Резюме. В статията са описани свойства на една забележителна точка в изпъкнал четириъгълник – обобщение на центъра на описаната окръжност на вписания четириъгълник. Разгледани са връзките ѝ с други забележителни точки в четириъгълника.

Ключови думи: quadrilateral; notable point; Euler Circle; Lemoin point; Brocardian circle

Първият псевдоцентър на четириъгълника е забележителна точка в изпъкнал четириъгълник, с която естествено се обобщава центърът на описаната окръжност на вписания четириъгълник (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2016). За обобщената точка се запазват част от свойствата на изходната. Както ще видим тук, в изпъкнал четириъгълник има точка, в която центърът на описаната окръжност на вписания четириъгълник се обобщава по друга част от свойствата си. Тази точка е пресечна точка на четири окръжности, дефинирани за изпъкнал четириъгълник, пресечна точка на която във вписан четириъгълник е имено центърът на описаната окръжност. Също като последния тя лежи на Брокаровата окръжност (Haimov, 2001). Има интересни връзки с точката на Лемоан (Haimov, 2011) и други интересни свойства.

Определение 1. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник. Окръжността \(\left(c_{A}\right)\), определена от средите на страните \(A D\) и \(A B\) и средата на диагонала \(A C\), ще наричаме окръжност на Хапач, съответна на върха \(A\). Аналогично се дефинират и окръжностите на Хапач, съответни на върховете \(B, C\) и \(D\).

Ще докажем следната

Лема 1. Във вписан четириъгълник \(A B C D\) окръжностите на Хапач се пресичат в центъра \(O\) на описаната окръжност.

Доказателство. Означаваме средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), , а средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(E\) и \(F\) (черт. 1).

Центърът \(O\) на описаната окръжност на четириъгълника \(A B C D\) лежи на симетралите на страните и диагоналите му, ето защо имаме: \(∢ A E_{4} O=∢ A E O=∢ A E_{1} O=90^{\circ}\). Тогава точките \(E_{4}, E\) и \(E_{1}\) лежат на окръжност с диаметър \(A O\). Следователно точката \(O\) лежи на окръжността, определена от точките \(E_{4}, E, E_{1}\), т.е. на окръжността (\(c_{A}\) ) на Хапач, съответна на върха А. Аналогично се доказва, че точката \(O\) лежи на окръжностите на Хапач, съответни на другите три върха на четириъгълника.

Показахме, че във вписан четириъгълник окръжностите на Хапач имат обща точка и това е центърът \(O\) на описаната окръжност. Както ще видим сега и в произволен четириъгълник окръжностите на Хапач имат обща точка.

Теорема 1. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник. Окръжностите на Хапач, съответни на четирите му върха, се пресичат в една точка, симетрична на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника.

Доказателство. Означаваме средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), , а средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(E\) и \(F\) (черт. 2).

Ще покажем, че окръжността на Хапач \(\left(c_{A}\right)\), съответна на върха \(A\), е симетрична на Ойлеровата окръжност на \(\Delta B C D\) спрямо центъра на тежестта \(G\) на четириъгълника. Добре известно е, а и лесно се доказва, че центърът на тежестта \(G\) е среда на отсечките \(E_{1} E_{3}\) и \(E_{4} E_{2}\), определени от средите на срещуположните страни и на отсечката \(E F\), определена от средите на диагоналите. При симетрията спрямо \(G\) точките \(E_{3}, F\) и \(E_{2}\) се изобразяват съответно в точките \(E_{1}, E\) и \(E_{4}\). Следователно окръжността, определена от точките \(E_{3}, F\) и \(E_{2}\)– Ойлеровата окръжност на \(\Delta B C D\), се изобразява в окръжността, определена от точките \(E_{1}, E\) и \(E_{4}\)– окръжността на Хапач, съответна на върха . Аналогично се доказва, че Ойлеровите окръжности на триъгълниците \(C D A, D A B\) и \(A B C\) се изобразяват в окръжностите на Хапач, съответни на другите три върха на четириъгълника. Но Ойлеровите окръжности на триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) се пресичат в една точка – ортоцентъра \(H\) на четириъгълника (Хаимов, 2010). Следва, че и симетричните образи на тези окръжности спрямо центъра на тежестта \(G\)– окръжностите на Хапач на четириъгълника \(A B C D\), се пресичат в една точка \(O_{1}\), симетрична на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\).

