Научно-методически статии
РАЗСТОЯНИЯ МЕЖДУ ЗАБЕЛЕЖИТЕЛНИ ТОЧКИ И НЕРАВЕНСТВА В ИЗПЪКНАЛ ЧЕТИРИЪГЪЛНИК
https://doi.org/10.53656/math2024-3-2-int
Резюме. В тази статия, с помощта на изведените в (Nenkov 2019) и (Nenkov 2022) формули за разстоянията от някои забележителни точки в четириъгълник до върховете и до средите на страните и диагоналите му са получени формули за разстоянията от тези забележителни точки до пресечната точка на диагоналите и до пресечните точки на двойките срещуположни страни на изпъкнал четириъгълник. Изведени са също и формули за разстоянията от още една забележителна точка до върховете на такъв четириъгълник, както и до разгледаните в (Nenkov 2019) забележителни точки. С помощта на получените формули за тези разстояния са доказани ред интересни неравенства.
Ключови думи: изпъкнал четириъгълник; забележителни точки; разстояния между забележителни точки; неравенства в четириъгълник
1. Увод
Един от най-бързо водещите до целта методи за доказване на неравенства в триъгълника се базира на използването на формули за разстояния между негови забележителни точки. Така например с помощта на формулата за разстоянието между центровете на вписаната и описаната му окръжност се доказва неравенството на Ойлер \(R \geq 2 r\). С по-мощта на формулата за разстоянието между центъра на описаната му окръжност и точката му на Лемоан се доказва неравенството на Нойберг \(a^{2}+b^{2}+c^{2} \leq 9 R^{2}\) и т.н.
Както е показано в статията, този метод за получаване на геометрични неравенства може да бъде пренесен и в четириъгълника. Той се състои в следното: първо извеждаме формули за разстоянията между различни забележителни точки в четириъгълника, както и за разстоянията между тях и други, да ги наречем обикновени точки (например: върховете на четириъгълника, пресечната точка на диагоналите му, пресечните точки на продълженията на срещуположните му страни и т.н.). След това съставяме различни триъгълници с върхове три от въпросните точки, за разстоянията между всеки две от които имаме вече изведени формули и към изразените разстояния, явяващи се дължини на страните на тези триъгълници, прилагаме неравенството на триъгълника или някакво друго неравенство. По този начин се получават неравенства в четириъгълника, свързващи мерките на различни негови елементи.
Така в (Nenkov et al. 2019) изведохме интересни неравенства, свързващи дължините на страните и диагоналите на четириъгълника. В настоящата статия извеждаме неравенства, в които освен мерките на страните и диагоналите на четириъгълника участват и мерките на други негови елементи: лицето му, ъгълът между диагоналите му, ъглите между продълженията на срещуположните му страни и др. Получените неравенства, както и изведените в статията формули за разстояния между забележителни точки в четириъгълника, обогатяват познанията ни за него и са важно звено от класическата му геометрия.
2. Забележителни точки. Дефиниции и свойства
В статията разглеждаме изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) без успоредни страни, в който продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точката \(U\), а продълженията на \(A B\) и \(D C\) се пресичат в точката \(V\), като при това \(C\) лежи между \(U\) и \(B\) и между \(D\) и \(V\) (фиг. 1).
Фигура 1
Фигура 2
Дължините на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) означаваме съответно с \(a, b, c\) и \(d\), b, c и d, дължините на диагоналите \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(m\) и \(n\), а мерките на ъглите при върховете \(A, B, C\) и \(D\)– съответно с \(\alpha, \beta, \gamma\) и \(\delta\). Средите на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) бележим съответно с \(E_{1}\), \(E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\), E3 и E4, а средите на диагоналите \(A C\) и \(B D\)– съответно с \(E\) и \(F\). Въвеждаме и означенията: \(A C \cap D B=T, ∢ A U B=\varphi, ∢ A V D=\psi\), \(∢ A T D=\varphi_{0},\left|E_{2} E_{4}\right|=l_{1},\left|E_{1} E_{3}\right|=l_{2},|E F|=l_{3}\). Отсечките \(E_{2} E_{4}, E_{1} E_{3}\) и \(E F\) наричаме средни отсечки на четириъгълника. Да отбележим, че техните дължини се определят по следните формули на Ойлер:
\[ \begin{aligned} & l_{1}=\tfrac{1}{2} \sqrt{m^{2}+n^{2}+a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}} \\ & l_{2}=\tfrac{1}{2} \sqrt{m^{2}+n^{2}+b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}} \\ & l_{3}=\tfrac{1}{2} \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}-m^{2}-n^{2}} \end{aligned} \]
2.1. Брокариани \(K_{1} u K_{2}\)
Определение 1. Втората обща точка \(K_{1}\) на описаните около триъгълниците \(A B T\) и \(C D T\) окръжности се нарича брокариана, съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (фиг. 2). Аналогично се дефинира брокарианата \(K_{2}\), съответна на страните \(A D\) и \(B C\).
Определение 2. Окръжността (c), определена от средите \(E\) и \(F\) на диагоналите \(A C\) и \(B D\) и тяхната пресечна точка \(T\), се нарича брокарова окръжност на четириъгълника (фиг. 2). (В случай, че \(F \equiv T\), това е окръжността, минаваща през точките \(T\) и \(E\), която се допира до диагонала \(B D\) в точка \(T\) ).
Свойство 1 (Haimov 2005). Брокарианите \(K_{1} u K_{2}\) лежат на брокаровата окръжност (c).
Определение 3. Окръжността (\(c_{1}\) ), определена от средите \(E_{1}\) и \(E_{3}\) на страните \(A B\) и \(C D\) и пресечната точка \(V\) на продълженията им, се нарича брокарова окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (фиг. 2).
Свойство 2 (Stefanov 2017). брокарианата \(K_{1}\) лежи на брокаровата окръжност, съответна на страните \(A B\) и \(D C\) (фиг. 2).
