \(O_{1}, K_{2}, K_{1}\) и \(T\) също лежат на една окръжност \(\left(c_{2}\right)\) - Брокаровата окръжност на \(A B C D\) (от свойство (I.14)). Означаваме радиусите на окръжностите ( \(c_{1}\) ) и ( \(c_{2}\) ) съответно с \(R_{1}\) и \(R_{2}\). От синусовата теорема имаме \(R_{1}=\tfrac{O L}{2 \sin O K_{2} L}\) и \(R_{2}=\tfrac{T O_{1}}{2 \sin O_{1} K_{1} T}\). Понеже от (II.1) следва, че \(\sin ∢ O_{1} K_{1} T=\sin ∢ O K_{2} L\), то

(II.2) \[ \tfrac{R_{2}}{R_{1}}=\tfrac{T O_{1} \sin O K_{2} L}{\sin O_{1} K_{1} T \cdot O L}=\tfrac{T O_{1}}{O L} . \]

Означаваме \(∢ K_{1} O K_{2}=\alpha\) и \(∢ K_{1} T K_{2}=\beta\). От синусовата теорема имаме \(\sin \alpha=\tfrac{K_{1} K_{2}}{2 R_{1}}\) и \(\sin \beta=\tfrac{K_{1} K_{2}}{2 R_{2}}\). Оттук и от равенство (II.2) получаваме:

(II.3) \[ \tfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\tfrac{R_{2}}{R_{1}}=\tfrac{T O_{1}}{O L} . \]

От друга страна, понеже \(I \circ g(O)=T\) и \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (от свойства (I.9)) и (I.10)), от свойство (I.8)) получаваме \(O K_{1}=T K_{2} \tfrac{r^{2}}{M T . M K_{2}}\), а понеже \(I \circ g(T)=O\) и \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (от свойства(I.9)) и (I.10)), пак от свойство (I.8)), имаме: \(T K_{1}=O K_{2} \tfrac{r^{2}}{M O . M K_{2}}\). Оттук чрез почленно деление получаваме равенството

(II.4)\[ \tfrac{O K_{1}}{T K_{1}} \cdot \tfrac{O K_{2}}{T K_{2}}=\tfrac{M O}{M T} . \]

Аналогично, понеже \(I \circ g(O)=T\) и \(I \circ g(L)=O_{1} \quad\) (от свойства (I.10) и (I.11)), от свойство (I.8)) имаме \(O L=T O_{1} \tfrac{r^{2}}{M T \cdot M O_{1}}\) и \(T L=O O_{1} \tfrac{r^{2}}{M O \cdot M O_{1}}\), откъдето след почленно деление получаваме

(II.5) \[ \tfrac{O L}{T L} \cdot \tfrac{O O_{1}}{T O_{1}}=\tfrac{M O}{M T} \]

Като сравним десните части на равенства (II.4) и (II.5), получаваме

С помощта на равенства (II.3) и (II.6) определяме:

\[ \tfrac{O S_{1}}{T S_{1}}=\tfrac{S_{O K_{1} K_{2}}}{S_{T K_{1} K_{2}}}=\tfrac{O K_{1} \cdot O K_{2} \sin \alpha}{T K_{1} \cdot T K_{2} \sin \beta}=\tfrac{O L \cdot O O_{1}}{T L \cdot T O_{1}} \cdot \tfrac{T O_{1}}{O L}=\tfrac{O O_{1}}{T L} . \]

Така доказахме, че \(\tfrac{O S_{1}}{T S_{1}}=\tfrac{O O_{1}}{T L}\), откъдето и от \(\tfrac{O S_{2}}{T S_{2}}=\tfrac{O O_{1}}{T L}\) (по доказаното по-горе) и следва, че \(S_{1} \equiv S_{2}\). С това теоремата е доказана.

Ще се спрем на едно интересно следствие от доказаната теорема.

Следствие. Четириъгълниците \(A B C D, \quad O K_{2} T K_{1}\), \(O_{1} K_{2} L K_{1} \quad\) и \(\quad O O_{1} T L \quad\) имат общ инцентър, а последните три от тези четириъгълници имат и общ първи псевдоцентър (фиг. 10).

