Резюме. Статията е посветена на етюди върху теоремата на Понселе за пораждане на четириъгълници, вписани в една крива и описани около друга.

Ключови думи: inscribed quadrilateral, circumscribed quadrilateral, conic.

На нашия колега и приятел Светльо Дойчев

Нека \(k_{1}\) е едно описано за четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) конично сечение, а \(k_{2}\) е негово вписано коничното сечение, като правите \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}\) и \(A_{4} A_{1}\) се допират до \(k_{2}\) съответно в точките \(T_{1}, T_{2}, T_{3}\) и \(T_{4}\). След като кривите \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са вече установени, четириъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) може да се възстанови само по една от точките \(A_{j}\) и \(T_{j}(j=1,2,3,4)\) чрез построяване на допирателни към \(k_{2}\) и намиране на пресечните им точки с \(k_{1}\). Затова, когато \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са предварително известни, ще казваме, че всяка от тези точки поражда четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), вписан в \(k_{1} u\) описан около \(k_{2}\). Относно пораждането на четириъгълници, вписани в една крива и описани около друга, е известна теоремата на Понселе, която можем да формулираме по следния начин:

Теорема 1. Ако две конични сечения \(k_{1} u k_{2}\) са разположени в равнината по такъв начин, че съществува четириъгълник, който е вписан в \(k_{1}\) и описан около \(k_{2}\), то всяка точка от тези конични сечения поражда четириъгълник, който е вписан в \(k_{1} u\) описан около \(k_{2}\).

Тази теорема е открита от френския математик Жан-Виктор Понселе (1788 – 1867) в по-обща формулировка, която се отнася до многоъгълници с проиволен брой върхове. Доказателство на теоремата може да се намери в (Берже, 1984). Доказателство на теорема 1, когато \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са окръжности и \(k_{2}\) се намира вътре в \(k_{1}\), се съдържа в (Прасолов, 1986). Доказателство на по-общото твърдение, отнасящо се за многоъгълници, вписано-описани за окръжности \(k_{1}\) и \(k_{2}\), като \(k_{2}\) се намира в \(k_{1}\), може да се намери в (Шарыгин, 1986). Тук ще изложим едно доказателство на теорема 1, което ще проведем в два етапа.

1. Доказателство на теоремата на Понселе за квадрат. Ще докажем следния частен случай на теоремата на Понселе.

Теорема 2. Ако две конични сечения \(k_1\) и \(k_2\) са разположени в равнината по такъв начин, че съществува квадрат, който е вписан в \(k_{1}\) и описан около \(k_{2}\), то всяка точка от тези конични сечения поражда успоредник, който е вписан в \(k_{1}\) \(u\) описан около \(k_{2}\) (Фиг. 1) .

Нека \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е квадрат с център \(O\). Избираме Декартова координатна система \(O x y\) с оси по диагоналите на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) така, че \(A_{1}(-1,0), A_{2}(0,-1)\), \(A_{3}(1,0)\) и \(A_{4}(0,1)\) (Фиг. 1). Спрямо \(O x y\) произволна крива от втора степен \(k\) има уравнение от вида

(1) \[ k: a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{13} x+2 a_{23} y+a_{33}=0 \]

където \(a_{i j}(1 \leq i, j \leq 3)\) са реални коефициенти.

Нека \(k \equiv k_{1}\) е произволна крива, която е описана около \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Тъй като \(k_{1}\) минава през \(A_{1}\) и \(A_{3}\), от (1) се получават равенствата \(a_{11}-2 a_{13}+a_{33}=0\) и \(a_{11}+2 a_{13}+a_{33}=0\), откъдето следва, че \(a_{13}=0\) и \(a_{11}=-a_{33}\). Аналогично от факта, че \(k_{1}\) минава през \(A_{2}\) и \(A_{4}\), се получава \(a_{23}=0\) и \(a_{22}=-a_{33}\). Следователно уравнението на \(k_{1}\) има вида \(-a_{33} x^{2}-a_{33} y^{2}+2 a_{12} x y+a_{33}=0\). Тъй като \(k_{1}\) не минава през \(O\), то \(a_{33} \neq 0\) и затова, след като разделим на \(-a_{33}\) и положим \(b=-\tfrac{a_{12}}{a_{33}}\), получаваме представяне на \(k_{1}\) в следния вид:

(2) \[ k_{1}: x^{2}+y^{2}-2 b x y-1=0 . \]