Свойство 3 (Haimov 2001). Изпълнени са равенствата (фиг. 2):
\[ ∢ A K_{1} D=∢ A C D+∢ A B D ; \quad ∢ B K_{1} C=∢ B A C+∢ B D C . \] (Предполагаме, че \(K_{1}\) е вътрешна за четириъгълника \(A B C D\).)
Свойство 4 (Nenkov 2019). Разстоянията между брокарианите \(K_{1}\) \(u K_{2} u\) върховете на четириъгълника и средите на страните \(u\) диагоналите му се определят по формулите:
\[ K_{1} A=\tfrac{m a}{2 l_{1}}, \quad K_{1} B=\tfrac{n a}{2 l_{1}}, \quad K_{1} C=\tfrac{m c}{2 l_{1}}, \quad K_{1} D=\tfrac{n c}{2 l_{1}}, \quad K_{2} A=\tfrac{d m}{2 l_{2}} \]
\[ \begin{gathered} K_{2} B=\tfrac{b n}{2 l_{2}}, \quad K_{2} C=\tfrac{b m}{2 l_{2}}, \quad K_{2} D=\tfrac{d n}{2 l_{2}}, \quad K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}, \quad K_{1} E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}}, \\ K_{1} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}}, \quad K_{1} F=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{1}}, \quad K_{2} E_{4}=\tfrac{d l_{1}}{2 l_{2}}, \quad K_{2} E_{2}=\tfrac{b l_{1}}{2 l_{2}}, \quad K_{2} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{2}}, \\ K_{2} F=\tfrac{n l_{3}}{2 l_{2}}, \quad K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}} . \end{gathered} \]
2.2. Псевдоиентър \(O\)
Нека \(R_{A B C}, R_{B C D}, R_{C D A}\) и \(R_{D A B}\) са радиусите на описаните окръжности, съответно около триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) (виж фиг. 3). Псевдоцентър на четириъгълника се нарича точката \(O\) в равнината му, за която са изпълнени равенствата:
\[ A O \cdot R_{B C D}=B O \cdot R_{C D A}=C O \cdot R_{D A B}=D O \cdot R_{A B C}=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle}}, \]
където \(\triangle\) е величина, която предстои да определим.
Свойство 5 (Nenkov 2016). В сила са равенствата (фиг. 3):
\[ \begin{gathered} ∢ A O B=∢ A D B+∢ A C B, \quad ∢ B O C=∢ B A C+∢ B D C, \\ ∢ C O D=∢ C A D+∢ C B D, ∢ D O A=∢ D B A+∢ D C A, \\ ∢ B O D=180^{\circ}-|\gamma-\alpha|, \quad ∢ C O A=180^{\circ}-|\beta-\delta| . \end{gathered} \] (Предполагаме, че \(O\) е вътрешна за четириъгълника \(A B C D\).)
Фигура 3
Фигура 4
2.3. Точка на Микел \(M\)
Точка на Микел на четириъгълника се нарича общата точка на описаните окръжности около триъгълниците \(A B U, D C U, A D V\) и \(B C V\).
Свойство 6 (Nenkov 2017). Точките \(B, O, D\) и \(M\) лежат на една окръжност (фиг. 4).
Свойство 7 (Stefanov 2017). Точката на Микел \(M\) лежи на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (фиг. 4).
Свойство 8 (Nenkov 2019). В сила са равенствата:
\[ \begin{aligned} & M A=\tfrac{a d}{2 l_{3}}, M B=\tfrac{a b}{2 l_{3}}, M C=\tfrac{c d}{2 l_{3}}, M D=\tfrac{c d}{2 l_{3}}, M E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{3}} \\ & M E_{2}=\tfrac{b l_{1}}{2 l_{3}}, M E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}, M E_{4}=\tfrac{d l_{1}}{2 l_{3}}, M K_{1}=\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}, M K_{2}=\tfrac{b d l_{1}}{2 l_{2} l_{3}} . \end{aligned} \]
2.4. Пресечни точки \(P_{1}\) и \(P_{2}\) на симетралите на срещуположните страни и пресечна точка \(P_{3}\) на симетралите на диагоналите
Пресечната точка на симетралите на страните \(A B\) и \(C D\) означаваме с \(P_{1}\), пресечната точка на симетралите на страните \(A D\) и \(B C-\) с \(P_{2}\), а тази на симетралите на диагоналите \(A C\) и \(B D-\) с \(P_{3}\).
Свойство 9 (Nenkov 2022). Точката \(P_{3}\) лежи на брокаровата окръжност (c).
Свойство 10 (Nenkov 2022). Точката \(P_{1}\) лежи на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\).
Свойство 11 (Nenkov 2022). В сила са равенствата:
\[ \begin{aligned} & P_{1} M=\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{3} \sin \psi}, P_{2} M=\tfrac{\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 l_{3} \sin \varphi}, P_{3} K_{1}=\tfrac{\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \varphi_{0}} \\ & P_{3} K_{2}=\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{2} \sin \varphi_{0}}, P_{1} K_{1}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi}, P_{2} K_{2}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{2} \sin \varphi} . \end{aligned} \]
Преди да пристъпим към извежданото на формули за разстоянията между така разгледаните забележителни точки в четириъгълника, да докажем две помощни равенства в него, които използваме нееднократно по-нататък:
Лема 1. В сила е равенството:
(∗)\[ a \cdot C V-c \cdot B V=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi} \]
Доказателство. По теоремата на Менелай за \(\triangle A V D\) и правата \(U C B\) имаме (фиг. 5):
(1)\[ \tfrac{A B}{B V} \cdot \tfrac{C V}{C D} \cdot \tfrac{U D}{A U}=1 \]
Фигура 5
Фигура 6
Понеже \(A B=a, C D=c, A U=d+U D\), CD = c , AU = d + UD , оттук получаваме:
\[ a \cdot C V \cdot U D=B V \cdot c \cdot(d+U D) \] От последното равенство определяме:
(2)\[ a \cdot C V-c \cdot B V=\tfrac{B V \cdot d \cdot c}{U D} \]
От друга страна, от \(\triangle B C V\) и \(\triangle D C U\) по синусовата теорема имаме: \[ \tfrac{\sin \psi}{b}=\tfrac{\sin ∢ B C V}{B V} ; \quad \tfrac{\sin \varphi}{c}=\tfrac{\sin ∢ U C D}{U D} . \] Понеже \(∢ B C V=∢ U C D\), получаваме \(\tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}=\tfrac{c}{b} \cdot \tfrac{B V}{U D}\), откъдето следва \(\tfrac{B V \cdot d \cdot c}{U D}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}\). От (2) и последното равенство непосредствено получаваме доказваното равенство (∗).