Доказателство. Ще докажем първо, че инверсните изогоналности спрямо четириъгълниците \(A B C D, O K_{2} T K_{1}, O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O O_{1} T L\) имат общ полюс, обща ос и равни степени, откъдето ще следва, че те съвпадат (т.е., че преобразуват точките в равнината по един и същ начин). Означаваме полюсите на инверсните изогоналности \(I \circ g\) и \(\bar{I} \circ \bar{g}\) съответно спрямо четириъгълник \(A B C D\) и четириъгълник \(O K_{2} T K_{1}\) с \(M\) и \(M_{l}\), осите им - съответно с \(m\) и \(m_{1}\), и степените им - съответно с \(r^{2}\) и \(r_{1}^{2}\). Понеже \(I \circ g(O)=T\) и \(I \circ g\left(K_{2}\right)=K_{1}\) (от свойства (I.9) и (I.10)), то от свойство (I.5) следва, че полюсът \(M\) на инверсната симетрия \(I \circ g\), т.е. точката на Микел на \(A B C D\), е точка на Микел и на четириъгълника \(O K_{2} T K_{1}\), т.е. че полюсът \(M\) на \(I \circ g\) съвпада с полюса \(M_{1}\) на \(I \circ g\).

От \(I \circ g(O)=T\) (от свойство (I.10)) следва още, че правите \(O M\) и \(T M\) са симетрични спрямо оста \(m\) на инверсната симетрия \(I \circ g\) (от свойство (I.6)), т.е. че \(m\) е ъглополовяща на ъгъл \(O M T\). Но оста \(m_{1}\) на инверсната изогоналност \(\bar{I} \circ \bar{g}\) спрямо четириъгълника \(O K_{2} T K_{1}\) също е ъглополовяща на ъгъл \(O M T\) (по дефиниция), следователно \(m_{1} \equiv m\). От \(I \circ g(O)=T\) (от свойство \((I .6)\) ) за степента \(r^{2}\) на инверсната симетрия \(I \quad g\) имаме \(r^{2}=O M . T M\) (от свойство(I.10)). За степента \(r_{1}^{2}\) на \(\bar{I} \circ \bar{g}\) пък имаме \(r_{1}^{2}=O M_{1} \cdot T M_{1}\) (по дефиниция), следователно \(r_{1} \equiv r\) (понеже \(M_{1} \equiv M\) по доказаното). Убедихме се, че инверсните изогоналности \(I \circ g\) и \(\bar{I} \circ \bar{g}\) съвпадат. Тогава и двойните им точки - съответно инцентровете на четириъгълниците \(A B C D\) и \(O K_{2} T K_{1}\), също ще съвпадат. Аналогично се доказва, че и инверсните изогоналности спрямо четириъгълниците \(O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O O_{1} T L\) съвпадат с инверсната изогоналност \(I \circ g\) спрямо четириъгълника \(A B C D\). Следователно инцентровете на тези четириъгьлници също съвпадат с инцентъра на четириъгълника \(A B C D\), т.е. инцентровете и на четирите четириъгълника съвпадат помежду си. Накрая от теорема 1 имаме, че правите \(L O_{1}, T O\) и \(K_{1} K_{2}\) минават през една точка \(S\), което означава, че пресечните точки на диагоналите на четириъгълниците \(O K_{2} T K_{1}, O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O O_{1} T L\) съвпадат с \(S\). Тъй като инверсните изогоналности спрямо тези четириъгълници по доказаното съвпадат, то и образите на точката \(S\) при тях - псевдоцентровете на четириъгълниците \(O K_{2} T K_{1}, O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O O_{1} T L\), също ще съвпадат.

2. Свойствa на забележителни точки в четириъгълника, свързани с изображенията изогонална спрегнатост и допълнение в триъгълника. Ще припомним, че две точки в триъгълника се наричат изогонално спрегнати, когато лежат на изогонални прави спрямо ъглите му (две прави са изогонално спрегнати спрямо даден ъгъл, ако сключват равни ъгли с раменете на ъгъла). Ще ни бъде нужна следната

Лема 1. а) Ако вътрешните за даден \(\triangle A B C\) точки \(X\) и \(Y\) са изогонално спрегнати, то е изпълнено равенството:

(*)\[ ∢ A X B+∢ A Y B=180^{\circ}+∢ A C B . \]

б) Обратно, ако за вътрешните за \(\triangle A B C\) точки \(X\) и \(Y\) е изпълнено това равенство и те лежат на изогонални прави спрямо \(∢ A C B\), те са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\).

