Резюме. В тази публикация се разглеждат свойствата на една забележителна точка в изпъкнал четириъгълник, която е естествено обобщение на центъра на вписаната окръжност на описания четириъгълник. Изследва се връзката на тази точка с едно универсално преобразувание в равнината на четириъгълника, както и връзката Ӝ с вече изучена друга забележителна точка в четириъгълника.

Ключови думи: quadrilateral; notable point; transformation

Центърът на описаната окръжност на вписания четириъгълник се обобщава спрямо една част от свойствата си с точка в произволен изпъкнал четириъгълник, наречена псевдоцентър (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2016). В (Stefanov, 2017) същият център е обобщен спрямо друга част от свойствата си с друга точка в изпъкнал четириъгълник, наречена втори псевдоцентър. Тук ще обобщим центъра на вписаната окръжност на описания четириъгълник. Обобщената точка, която ще наричаме инцентър на четириъгълника, съвпада с едната от двете двойни точки на изображението инверсна изогоналност, разгледано в (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017). От това съвпадение произтичат ред свойства на въпросната точка – следствия от общите свойства на двойките инверсно изогонални точки в четириъгълника. Интересни свойства на инцентъра обобщават свойства на неговия праобраз. Съществува връзка между инцентъра и псевдоцентъра на неговия педален четириъгълник. Разстоянията му до върховете на четириъгълника са свързани с важна зависимост и за тях съществуват любопитни формули. Във вписан в окръжност четириъгълник тези разстояния участват и в друга интересна зависимост.

Нека \(J\) е центърът на вписаната окръжност на описания четириъгълник \(A B C D\) (фиг. 1).

Ще потърсим такива характеристични равенства, изпълнени за тази точка, които са изпълнени и за определена точка в произволен четириъгълник. Имаме \(\measuredangle J A B=\measuredangle J A D\) и \(\measuredangle J C B=\measuredangle J C D\), откъдето следва, че

\[ \measuredangle J A B+\measuredangle J C B=\measuredangle J A D+\measuredangle J C D=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C) . \]

Аналогично \(\measuredangle J B A+\measuredangle J D A=\measuredangle J B C+\measuredangle J D C=\tfrac{1}{2}(\measuredangle B+\measuredangle D)\).

Така получаваме системата Обратно, центърът \(J\) на вписаната окръжност е единствената точка в четириъгълника, за която е изпълнена системата равенства (1) (в теорема 1 по-долу това е доказано за обобщението на центъра на вписаната окръжност, а следователно е вярно и за самия център \(J\) ).

Както ще видим сега, системата равенства (1) е изпълнена и за определена точка в произволен четириъгълник.

Лема 1. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Геометричното място на точките \(X\) в \(A B C D\), за които е изпълнено равенството \(\measuredangle X A D+\measuredangle X C D=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C)\), е дъа \(\overparen{k_{1}}\) от окръжност, лежаща в по-луравнината на правата \(A C\), съдържаща върха на по-малкия от ъглите \(ABC\) и \(CDA\) . От точките на \(\overparen{k_1}\) диагоналът AC се вижда под ъгъл \(\varphi=180^{\circ}-\tfrac{1}{2}|\measuredangle D-\measuredangle B|\).

Доказателство. Нека за определеност \(\measuredangle B \leq ∢ D\) и \(X\) е произволна точка от дъгата \(\overparen{k_1}\) , дефинирана в лемата (фиг. 2).

Ще покажем, че за нея е изпълнено равенството \(\measuredangle X A D+\measuredangle X C D=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C)\), т.е. че тя е от въпросното геометрично място. Имаме

\[ \measuredangle A X C=\varphi=180^{\circ}-\tfrac{1}{2}|\measuredangle D-\measuredangle B|=180^{\circ}-\tfrac{1}{2}(\measuredangle D-\measuredangle B) . \]