За изложението по-нататък въвеждаме означенията:
\[ A T=\bar{m}, \quad B T=\bar{n}, \quad C T=\bar{p}, \quad D T=\bar{q} . \]
Лема 2. В сила е равенството:
(3)\[ m \bar{n}-n \bar{p}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} \]
Доказателство. Като използваме равенството \(a \cdot C V-c \cdot B V=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}\) (по Лема 1), получаваме последователно (фиг. 5):
\[ m \bar{n}-n \bar{p}=(\bar{m}+\bar{p}) \bar{n}-(\bar{n}+\bar{q}) \bar{p}=\bar{m} \cdot \bar{n}-\bar{p} \cdot \bar{q}= \]
\[ \begin{gathered} =\tfrac{2}{\sin \varphi_{0}}\left(S_{A B T}-S_{C D T}\right)=\tfrac{2}{\sin \varphi_{0}}\left(S_{A V C}-S_{B V D}\right)= \\ =\tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}}[C V \cdot(a+B V)-B V \cdot(c+C V)]= \\ =\tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}}(a \cdot C V-c \cdot B V)=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} \end{gathered} \]
С това равенство (3) е доказано.
3. Формули за разстоянията от псевдоцентъра \(O\) до върховете на четириъгълника, до брокарианите му \(K_{1}\) и \(K_{2}\) и до точката \(M\) на Микел
От определението на псевдоцентъра \(O\) непосредствено следват равенствата (фиг. 6):
(4)\[ \begin{aligned} & A O=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle} \cdot R_{B C D}}, B O=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle} \cdot R_{C D A}} \\ & C O=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle} \cdot R_{D A B}}, D O=\tfrac{m n}{2 \sqrt{\triangle} \cdot R_{A B C}} \end{aligned} \]
Понеже \(R_{B C D}=\tfrac{n}{2 \sin \gamma}, R_{C D A}=\tfrac{m}{2 \sin \delta}, R_{D A B}=\tfrac{n}{2 \sin \alpha} R_{A B C}=\) \(\tfrac{m}{2 \sin \beta}\) (по синусовата теорема), получаваме равенствата:
(5)\[ \begin{aligned} & A O=\tfrac{m \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}, B O=\tfrac{n \sin \delta}{\sqrt{\triangle}} \\ & C O=\tfrac{m \sin \alpha}{\sqrt{\triangle}}, D O=\tfrac{n \sin \beta}{\sqrt{\triangle}} \end{aligned} \]
Да определим величината \(\triangle\). От \(\triangle A O C\) по косинусовата теорема, предвид равенството \(∢ A O C=180^{\circ}-|\beta-\delta|\) (от Свойство 5), имаме:
\[ m^{2}=A O^{2}+C O^{2}+2 \cdot A O \cdot C O \cdot \cos (\beta-\delta) \]
Заместваме в това равенство с помощта на (5) и получаваме:
\[ m^{2}=\tfrac{m^{2} \cdot \sin ^{2} \gamma}{\Delta}+\tfrac{m^{2} \cdot \sin ^{2} \alpha}{\Delta}+2 \tfrac{m^{2} \cdot \sin \alpha \cdot \sin \gamma}{\Delta} \cdot \cos (\beta-\delta) \]
Оттук следва, че \(\Delta=\sin ^{2} \gamma+\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cdot \sin \gamma \cdot \cos (\beta-\delta)\).
Забележка. Лесно се извежда следният еквивалентен вид на получената формула за величината \(\triangle\) :
(∗∗)\[ \Delta=\cos ^{2} \varphi+\cos ^{2} \psi-2|\cos \varphi| \cdot|\cos \psi| \cdot \cos (\beta+\delta) . \]
Да докажем сега, че получените формули (5) за разстоянията \(A O, B O\), \(C O\) и \(D O\) са еквивалентни на следните:
(6)\[ A O=\tfrac{2 \bar{p} S}{b c \sqrt{\triangle}}, B O=\tfrac{2 \bar{q} S}{c d \sqrt{\triangle}}, C O=\tfrac{2 \bar{m} S}{d a \sqrt{\triangle}}, D O=\tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}}, \]
където \(S\) е лицето на четириъгълника, а величината △ се определя с равенство (∗∗).
Действително имаме:
\[ \begin{aligned} A O=\tfrac{m \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}= & \tfrac{m \bar{p} \sin \gamma}{\bar{p} \sqrt{\triangle}}=\tfrac{A C}{C T} \cdot \tfrac{\bar{p} \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}=\tfrac{S}{S_{B C D}} \cdot \tfrac{\bar{p} \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}= \\ & =\tfrac{2 S}{b c \sin \gamma} \cdot \tfrac{\bar{p} \sin \gamma}{\sqrt{\triangle}}=\tfrac{2 \bar{p} S}{b c \sqrt{\triangle}} \end{aligned} \]
Получихме първото от равенства (6). Аналогично се получават и останалите равенства.