Доказателство. а) Щом точките \(X\) и \(Y\) са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\), те лежат на изогонални прави спрямо всеки от ъллите му. Поради това имаме \(∢ Y A B=∢ X A C\) и \(∢ Y B A=∢ X B C\) (фиг. 11). Като използваме тези равенства, получаваме последователно:

\[ ∢ A Y B=180^{\circ}-∢ Y A B-∢ Y B A=180^{\circ}-∢ X A C-∢ X B C \]

Но \(∢ X A C+∢ X B C=∢ A X B-∢ A C B\), затова от последното равенство следва, че \(∢ A Y B=180^{\circ}-(∢ A X B-∢ A C B)\). Оттук непосредствено получаваме, че е изпълнено доказваното равенство (*).

б) Означаваме изогонално спрегнатата точка на \(X\) спрямо \(\triangle A B C\) с \(Y^{\prime}\) (фиг.11). Достатъчноедадокажем, че \(Y^{\prime} \equiv Y\).Отдоказанотова)следва, чезаточките \(X\) и \(Y^{\prime}\) еизпълнено равенството \(∢ A X B+∢ A Y^{\prime} B=∢ 180^{\circ}+∢ A C B\). От друга страна, за точките \(X\) и \(Y\) по условие имаме \(∢ A X B+∢ A Y B=180^{\circ}+∢ A C B\). Следва, че \(∢ A Y^{\prime} B=∢ A Y B\), т.е. точките \(Y\) и \(Y^{\prime}\) лежат на една и съща дъга от окрьжност с краища \(A\) и \(B\). Ще покажем, че те лежат и на една и съща права през \(C\), откъдето ще следва, че \(Y^{\prime} \equiv Y\). Правата \(C Y^{\prime}\) е изогонална на правата \(C X\) спрямо ъгъл \(A C B\) (понеже \(Y^{\prime}\) е изогонално спрегнатата точка на \(X\) спрямо \(\triangle A B C\) ). Но и правата \(C Y\) по условие е изогонална на \(C X\) спрямо ъгъл \(A C B\), следователно тя съвпада с \(C Y^{\prime}\). Получихме, че точките \(Y\) и \(Y^{\prime}\) лежат на една и съща права през \(C\), откъдето, както видяхме, и следва, че \(Y \equiv Y^{\prime}\), т.е. че точките \(X\) и \(Y\) са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\).

Теорема 2. Нека \(A B C D\) е четъриъгълник с пресечна точка на диагоналите \(T\) и не е успоредник. Ако \(K_{1} u K_{2}\) са брокарианите, \(M\) е точката на Микел и \(L\) е точката на Лемоан за \(A B C D\), точките \(L\) и \(T\) са изогонално спрегнати спрямо \(\Delta K_{1} K_{2} M\) (фиг.12).

Доказателство. Нека за определеност точките \(L\) и \(T\) са вътрешни за \(\Delta K_{1} K_{2} M\) (фиг. 12). Точките \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са инверсно изогонални спрямо четириъгълника \(A B C D\) (от свойство (I.9) )), следователно правите \(M K_{1}\) и \(M K_{2}\) са симетрични спрямо оста \(m\) на инверсната изогоналност \(I \circ g\left(M ; r^{2}\right)\) ( (от свойство (I.6)). От това следва, че оста \(m\) е ъглополовяща на ъгъла \(K_{1} M K_{2}\). Точката на Лемоан \(L\) лежи на правата на Лемоан, минаваща през точката \(M\), а точката \(T\)– на правата на Микел, също минаваща през точката \(M\) (от свойства (I.15) и (I.16)). Двете прави \(L M\) и \(T M\) са инверсно изогонални и следователно са симетрични спрямо оста \(m\) на инверсната симетрия \(I \circ g\) (от свойство (I.6)), т.е. спрямо ъглополовящата на ъгъл \(K_{1} M K_{2}\). Тогава тези прави са изогонални спрямо ъгъл \(K_{1} M K_{2}\). Получаваме, че точките \(L\) и \(T\) лежат на изогонални прави спрямо ъгъл \(K_{1} M K_{2}\). За да докажем, че те са изогонално спрегнати спрямо \(\Delta K_{1} K_{2} M\) съгласно лема 1, остава да докажем, че е изпълнено равенството:

(**)\[ (* *) \quad ∢ K_{1} T K_{2}+∢ K_{1} L K_{2}=180^{\circ}+∢ K_{1} M K_{2} . \]

Нека \(O\) е първият псевдоцентър на четириъгълника \(A B C D\). Имаме \(I \circ g\left(K_{1}\right)=K_{2}\) и \(I \circ g(O)=T\) (K1) = K2 и I  g (O) = T (от свойства (I.9) и (I.10)). Тогава \(\Delta M K_{1} O \sim \Delta M T K_{2}\) (от свойство (I.7)), откъдето имаме \(∢ M K_{1} O=∢ M T K_{2}\). Аналогично от \(I \circ g\left(K_{2}\right)=K_{1}\) и \(I \circ g(O)=T\) (K 2) = K1 и I g (О)  Т (от свойства (I.9) и (I.10)) следва, че \(\triangle M K_{2} O \sim \triangle M T K_{1}\), откъдето \(∢ M K_{2} O=∢ M T K_{1}\). Като използваме последните две равенства от четириъгълника \(O K_{2} M K_{1}\) получаваме:

\(∢ K_{1} M K_{2}+∢ K_{1} O K_{2}=360^{\circ}-\left(∢ M K_{1} O+∢ M K_{2} O\right)=360^{\circ}-∢ M T K_{2}-∢ M T K_{1}=∢ K_{1} T K_{2}\).

Точките \(K_{1}, O, K_{2}\) и \(L\) лежат на една окръжност – Лемоановата окръжност на четириъгълника \(A B C D\) (от свойство (I.13)), поради което \(∢ K_{1} O K_{2}=180^{\circ}-∢ K_{1} L K_{2}\).

Заместваме с помощта на последното равенство в лявата част на по-горното и получаваме \(∢ K_{1} M K_{2}+\left(180^{\circ}-∢ K_{1} L K_{2}\right)=∢ K_{1} T K_{2}\), т.е. \(∢ K_{1} T K_{2}+∢ K_{1} L K_{2}=180^{\circ}+∢ K_{1} M K_{2}\). С това равенство ( **) е доказано и можем да заключим, че точките \(L\) и \(T\) са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle K_{1} K_{2} M\).

Сега ще се спрем на една връзка между първия и втория псевдоцентър на четириъгълника, свързана с изображенията изогонална спрегнатост и допълнение в триъгълник.

Определение 1. Нека \(G\) е медиценть- рът на даден \(\triangle A B C\) и \(h\left(G ;-\tfrac{1}{2}\right)\) е хомотетията с център \(G\) и коефициент \(-\tfrac{1}{2}\). Образът \(\bar{O}^{\prime}\) на произволна точка \(\bar{O}\) в равнината на триъгълника при тази хомотетия се нарича допълнение на \(\bar{O}\) (фиг.13).

Ще използваме следната

Лема 2. Нека \(E_{1}, E_{2}\) и \(E_{3}\) са средите съответно на страните \(A B\), \(B C\) и \(C A\) на даден \(\triangle A B C\). За произволна точка \(\bar{O}\) и нейното допълнение \(\bar{O}^{\prime}\) са изпълнени равенствата \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=∢ A \bar{O} B\) и \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{1}=∢ B \bar{O} C\) (фиг.13).

Доказателство. Медианите \(A E_{2}, B E_{3}\) и \(C E_{1}\) на \(\triangle A B C\) се пресичат в медицентъра му \(G\), който ги дели в отношение \(2: 1\), считано от върховете на триъгълника. Следователно образите на точките \(A, B\) и \(C\) при хомотетията \(h\left(G ;-\tfrac{1}{2}\right)\) са съответно \(E_{2}, E_{3}\) и \(E_{1}\). Освен това образът на точката \(\bar{O}\) при \(h\left(G ;-\tfrac{1}{2}\right)\) е нейното допълнение \(\bar{O}^{\prime}\) (по определение 1). Хомотетията запазва ъглите между съответните прави, затова \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=∢ A \bar{O} B\) и \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{1}=∢ B \bar{O} C\) 。

Теорема 3. Нека \(O\) е първият псевдоцентър на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) и \(\bar{O}\) е изогонално спрегнатата му точка спрямо \(\triangle A B C\). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) на \(A B C D\) съвпада с допълнението на точката \(\bar{O}\) спрямо \(\triangle A B C\) (фиг. 14).