Доказахме, че в произволен четириъгълник окръжностите на Хапач се пресичат в една точка \(O_{1}\).

Определение 2. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник. Общата точка \(O_{1}\) на окръжностите на Хапач ще наричаме втори псевдоцентър на четириъгълника.

Според доказаната теорема вторият псевдоцентър \(O_{1}\) на четириъгълника е симетричен на ортоцентъра \(H\) спрямо центъра на тежестта \(G\). Във вписан четириъгълник той съвпада с центъра на описаната окръжност.

В (Хаимов, 2001) е показано, че центърът на описаната окръжност на вписания четириъгълник лежи върху Брокаровата му окръжност. Последната е определена от средите на диагоналите и тяхната пресечна точка. Сега ще по-кажем, че и обобщението на центъра на описаната окръжност – вторият псевдоцентър \(O_{1}\) на четириъгълника лежи на тази окръжност.

Теорема 2. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник. Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи на Брокаровата окръжност.

Доказателство. Означаваме средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\) съответно с \(E\) и \(F\), а пресечната им точка с \(T\) (черт. 3).

Ще разгледаме случая, когато точките \(E, F\) и \(T\) са различни. Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) е обща точка на окръжностите на Хапач, съответни на върховете \(A\) и \(B\) (по определение 2), т.е. на окръжностите, определени съответно от тройките точки \(E, E_{1}, E_{4}\) и \(E_{1}, F, E_{2}\). По теоремата за ъгли с еднопосочни рамене имаме:

\[ ∢ E_{1} E_{4} E=∢ B D C, ∢ E_{1} E_{2} F=∢ A C D . \]

Означаваме с \(P\) точка от продължението на отсечката \(E_{1} O_{1}\) и с помощта на тези равенства получаваме:

\[ ∢ E O_{1} F=∢ E O_{1} P+∢ F O_{1} P=∢ E_{1} E_{4} E+∢ E_{1} E_{2} F=∢ B D C+∢ A C D=∢ B T C=∢ F T C . \] Получихме \(∢ E O_{1} F=∢ F T C\); можем да заключим, че четириъгълникът \(E O_{1} F T\) е вписан в окръжност. С това се убедихме, че вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи на окръжността, определена от точките \(E, F\) и \(T\), т.е. на Брокаровата окръжност на четириъгълника \(A B C D\).

Както ще видим сега, в пълен четириъгълник има още две окръжности, аналогични на Брокаровата, и вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи и върху тях.

Определение 3. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник и \(A D\) пресича \(B C\) в точка \(U, A B\) пресича \(D C\) в точка \(V\) и \(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}\) са средите съответно на страните \(A B, B C, C D, D A\). Окръжността, определена от точките \(E_{1}, E_{3}\) и \(V\), ще наричаме Брокарова окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). Аналогично се дефинира и Брокаровата окръжност, съответна на на страните \(A D\) и \(B C\).

Ще покажем, че вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи върху току-що дефинираните окръжности.

Теорема 3. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник. Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи на Брокаровите окръжности, съответни на двойките срещуположни страни.

Доказателство. Означаваме средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) съответно с \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\) съответно с \(E\) и \(F\) (черт. 4).

Ще докажем, че вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи върху Брокаровата окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). Последната е определена по дефиниция от точките \(E_{1}, E_{3}\) и \(V\). Достатъчно е, следователно да докажем равенството: \(∢ E_{1} O_{1} E_{3}+∢ E_{1} V E_{3}=180^{\circ}\). Имаме \(∢ E_{1} F E_{2}=∢ A D C\), \(∢ E_{2} E E_{3}=∢ B A D\) (като ъгли с еднопосочни рамене). Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) лежи на окръжностите на Хапач, съответни на върховете \(B\) и \(C\), т.е. на окръжностите, определени съответно от тройките точки \(E_{1}, F, E_{2}\) и \(E_{2}, E\), \(E_{3}\). Като използваме горните равенства, получаваме:

\[ ∢ E_{1} O_{1} E_{3}=∢ E_{1} O_{1} E_{2}+∢ E_{2} O_{1} E_{3}=∢ E_{1} F E_{2}+∢ E_{2} E E_{3}=∢ A D C+∢ B A D \] т.е.

