Резюме. В статията се разглеждат геометрични връзки между различни забележителни точки в четириъгълника. Намерени са три забележителни окръжности и две забележителни прави, съдържащи някои от тези точки.

Ключови думи: quadrilateral; notable point; line; circle

В тази публикация ще разгледаме някои геометрични връзки между различни забележителни точки в изпъкнал четириъгълник. Преди да се спрем на въпросните връзки, ще дадем някои необходими сведения за самите точки.

1. Основни свойства на някои забележителни точки

Различни свойства на редица забележителни точки в изпъкналия четириъгълник са подробно изследвани и описани в отделни публикации, посочени накрая в литературата. Тук ще се спрем на някои тях, които ще са ни необходими в изложението по-нататък. В (Haimov, 1997) е изучена забележителната точка епицентър. Това е точка \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\) в четириъгълник \(A B C D\), за която са изпълнени равенствата \(S_{A B E}=S_{C D E}\) и \(S_{A D E}=S_{B C E}\) (фиг. 1). От (Haimov, 1997) е известно следното свойство:

(1) Епицентърът \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\) е симетричен на пресечната точка \(T\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) относно центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника (фиг. 1).

В (Haimov, 2001) и (Haimov, 2005) се разглежда една двойка забележителни точки в изпъкнал четириъгълник, която е аналог на двойката точки на Брокар в триъгълника. По тази причина точките от тази двойка са наречени брокариани на четириъгълника. Брокарианите са свързани със същите двойки триъгълници, които определят епицентъра на четириъгълника \(A B C D\). Втората обща точка \(K_{1}\) на описаните за \(\triangle A B T\) и \(\triangle C D T\) окръжности се нарича брокариана на четириъгълника \(A B C D\), съответна на страните му \(A B\) и \(C D\) (фиг. 2). Аналогично се определя и брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\). Брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) притежават следните свойства.

(2) Брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) образуват със съответните им страни подобни триъгълници, т.е. \(\triangle A B K_{1} \quad \Delta C D K_{1}\) и \(\triangle A D K_{2} \sim \Delta C B K_{2}\).

(3) Брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) лежат на една окръжност със средите \(E\) и \(F\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) и пресечната им точка \(T\) (фиг. 3).

Последната окръжност се нарича Брокарова окръжност. Тя се характеризира с това, че върху нея лежат и други забележителни точки на четириъгълника.

В (Nenkov, Stefanov, Haimov, 2016) и (Haimov, 2010) се разглеждат две свързани помежду си забележителни точки в изпъкнал четириъгълник – обобщения съответно на центъра на описаната окръжност на вписания четириъгълник и на неговия ортоцентър. Точките са наречени съответно псевдоцентър и ортоцентър. Псевдоцентърът обикновено се дефинира по два различни начина. По-простият от тях е следният: ако \(R_{A B C}, R_{B C D}, R_{C D A}\) и \(R_{D A B}\) са радиусите на описаните съответно около триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) окръжности, то в равнината на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) съществува единствена точка \(O\), за разстоянията от която до върховете на \(A B C D\) са изпълнени равенствата \(A O \cdot R_{B C D}=B O \cdot R_{C D A}=C O \cdot R_{D A B}=D O \cdot R_{A B C}\) (фиг. 4). Точката O се нарича псевдоцентър на ABCD . Тази точка ще наричаме още първи псевдоцентър на \(A B C D\).

Едно основно свойство на псевдоцентъра \(O\) се състои в това, че ортогоналните му проекции върху правите, определени от страните на четириъгълника, са върхове на успоредник. Правите през върховете на този успоредник, перпендикулярни на срещуположните страни на \(A B C D\), се пресичат в една точка \(H\). Тази точка се нарича ортоцентър на четириъгълника \(A B C D\).