Доказателство. Без ограничение можем да считаме, че първият псевдо център \(O\) е вътрешна точка за \(\triangle A B C\). Означаваме средите на страните \(A B\), \(B C\) и \(C D\) съответно с \(E_{1}, E_{2}\) и \(E_{4}\), E2 и агонала \(A C-\mathrm{c} E_{3}\) (фиг. 14).

Понеже точките \(O\) и \(\bar{O}\) са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\) (по условие), по лема 1 е изпълнено равенството \(∢ A \overline{O B}+∢ A O B=180^{\circ}+∢ A C B\). Но \(∢ A O B=∢ A C B+∢ A D B\) (от свойство (I.1)), следователно \(∢ A \bar{O} B=180^{\circ}+∢ A C B-∢ A O B=180^{\circ}-∢ A D B\).

Означаваме допълнението на точката \(\bar{O}\) спрямо \(\triangle A B C\) с \(\bar{O}^{\prime}\). По лема 2 е изпълнено равенството \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=∢ A \bar{O} B\). Тогава предвид горното равенство имаме

(II.7) \[ \measuredangle E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=180^{\circ}-\measuredangle A D B \]

От друга страна, вторият псевдоцентьр \(O_{1}\) на \(A B C D\) лежи на окръжността на Хапач, съответна на върха \(C\), т.е. на окръжността, определена от точките \(E_{4}, E_{3}\) и \(E_{2}\) (по определение). Тогава \(∢ E_{3} O_{1} E_{2}=180^{\circ}-∢ E_{3} E_{4} E_{2}\). Но \(∢ E_{3} E_{4} E_{2}=∢ A D B\) ( ъгли с еднопосочни рамене), затова \(∢ E_{3} O_{1} E_{2}=180^{\circ}-∢ A D B\). Оттук и от (II.7) следва, че \(∢ E_{3} \bar{O}^{\prime} E_{2}=∢ E_{3} O_{1} E_{2}\). Можем да заключим, че точките \(\bar{O}^{\prime}\) и \(O_{1}\) лежат на дъга от окръжност с краища точките \(E_{3}\) и \(E_{2}\). По същия начин се доказва, че те лежат на дъга от окръжност с краища точките \(E_{3}\) и \(E_{1}\), следователно те съвпадат. Така доказахме, че вторият псевдоцентър \(O_{1}\) на \(A B C D\) съвпада с допълнението \(\bar{O}^{\prime}\) на точката \(\bar{O}\) спрямо \(\triangle A B C\).

С помощта на доказаната връзка между първия и втория псевдоцентър на четириъгълника се получава още една връзка между първия псевдоцентър и ортоцентъра му.

Теорема 4. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(O\) е първият му псевдоцентъ \(p\), а \(\bar{O}\) е изогонално спрегната точка на \(O\) спрямо \(\triangle A B C\). Тогава ортоцентърът \(H\) на \(A B C D\) е среда на отсечката \(D \bar{O}\) (фиг. 15).

Доказателство. Нека \(G_{1}\) е медицентърът на \(\triangle A B C\). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) съвпада с допълнението на точката \(\bar{O}\) спрямо \(\triangle A B C\) (по теорема 3). Следователно точката \(G_{1}\) лежи на отсечката \(O_{1} \bar{O}\) и \(\bar{O} G_{1}=2 O_{1} G_{1}\) (по определение 1). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) е симетричен на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\) (по свойство (I.2)). Следователно точката \(G\) е среда на отсечката \(O_{1} H\). От друга страна, добре известно е, че центърът на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\) лежи на отсечката, определена от върха \(D\) и центъра на тежестта \(G_{1}\) на \(\triangle A B C\). Прилагаме теоремата на Менелай към \(\Delta O_{1} \bar{O} H\) и правата \(D G_{1}\) и получаваме \(\tfrac{O_{1} G_{1}}{G_{1} \bar{O}} \cdot \tfrac{\bar{O} D}{D H} \cdot \tfrac{H G}{G O_{1}}=1\). Понеже \(H G=G O_{1}\) и \(G_{1} \bar{O}=2 O_{1} G_{1}\) (от по-горе), оттук следва, че \(\bar{O} D=2 D H\), т.е. точката \(H\) е среда на отсечката \(D \bar{O}\). С това теоремата е доказана.