От четириъгълника \(A X C D\), след заместване с помощта на последното равенство, получаваме:

\[ \begin{aligned} & \measuredangle X A D+\measuredangle X C D=360^{0}-\measuredangle D-\measuredangle A X C=360^{0}-\measuredangle D-\left[180^{0}-\tfrac{1}{2}(\measuredangle D-\measuredangle B)\right]= \\ & =180^{0}-\tfrac{1}{2}(\measuredangle D+\measuredangle B)=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C) \end{aligned} \] Убедихме се, че за точката \(X\) от дъгата \(\overparen{k_{1}}\) е изпълнено равенството \(\measuredangle X A D+\measuredangle X C D=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C)\). По обратния път се доказва, че ако \(X\) е произволна точка в четириъгълника, за която е изпълнено последното равенство, то \(X\) лежи на дъгата \(\overparen{k_1}\) от условието на лемата.

Теорема 1 (за съществуване на инцентъра). Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Съществува единствена точка \(J\) в него, за която са изпълнени равенствата \((1)\) и тя е обща точка на дъгата \(\overparen{k_1}\) от условието на лемата и аналогичната дъга \(\overparen{k2}\) от точките на която диагоналът \(BD\) се вижда под ъгъл \(\psi=180^{\circ}-\tfrac{1}{2}|\measuredangle C-\measuredangle A|\).

Доказателство. Нека \(J\) е общата точка на дъгите \(\overparen{k_{1}}\) и \(\overparen{k_{2}}\). От \(J \in \overparen{k_{1}}\) следва, че е изпълнено равенството \(\measuredangle J A D+\measuredangle J C D=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C)\) (по лемата) (фиг. 2). Аналогично от \(J \in \overparen{k_{2}}\) следва, че е изпълнено равенството \(\measuredangle J B A+\measuredangle J D A=\tfrac{1}{2}(\measuredangle B+\measuredangle D)\). Получихме, че за точката \(J\) е изпълнена системата равенства (1). Обратно, ако \(J^{\prime}\) е точка, за която са изпълнени равенството \(\quad \measuredangle J^{\prime} A D+\measuredangle J^{\prime} C D=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C) \quad\) и равенството \(\measuredangle J^{\prime} B A+\measuredangle J^{\prime} D A=\tfrac{1}{2}(\measuredangle B+\measuredangle D)\), то по лемата \(J^{\prime} \in \overparen{k_{1}}\) и \(J^{\prime} \in \overparen{k_{2}}\), т.е. \(J^{\prime}\) е общата точка на двете дъги. С това се убедихме, че системата равенства (1) е изпълнена за определена точка в четириъгълника и че такава точка има само една.

Определение 1. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Точката \(J\), за която е изпълнена системата равенства(1), ще наричаме инцентър на четириъгълника.

Общата точка \(J_{1}\) на противоположните на \(k_{1}\) и \(k_{2}\) дъги в съответните окръжности (фиг. 2) се характеризира със свойства, аналогични на тези на инцентъра. Ще я наричаме аутцентър на четириъгълника.

От доказаната теорема 1 и лема 1 следва непосредствено следното характеристично свойство на инцентъра.

Свойство 1. Диагоналите \(A C\) и \(B D\) на изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) се виждат от инцентъра \(J\) под ъгли \(\measuredangle A J C=180^{\circ}-\tfrac{1}{2}|\measuredangle D-\measuredangle B| \quad\) и \(\measuredangle B J D=180^{0}-\tfrac{1}{2}|∢ C-∢ A|\). При това инцентърът лежи в полуравнината на правата \(A C\), съдържаща върха на по-малкия от ъглите \(\measuredangle B\) и \(\measuredangle D\), и в полуравнината на правата \(B D\), съдържаща върха на по-малкия от ъглите \(\measuredangle A\) и \(\measuredangle C\).

Забележка. Лесно се съобразява, че диагоналите \(A C\) и \(B D\) се виждат от аутцентъра \(J_{1}\) под ъгли \(\measuredangle A J_{1} C=\tfrac{1}{2}|\measuredangle D-\measuredangle B|\) и \(\measuredangle B J_{1} D=\tfrac{1}{2}|\measuredangle C-\measuredangle A|\) (и последният лежи извън четириъгълника).