Освен псевдоцентъра друго обобщение на центъра на описаната окръжност за вписания четириъгълник, разгледано в (Стефанов, 2017), е така нареченият втори псевдоцентър. Той се определя чрез следващата конструкция. Ако \(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}, E\) и \(F\) са средите съответно на отсечките \(A B, B C\), \(C D, D A, A C\) и \(B D\), то с \(\left(c_{1}\right),\left(c_{2}\right),\left(c_{3}\right)\) и \(\left(c_{4}\right)\) означаваме описаните окръжности съответно на триъгълниците \(E_{4} E_{1} E, E_{1} E_{2} F, E_{2} E_{3} E\) и \(E_{3} E_{4} F\). Оказва се, че окръжностите \(\left(c_{1}\right),\left(c_{2}\right),\left(c_{3}\right)\) и \(\left(c_{4}\right)\) имат обща точка \(O_{1}\). Точката \(O_{1}\) се нарича втори псевдоцентър на \(A B C D\) (фиг. 5).

Нека правите \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а правите \(A B\) и \(D C\) се пресичат в точката \(V\). Правите \(U K_{1}\) и \(V K_{2}\) ще наричаме антисимедиани на \(A B C D\), а описаните окръжности на \(\Delta E_{2} E_{4} U\) и \(\Delta E_{1} E_{3} V\) ще наричаме съответно Брокарова окръжност, съответна на страните \(B C\) и \(D A\), и Брокарова окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). Във връзка с тези понятия са изпълнени следните свойства.

( 4) Трите Брокарови окръжности минават през втория псевдоцентър \(O_{1}\) на \(A B C D\) (фиг. 6).

( 5) Двете антисимедиани \(U K_{1}\) и \(V K_{2}\) минават през втория псевдоцентър \(O_{1}\) на \(A B C D\) (фиг. 6).

( 6) Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) е симетричен на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 6).

В изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) се разглежда точка, която е аналог на точката на Лемоан в триъгълника (Haimov, 2011). Нека \(h_{1}, h_{2}, h_{3}\) и \(h_{4}\) са разстоянията от произволна точка \(L\) в равнината на \(A B C D\) съответно до правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\). Точката \(L\), за която \(\tfrac{h_{1}}{h_{3}}=\tfrac{A B}{C D}\) и \(\tfrac{h_{2}}{h_{4}}=\tfrac{B C}{D A}\), се нарича точка на Лемоан за \(A B C D\) (фиг. 7).

Накрая ще припомним, че описаните около триъгълниците \(A B U, B C V\), \(C D U\) и \(D A V\) окръжности имат обща точка \(M\), която се нарича точка на Микел за четириъгълника \(A B C D\) (фиг. 8). Следващите свойства на \(A B C D\), свързани с точката на Микел, са доказани в (Nenokov, Stefanov, Haimov, 2017).

( 7) Точката на Микел \(M\) образува със срещуположните страни двойки подобни триъгълници, т.е. \(\triangle A D M \sim \triangle B C M\) и \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\) (фиг. 8).

( 8) Ъглите \(A M C, B M D\) и \(U M V\) имат обща ъглополовяща \(l\), която се нарича ос на Микел за \(A B C D\) (фиг. 8).

( 9) Изпълнени са равенствата \(A M . C M=B M . D M=U M . V M=r^{2}\), където числото \(r^{2}\) се нарича константа на Микел (фиг. 8).

(10) Точката на Микел \(M\) лежи върху Брокаровите окръжности на четириъгълника, които са съответни на двойките срещуположни страни (фиг. 6).

С точката на Микел \(M\) е свързано едно преобразувание в равнината на четириъгълника \(A B C D\), което играе първостепенна роля при доказателствата на почти всички твърдения в настоящата статия. То се дефинира като композиция от осева симетрия \(g\) спрямо оста на Микел и инверсия \(I\) с полюс точката \(M\) и степен константата на Микел \(r^{2}\). Това изображение ще означаваме с \(\operatorname{Ig}\left(M, r^{2}\right)\) и ще наричаме инверсна изогоналност спрямо четириъгълника \(A B C D\). Изображението \(\operatorname{Ig}\left(M, r^{2}\right)\) притежава свойствата:

(*) при \(I g\) окрьжност, неминаваща през полюса \(M\), се изобразява в окръжност, неминаваца през \(M\);

\((* *)\) при \(I g\) права през \(M\) се изобразява в права през \(M\);

\((* * *)\) при \(I g\) брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) се изобразяват една в друга, т.е. \(\operatorname{Ig}\left(K_{1}\right)=K_{2}\) и \(\operatorname{Ig}\left(K_{2}\right)=K_{1}\);

\((* * * *)\) при \(I g\) първият псевдоцентър \(O\) се изобразява в пресечната точка на диагоналите \(T\), т.е. \(\operatorname{Ig}(O)=T\) и \(\operatorname{Ig}(T)=O\);

\((* * * * *)\) при \(I g\) вторият псевдоцентър \(O_{1}\) се изобразява в точката на Лемоан \(L\), т.е. \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\) и \(\operatorname{Ig}(L)=O_{1}\).