С помощта на изведените равенства (6) сега доказваме следната формула за разстоянието от псевдоцентъра \(O\) до точката \(M\) на Микел:
(7)\[ M O=\tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}} \]
Фигура 7
Фигура 8
Според Свойство 6 точките \(O, D, M\) и \(B\) лежат на една окръжност (фиг. 7). По теоремата на Птоломей за вписания четириъгълник \(O B M D\) имаме:
\[ M O \cdot B D=B O \cdot M D+D O \cdot M B \] Но \(B O=\tfrac{2 \bar{q} S}{c d \sqrt{\triangle}}, \quad D O=\tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}}\) (от (6)) , \(M D=\tfrac{c d}{2 l_{3}}, \quad M B=\tfrac{a b}{2 l_{3}}\) (от Свойство 8) и \(B D=n\). Като заместим в последното равенство, получаваме:
\[ M O \cdot n=\tfrac{2 \bar{q} S}{c d \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{c d}{2 l_{3}}+\tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{a b}{2 l_{3}} . \]
Оттук определяме:
\[ M O=\tfrac{\bar{q}+\bar{n}}{n l_{3} \sqrt{\triangle}} S=\tfrac{D T+B T}{n l_{3} \sqrt{\triangle}} S=\tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}} \]
С това равенство (7) е доказано.
Сега да докажем следните формули за разстоянията от псевдоцентъра \(O\) до брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) :
(8)\[ K_{1} O=\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\Delta}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} ; \quad K_{2} O=\tfrac{S}{l_{2} \sqrt{\Delta}} \cdot \tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}} \]
Понеже \(∢ A O D=∢ A B D+∢ A C D\) (от Свойство 5, фиг. 8) и \(∢ A K_{1} D=\) \(∢ A B D+∢ A C D\) (от Свойство 3), то \(∢ A O D=∢ A K_{1} D\) и четириъгълникът \(A O K_{1} D\) е вписан в окръжност. От теоремата на Птоломей тогава имаме:
\[ K_{1} O \cdot A D=\left|A K_{1} \cdot D O-A O \cdot D K_{1}\right| \] Но \(A K_{1}=\tfrac{m a}{2 l_{1}}, D K_{1}=\tfrac{n c}{2 l_{1}}\) (от Свойство 4), \(D O=\tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}}, A O=\tfrac{2 \bar{p} S}{b c \sqrt{\triangle}}\) (от (6)), \(A D=d\) и като заместим в последното равенство, получаваме:
\[ K_{1} O \cdot d=\left|\tfrac{m a}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 \bar{n} S}{a b \sqrt{\triangle}}-\tfrac{n c}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 \bar{p} S}{b c \sqrt{\triangle}}\right| \]
т.е.: \[ K_{1} O=S \tfrac{|m \bar{n}-n \bar{p}|}{l_{1} b d \sqrt{\triangle}} \]
Остава да вземем предвид, че \(m \bar{n}-n \bar{p}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\) (от Лема 2 ) и непосредствено получаваме първото от доказваните равенства (8). Аналогично се получава и второто равенство.
С помощта на изведените формули (3) – (8) за разстоянията между разглежданите забележителни точки доказваме следните интересни неравенства в четириъгълника:
(9) \(l_{2} \sin \varphi-l_{3} \sqrt{\Delta} \leqslant l_{1} \sin \psi \leqslant l_{2} \sin \varphi+l_{3} \sqrt{\triangle} ;\)
(10) \(\left|c d \sqrt{\triangle}-2 n l_{3} \sin \beta\right| \leqslant 2 S \leqslant c d \sqrt{\triangle}+2 n l_{3} \sin \beta ;\)
(11) \(\left|c \sqrt{\triangle}-2 l_{1} \sin \alpha\right| \leqslant 2 n \sin \varphi \leqslant c \sqrt{\triangle}+2 l_{1} \sin \alpha;\)
(12)\[ 2 S\left|l_{1} \sin \varphi_{0}-l_{3} \sin \varphi\right| \leqslant a c l_{2} \sqrt{\triangle} \sin \varphi_{0} \leqslant 2 S\left(l_{1} \sin \varphi_{0}+l_{3} \sin \varphi\right) . \]
За да докажем неравенства (9), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle K_{1} K_{2} O\). Имаме (фиг. 9):
\[ \left|K_{1} O-K_{2} O\right| \leqslant K_{1} K_{2} \leqslant K_{1} O+K_{2} O . \]
Фигура 9
Фигура 10
Понеже \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\left(\right.\) според Свойство 4), \(K_{1} O=\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\), \(K_{2} O=\tfrac{S}{l_{2} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}}\) (от Свойство 8), след заместване в това равенство получаваме:
\[ \left|\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}-\tfrac{S}{l_{2} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}}\right| \leqslant \tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}} \leqslant \tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}+\tfrac{S}{l_{2} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \psi}{\sin \varphi_{0}} . \] Като вземем предвид, че \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук след преобразуване стигаме до доказваните неравенства (9).
За да докажем неравенство (10), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle O D M\). Имаме (фиг. 10):
\[ |D M-D O| \leqslant O M \leqslant D M+D O . \]
Понеже \(D M=\tfrac{c d}{2 l_{3}}\) (от Свойство 8), \(D O=\tfrac{n \sin \beta}{\sqrt{\triangle}}\) (от (4)), както и \(O M=\tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\Delta}}(\) от \((7))\), след заместване в това неравенство получаваме:
\[ \left|\tfrac{c d}{2 l_{3}}-\tfrac{n \sin \beta}{\sqrt{\triangle}}\right| \leqslant \tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}} \leqslant \tfrac{c d}{2 l_{3}}+\tfrac{n \sin \beta}{\sqrt{\triangle}} . \] Оттук след преобразуване стигаме до доказваните неравенства (10).
За да докажем неравенства (11), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle O K_{1} C\). Имаме (фиг. 11):
\[ \left|K_{1} C-O C\right| \leqslant K_{1} O \leqslant K_{1} C+O C . \]
Понеже \(K_{1} O=\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\) (от (8)), \(O C=\tfrac{m \sin \alpha}{\sqrt{\triangle}}\) (от (4)), както и \(K_{1} C=\tfrac{m c}{2 l_{1}}\) (от Свойство 4), след заместване в това неравенство получаваме:
\[ \left|\tfrac{m c}{2 l_{1}}-\tfrac{m \sin \alpha}{\sqrt{\triangle}}\right| \leqslant \tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} \leqslant \tfrac{m c}{2 l_{1}}+\tfrac{m \sin \alpha}{\sqrt{\triangle}} . \]
Като вземем предвид, че \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук след преобразуване стигаме до доказваните неравенства (11) .