Известно е, а и лесно се проверява, че във вписан четириъгълник пресечната точка \(T\) на диагоналите е център на вписаната окръжност за педалния си четириъгълник. Както ще видим, това твърдение остава вярно и за произволен четириъгълник, като центърът на вписаната окръжност в педалния четириъгълник на точката \(T\) се заменя с инцентъра му.

Свойство 2. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(T\) е пресечната точка на диагоналите му. Инцентърът на педалния четириъгълник на точката \(T\) съвпада с \(T\).

Доказателство. Означаваме ортогоналните проекции на точката \(T\) върху страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника \(A B C D\) съответно с \(M\), \(N, P\) и \(Q\) (фиг. 3).

Понеже четириъгълниците \(A M T Q\) и \(Q T P D\) са вписани, имаме:

\[ \measuredangle Q M T+\measuredangle Q P T=\measuredangle Q A T+\measuredangle Q D T=180^{\circ}-\measuredangle A T D . \]

Аналогично, понеже четириъгълниците \(T M B N\) и \(T N C P\) са вписани, по-лучаваме:

\[ \measuredangle N M T+\measuredangle N P T=\measuredangle N B T+\measuredangle N C T=180^{\circ}-\measuredangle B T C . \]

Но \(\measuredangle A T D=\measuredangle B T C\) и като сравним десните части на горните две равенства, стигаме до равенството \(\measuredangle Q M T+\measuredangle Q P T=\measuredangle N M T+\measuredangle N P T\). Получихме, че за точката \(T\) е изпълнено едното равенство от системата равенства от определение 1 (по отношение на четириъгълника \(M N P Q\) ). Аналогично се доказва, че за нея е изпълнено и другото равенство. Следователно точката \(T\) е инцентърът на четириъгълника \(M N P Q\).

Забележка. Обратно, лесно се доказва, че в изпъкнал четириъгълник пресечната точка на диагоналите е единствената точка, която е инцентър за педалния си четириъгълник.

За изложението по-нататък ще ни потрябва едно равенство между ъгли, свързано с инцентъра на изпъкнал четириъгълник, от което следват важни негови свойства.

Свойство 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Инцентърът му \(J\) се характеризира със системата равенства:

Доказателство. За инцентъра \(J\) по определение 1 са изпълнени равенствата (фиг. 4) \(\measuredangle J A B+\measuredangle J C B=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C)\) и \(\measuredangle J B A+\measuredangle J D A=\tfrac{1}{2}(\measuredangle B+\measuredangle D)\). От друга страна, \(\measuredangle A J B=180^{0}-\measuredangle J A B-\measuredangle J B A\). Като изразим ъглите \(J A B\) и \(J B A\) от по-горните равенства и заместим в последното, получаваме:

\[ \begin{aligned} & \measuredangle A J B=180^{\circ}-\left[\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C)-\measuredangle J C B\right]-\left[\tfrac{1}{2}(\measuredangle B+\measuredangle D)-\measuredangle J D A\right]= \\ & =180^{\circ}-\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle B+\measuredangle C+\measuredangle D)+\measuredangle J D A+\measuredangle J C B=\measuredangle J D A+\measuredangle J C B . \end{aligned} \]

Доказахме първото от равенства (2). Аналогично се доказват и останалите равенства. Обратно, лесно се проверява, че ако за една точка в четириъгълника \(A B C D\) е изпълнена системата равенства (2), то тя съвпада с инцентъра му.

С помощта на системата равенства (2) ще докажем следното важно свойство на инцентъра.

Свойство 4. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Инцентърът му \(J\) е единствената точка, за която описаните окръжности (\(k_{1}\) ) \(u\left(k_{2}\right)\) съответно на триъгълниците \(A J D\) и \(B J C\) са външно допирателни и описаните окръжности \(\left(k_{3}\right) u\left(k_{4}\right)\) съответно на триъгълниците \(A J B\) и \(C J D\) са също външно допирателни.

Доказателство. Означаваме с \(U\) произволна точка в \(\measuredangle A J B\), за която \(\measuredangle A J U=\measuredangle J D A\) (фиг. 5).