След тези уводни бележки ще пристъпим към разглеждане връзките между изброените забележителни точки в четириъгълника.

2. Окръжност на Лемоан и окръжност на епицентъра

Както е известно, центърът на описаната окръжност, точката на Лемоан и точките на Брокар в триъгълника лежат на една окръжност. Сега ще установим, че техните аналози в произволен изпъкнал четириъгълник също лежат на една окръжност.

Теорема 1. Първият псевдоцентър \(O\), точката на Лемоан \(L\) и брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) лежат на една окръжност, която е образ на Брокаровата окръжност при инверсната изогоналност Ig (фиг. 9) .

Доказателство. От свойства ( 3) и ( 4) следва, че точките \(K_{1}, K_{2}, T\) и \(O_{1}\) лежат на Брокаровата окръжност ( \(c\) ) за четириъгълника \(A B C D\). Освен това

според свойствата \((* * *),(* * * *)\) и \((* * * * *)\) на \(\operatorname{Ig}\), имаме \(\operatorname{Ig}\left(K_{1}\right)=K_{2}\), \(\operatorname{Ig}\left(K_{2}\right)=K_{1}, \operatorname{Ig}(T)=O\) и \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\). От последните равенства и (*)

(*)

следва, че точките \(K_{2}, K_{1}, O\) и \(L\) лежат на една окръжност ( \(k\) ) (фиг. 9). С това теоремата е доказана.

Определение 1. Окръжността, върху която лежат брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\), точката на Лемоан \(L\) и първият псевдоцентьр \(O\), ще наричаме окръжност на Лемоан.

Според доказаната теорема окръжността на Лемоан \((k)\) е инверсно изогонална на Брокаровата окръжност( \(c\) ) .

Теорема 2. Средите \(E\) и \(F\) съответно на диагоналите \(A C\) и \(B D\), епицентърьт \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\) и ортоцентърьт \(H\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) лежат на една окръжност, симетрична на Брокаровата относно центъра на тежестта \(G\) (фиг. 10) .

Доказателство. Симетрията относно центъра на тежетрията относно центьра на тежестта \(G\) означаваме с \(g_{0}\) (фиг.10). Според свойство (1) епицентърьт \(\boldsymbol{E}\) и пресечната точка на диагоналите \(T\) са симетрични относно \(G\). Следователно \(g_{0}(T)=\mathcal{E}\). Същевременно центърът на тежестта \(G\) е среда на отсечката \(E F\). Затова \(g_{0}(E)=F\) и \(g_{0}(F)=E\). Накрая от свойство (4) имаме \(g_{0}\left(O_{1}\right)=H\). Тъй като точките \(T, E, F\) и \(O_{1}\) лежат на Брокаровата окръжност ( \(c\) ), то и техните образи при симетрията \(g_{0}\) лежат на една окръжност \(\left(k_{0}\right)\), която е симетрична на Брокаровата (c) относно \(G\).

Определение 2. Окръжността, върху която лежат средите \(E\) и \(F\) на диагоналите на \(A B C D\), епицентър \(\boldsymbol{\mathcal { E }}\) и ортоцентърьт \(H\), ще наричаме окръжност на епицентъра.

Според доказаната теорема окръжността на епицентъра \(\left(k_{0}\right)\) е симетрична на Брокаровата окръжност ( \(c\) ) относно центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника \(A B C D\).

3. Права на Микел и права на Лемоан

Сега ще докажем колинеарността на две тройки от разглежданите забележителни за четириъгълника точки и че двете прави, върху които лежат тези точки, са съответни при инверсната изогоналност. Ще използваме следващите две леми.

