Научно–методически статии
НЯКОЛКО ХОМОТЕТИЧНО ПОРОДЕНИ СВОЙСТВА НА ФОЙЕРБАХОВИТЕ КОНФИГУРАЦИИ
Резюме. В настоящата статия се разглеждат обобщения на няколко известни свойства от геометрията на триъгълника, свързани с вписаните и описаните окръжности,. Тези обобщения са няколко свойства на една специална комбинация от централни конични сечения в равнината на триъгълника, наречена в (Ненков, 2010) Фойербахова конфигурация.
Ключови думи: triangle, homothety, Feuerbach configuration, Euler curve
В началото ще припомним какво разбираме под понятието „Фойербахова конфигурация“. Нека \(A B C\) е произволен триъгълник. Означаваме с \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) средите съответно на страните \(B C, C A, A B\), а с \(G\)- медицентъра на \(\triangle A B C\).
Фиг. 1
Нека \(I\) е произволна (крайна) точка, нележаща върху никоя от правите \(B C, C A\), \(A B, B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}\) и \(A_{0} B_{0}\), В0С0, С 0А0 и А 0В0, а точките \(I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) образуват хармоничен триъгълник на \(I\) спрямо \(\triangle A B C\) (Паскалев \& Чобанов, 1985). Разглеждаме точките \(I, I_{A}, I_{B}\) и \(I_{C}\) като центрове съответно на конични сечения (елипси или хиперболи) \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\), вписани в \(\triangle A B C\) (Фиг. 1). Означаваме допирните точки на \(k(I)\) с правите \(B C\), \(C A\) и \(A B\), и съответно с \(A_{I}, B_{I}\) и \(C_{I}\), , а допирните точки на \(k\left(I_{S}\right)\) (\(s=A, B, C\) ) ) с правите \(B C, C A\) и \(A B\) съответно с \(A_{I_{s}}, B_{I_{s}}\) и \(C_{I_{s}}(s=A, B, C)\). Средите \(M_{A}, M_{B}, M_{C}, M_{B C}, M_{C A}\) и \(M_{A B}\) съответно на отсечките \(I_{A}, I_{B}, I_{C}, I_{B} I_{C}, I_{C} I_{A}\) и \(I_{A} I_{B}\), IB, IC, IBIC, ICIA и IAIB, както е показано в (Ненков, 2008), лежат на конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център \(O\), описано около \(\triangle A B C\). Точката \(H\), която се получава от \(O\) чрез равенството \(\overrightarrow{H G}=2 \cdot \overrightarrow{G O}\), поражда конично сечение \(\Omega(H)\), минаващо през точките \(A_{0}, B_{0}, C_{0}\) и пресечните точки на правите \(A H, B H\), \(C H\) съответно с правите \(B C, C A, A B\). Наричаме кривата \(\Omega(H)\) Ойлерова крива на точката \(H\) спрямо \(\triangle A B C\) (Фиг. 1).
Всяка от точките \(I, I_{A}, I_{B}, I_{C}, O\) и \(H\) еднозначно определя конфигурация от шест криви \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right), k\left(I_{C}\right), \bar{k}(O)\) и \(\Omega(H)\). Поради доказаното в (Ненков, 2008) характерно свойство на \(k(I), k\left(I_{A}\right), k\left(I_{B}\right)\) и \(k\left(I_{C}\right)\) да се допират до \(\Omega(H)\), ще наричаме такова множество от шест конични сечения Фойербахова конфигурация.
Въвеждаме означенията: правата през \(I\), успоредна на \(B C\), пресича правите \(O M a\) и \(I_{A} A_{I_{A}}\) съответно в точки \(A(I)\) и \(A^{\prime}(I)\); по аналогичен начин се получават двойките точки \(B(I), B^{\prime}(I)\) и \(C(I), C^{\prime}(I)\) от правите през \(I\), съответно успоредни на страните \(C A\) и \(A B\); правата през \(I_{A}\), успоредна на \(B C\), пресича правите \(O M a\) и \(I_{A} A_{I_{A}}\) съответно в точки \(A\left(I_{A}\right)\) и \(A^{\prime}\left(I_{A}\right)\); аналогично се получават двойките точки \(B\left(I_{B}\right), B^{\prime}\left(I_{B}\right)\) и \(C\left(I_{C}\right)\), \(C^{\prime}\left(I_{C}\right)\) от прави те през \(I_{B}\) и \(I_{C}\), съответно успоредни на страните \(C A\) и \(A B\).