Правата \(J U\) се допира до описаната окръжност ( \(k_{1}\) ) на \(\triangle A J D\) в точка \(J\) (както следва от теоремата за вписан и периферен ъгъл). Понеже \(\measuredangle A J B=\measuredangle J D A+\measuredangle J C B\) (от свойство 3) имаме \(\measuredangle J C B=\measuredangle A J B-\measuredangle J D A\). Но \(\measuredangle J D A=\measuredangle A J U\) (от по-горе), поради което

\[ \measuredangle J C B=\measuredangle A J B-\measuredangle J D A=\measuredangle A J B-\measuredangle A J U=\measuredangle B J U, \] т.е. \(\measuredangle J C B=\measuredangle B J U\). Следователно правата \(J U\) се допира и до описаната окръжност ( \(k_{2}\) ) на \(\triangle B J C\) в точка \(J\). Можем да заключим, че окръжностите \(\left(k_{1}\right)\) и \(\left(k_{2}\right)\) са външно допирателни. Аналогично се доказва, че и окрьжностите \(\left(k_{3}\right)\) и \(\left(k_{4}\right)\) са външно допирателни. Обратно, лесно се проверява, че ако \(J^{\prime}\) е точка в четириъгълника \(A B C D\), за която окрьжностите ( \(k_{1}\) ) и ( \(k_{2}\) ), описани съответно около триъгълниците \(A J^{\prime} D\) и \(B J^{\prime} C\), са външно допирателни, и окрьжностите ( \(k_{3}\) ) и ( \(k_{4}\) ), описани съответно около триъгълниците \(A J^{\prime} B\) и \(C J^{\prime} D\), са също външно допирателни, то \(J^{\prime}\) съвпада с инцентьра \(J\) на \(A B C D\).

Аналогично се доказва, че ако \(J_{1}\) е аутцентърът на \(A B C D\), то описаните окръжности на \(\triangle A J_{1} B\) и \(\Delta C J_{1} D\) са допирателни и описаните окръжности на \(\Delta B J_{1} C\) и \(\Delta A J_{1} D\) са също допирателни.

Едно очевидно свойство на центъра на вписаната окръжност на описания четириъгълник е, че той е център на описаната окръжност на педалния си четириъгълник. Както ще видим сега, това свойство е налице и за произволен четириъгълник, като ролята на центьра на описаната окръжност играе псевдоцентърът, а ролята на центьра на вписаната окръжност - инцентърът.

Свойство 5. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Псевдоцентърът на педалния четириъгълник на инцентъра му \(J\) съвпада с \(J\).

Доказателство. Означаваме ортогоналните проекции на инцентъра \(J\) върху страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника \(A B C D\) съответно с \(M\), \(N, P\) и \(Q\), P и Q , а проекциите му върху страните \(Q M, M N, N P\) и \(P Q\) на четириъгълника \(M N P Q\) съответно с \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\) и \(\widetilde{D}_{1}\) (фиг. 6).

Понеже четириъгьлниците \(A_{1} J D_{1} Q\) и \(A_{1} M B_{1} J\) са вписани, имаме:

\[ \measuredangle D_{1} A_{1} B_{1}=\measuredangle D_{1} A_{1} J+\measuredangle J A_{1} B_{1}=\measuredangle D_{1} Q J+\measuredangle J M B_{1}=\measuredangle P Q J+\measuredangle J M N . \]

Същевременно понеже и четириъгълниците \(Q J P D\) и \(M B N J\) са вписани, имаме:

\[ \measuredangle P Q J+\measuredangle J M N=\measuredangle P D J+\measuredangle J B N . \]

Тогава \(\measuredangle D_{1} A_{1} B_{1}=\measuredangle P Q J+\measuredangle J M N=\measuredangle P D J+\measuredangle J B N\). Но в съответствие с равенствата (1) от определение 1 от четириъгълника \(A B C D\) получаваме: \(\measuredangle P D J+\measuredangle J B N=\tfrac{1}{2}(\measuredangle B+\measuredangle D)\).