Абсцисите на общите точки на произволна крива \(k\) с правите \(A_{3} A_{4}: x+y=1\), \(A_{1} A_{2}: x+y=-1, A_{4} A_{1}:-x+y=1\) и \(A_{2} A_{3}: x-y=1\) се определят съответно от уравненията:

\[ \small{\begin{gathered} \left(a_{11}-2 a_{12}+a_{22}\right) x^{2}-2\left(-a_{12}+a_{22}-a_{13}+a_{23}\right) x+a_{22}+2 a_{23}+a_{33}=0, \\ \left(a_{11}-2 a_{12}+a_{22}\right) x^{2}-2\left(a_{12}-a_{22}-a_{13}+a_{23}\right) x+a_{22}-2 a_{23}+a_{33}=0, \\ \left(a_{11}+2 a_{12}+a_{22}\right) x^{2}-2\left(-a_{12}-a_{22}-a_{13}-a_{23}\right) x+a_{22}+2 a_{23}+a_{33}=0, \\ \left(a_{11}+2 a_{12}+a_{22}\right) x^{2}-2\left(a_{12}+a_{22}-a_{13}-a_{23}\right) x+a_{22}-2 a_{23}+a_{33}=0 . \end{gathered}} \] Сумата от дискриминантите на първите две уравнения е:

\[ D_{1}=a_{11} a_{22}+a_{22} a_{33}+a_{33} a_{11}-\left(a_{12}^{2}+a_{13}^{2}+a_{23}^{2}-2 a_{13} a_{23}+2 a_{12} a_{33}\right) \] а на последните две е:

\[ D_{2}=a_{11} a_{22}+a_{22} a_{33}+a_{33} a_{11}-\left(a_{12}^{2}+a_{13}^{2}+a_{23}^{2}+2 a_{13} a_{23}-2 a_{12} a_{33}\right) \]

Нека \(k \equiv k_{2}\) е произволна крива, която се допира до правите \(A_{3} A_{4}, A_{1} A_{2}\), \(A_{4} A_{1}\) и \(A_{2} A_{3}\) съответно в точките \(T_{3}, T_{1}, T_{4}\) и \(T_{2}\) (Фиг. 1). Абсцисите на тези точки са двойните корени на съответните уравнения по-горе. Следователно абсцисите на точките \(T_{3}, T_{1}, T_{4}\) и \(T_{2}\) са равни съответно на \(\tfrac{-a_{12}+a_{22}-a_{13}+a_{23}}{a_{11}-2 a_{12}+a_{22}}\), \(\tfrac{a_{12}-a_{22}-a_{13}+a_{23}}{a_{11}-2 a_{12}+a_{22}}, \tfrac{-a_{12}-a_{22}-a_{13}-a_{23}}{a_{11}+2 a_{12}+a_{22}}\) и \(\tfrac{a_{12}+a_{22}-a_{13}-a_{23}}{a_{11}+2 a_{12}+a_{22}}\). Тъй като двойките точки \(T_{3}, T_{1}\) и \(T_{4}, T_{2}\) са симетрични спрямо \(O\), то сумите на абсцисите им са равни на нула, откъдето получаваме съответно равенствата \(-a_{13}+a_{23}=0\) и \(a_{13}+a_{23}=0\). Последните две равенства имат единствено решение \(a_{13}=0\) и \(a_{23}=0\). От друга страна дискриминантите на квадратните уравнения са равни на нула, затова \(D_{1}=D_{2}=0\). Като вземем предвид и последните две равенства, получаваме \(a_{12} a_{33}=0\). Но \(k_{2}\) не минава през \(O\), затова \(a_{33} \neq 0\) и \(a_{12}=0\). Така получихме \(a_{12}=a_{13}=a_{23}=0\). От тези равенства и изразите за \(D_{1}\) и \(D_{2}\) получаваме още, че \(a_{11} a_{22}+a_{22} a_{33}+a_{33} a_{11}=0\). Тъй като \(k_{2}\) не е парабола, то \(a_{11} \neq 0\) и \(a_{22} \neq 0\) и можем да положим \(\tfrac{a_{33}}{a_{11}}=a \neq 0\), което според последното равенство води до \(\tfrac{a_{33}}{a_{22}}=-a-1 \neq 0\). Сега след заместване в (1) получаваме уравнението на \(k_{2}\) във вида:

(3) \[ k_{2}:(a+1) x^{2}-a y^{2}+a(a+1)=0 \]

Нека \(T_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)\) е произволна точка от \(k_{2}\). От (3) следва, че са изпълнени равенствата:

(4) \[ a y_{0}^{2}=(a+1)\left(x_{0}^{2}+a\right),(a+1) x_{0}^{2}=a\left(y_{0}^{2}-a-1\right) . \]

Дохирателната \(t_{0}\) на \(k_{2}\) в точката \(T_{0}\) има следното уравнение:

(5) \[ t_{0}:(a+1) x_{0} x-a y_{0} y+a(a+1)=0 \]

След елиминиране на \(y\) от (2) и (5), като използваме равенствата (4), по-лучаваме квадратното уравнение

(6) \[ \left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-2 b x y-1\right) x^{2}-2\left[a b y_{0}-(a+1) x_{0}\right] x+a^{2}-x^{2}=0 . \]

Корените на (6) са абсцисите на пресечните точки \(B_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right)\) и \(B_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)\) на \(t_{0}\) с \(k_{1}\). Следователно от (6), според формулите на Виет, се получават равенствата:

(7) \[ x_{1}+x_{2}=\tfrac{2\left[a b y_{0}-(a+1) x_{0}\right]}{f}, x_{1} x_{2}=\tfrac{a^{2}-x^{2}}{f} \]

където \(f=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-2 b x y-1\).

От (5) за ординатите на \(B_{1}\) и \(B_{2}\) получаваме равенствата:

(8) \[ y_{1}+y_{2}=\cfrac{(a+1)\left[x_{0}\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 a\right]}{a y_{0}} , \]

\[ y_{1} y_{2}=\cfrac{(a+1)^{2}\left[x_{0}^{2} x_{1} x_{2}+a x_{0}\left(x_{1}+x_{2}\right)+a^{2}\right]}{a^{2} y_{0}^{2}}. \]

От (7) и (8), като използваме (4), получаваме равенствата:

(9) \[ y_{1}+y_{2}=\tfrac{2\left[a y_{0}-(a+1) b x_{0}\right]}{f}, y_{1} y_{2}=\tfrac{(a+1)^{2}-y_{0}^{2}}{f} . \]

Нека \(t_{0}^{\prime}\) е правата, симетрична на \(t_{0}\) спрямо \(O\). Следователно \(t_{0}^{\prime}\) е допирателна за \(k_{2}\) и пресича \(k_{1}\) в точки \(B_{3}\left(-x_{1},-y_{1}\right)\) и \(B_{4}\left(-x_{2},-y_{2}\right)\), които са симетрични съответно на \(B_{1}\) и \(B_{2}\). Правата \(B_{1} B_{4}\) е определена с уравнението

(10) \[ B_{1} B_{4}:\left(y_{1}+y_{2}\right) x-\left(x_{1}+x_{2}\right) y+\gamma=0, \]

където \(\gamma=x_{2} y_{1}-x_{1} y_{2}\).

От (3) и (10) намираме, че абсцисите на общите точки на \(k_{2}\) и \(B_{1} B_{4}\) удовлетворяват квадратното уравнение \[ \left[(a+1)\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-a\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}\right] x^{2}-2 a\left(y_{1}-y_{2}\right) \gamma x+a\left[(a+1)\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-\gamma^{2}\right]=0 . \]

Тъй като, за да бъде вярна теорема 2, очакваме \(B_{1} B_{4}\) да е допирателна за \(k_{2}\), последното уравнение трябва да има един двоен корен. Това е изпълнено тогава и само тогава, когато дискриминантата му \(a(a+1)\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}\left[\gamma^{2}+a\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}-(a+1)\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}\right]\) е равна на нула. Както се вижда от последното равенство, това се случва точно когато е изпълнено равенството \(\gamma^{2}=(a+1)\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-a\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}\). След заместване в това равенство на съответните изрази от \((7)\) и \((9)\), като използваме \((4)\), получаваме, че \(B_{1} B_{4}\) и \(k_{2}\) се допират точно когато

(11) \[ \gamma^{2}=\tfrac{4 a(a+1)\left[a(a+1)\left(b^{2}-1\right)+f\right]}{f^{2}} \]

От друга страна за \(\gamma^{2}\) е изпълнено равенството

(12) \[ \begin{aligned} \gamma^{2} & =\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)-\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}\right)\right]- \\ & -\left[\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2} y_{1} y_{2}+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2} x_{1} x_{2}\right] . \end{aligned} \]

Следователно, за да докажем теорема 2 , трябва да докажем, че десните части на (11) и (12) съвпадат.