Във връзка с току-що въведените точки ще докажем едно твърдение, което има централна роля в обосноваването на следващите.
Твърдение 1. Точките \(A(I), B(I), C(I), A\left(I_{A}\right), B\left(I_{B}\right)\) и \(C\left(I_{C}\right)\) са среди съответно на отсечките IA¢(I), IB¢(I), IC¢(I), IAA¢(IA), IBB¢(IB) и те \(I A^{\prime}(I), I B^{\prime}(I), I C^{\prime}(I), I_{A} A^{\prime}\left(I_{A}\right), I_{B} B^{\prime}\left(I_{B}\right)\) и \(I C^{\prime}\left(I_{C}\right)\).
Идеята за доказателство на това твърдение е подобна на изложената в (Табов, 1994). Тя се състои в използването на факта, че всеки две криви във Фойербаховата конфигурация са хомотетични (Ненков, 2010). Разглеждаме хомотетия \(h_{a}\) с център \(A\) и преобразуваща \(k\left(I_{A}\right)\) в \(k(I)\). Ако \(h_{a}\left(A_{I_{A}}\right)=A_{1}\) и \(h_{a}(B C)=t_{1}\), от свойствата на хомотетията следва, че \(t_{1}\) е допирателна към \(k(I)\) в \(A_{1}\) и \(t_{1} \| B C\). Следователно \(A_{1}\) е диаметрално противоположна на \(A_{I}\) върху \(k(I)\). Сега ако \(I A(I) \cap\left(A_{I_{A}} \equiv A_{1} A_{I_{A}}\right)=A^{\prime}\), то се получава, че \(A^{\prime}\) е средата на \(A_{1} A_{I_{A}}\).
От свойството на допирателните, изразяващо се с равенството \(\left|B A_{I}\right|=\left|C A_{I_{A}}\right|\) (доказано в (Ненков, 2010)), лесно се вижда, че \(M_{a}\) е среда на отсечката \(A_{I} A_{I_{A}}\). Следователно \(M_{a} A^{\prime}\) е средна отсечка в \(\Delta A_{1} A_{I} A_{I_{A}}\) и затова е успоредна на \(I A_{I}\), която по построение е успоредна на \(O M_{a}\). Затова правата \(M_{a} A^{\prime}\) минава през \(O\). По друг начин казано, \(A^{\prime}\) лежи на правата \(O M_{a}\). Следователно \(A^{\prime} \equiv A(I)\). Така показахме, че \(A(I) \in A_{I_{A}}\) и че \(A(I)\) е среда на отсечката \(I A^{\prime}(I)\). Аналогично се показва, че \(B(I) \in B_{I_{B}}\) и \(C(I) \in C_{I_{C}}\), като същевременно \(B(I)\) и \(C(I)\) са среди съответно на отсечките \(I B^{\prime}(I)\) и \(I C^{\prime}(I)\). По подобен начин следва, че \(A\left(I_{A}\right) \in A A_{I}, B\left(I_{B}\right) \in B B_{I}, C\left(I_{C}\right) \in C C_{I}\), B(IB) Î BBI, C(IC ) Î CCI, като същевременно \(A\left(I_{A}\right), B\left(I_{B}\right)\) и \(C\left(I_{C}\right)\) са среди на отсечките \(I_{A} A^{\prime}\left(I_{A}\right), I_{B} B^{\prime}\left(I_{B}\right)\) и \(I_{C} C^{\prime}\left(I_{C}\right)\). С това твърдение 1 е доказано.
Фиг. 2
От доказателството на твърдение 1 се получават и следните две твърдения:
Твърдение 2. Правите A(I), B(I) и те \(A(I), B(I)\) и \(C(I)\) се пресичат в една точка или са успоредни.
Твърдение 3. Правите \(A\left(I_{A}\right), B\left(I_{B}\right)\) и \(C\left(I_{C}\right)\) се пресичат в една точка или са успоредни.
Наистина, в (Ненков, 2010) е доказано, че правите \(A_{I}, B_{I}\) и \(C_{I}\) имат обща точка \(J\) (крайна или безкрайна), която е наречена точка на Жергон, а правите \(A_{I_{A}}, B_{I_{B}}\) и \(C_{I_{C}}\) имат обща точка \(N\) (крайна или безкрайна), която е наречена точка на Нагел за разглежданата Фойербахова конфигурация. Тъй като тези две тройки прави, според доказаното в твърдение 1, съвпадат съответно с тройките \(A(I), B(I), C(I)\) и \(A\left(I_{A}\right), B\left(I_{B}\right), C\left(I_{C}\right)\), то непосредствено се получат твърва дения 2 и 3.