За да докажем неравенство (12), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle O K_{1} M\). Имаме (фиг. 12):
\[ \left|K_{1} M-K_{1} O\right| \leqslant O M \leqslant K_{1} M+K_{1} O . \] Понеже \(K_{1} M=\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}\) (от Свойство 8), \(K_{1} O=\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\) (от (8)) и \(O M=\tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}}(\) от \((7))\), след заместване в това неравенство получаваме:
\[ \left|\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}-\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\right| \leqslant \tfrac{S}{l_{3} \sqrt{\triangle}} \leqslant \tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}+\tfrac{S}{l_{1} \sqrt{\triangle}} \cdot \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}} . \] Оттук след преобразуване стигаме до доказваните неравенства (12).
Фигура 11
Фигура 12
Сега да докажем следните формули за разстоянията от пресечните точки \(U\) и \(V\) на продълженията на двойките срещуположни страни до средите на страните:
(13)\[ V E_{1}=\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 c \sin \psi} ; V E_{3}=\tfrac{2 S+b d \sin \varphi}{2 a \sin \psi} ; \]
\[ U E_{4}=\tfrac{2 S-a c \sin \psi}{2 b \sin \varphi} ; U E_{2}=\tfrac{2 S+a c \sin \psi}{2 d \sin \varphi} . \]
Действително, от \(a=V A-V B, \quad c=V D-V C, \quad V E_{3}=\tfrac{1}{2}(V C+V D)\), \(V E_{1}=\tfrac{1}{2}(V A+V B)\), имаме последователно (фиг. 13):
\[ \begin{gathered} a \cdot V E_{3}+c \cdot V E_{1} \\ =\tfrac{1}{2}(V A-V B)(V D+V C)+\tfrac{1}{2}(V A+V B)(V D-V C) \\ =\tfrac{1}{\sin \psi}(V A \cdot V D \cdot \sin \psi-V B \cdot V C \cdot \sin \psi) \\ =\tfrac{2}{\sin \psi}\left(S_{A V D}-S_{B C V}\right)=\tfrac{2 S}{\sin \psi}, \end{gathered} \]
т.е.:
(14)\[ a \cdot V E_{3}+c \cdot V E_{1}=\tfrac{2 S}{\sin \psi} \]
Фигура 13
Фигура 14
От друга страна, понеже \(a \cdot C V-c \cdot B V=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}\) (от Лема 1) , получаваме:
\[ \begin{aligned} & a \cdot V E_{3}-c \cdot V E_{1}= \\ & =\tfrac{1}{2}(V A-V B)(V D+V C)-\tfrac{1}{2}(V A+V B)(V D-V C)= \\ & =V A \cdot V C-V B \cdot V D=(a+B V) \cdot V C-(c+C V) \cdot B V= \\ & =a \cdot C V-c \cdot B V=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi} \end{aligned} \] т. е.:
(15)\[ a \cdot V E_{3}-c \cdot V E_{1}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi} . \]
Събираме и изваждаме почленно равенства (14) и (15) и получаваме:
\[ V E_{3}=\tfrac{1}{2 a}\left(\tfrac{2 S}{\sin \psi}+b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \psi}\right)=\tfrac{2 S+b d \sin \varphi}{2 a \sin \psi} \text { и } V E_{1}=\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 c \sin \psi} \] С това доказахме първите две равенства в (13). Аналогично се доказват и другите две.
Да изведем формули за разстоянията от брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) на четириъгълника до пресечната точка \(T\) на диагоналите и пресечните точки \(U\) и \(V\) на продълженията на двойките срещуположни страни. Доказваме първо следните формули:
(16)\[ K_{1} T=\tfrac{a c m n \sin \varphi}{4 l_{1} S} ; \quad K_{2} T=\tfrac{b d m n \sin \varphi}{4 l_{2} S} \]
Брокарианата \(K_{2}\) лежи на описаната окръжност около \(\triangle B T C\) (по Определение 1). Затова четириъгълникът \(B C T K_{2}\) е вписан в окръжност и по теоремата на Птоломей имаме (фиг. 14):
\[ K_{2} T \cdot B C=\left|C K_{2} \cdot B T-B K_{2} \cdot C T\right| . \] Но \(B C=b, C K_{2}=\tfrac{m b}{2 l_{2}}, B K_{2}=\tfrac{n b}{2 l_{2}}\) (от Свойство 4), \(B T=\bar{n}, C T=\bar{p}\) и след заместване в последното равенство получаваме:
\[ K_{2} T \cdot b=\left|\tfrac{m b}{2 l_{2}} \bar{n}-\tfrac{n b}{2 l_{2}} \bar{p}\right| \] Като вземем предвид, че \(m \bar{n}-n \bar{p}=b d \tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}\) (от Лема 2) и \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук определяме: \(K_{2} T=\tfrac{1}{2 l_{2}}|m \bar{n}-n \bar{p}|=\tfrac{b d m n \sin \varphi}{4 l_{2} S}\). Получихме второто от равенствата (16). Аналогично се получава и първото равенство.