Тъй като \(B_{1}\) и \(B_{2}\) лежат върху правата \(t_{0}\), от уравнението й (5) следва равенството \(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}=\tfrac{(a+1)\left[x_{0}\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+a\left(x_{1}+x_{2}\right)-2 x_{0} x_{1} x_{2}\right]}{a y_{0}}\). От това равенство, (8), (7) и (4) получаваме последователно равенствата

(13) \[ \left(x_{1}+x_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)-\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}\right)=\tfrac{a+1}{a y_{0} f}\left[a\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 x_{0} x_{1} x_{2}\right]=\tfrac{2\left[a(a+1) b-x_{0} y_{0}\right]}{f} \]

След това от (7) и (9), с помощта на (4), получаваме равенството

(14) \[ \left(x_{1}+x_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)=\tfrac{4 a(a+1)\left[b f+\left(b^{2}-1\right) x_{0} y_{0}\right]}{f^{2}}. \]

Накрая, отново от \((7),(9)\) и \((4)\), получаваме равенството

(15) \[ \begin{aligned} & \left(x_{1}+x_{2}\right)^{2} y_{1} y_{2}+\left(y_{1}+y_{2}\right)^{2} x_{1} x_{2}= \\ = & \tfrac{4 a(a+1)}{f^{3}}\left\{\left(b^{2}-1\right)\left[(a+1)(a+2) x_{0}^{2}+a(a-1) y_{0}^{2}-2 x_{0}^{2} y_{0}^{2}+a(a+1)\right]-\right. \\ & \left.-\left(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-2 a^{2}-2 a-1\right) f\right\} . \end{aligned} \]

Сега заместваме (13), (14) и (15) в (12) и получаваме равенството

(16) \[ \small{\gamma^{2}=\cfrac{4 a(a+1)}{f^{3}}\left\{f\left[a(a+1)\left(b^{2}-1\right)+f\right]-2\left(b^{2}-1\right)\left[(a+1) x_{0}^{2}-a y_{0}^{2}+a(a+1)\right]\right\}} \]

Остава да съобразим, че от \(T_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) \in k_{2}\) следва \((a+1) x_{0}^{2}-a y_{0}^{2}+a(a+1)=0\), за да заключим, че стойността на (12) съвпада с тази на (11). С това е доказано, че \(B_{1} B_{4}\) е допирателна за \(k_{2}\). Оттук, поради симетрията спрямо \(O\), следва, че \(B_{2} B_{3}\) също е допирателна за \(k_{2}\).

Всички тези резултати водят до извода, че произволна точка \(T_{0}\) от \(k_{2}\) поражда успоредик, който е вписан в \(k_{1}\) и описан около \(k_{2}\). От друга страна, допирателната през точката \(B_{1}\) (от \(k_{1}\) ) към \(k_{2}\) през точката \(T_{0}\) поражда същия успоредник. Следователно всяка точка от \(k_{1}\) също поражда успоредик, който е вписан в \(k_{1}\) и описан около \(k_{2}\). С това теорема 2 е доказана.

Успоредниците, породени от теорема 2, притежават следните интересни свойства:

От факта, че всички успоредници имат общ център на симетрия, следва:

1) диагоналите им имат една и съща пресечна точка;

2) допирните точки на двойките срещуположни страни на всеки успоредник с вписаната крива определят прави, минаващи през една точка.

От успоредността на срещуположните страни на успоредниците следва:

3) двойките срещуположни страни на всеки успоредник се “пресичат” върху една права – “безкрайната права”.

От факта, че вписана и описаната криви имат общ център, следва:

4) общата точка на диагоналите и “безкрайната права”, върху която се “пресичат” двойките срещуположни страни, са полюс и поляра едновременно спрямо описаната и вписаната криви.

2. Доказателство на теорема 1. За да докажем теоремата на Понселе за произолен четириъгълник, ще направим преход от теорема 2 към теорема 1 с проективни средства.