По този начин намираме още по едно свойство на точките на Жергон и Нагел. Аналогични твърдения лесно се свързват и с другите точки на Жергон и Нагел, разгледани в (Ненков, 2010). Когато точката \(I\) е центърът на вписаната окръжност, т.е. Фойербаховата конфигурация се състои от окръжности, от твърдение 2 получаваме теоремата на Лонгшамп, доказана в (Табов, 1994), а от твърдение \(3-\) задача 4 от рубриката „Конкурсни задачи“ на сп. „Математика и информатика“, 1998, № 1.
Нека \(I M_{a} \cap A H=H(A), I M_{b} \cap B H=H(B), I M_{c} \cap C H=H(C), I_{A} M_{a} \cap A H=H\left(A_{I_{A}}\right)\), \(I_{B} M_{b} \cap B H=H\left(B_{I_{B}}\right)\) и \(I_{C} M_{c} \cap C H=H\left(C_{I_{C}}\right)\). За тези точки е изпълнено следното
Твърдение 4.
Изпълнени са равенствата: \(A H(A)=I A_{1}, B H(B)=I B_{1}, C H(C)=I C_{1}, A H\left(A_{I_{A}}\right)=\) \(I_{A} A_{I_{A}}, B H\left(B_{I_{B}}\right)=I_{B} B_{I_{B}}, C H\left(C_{I_{C}}\right)=I_{C} C_{I_{C}}\).
От твърдение 1 следва, че \(I A(I)=M_{a} A_{I_{A}}\) и \(I A(I) \| M_{a} A_{I_{A}}\). Следователно \(I A(I)\) \(A_{I_{A}} M_{a}\) е успоредник, откъдето \(H(A) M_{a} \| A A(I)\) и \(A(I) M_{a} \| A H(A)\) ( по построение). Затова \(A H(A) M_{a} A(I)\) е успоредник. Оттук \(A H(A)=A(I) M_{a}\). От друга страна, според твърдение \(1, A(I) M_{a}=I A_{\mathrm{I}}\). Така получаваме \(A H(A)=I A_{I}\). По аналогичен начин се доказват и останалите равенства.
Накрая ще отбележим следното
Твърдение 5.
а) Правите \(I_{A} A_{I_{A}}, I_{B} B_{I_{B}}, I_{C} C_{I_{C}}\) се пресичат в една точка \(P\), симетрична на \(I\) спрямо O;
б) Правите \(I A_{1}, I_{B} C_{I_{B}}, I_{C} B_{I_{C}}\) се пресичат в една точка \(P_{A}\), симетрична на \(I_{A}\) спрямо \(O\);
в) Правите \(I B_{I}, I_{C} A_{I_{C}}, I_{A} C_{I_{A}}\) се пресичат в една точка \(P_{B}\), симетрична на \(I_{B}\) спрямо \(O\);
г) Правите \(I C_{I}, I_{A} B_{I_{A}}, I_{B} A_{I_{B}}\) се пресичат в една точка \(P_{C}\), симетрична на \(I_{C}\) спрямо O.
Нека \(t_{1}\) е транслация с вектор \(2 . \overrightarrow{I A(I)}\) и \(t_{2}\) е транслация с вектор 2. \(\overrightarrow{A(I) O}\). Тогава \(t_{2}{ }^{\circ} t_{1}(I)=t_{2}\left(A^{\prime}(I)\right)=P\), където \(P\) е точка, симетрична на \(A^{\prime \prime}(I)\). Но \(t_{2}{ }^{\circ} t_{1}\) е централна симетрия с център \(O\), следователно \(P\) е симетрична на \(I\) спрямо \(O\) и лежи върху правата \(I_{A} A_{I_{A}}\). По аналогични причини точката \(P\) лежи и върху правите \(I_{B} B_{I_{B}}\) и \(I_{C} C_{I_{C}}\). По подобен начин се доказват и останалите конкурентности.
Като приложение на твърдение 5 се получава решение на задача 3, публикувана в сп. „Математика и информатика“, брой 3, 2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
Ненков, В. (2008). Обобщение на теоремата на Фойербах. Математика и информатика, 2, 35–42.
Ненков, В. (2010). Няколко свойства на Фойербаховата конфигурация. Математика и информатика, 5, 42–61.
Паскалев, Г. & Чобанов, И. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.
Табов, Й. (1994). Три проекции върху симетралите. Обучението по математика и информатика, 4, 74.