Следователно \(\measuredangle D_{1} A_{1} B_{1}=\tfrac{1}{2}(\measuredangle B+\measuredangle D)\). По същия начин се доказва, че и \(\measuredangle D_{1} C_{1} B_{1}=\tfrac{1}{2}(\measuredangle B+\measuredangle D)\). Получихме, че \(\measuredangle D_{1} A_{1} B_{1}=\measuredangle D_{1} C_{1} B_{1}\). Аналогично се доказва, че и \(\measuredangle A_{1} B_{1} C_{1}=\measuredangle A_{1} D_{1} C_{1}\). Следователно \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) е успоредник. Но този успоредник е педалният четириъгълник на вътрешната за четириъгълника \(M N P Q\) точка \(J\) относно последния. Можем да заключим, че \(J\) е псевдоцентър на четириъгълника \(M N P Q\) (Nenkov, Stefanov \& Haimov, 2016). С това свойството е доказано.

Преди да се спрем на следващите свойства на инцентъра, ще разгледаме едно преобразувание в равнината на изпъкнал четириъгълник, което ще използваме при доказателството на тези свойства.

Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник, в който продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а тези на страните \(A B\) и \(C D\)– в точка \(V\) (фиг.7). Доказва се, че описаните окръжности около триъгълниците \(A B U, C D U, A D V\) и \(B C V\) имат обща точка \(M\). Тя се нарича точка на Микел за четириъгълника \(A B C D\).

Определение 2. Композицията от симетрията \(g\) с ос ъглополовящата \(m\) на \(∢ B M D\) и инверсията \(I\) с полюс \(M\) и степен \(r^{2}=B M . D M\) се нарича инверсна изогоналност спрямо \(A B C D\).

Определение 3. Нека \(A B\) е произволна отсечка в равнината. Казваме, че точките \(X\) и \(Y\) са изогонални спрямо отсечката \(A B\), ако те лежат на окръжност, минаваща през точките \(A\) и \(B\).

В (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017) са доказани следните свойства на изображението инверсна изогоналност, които ще използваме тук.

Теорема 2. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(X_{1}\) и \(X_{2}\) са две точки в него, за които съществува точка \(Y\), изогонална на \(X_{1}\), спрямо всяка от страните \(A D\) и \(B C\) и изогонална на \(X_{2}\) спрямо всяка от страните \(A B\) и \(C D\). Тогава точките \(X_{1}\) и \(X_{2}\) са инверсно изогонални спрямо \(A B C D\) (фиг. 8).

Теорема 3. Нека в четириъгълника \(A B C D\) дължините на страните \(A B\), \(B C, C D\) и \(D A\) са съответно \(a, b, c\) и \(d\). Ако точките \(X_{1}\) и \(X_{2}\) са инверсно изогонални спрямо \(A B C D\), то са изпълнени равенствата (фиг.8).

\[ \tfrac{A X_{2}}{B X_{2}}=\tfrac{C X_{1}}{D X_{1}} \cdot \tfrac{d}{b}, \tfrac{B X_{2}}{C X_{2}}=\tfrac{D X_{1}}{A X_{1}} \cdot \tfrac{a}{c}, \tfrac{C X_{2}}{D X_{2}}=\tfrac{A X_{1}}{B X_{1}} \cdot \tfrac{b}{d}, \tfrac{D X_{2}}{A X_{2}}=\tfrac{B X_{1}}{C X_{1}} \cdot \tfrac{c}{a} . \]

Както ще видим сега, от доказаното по-горе свойство 4 на инцентъра \(J\) следва, че той е двойна точка за преобразуванието инверсна изогоналност. Наистина, понеже окръжностите \(k_{1}(A, J, D)\) и \(k_{2}(B, J, C)\) се допират в точка \(J\) (фиг. 9) (свойство 4), то изогоналната точка \(J^{\prime}\) на инцентъра \(J\) спрямо всяка от страните \(A D\) и \(B C\) е отново точката \(J\) (виж определение 3). Аналогично, изогоналната точка \(J^{\prime \prime}\) на инцентъра \(J\) относно всяка от страните \(A B\) и \(C D\) също съвпада с \(J\). Инверсно изогоналната точка на \(J^{\prime}\) е \(J^{\prime \prime}\) (по цитираната теорема 2). Тъй като \(J^{\prime} \equiv J^{\prime \prime} \equiv J\), заключаваме, че инцентърът \(J\) е инверсно изогонален сам на себе си.