Нека \(k_{1}\) е произволна описана крива за четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), а \(k_{2}\) е негова вписана крива. Разглеждаме произволен квадрат \(A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}\) в равнината на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). От една основна теорема на проективната геометрия (Матеев, 1977) следва, че съществува единствена проективност \(\varphi\), която преобразува \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) в \(A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}\). Проективността \(\varphi\) (според друга теорема от проективната геометрия (Матеев, 1977)) преобразува \(k_{1}\) в описана за квадрата \(A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}\) крива \(k_{1}^{\prime}\), а \(k_{2}\)-във вписана крива \(k_{2}^{\prime}\) на същия квадрат. Тъй като, според теорема 2, всички точки от двете криви \(k_{1}^{\prime}\) и \(k_{2}^{\prime}\) пораждат четириъгълници, вписани в едната и описани около другата крива, то \(\varphi^{-1}\) ще преобразува тези точки в точките на \(k_{1}\) и \(k_{2}\) със същите свойства.

С това теорема 1 е доказана.

Като използваме, че проективността \(\varphi^{-1}\) запазва всички проективни свойства на фигурите, от свойствата, отбелязани за успоредниците, получаваме следното:

Следствие 1. Четириъгълниците, които са едновременно вписани в крива \(k_{1}\) и описани около крива \(k_{2}\), притежават свойствата: 1) диагоналите на всички четириъгълници се пресичат в една точка \(P ; 2\) ) допирните точки на двойките срещуположни страни на всеки четириъгълник с \(k_{2}\) опредепрез \(P ; 3\) ) двойките срещуположни страни на всеки четириъгълник се пресичат върху една постоянна права \(p ; 4\) ) точката \(P\) и правата \(p\) са полюс и поляра правата p са полюс и поляра едновременно спрямо k1 и k2 (Фиг. 2) .

Когато \(k_{1}\) и \(k_{2}\) са окръжности, от теорема 1 получаваме:

Следствие 2. Ако две неконцентрични окръжности \(k_{1} u k_{2}\) са разположени в равнината по такъв начин, че съществува четириъгълник, който е вписан в \(k_{1}\) и описан около \(k_{2}\), то съществува единствен делтоид, който е вписан в \(k_{1} u\) описан около \(k_{2}\) (Фиг. 3) .

Съществуване. Означаваме с \(O\) и \(\Omega\) центровете съответно на \(k_{2}\) и \(k_{1}\) (по условие те са различни). Нека правата \(O \Omega\) пресича \(k_{1}\) в точка \(A\). Според теорема 1 , точката \(A\) поражда вписано-описан четириъгълник \(A B C D\) за \(k_{1}\) и \(k_{2}\) . Нека \(L_{1}\) и \(L_{2}\) са допирните точки на \(k_{2}\) съответно с правите \(A B\) и \(A D\), а \(M_{1}\) и \(M_{2}\) са средите на страните \(A B\) и \(A D\) (Фиг. 3). Тогава триъгълниците \(\Omega M_{1} A\) и \(\Omega M_{2} A\) са еднакви, затова \(A B=A D\). Тъй като \(A L_{1}=A L_{2}\), оттук получаваме \(B L_{1}=D L_{2}\). Следователно \(O \Omega\) е симетрала на диагонала \(B D\). Ако \(L_{3}\) и \(L_{4}\) са допирните точки съответно на правите \(C B\) и \(C D\) с \(k_{2}\), т.е. \(C L_{3}=C L_{4}\), от предишното равенство следва, че \(C B=C D\) (Фиг. 3). Оттук получаваме, че \(C\) лежи върху симетралата \(O \Omega\) на \(B D\). Така получихме делтоид \(A B C D\), диагоналът \(A C\) на който е диаметър на описаната му окръжност \(k_{1}\). Ясно е, че точката \(C\) поражда същия делтоид \(A B C D\).

Единственост. От съществуването на делтоид \(A B C D\), вписан в \(k_{1}\) и описан около \(k_{2}\), следва, че големият му диагонал съдържа центровете \(O\) и \(\Omega\). Следователно \(A B C D\) е породен от пресечните точки на правата \(O \Omega\) с \(k_{1}\). Но двете пресечни точки пораждат един делтоид, затова \(A B C D\) е единствен.

ЛИТЕРАТУРА

Берже, М. (1984). Геометрия. Том второй. Москва: Мир

Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство.

Прасолов, В. (1986). Задачи по планиметрия. Част ІІ. Москва: Наука.

Шарыгин, И. (1986). Задачи по геометрия. Планиметрия. Москва: Наука.