Следствие. Нека \(O\) е първият псевдоцентър на четириъгълника \(A B C D\) и \(\bar{O}_{a}, \bar{O}_{b}, \bar{O}_{c}\) и \(\bar{O}_{d}\) са съответно изогонално спрегнатите му точки спрямо триъгълниците \(B C D, C D A, D A B\) и \(A B C\). Четириъгълникът \(\bar{O}_{a} \bar{O}_{b} \bar{O}_{c} \bar{O}_{d} e\) симетричен на \(A B C D\) спрямо ортоцентъра му \(H\) (фиг. 16).

Доказателство. По доказаната теорема ортоцентърът \(H\) е среда на отсечката \(D \bar{O}_{d}\). По същия начин се доказва, че \(H\) е среда и на отсечките \(A \bar{O}_{a}\), \(B \bar{O}_{b}\) и \(C \bar{O}_{c}\). Следователно четириъгълникът \(\bar{O}_{a} \bar{O}_{b} \bar{O}_{c} \bar{O}_{d}\) е симетричен на \(A B C D\) спрямо \(H\).

В заключение привеждаме без доказателство още една интересна връзка между двата псевдоцентъра на четириъгълника.

Теорема 5. Нека \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) са средите съответно на страните \(A D\) и \(A B\) и диагонала \(B D\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\). Ако вторият псевдоцентър \(O_{1}\) се явява забележителна точка на \(\Delta E_{1} E_{2} E_{3}\) от определен тип, то изогонално спрегнатата точка \(\bar{O}\) на първия псевдоцентър \(O\) спрямо \(\triangle A B D\) се явява забележителна точка на \(\triangle A B D\) от същия тип.

ЛИТЕРАТУРА

Ненков, В. & С. Стефанов. (2018). Връзки между забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 1, 73 – 82.

Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 17 – 23.

Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълника, Математика, 5, 15 – 22

Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 51.

Хаимов, Х. (2011). Точка на Лемоан, Математика,6, 3 – 12.

Ненков, В., Стефанов, С. & Хаимов, Х. (2017). Геометрия на четириъгълника. Точка на Микел. Инверсна изогоналност, Математика и информатика, \(1,81-93\).

Стефанов, С. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 3, 261 – 270.

Стефанов, С. (2018). Инцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 4, 338 – 351.

Ненков, В., Стефанов, С. & Хаимов, Х. (2016). Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника“, Математика и информатика, 6, 614 – 625.

Сергеева, Т., Шабанова, М. & С. Гроздев. (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.

Георгиева, М. & С. Гроздев. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток-Запад. ISBN 987-619-152-869-1. 327 стр.

REFERENCES

Nenkov, V. & Stefanov, S. (2018). Relations between notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 1, 73 – 82.

Haimov, H. (2001). The Brocardians – notable points in the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 6, 17 – 23.

Haimov, H. (2005). Brocardians of the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics, 5, 15 – 22.

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics Plus, 2, 28 – 51.

Haimov, H. (2011). Lemoin point (In Bulgarian). Mathematics, 6, 3 – 12.

Nenkov, V., Stefanov, S. & Haimov, H. (2017). Geometry of the quadrilateral. Miquel point. Inverse isogonality (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 1, 81 – 93.

Stefanov, S. (2017). Second pseudocenter of the quadrilateral (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 2, 261 – 270.

Stefanov, S. (2018). Incenter of the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 4, 338 – 351.

Nenkov, V., Stefanov, S. & Haimov, H. (2016). Pseudocenter and orthocenter – notable points in the quadrilateral (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 6, 614 – 625.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgaria Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE. ISBN 978-954-92139-1-1

Sergeeva, T., Shabanova, M. & Grozdev, S. (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU (in Russian).

Georgieva, M. & Grozdev, S. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (4' \({ }^{\text {th }}\) ed.), Sofia: Iztok-Zapad. ISBN 987-619-152-869-1, 327 pages.