Да докажем следните равенства:
(17)\[ V K_{1}=\tfrac{S}{l_{1} \sin \psi} ; \quad U K_{2}=\tfrac{S}{l_{2} \sin \varphi} \]
Брокарианата \(K_{1}\) лежи на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (от Свойство 2, фиг. 15). Последната е определена от точките \(E_{1}, E_{3}\) и \(V\). По теоремата на Птолoмей за вписания четириъгълник \(E_{1} V E_{3} K_{1}\) имаме:
\[ V K_{1} \cdot E_{1} E_{3}=K_{1} E_{1} \cdot V E_{3}+K_{1} E_{3} \cdot V E_{1} \]
Но
\[ \begin{gathered} E_{1} E_{3}=l_{2}, \quad K_{1} E_{1}=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}}, K_{1} E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}}(4) \\ V E_{3}=\tfrac{1}{2}(V C+V D), V E_{1}=\tfrac{1}{2}(V A+V B) \end{gathered} \]
и след заместване в последното равенство получаваме:
\[ V K_{1} \cdot l_{2}=\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}} \cdot(V C+V D)+\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}} \cdot(V A+V B) \] Като вземем предвид \(a=V A-V B\) и \(c=V D-V C\), определяме:
\[ \begin{aligned} & V K_{1}=\tfrac{1}{4 l_{1}}(V A-V B)(V C+V D)+\tfrac{1}{4 l_{1}}(V D-V C)(V A+V B)= \\ & =\tfrac{1}{2 l_{1}}(V A \cdot V D-V B \cdot V C)=\tfrac{1}{2 l_{1}}\left(\tfrac{2 S_{V A D}}{\sin \psi}-\tfrac{2 S_{V B C}}{\sin \psi}\right)=\tfrac{S}{l_{1} \sin \psi} \end{aligned} \]
С това доказахме първото от равенствата (17). Аналогично се доказва и второто равенство.
Фигура 15
Фигура 16
Да определим разстоянията от точката на Микел \(M\) до пресечните точки \(U\) и \(V\) на продълженията на двойките срещуположни страни. Ще докажем следните формули (фиг. 16):
(18)\[ M U=\tfrac{a c \sin \psi}{2 l_{3} \sin \varphi} ; \quad M V=\tfrac{b d \sin \varphi}{2 l_{3} \sin \psi} \]
Точката на Микел \(M\) лежи на брокаровата окръжност \(\left(c_{1}\right)\), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (от Свойство 7) (фиг. 16). Последната е определена от точките \(E_{1}, E_{3}\) и \(V\). По теоремата на Птоломей, от вписания четириъгълник \(E_{1} V M E_{3}\) имаме:
\[ E_{1} M \cdot E_{3} V=E_{1} E_{3} \cdot M V+E_{1} V \cdot E_{3} M \] Но \(E_{1} M=\tfrac{a l_{2}}{2 l_{3}}, \quad E_{3} M=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}(\) от Свойство 8\(), E_{3} V=\tfrac{2 S+b d \sin \varphi}{2 a \sin \psi}\), \(E_{1} V=\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 c \sin \psi}(\) от \((13)), E_{1} E_{3}=l_{2}\) и след заместване в последното равенство получаваме:
\[ \tfrac{a l_{2}}{2 l_{1}} \cdot \tfrac{2 S+b d \sin \varphi}{2 a \sin \psi}=l_{2} \cdot M V+\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 c \sin \psi} \cdot \tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}} . \] Оттук след опростяване получаваме второто от равенствата (18). Аналогично се получава и първото равенство.
Да определим разстоянията от пресечните точки \(P_{1}\) и \(P_{2}\) на симетралите на двойките срещуположни страни до средите на съответните страни. Доказваме следните формули:
(19)\[ \begin{array}{ll} P_{1} E_{3}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 a \sin \psi} ; & P_{1} E_{1}=\tfrac{\left|\left|b^{2}-d^{2}\right|-\left|m^{2}-n^{2}\right|\right|}{4 c \sin \psi} ; \\ P_{2} E_{4}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|+\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 b \sin \varphi} ; & P_{2} E_{2}=\tfrac{\left|\left|a^{2}-c^{2}\right|-\left|m^{2}-n^{2}\right|\right|}{4 d \sin \varphi} \end{array} \]
Точките \(K_{1}, P_{1}\) и \(M\) лежат на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (от Свойства 2, 7 и 10) (фиг. 17). Точката \(E_{3}\) също лежи на тази окръжност (по Определение 3). По теоремата на Птоломей, за вписания четириъгълник \(P_{1} M E_{3} K_{1}\) имаме:
\[ P_{1} E_{3} \cdot K_{1} M=P_{1} K_{1} \cdot M E_{3}+P_{1} M \cdot K_{1} E_{3} \] Но \(K_{1} M=\tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}\) и \(M E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}\) (от (8)), \(P_{1} K_{1}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi}\) (от (11)), \(P_{1} M=\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{3} \sin \psi}(\) от \((11)), K_{1} E_{3}=\tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}}(\) от \((3))\) и след заместване в последното равенство получаваме:
\[ P_{1} E_{3} \cdot \tfrac{a c l_{2}}{2 l_{1} l_{3}}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi} \cdot \tfrac{c l_{2}}{2 l_{3}}+\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{3} \sin \psi} \cdot \tfrac{c l_{2}}{2 l_{1}} . \] Оттук след преобразуване стигаме до първото от равенствата (19). Аналогично се доказват и останалите равенства.