\[ ∢ E_{1} O_{1} E_{3}=∢ A D C+∢ B A D . \]

Ето защо имаме: \(∢ E_{1} O_{1} E_{3}+∢ E_{1} V E_{3}=(∢ A D C+∢ B A D)+∢ A V D=180^{\circ}\), с което доказателството е завършено.

И така, доказахме, че Брокаровите окръжности, съответни на двойките срещуположни страни, минават през втория псевдоцентър \(O_{1}\) на четириъгълника. По-нататък ще ни потрябва и фактът, че те минават още и през точката на Микел \(M\), както и през съответната брокариана на четириъгълника.

Теорема 4. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(M\) е точката му на Микел, а \(K_{1}\) е брокарианата, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). Брокаровата окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\), минава през точките \(M u K_{1}\).

Доказателство. Означаваме средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\), BC, CD и DA, съответно с \(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}\) (черт. 5).

U

Точката на Микел \(M\) образува със срещуположните страни \(A B\) и \(C D\) подобни триъгълници (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017), т.е. имаме: \(\triangle A B M \sim \triangle D C M\). При подобието \(B\) и \(C\) са съответни върхове, а \(M E_{1}\) и \(M E_{3}\) – съответни медиани. Лесно се доказва, че тогава \(\triangle M E_{1} B \sim \Delta M E_{3} C\), откъдето имаме: \(∢ M E_{1} B=∢ M E_{3} C\), т.е. \(∢ M E_{1} V=∢ M E_{3} V\). Можем следователно да заключим, че четириъгълникът \(E_{1} V M E_{3}\) е вписан в окръжност. С други думи, точката на Микел \(M\) лежи на окръжността, определена от точките \(E_{1}, E_{3}\) и \(V\), т.е. на Брокаровата окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). Аналогично и брокарианата \(K_{1}\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\), образува с тези страни подобни триъгълници, т.е. \(\triangle A B K_{1} \sim \Delta C D K_{1}\) (Haimov, 2001). При подобието \(B\) и \(D\) са съответни върхове, а K1E1 и K1E3 – съответни върхове, а \(K_{1} E_{1}\) и \(K_{1} E_{3}\)-съответни медиани. Лесно се доказва, че тогава: \(\Delta K_{1} E_{1} B \sim \Delta K_{1} E_{3} D\), откъдето имаме: \(∢ B E_{1} K_{1}=∢ D E_{3} K_{1}\), т.е \(∢ V E_{1} K_{1}=∢ D E_{3} K_{1}\). Можем да заключим, че четириъгълникът \(E_{1} V E_{3} K_{1}\) е вписан в окръжност. С други думи, брокарианата \(K_{1}\) лежи на окръжността, определена от точките \(E_{1}, E_{3}\) и \(V\), т.е. на Брокаровата окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\). С това теоремата е доказана.

Забележка 1. Аналогично се доказва, че Брокарвата окръжност, съответна на страните \(A D\) и \(B C\), минава през точката на Микел \(M\) и през брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\).

Забележка 2. Лесно се проверява, че всяка от Брокаровите окръжности, съответни на двойките срещуположни страни, минава и през пресечната точка на симетралите на съответните страни.

И така, доказахме, че върху Брокаровите окръжности, съответни на двойките срещуположни страни, лежат вторият псевдоцентър \(O_{1}\), точката на Микел М и съответната брокариана. Интересно е, че върху тях лежат и други забележителни точки на четириъгълника. Заедно с изходната Брокарова окръжност те образуват тройка забележителни окръжности на четириъгълника.

Сега ще покажем, че образ на втория псевдоцентър \(O_{1}\) при инверсната изогоналност на Микел е точката на Лемоан (Haimov, 2011).