Аналогично се доказва, че аутцентърът е втората двойна точка за инверсната изогоналност.

Сега ще докажем две важни зависимости между разстоянията на инцентъра \(J\) до върховете на четириъгълника.

Свойство 6. Нека ABCD е изпъкнал четириъгълник и J е инцентърът му. Изпълнени са равенствата:

(3) \(\tfrac{A J}{C J}=\tfrac{\sqrt{A B \cdot A D}}{\sqrt{B C \cdot C D}}, \tfrac{B J}{D J}=\tfrac{\sqrt{A B \cdot B C}}{\sqrt{A D \cdot D C}} .\)

Доказателство. Инцентърът \(J\) се изобразява при инверсната изогоналност в себе си (по току-що доказаното). От цитираната теорема 3 тогава имаме \(\tfrac{A J}{D J}=\tfrac{C J}{B J} \cdot \tfrac{A B}{C D}\) и \(\tfrac{A J}{B J}=\tfrac{C J}{D J} \cdot \tfrac{A D}{B C}\) (фиг. 9). Оттук след почленно умножение и просто преобразуване получаваме \(\tfrac{A J^{2}}{C J^{2}}=\tfrac{A B \cdot A D}{B C \cdot C D}\), т.е. \(\tfrac{A J}{C J}=\tfrac{\sqrt{A B \cdot A D}}{\sqrt{B C \cdot C D}}\). Доказахме първото от равенства \((3)\) . Аналогично се доказва и второто равенство.

Забележка. Лесно се доказва, че системата равенства \((3)\) е изпълнена за разстоянията единствено на инцентъра и аутцентъра до върховете на четириъгълника.

Сега ще се спрем на една зависимост между разстоянията от инцентъра до върховете на вписан в окръжност четириъгълник.

Свойство 7. Нека \(A B C D\) е вписан в окръжност четириъгълник и \(S_{A B C}\), \(S_{B C D}, S_{C D A}\) и \(S_{D A B}\) са лицата съответно на триъгълниците \(A B C, B C D\), \(C D A\) и \(D A B\). За разстоянията на инцентьра \(J\) до върховете на четириъгълника е изпълнена зависимостта:

(4)\[ A J^{2} \cdot S_{B C D}=B J^{2} \cdot S_{C D A}=C J^{2} \cdot S_{D A B}=D J^{2} \cdot S_{A B C} \]

Доказателство. Означаваме дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника \(A B C D\) съответно с \(a, b, c\) и \(d\), , а дължините на диагоналите \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(m\) и \(n\) (фиг.10).

Нека \(J_{1}\) е точка в полуравнината на правата \(A B\), несъдържаща четириъгълника \(A B C D\), за която са изпълнени равенствата:

(5)\[ \measuredangle J_{1} A B=\measuredangle J D C, ∢ J_{1} B A=\measuredangle J C D \]

Триъгълниците \(A J_{1} B\) и \(D J C\) са подобни, откъдето имаме:

(6)\[ \tfrac{A J_{1}}{D J}=\tfrac{a}{c}, \tfrac{B J_{1}}{C J}=\tfrac{a}{c} . \]

Ще докажем първо, че \(\triangle A J J_{1} \sim \Delta J C B\). От доказаното в началото свойство 3 имаме равенството \(\measuredangle B J C=\measuredangle J A B+\measuredangle J D C\). С помощта на (5) оттук получаваме \(\measuredangle B J C=\measuredangle J A B+\measuredangle J D C=\measuredangle J A B+\measuredangle J_{1} A B=J A J_{1}\), т.е. \(∢ B J C=∢ J A J_{1}\). За да докажем, че \(\triangle A J J_{1} \sim \triangle J C B\), остава да докажем пропорцията \(\tfrac{A J_{1}}{A J}=\tfrac{J B}{J C}\).