Да изведем формули и за разстоянията от пресечната точка \(P_{3}\) на симетралите на диагоналите до средите \(E\) и \(F\) на диагоналите и до пресечната им точка \(T\). Доказваме следните формули:
(20)\[ \begin{gathered} P_{3} E=\tfrac{m}{8 S}| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right| \\ P_{3} F=\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) ; \quad P_{3} T=\tfrac{l_{3}}{\sin \varphi_{0}} \end{gathered} \]
Фигура 17
Фигура 18
Пресечната точка \(P_{3}\) на симетралите на диагоналите лежи на брокаровата окръжност (\(c\) ) на четириъгълника (от Свойство 9) (фиг. 18). Последната е определена от средите \(E\) и \(F\) на диагоналите и пресечната им точка \(T\) (по Определение 1). Брокарианите \(K_{1}\) и \(K_{2}\) също лежат на тази окръжност (от Свойство 1). По теоремата на Птоломей, от вписания четириъгълник \(P_{3} E K_{1} K_{2}\) тогава имаме:
\[ P_{3} E \cdot K_{1} K_{2}=\left|P_{3} K_{1} \cdot K_{2} E-P_{3} K_{2} \cdot K_{1} E\right| . \] Понеже \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\) (от Свойство 4), \(P_{3} K_{1}=\tfrac{\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \varphi_{0}}, P_{3} K_{2}=\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{2} \sin \varphi_{0}}\) (от Свойство 11), \(K_{1} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}}, K_{2} E=\tfrac{m l_{3}}{2 l_{2}}\) (от Свойство 4), след заместване в това равенство получаваме:
\[ P_{3} E \cdot \tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}=\tfrac{\left|a^{2}-c^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \varphi_{0}} \cdot \tfrac{m l_{3}}{2 l_{2}}-\tfrac{\left|b^{2}-d^{2}\right|}{4 l_{2} \sin \varphi_{0}} \cdot \tfrac{m l_{3}}{2 l_{1}} . \]
Предвид равенството \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук след преобразуване стигаме до първото от равенствата (20). Аналогично се получава и второто равенство.
Отсечката \(P_{3} T\) е диаметър на брокаровата окръжност (\(c\) ) на четириъгълника (Nenkov 2022) (фиг. 18), затова \(P_{3} T=\tfrac{E F}{\sin \varphi_{0}}\), с което е доказано и третото от равенствата (20).
С помощта на изведените формули за разстоянията между разгледаните забележителни точки да докажем още няколко интересни неравенства в четириъгълника:
(21) \(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right| \leqslant l_{3} m ;\)
(22) \( S \leqslant c l_{2}+\cfrac{1}{2} b d \sin \varphi ;\)
(23) \(\left|4 l_{1} l_{2}-\left|m^{2}-n^{2}\right|\right| \leqslant 4 S \leqslant 4 l_{1} l_{2}+\left|m^{2}-n^{2}\right| ;\)
(24) \( \left|a c l_{2} \sin \psi-b d l_{1} \sin \varphi\right| \leqslant 2 l_{3} S \leqslant a c l_{2} \sin \psi+b d l_{1} \sin \varphi ;\)
(25) \(\begin{aligned} & |m|\left|a^{2}-c^{2}\right|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\left|-n\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right)\right| \leqslant 8 l_{3} S \leqslant \\ & \leqslant m| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right|+n\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) \end{aligned}\)
За да докажем първото неравенство, използваме, че отсечката \(P_{3} T\), както видяхме по-горе, е диаметър на брокаровата окръжност (\(c\) ). Точката F лежи на тази окръжност (от Определение 2). Следователно \(\triangle P_{3} F T\) е правоъгълен, откъдето имаме (фиг. 19):
\[ P_{3} F \leqslant P_{3} T \] Но \(P_{3} F=\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right), P_{3} T=\tfrac{l_{3}}{\sin \varphi_{0}}\) (от (20)) , затова е изпълнено неравенството:
Фигура 19
Фигура 20
\[ \tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) \leqslant \tfrac{l_{3}}{\sin \varphi_{0}} \]
Понеже \(S=\tfrac{1}{2} m n \sin \varphi_{0}\), оттук непосредствено получаваме доказваното неравенство (21).
За да докажем неравенство (22), използваме, че точката \(P_{1}\) лежи на брокаровата окръжност (\(c_{1}\) ), съответна на страните \(A B\) и \(C D\) (от Свойство 10) и \(P_{1} V\) е неин диаметър (фиг. 20) (Nenkov 2022). Точката \(E_{1}\) също лежи на окръжността (\(c_{1}\) ) (по Определение 3). Тогава от правоъгълния \(\triangle E_{1} P_{1} V\) имаме (фиг. 20):
\[ V E_{1} \leqslant P_{1} V \] Но \(V E_{1}=\tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 l \sin \psi}\) (от (13)) , \(P_{1} V=\tfrac{E_{1} E_{3}}{\sin \psi}=\tfrac{l_{2}}{\sin \psi}\) (по синусовата теорема от \(\triangle E_{1} E_{3} V\) ) и след заместване в последното неравенство получаваме:
\[ \tfrac{2 S-b d \sin \varphi}{2 l \sin \psi} \leqslant \tfrac{l_{3}}{\sin \psi} \]
Оттук непосредствено следва доказваното неравенство (22).
За да докажем неравенства (23), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle K_{1} P_{1} V\) (фиг. 21). Имаме:
\[ \left|P_{1} V-K_{1} P_{1}\right| \leqslant K_{1} V \leqslant P_{1} V+K_{1} P_{1} \]
Понеже \(P_{1} V=\tfrac{l_{2}}{\sin \psi}\) (както видяхме в доказателството на неравенство (22)), \(K_{1} P_{1}=\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi}\) (от Свойство 11) и \(K_{1} V=\tfrac{S}{l_{1} \sin \psi}\) (от (17)), като заместим в последните неравенства, получаваме:
\[ \left|\tfrac{l_{2}}{\sin \psi}-\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi}\right| \leqslant \tfrac{S}{l_{1} \sin \psi} \leqslant \tfrac{l_{2}}{\sin \psi}+\tfrac{\left|m^{2}-n^{2}\right|}{4 l_{1} \sin \psi} . \] Оттук след опростяване стигаме до доказваните неравенства (23).
За да докажем неравенствата (24), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle K_{1} K_{2} T\) (фиг. 22):
\[ \left|K_{1} T-K_{2} T\right| \leqslant K_{1} K_{2} \leqslant K_{1} T+K_{2} T . \] Понеже \(K_{1} T=\tfrac{a c m n}{4 l_{1} S} \sin \psi, K_{2} T=\tfrac{b d m n}{4 l_{2} S} \sin \varphi\) (от (16)) както и \(K_{1} K_{2}=\tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}}\) (от (4)), като заместим в последните неравенства, получаваме
\[ \left|\tfrac{a c m n}{4 l_{1} S} \sin \psi-\tfrac{b d m n}{4 l_{2} S} \sin \varphi\right| \leqslant \tfrac{m n l_{3}}{2 l_{1} l_{2}} \leqslant \tfrac{a c m n}{4 l_{1} S} \sin \psi+\tfrac{b d m n}{4 l_{2} S} \sin \varphi \] Оттук непосредствено следват доказваните неравенства (24).