Теорема 5. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник. \(A D\) пресича \(B C\) в точка \(U, A B\) пресича \(D C\) в точка \(V\) и \(I g\) е инверсната изогоналност спрямо него. Ако \(O_{1}\) е вторият псевдоцентър а \(L\)– точката на Лемоан, то е изпълнено \(\operatorname{Ig}(L)=O_{1}\).

Доказателство. Точката на Лемоан е пресечна точка на симедианите \(U K_{2}\) и \(V K_{1}\) на четириъгълника (Хаимов, 2011) (черт. 6), където \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са съответните брокариани.

Имаме: \(\operatorname{Ig}\left(K_{1}\right)=K_{2}\) и \(\operatorname{Ig}(U)=V\) (Nenkov, Stefanov, Haimov, 2017). При изображението \(I g\) правата \(V K_{1}\) се изобразява в окръжност ( \(c_{1}\) ), минаваща през полюса на \(I g\) - точката на Микел \(M\), и през образите на точките \(V\) и \(K_{1}\) от правата \(V K_{1}\) - съответно точките \(U\) и \(K_{2}\). Но през точките \(M, U\) и \(K_{2}\) минава точно Брокаровата окръжност, съответна на страните \(A D\) и \(B C\). Заключаваме, че образ на симедианата \(V K_{1}\) при \(I g\) е Брокаровата окръжност, съответна на страните \(A D\) и \(B C\). Аналогично се доказва, че образ на симедианата \(U K_{2}\) при \(I g\) е Брокаровата окръжност \(\left(c_{2}\right)\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\). Ето защо образ на точката на Лемоан \(L\) - общата точка на симедианите \(U K_{2}\) и \(V K_{1}\) при инверсната изогоналност \(I g\), е общата точка на двете Брокарови окръжности ( \(c_{1}\) ) и ( \(c_{2}\) ), а това по теорема 3 е вторият псевдоцентър \(O_{1}\).

Следствие 1. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник, \(O_{1}\) е вторият му псевдоцентъ \(p, L\)– точката на Лемоан, а \(K_{1} u K_{2}\)– съответните брокариани. Точката на Микел \(M\) на четириъгълника \(A B D C\) е точка на Микел и на четириъгълника \(O_{1} K_{2} L K_{1}\).

Доказателство. Нека \(I g\) е инверсната изогоналност спрямо четириъгълника \(A B C D\). Имаме: \(\operatorname{Ig}(L)=O_{1}\) (по току-що доказаната теорема) и \(\operatorname{Ig}\left(K_{1}\right)=K_{2}\) (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017). Можем следователно да заключим, че полюсът на \(I g\)– точката на Микел М на четириъгълника \(A B C D\) е точка на Микел и на четириъгълника \(O_{1} K_{2} L K_{1}\) (от свойство 3I на инверсната изогоналност (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017)).

Ще се спрем на още едно свойство на втория псевдоцентър \(O_{1}\).

Определение 4. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник, \(A D\) пресича \(B C\) в точка \(U, A B\) пресича \(D C\) в точка \(V\) и \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са съответните брокариани. Правите \(U K_{1}\) и \(V K_{2}\) ще наричаме антисимедиани на четириъгълника.

Ще покажем, че антисимедианите се пресичат във втория псевдоцентър \(O_{1}\).

Теорема 6. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник, \(A D\) пресича \(B C\) в точка \(U, A B\) пресича \(D C\) в точка \(V\) и \(K_{1}\) и \(K_{2}\) са съответните брокариани. Вторият псевдоцентър \(O_{1}\) е пресечна точка на антисимедианите \(U K_{1} u V K_{2}\).