Лема 1. Брокарианата \(K_{1}\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\), и точката на Микел \(M\) са свързани с равенството \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{B M}{C M}\).

Доказателство. От свойство ( 2) е известно, че \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta C D K_{1}\) (фиг. 11). Затова е изпълнено \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{A B}{C D}\). Аналогично от свойство ( 7) следва \(\tfrac{B M}{C M}=\tfrac{A B}{C D}\). Като сравним двете равенства, получаваме \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{B M}{C M}\), с което лемата е доказана.

Лема 2. Изпълнено е равенството е \(∢ K_{1} E T=∢ M E_{2} U\).

Доказателство. Точката, симетрична на \(M\) относно средата \(E_{2}\) на страната \(B C\), означаваме с \(M_{1}\) (фиг. 12). Четириъгълникът \(M_{1} B M C\) е успоредник, поради което \(M_{1} B=C M\). Оттук и равенството \(\tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{B M}{C M}\) (по лема 1) получаваме:

(i) \[ \tfrac{A K_{1}}{C K_{1}}=\tfrac{B M}{M_{1} B} \]

Ще докажем, че \(\triangle A K_{1} C \sim \Delta M B M_{1}\). От ( \(i\) ) следва, че за това е достатъчно да докажем равенството \(∢ A K_{1} C=∢ M B M_{1}\). Понеже от свойство ( 2) следва \(∢ B A K_{1}=∢ K_{1} C D\), то четириъгълникът \(A V C K_{1}\) е вписан в окръжност. Оттук имаме \(∢ A K_{1} C=180^{0}-∢ A V C\). Същевременно точката на Микел \(M\) лежи на описаната около \(\triangle B C V\) окръжност и затова \(∢ B M C=∢ B V C=∢ A V C\). Оттук следва, че \(∢ A K_{1} C=180^{0}-∢ A V C=180^{0}-∢ B M C==∢ M B M_{1}\). Така се убеждаваме, че \(∢ A K_{1} C=∢ M B M_{1}\), което доказва подобието на триъгълниците \(A K_{1} C\) и \(M B M_{1}\). В тези триъгълници отсечките \(K_{1} E\) и \(B E_{2}\) са съответни медиани, а \(C\) и \(M_{1}\)– съответни върхове. Следователно \(∢ K_{1} E C=∢ B E_{2} M_{1}\), т.е. \(∢ K_{1} E T=∢ M E_{2} U\). С това лемата е доказана.

Теорема 3. Вторият псевдоцентър \(O_{1}\), пресечната точка на диагоналите \(T\) и точката на Микел M лежат на една права (фиг. 13) .

Доказателство. От свойства ( 4) и ( 5) е известно, че вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи на антисимедианата \(K_{1} U\) и е обща точка на Брокаровата окръжност (\(c\) ) и Брокаровата окръжност (\(c^{\prime}\) ) , съответна на страните \(A D\) и \(B C\) (фиг. 13). Освен това от свойство ( 3) за( \(c\) ) и аналогичното му за ( \(c^{\prime}\) ), имаме \(K_{1}, E, T \in(c)\) и \(U, M, E \in\left(c^{\prime}\right)\) (фиг. 13). Като вземем предвид и равенството \(∢ K_{1} E T=∢ U E_{2} M\) (по лема 2 ), получаваме последователно \(∢ T O_{1} K_{1}=∢ T E K_{1}=∢ M E_{2} U=∢ M O_{1} U\), т.е. \(∢ T O_{1} U=∢ M O_{1} U\), където ъглите са ориентирани еднакво. Така заключаваме, че \(O_{1} T \rightarrow\) и \(O_{1} M \rightarrow\) сключват равни ъгли с \(O_{1} U^{\rightarrow}\), откъдето следва, че те съвпадат. С това се убеждаваме, че точките \(O_{1}, T\) и \(M\) лежат на една права.

Определение 3. Правата, върху която лежат вторият псевдоцентьр \(O_{1}\), пресечната точка на диагоналите \(T\) и точката на Микел \(M\), ще наричаме права на Микел.

Теорема 4. Първият псевдоцентърът \(O\), точката на Лемоан \(L\) и точката на Микел M лежат на една права, която е образ на правата на Микел при инверсната изогоналност (фиг. 14).