Фигура 21
Фигура 22
За да докажем неравенствата (25), прилагаме неравенството на триъгълника към \(\triangle E F P_{3}\) (фиг. 23):
\[ \left|P_{3} E-P_{3} F\right| \leqslant E F \leqslant P_{3} E+P_{3} F \]
Фигура 23
Понеже
\[ P_{3} E=\tfrac{m}{8 S}| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right|, P_{3} F=\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) \]
(от (20) и \(E F=l_{3}\) след заместване, получаваме:
\[ \begin{aligned} & \left|\tfrac{m}{8 S}\right|\left|a^{2}-c^{2}\right|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\left|-\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right)\right| \leqslant l_{3} \leqslant \\ & \leqslant \tfrac{m}{8 S}| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right|+\tfrac{n}{8 S}\left(\left|a^{2}-c^{2}\right|+\left|b^{2}-d^{2}\right|\right) . \end{aligned} \] Оттук непосредствено следват доказваните неравенства (25).
В заключение предлагаме на читателите, като приложат неравенството на триъгълника съответно към \(\triangle E_{1} M V, \triangle K_{1} P_{3} E_{1}, \triangle K_{1} E_{3} V\), \(\triangle E_{1} E_{3} V\) и \(\triangle K_{1} O M\), да докажат следните неравенства:
\[ \begin{aligned} & a c l_{2} \sin \psi-b d\left(c-l_{3}\right) \sin \varphi \leqslant 2 l_{3} S \leqslant a c l_{2} \sin \psi+b d\left(c+l_{3}\right) \sin \varphi ; \\ & 8 S \geqslant \tfrac{4 l_{1} n_{1} \sin \varphi| | a^{2}-c^{2}\left|-\left|b^{2}-d^{2}\right|\right|}{\left|a^{2}-c^{2}\right|+2 m l_{3} \sin \varphi} ; \\ & l_{2} a c \sin \psi-l_{1} b d \sin \varphi \geqslant 2\left(l_{1}-a\right) S ; \\ & S \geqslant \tfrac{a c l_{2} \sin \psi-b d l_{1} \sin \varphi}{2\left(a+l_{1}\right)} ; \\ & S \geqslant \tfrac{2 a c l_{2} \sin \psi+(c-a) b d \sin \varphi}{2(a+c)} ; \\ & 2(a-c) S \leqslant 2 a c l_{2} \sin \psi+(a+c) b d \sin \varphi ; \\ & S\left(\tfrac{\sin \varphi}{\sin \varphi_{0}}+\tfrac{l_{1}}{l_{3}}\right) \geqslant \tfrac{a c l_{2}}{l_{3}} \sqrt{\Delta} . \end{aligned} \]
ЛИТЕРАТУРА
ХАИМОВ, Х., 2001. Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника. Математика и информатика, Т. 44, № 6, с. 17 – 23.
ХАИМОВ, Х., 2005. Брокариани в четириъгълника. Математика, № 5, с. 15 – 21.
НЕНКОВ, В., СТЕФАНОВ, С., ХАИМОВ, Х., 2016. Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника. Математика и информатика, Т. 59, № 6, с. 614 – 625.
НЕНКОВ, В., СТЕФАНОВ, С., ХАИМОВ, Х., 2017. Геометрия на четириъгълника. Точка на Микел. Инверсна изогоналност. Математика и информатика, Т. 60, № 1, с. 81 – 93.
НЕНКОВ, В., СТЕФАНОВ, С., ХАИМОВ, Х., 2019. Формули за разстоянията от брокарианите и точката на Микел в четириъгълник до върховете му и середите на страните и диагоналите му. Математика и информатика, Т. 62, № 3, с. 305 – 324.
СТЕФАНОВ, С., 2017. Втори псевдоцентър на четириъгълника. Математика и информатика, Т. 60, № 3, с. 252 – 261.
REFERENCES
HAIMOV, H., 2001. The Brocardians – notable points in the quadrilateral. Mathematics and Informatics, vol. 44, no. 6, pp. 17 – 23. (in Bulgarian).
HAIMOV, H., 2005. Brocardians of a quadrilateral. Mathematics, no. 5, pp. 15 – 21. (in Bulgarian).
NENKOV, V., GROZDEV, S., VELCHEV, A., ALASHKA, R., STEFANOV, S., HAIMOV, H., 2022. New formulas for distances between new and traditional remarkable points in a quadrilateral. AIP Conference Proceedings, vol. 2939, no. 1, 060003. ISBN 978-0-7354-4396-9, DOI: 10.1063/5.0188027.
NENKOV, V., STEFANOV, S., HAIMOV, H., 2016. Pseudocenter and orthocenter – notable points in the quadrilateral. Mathematics and Informatics, vol. 59, no. 6, pp. 614 – 625. (in Bulgarian).
NENKOV, V., STEFANOV, S., HAIMOV, H., 2017. Geometry of the quadrilateral. Miquel point. Inverse isogonality. Mathematics and Informatics, vol. 60, no. 1, pp. 81 – 93. (in Bulgarian).
NENKOV, V., STEFANOV, S., HAIMOV, H., 2019. Formulas for the distances from the Brocardians and the Miquel point in a quadrilateral to its vertices and the midpoints of its sides and diagonals. Mathematics and Informatics, vol. 62, no. 3, pp. 305 – 324. (in Bulgarian).
STEFANOV, S., 2017. Second pseudocenter of the quadrilateral. Mathematics and Informatics, vol. 60, no. 3, pp. 252 – 261. (in Bulgarian).