Доказателство. Нека \(L\) е точката на Лемоан на четириъгълника \(A B C D\), т.е. пресечната точка на симедианите \(V K_{1}\) и \(U K_{2}\) (черт. 6). Означаваме пресечната точка на правите \(O K_{1}\) и \(L K_{2}\) с \(U_{1}\), а пресечната точка на правите \(O_{1} K_{2}\) и \(L K_{1}\) с \(V_{1}\). За да докажем, че \(O_{1} U_{1}\) и \(O_{1} V_{1}\) са антисимедианите на четириъгълника \(A B C D\), е достатъчно да докажем, че \(U_{1} \equiv U\) и \(V_{1} \equiv V\). Точката на Микел \(M\) на четириъгълника \(A B C D\) е точка на Микел и на четириъгълника \(O_{1} K_{2} L K_{1}\) (по следствие 1 от теорема 5). Продълженията на срещуположните страни в последния се пресичат в точките \(U_{1}\) и \(V_{1}\). Следователно \(M\) е втората обща точка на описаните окръжности на \(\Delta O_{1} K_{2} U_{1}\) и на \(\Delta O_{1} K_{1} V_{1}\). С други думи, точките \(O_{1}, K_{2}, U_{1}\) и \(M\) лежат на една окръжност, което означава, че точката \(U_{1}\) лежи на окръжността, определена от точките \(O_{1}, K_{2}\) и \(M\). Но по-следната е Брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ) на четириъгълника \(A B C D\), съответна на страните му \(A D\) и \(B C\). Следователно \(U_{1}\) е пресечна точка на правата \(L K_{2}\) с Брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ) . Понеже точката \(U\) също лежи както на правата \(L K_{2}\), така и на окръжността (\(c_{1}\) ) , можем да заключим, че \(U_{1} \equiv U\). Аналогично се доказва, че \(V_{1} \equiv V\), с което теоремата е доказана.

В заключение привеждаме без доказателство още три интересни свойства на втория псевдоцентър.

Свойство 1. В изпъкнал четириъгълник пресечните точки на симетралите на срещуположните страни, пресечната точка на симетралите на диагоналите и вторият псевдоцентър лежат на една окръжност.

Свойство 2. В четириъгълник с перпендикулярни диагонали вторият псевдоцентър съвпада с епицентъра (Haimov, 1997).

Свойство 3. \(B\) четириъгълник с перпендикулярни диагонали правата, определена от първия и втория псевдоцентър, е успоредна на Гаусовата права (Haimov, 1999).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Haimov, H. (2001). The Brocardians – notable points in the quadrilateral.

Mathematics and Informatics, 6, 17 – 23. [Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 17 – 23.] Haimov, H. (2011). Lemoin point, Mathematics, 6, 3 – 12. [Хаимов, Х. (2011).

Точка на Лемоан, Математика, 6, 3 – 12.]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral, Mathematics Plus, 2, 28 – 50. [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 50.]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2016). Pseudocenter and orthocenter – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6, 614 – 625. [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов. (2016). Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 614 – 625.] Haimov, H. (1997). The epicenter – a notable point in the quadrilateral, Mathematics, 1, 18 – 23. [Хаимов, Х. (1997). Епицентърът – забележителна точка в четириъгълника, Математика, 1, 18 – 23.]

Haimov, H. (1999). Gauss line in the quadrilateral, Mathematics, 1, 11 – 16. [Хаимов, Х. (1999). Гаусова права в четириъгълник, Математика, 1, 11 – 16.] Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2017). Geometry of the quadrilateral. Miquel point. Inverse isogonality, Mathematics and Informatics, 1, 81 – 93. [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов. (2017). Геометрия на четириъгълника. Точка на Микел. Инверсна изогоналност, Математика и информатика, 1, 81 – 93.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Three notable points on the medians of a triangle. Sofia: Archimedes 2000. (ISBN 978-954-779-136-7). [Гроздев, С. & В.,

Ненков (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000. (ISBN 978-954-779-136-7).]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Around the orthocenter in the plane and space. Sofia: Archimedes 2000. (ISBN 978-954-779-145-9). [Гроздев, С. & В.,

Ненков (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед 2000. (ISBN 978-954-779-145-9).]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE. (ISBN 978-954-92139-1-1).

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of complex numbers, Sofia: Arhimedes 2000. (ISBN 978-954-779-1886).

Georgieva, M. & S. Grozdev (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (\(4^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad”. (ISBN 978-619152-869-1). 327 pages. [Георгиева М. Гроздев С. (2016). [Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.) София: Издателство „Изток

– Запад“.]