Точката \(J\) е двойна за инверсната изогоналност спрямо \(A B C D\) (по доказаното по-горе), затова към нея можем да приложим равенствата от цитираната по-горе теорема 3 за инверсно изогоналните точки. Получаваме равенството \(\tfrac{D J}{A J}=\tfrac{J B}{J C} \tfrac{c}{a}\). Същевременно от първото равенство в (6) имаме \(\tfrac{A J_{1}}{D J}=\tfrac{a}{c}\). Като умножим почленно последните две равенства, получаваме пропорцията \(\tfrac{A J_{1}}{A J}=\tfrac{J B}{J C}\). С това доказахме, че \(\triangle A J J_{1} \sim \triangle J C B\), откъдето имаме

(7)\[ \measuredangle J C B=\measuredangle A J J_{1} . \]

По определението на инцентъра \(J\) е изпълнено равенството \(\measuredangle J A B+\measuredangle J C B=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C)\). Но понеже по условие четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност, имаме \(\measuredangle A+\measuredangle C=180^{\circ}\). Следователно \(\measuredangle J A B+\measuredangle J C B=90^{\circ}\). С помощта на (7) оттук получаваме:

\[ \measuredangle J A B+\measuredangle A J J_{1}=\measuredangle J A B+\measuredangle J C B=90^{\circ}, \text { т.е. } \measuredangle J A B+\measuredangle A J J_{1}=90^{\circ} . \]

Нека \(J J_{1} \cap A B=E\). От последното равенство следва, че \(\triangle A E J\) е правоъгълен, т.е. че диагоналите на четириъгълника \(A J B J_{1}\) са взаимно перпендикулярни. Лесно се съобразява, че тогава е изпълнено равенството: \(A J^{2}+B J_{1}^{2}=A J_{1}^{2}+B J^{2}\). От друга страна, от равенство (6) имаме \(A J_{1}^{2}=\tfrac{a^{2}}{c^{2}} D J^{2}\) и \(B J_{1}^{2}=\tfrac{a^{2}}{c^{2}} C J^{2}\) и от последното равенство получаваме:

(8)\[ A J^{2}+\tfrac{a^{2}}{c^{2}} C J^{2}=\tfrac{a^{2}}{c^{2}} D J^{2}+B J^{2} \]

Но от свойство (5) следва, че \(\tfrac{D J^{2}}{B J^{2}}=\tfrac{c d}{a b}\) и \(\tfrac{C J^{2}}{A J^{2}}=\tfrac{b c}{a d}\), т.е. че \(D J^{2}=\tfrac{c d}{a b} B J^{2}\) и \(C J^{2}=\tfrac{b c}{a d} A J^{2}\). С помощта на последните равенства заместваме в (8) и получаваме:

\[ A J^{2}+\tfrac{a b}{c d} A J^{2}=\tfrac{a d}{b c} B J^{2}+B J^{2}, \text {, .е. } \tfrac{A J^{2}}{B J^{2}}=\tfrac{a d+b c}{a b+c d} \cdot \tfrac{d}{b} . \]

Но както лесно се доказва, във вписан четириъгълник е в сила зависимостта \(\tfrac{m}{n}=\tfrac{a d+b c}{a b+c d}\) и от последното равенство получаваме \(\tfrac{A J^{2}}{B J^{2}}=\tfrac{m d}{n b}\). Понеже \(\measuredangle D B C=\measuredangle C A D\), оттук следва, че \(A J^{2} n b \sin D B C=B J^{2} m d \sin C A D\), т.е. че \(A J^{2} . S_{B C D}=B J^{2} S_{C D A}\). Така доказахме първото от равенствата (4). Аналогично се доказват и останалите равенства.

Ще приведем без доказателство още четири свойства на инцентъра на четириъгълник, които следват от това, че той е двойна точка за изображението инверсна изогоналност.

Свойство 8. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Педалният триъгълник на инцентъра му \(J\) относно \(\triangle A B C\) е подобен на педалния триъгълник на \(J\) относно \(\triangle A C D\).