Доказателство. Според теорема 3 и определение 3 точките \(O_{1}, T\) и \(M\) лежат върху правата на Микел. Тъй като тази права минава през полюса \(M\) на инверсната изогоналност \(I g\), според свойство \((* *)\) тя се изобразява в права през \(M\). От друга страна, поради свойства (****) и (*****) имаме \(\operatorname{Ig}(T)=O\) и \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\). Следователно точките \(L, O\) и \(M\) лежат на една права, която е образ на правата на Микел при инверсната изогоналност \(\operatorname{Ig}\) (фиг. 14).

Определение 4. Правата, върху която лежат първият псевдоцентър \(O\), точката на Лемоан \(L\) и точката на Микел \(M\), ще наричаме права на Лемоан.

От последната теорема следва, че правата на Микел и правата на Лемоан са инверсно изогонални.

4. Други връзки между забележителни точки в четириъгълника

Теорема 5. Правата, определена от двата псевдоцентъра \(O\) и \(O_{1}\), е успоредна на правата, определена от точката на Лемоан \(L\) и пресечната точка \(T\) на диагоналите (фиг. 14).

Доказателство. От свойства (****) и (*****) на инверсната изогоналност \(\operatorname{Ig}\) имаме \(\operatorname{Ig}(T)=O\) и \(\operatorname{Ig}\left(O_{1}\right)=L\) (фиг. 14). Затова са изпълнени равенствата \(M T . M O=r^{2}\) и \(M O_{1} . M L=r^{2}\). Оттук следва \(M O_{1} . M L=M T . M O\). Следователно \(\tfrac{M O_{1}}{M T}=\tfrac{M O}{M L}\). Като вземем предвид, че точките \(O_{1}, T\) и \(M\) лежат върху правата на Микел, а точките \(O, L\) и \(M\) лежат върху правата на Лемоан, заключаваме, че \(T L \| O O_{1}\).

В заключение привеждаме без доказателство още две интересни твърдения, свързващи разглежданите забележителни точки.

Теорема 6. Правите \(O T, O_{1} L\) и \(K_{1} K_{2}\) се пресичат в една точка (фиг. 15) .

Теорема 7. Четириъгълниците \(O_{1} K_{2} L K_{1}\) и \(O_{1} O L T\) имат общ първи псевдоцентър (фиг. 16) .

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Haimov, H. (1997). The epicenter – a notable point in the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics, 1, 18 – 24. [Хаимов, Х. (1997). Епицентърът – забележителна точка в четириъгълника, Математика, \(1,18-24\).]

Haimov, H. (2001). The Brocardians – notable points in the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 6, 17 – 23. [Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика \(u\) информатика, 6, 17 – 23.]

Haimov, H. (2005). Brocardians of the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics, 5, 15 – 22. [Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълника, Математика, 5, 15 – 22.]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral (In Bulgarian). Mathematics Plus, 2, 28 – 51. [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 51.]

Haimov, H. (2011). Lemoin point (In Bulgarian). Mathematics, 6, 3 – 12. [Хаимов, Х. (2011). Точка на Лемоан, Математика, 6, 3 – 12.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2016). Pseudocenter and orthocenter –

notablepointsin thequadrilateral(in Bulgarian). Mathematicsand Informatics, 6, 614 – 625. [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов ( 2016). [Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника, Математика \(u\) информатика, 6, 614 – 625.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of the quadrilateral. Miquel point. Inverse isogonality (In Bulgarian). Mathematics and Informatics, 1, \(81-93\). [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов (2017). Геометрия на четириъгълника. Точка на Микел. Инверсна изогоналност, Математика и информатика, 1, 81 – 93.]

Stefanov, S. (2017). Second pseudocenter of the quadrilateral (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 2, 261 – 270. [Стефанов, Ст. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 3, 261 – 270.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice) . Sofia: ADE. (ISBN 978-954-92139-1-1.)

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of complex numbers, Sofia: Arhimedes 2000. (ISBN 978-954-779-1886.)

Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.) (In Bulgarian). Sofia: Iztok-Zapad. (ISBN 978-619-152-8691). 327 pages [Георгиева, М. & С. Гроздев 2016). [Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.) София: Изток – Запад.]