Свойство 9. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и продълженията на страните му \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\), а тези на \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\) (\(C\) лежи между \(B\) и \(U\), както и между \(D\) и \(V\) ). За инцентъра \(J\) е изпълнено равенството \(\measuredangle U J V=\tfrac{1}{2}(\measuredangle A+\measuredangle C)\).

Свойство 10. Инцентърът и аутцентърът на изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) са симетрични относно точката му на Микел \(M\) и лежат на общата ъглополовяща на ъглите \(A M C\) и \(B M D\).

Свойство 11. Нека \(A B C D\) е четириъгълник, който не е успоредник, и дължините на страните му \(A B, B C, C D\) и \(D A\) са съответно \(a, b, c\) и \(d, a\) тези на диагоналите \(A C\) и \(B D\)– съответно m и \(n\). Ако e е разстоянието между средите на диагоналите, то разстоянието от инцентъра \(J\) до върховете \(A, B, C\) и \(D\) се изразява по формулите.

\[ \begin{aligned} & A J^{2}=\tfrac{a d}{4 e^{2}}\left[a d+b c-\sqrt{(a d+b c)^{2}-4 m^{2} e^{2}}\right], \\ & B J^{2}=\tfrac{a b}{4 e^{2}}\left[a b+c d-\sqrt{(a b+c d)^{2}-4 n^{2} e^{2}}\right], \\ & C J^{2}=\tfrac{b c}{4 e^{2}}\left[a d+b c-\sqrt{(a d+b c)^{2}-4 m^{2} e^{2}}\right], \\ & D J^{2}=\tfrac{c d}{4 e^{2}}\left[a b+c d-\sqrt{(a b+c d)^{2}-4 n^{2} e^{2}}\right] . \end{aligned} \]

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2016). The pseudocenter and the orthocenter – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6, 614 – 525. [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов (2016). Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника, Математика \(u\) информатика, 6, 614 – 625.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of quadrilateral, Miquel point, Inverse isogonality, Mathematics and Informatics, 1, 81 – 93.[Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов. (2017). Геометрия на четириъгълника, точка на Микел, инверсна изогоналност, Математика и информатика, 1, 81 – 93.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2018). Perfect isogonality in quadrilateral, Mathematics and Informatics, 2, 175 – 189. [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов. (2018). Перфектна изогоналност в четириъгълник, Математика и информатика, 2, 175 – 189.]

Stefanov, S. (2017). Second pseudo centerofquadrilateral, MathematicsandInformatics, 3, 261 – 270. [Стефанов, С. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълника, Математика и информатика, 3, 252 – 261.]

Shabanova, M., R. Atamuratova, M. Belorykova, V. Nenkov & M. Pavlova (2016). The game “Geometry scrabble in cloud” an organizational form of the international student research groups.Mathematics and education in mathematics, 45, 223 – 228.(ISSN 1313-3330).

Sergeeva, T., M. Shabanova & S. Grozdev (2014). Foundations of Dynamic Geometry. Moscow: ASOU. [Сергеева, Т., М. Шабанова & С. Гроздев. (2014). Основы динамической геометрии. Москва: АСОУ.]

Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (4thed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad” (ISBN 987-619-152-8691), 327 pages. [Георгиева, М. & С. Гроздев. (2016). Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.). София: Изток – Запад. (ISBN 987-619-152-869-1), 327 стр.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Around the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Archimedes. [Гроздев, С. & В. Ненков (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Three notable points on the medians of the triangle. Sofia: Archimedes 2000. [Гроздев, С. & В., Ненков. (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000.]

Grozdev, S. & V. Nenkov. (2017). Gaining new knowledge by computer experiments. Journal of Educational Sciences & Psychology, vol. VІІ (LXIX), No 1B. Special Issue – International Conference Education and Psychology Challenges – Teachers for the knowledge society – \(4^{\text {th }}\) edition, May, 122-125, ISSN 2247-6377. (ISSN online version 2247-8558).

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics: The Bulgaria Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE (ISBN 978-954-92139-1-1).