Резюме. В тази публикация се доказва, че педалните окръжности на произволна точка в равнината на четириъгълник относно триъгълниците, определени от страните и диагоналите на последния, се пресичат в една точка. С помощта на това твърдение се дефинира едно изображение в равнината на произволен четириъгълник. Намират се образите на някои забележителни точки в четириъгълника. Описват се връзките на изображението с други трансформации в равнината на четириъгълник.

Ключови думи: quadrilateral; pedalcircles; transformations; remarkablepoints

Педална окръжност на точка спрямо триъгълник наричаме окръжността, определена от ортогоналните проекции на точката върху правите, съдържащи страните му (като при това предполагаме, че точката не лежи на описаната около триъгълника окръжност). В случая, когато точката е от описаната около триъгълника окръжност, според теоремата на Симсън ортогоналните є проекции върху правите, съдържащи страните на последния, лежат на една права – права на Симсън. Можем да кажем, че в този случай педалната окръжност на точката относно триъгълника се заменя от педална права – права на Симсън.

Известно е още от началото на ХХ век, че педалните окръжности (правите на Симсън) на върховете \(A, B, C\) и \(D\) на произволен четириъгълник \(A B C D\) относно триъгълниците съответно \(B C D, C D A, D A B\) и \(A B C\) от останалите тройки върхове, минават през една точка. Към този геометричен факт тук ще добавим друг, подобен на него. Именно, ще докажем следната:

Теорема 1. Педалните окръжности на произволна точка \(X\) в равнината на произволен четириъгълник \(A B C D\), нележаща на една окръжност с никои три от върховете му, спрямо триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\), определени от страните и диагоналите на последния, минават през една точка.

Доказателство. Нека за определеност точката \(X\) лежи в \(\triangle A B C\). При друго разположение на точката \(X\) разсъжденията са аналогични. Означаваме ортогоналните проекции на \(X\) върху правите \(A B, B C, C D, D A, A C\) и \(B D\) съответно с \(A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}, E_{1}\) и \(F_{1}\) (фиг.1). Педалната окръжност (\(k_{B}\) ) на точката \(X\) относно \(\triangle A B C\) е определена от точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(A_{1}\),B1 и A1, тази относно \(\triangle B C D\) (окръжността \(\left(k_{c}\right)\) )– съответно от точките \(B_{1}, C_{1}\) и \(F_{1}\), C1 и F 1 , а педалната окръжност (\(k_{D}\) ) относно \(\triangle C D A\)– съответно от точките \(C_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\). Означаваме втората обща точка на окръжностите (\(k_{D}\) ) и (\(k_{\mathrm{C}}\) ) с \(Y\). Ще докажем, че \(Y \in\left(k_{B}\right)\). Понеже четириъгълниците \(A A_{1} X E_{1}\) и \(B A_{1} X B_{1}\) са вписани, имаме \(\measuredangle E_{1} A_{1} X=\measuredangle E_{1} A X\) и \(\measuredangle B_{1} A_{1} X=\measuredangle B_{1} B X\). Оттук получаваме последователно:

\(∢ E_{1} A_{1} B_{1}=\measuredangle E_{1} A_{1} X+\measuredangle B_{1} A_{1} X=\measuredangle E_{1} A X+\measuredangle B_{1} B X=\measuredangle C A X+\measuredangle C B X=\measuredangle A X B-\measuredangle A C B\), т.е.

(1) \(\measuredangle E_{1} A_{1} B_{1}=\measuredangle A X B-\measuredangle A C B\).

Означаваме произволна точка от продължението на отсечката \(C_{1} Y\) с \(P\). Понеже четириъгълникът \(E_{1} Y C_{1} D_{1}\) е вписан в окръжност, имаме: \(\measuredangle E_{1} Y P=\measuredangle E_{1} D_{1} C_{1}\). Освен това \(\measuredangle B_{1} Y C_{1}=\measuredangle B_{1} F_{1} C_{1}\) (вписани ъгли). Затова \(\measuredangle E_{1} Y B_{1}=\measuredangle E_{1} Y P+\measuredangle B_{1} Y P=\measuredangle E_{1} D_{1} C_{1}+\left(180^{\circ}-\measuredangle B_{1} Y C_{1}\right)=\measuredangle E_{1} D_{1} C_{1}+\left(180^{\circ}-\measuredangle B_{1} F_{1} C_{1}\right)\), क.е.

(2) \[ \measuredangle E_{1} Y B_{1}=\measuredangle E_{1} D_{1} C_{1}+180^{\circ}-\measuredangle B_{1} F_{1} C_{1} . \]

Означаваме \(A C \cap X D=K\). Понеже четириъгълниците \(A X E_{1} D_{1}\) и \(X D_{1} D C_{1}\) са вписани, имаме \(\measuredangle E_{1} D_{1} X=\measuredangle E_{1} A X\) и \(\measuredangle C_{1} D_{1} X=\measuredangle C_{1} D X\). Затова

\[ \measuredangle E_{1} D_{1} C_{1}=\measuredangle C_{1} D_{1} X-\measuredangle E_{1} D_{1} X=\measuredangle C_{1} D X-\measuredangle E_{1} A X \]

Като вземем предвид, че \(\measuredangle C_{1} D X=\measuredangle C D K=180^{\circ}-\measuredangle K C D-\measuredangle D K C\) и че \(\measuredangle E_{1} A X=\measuredangle K A X=180^{\circ}-\measuredangle A X K-\measuredangle A K X\), оттук чрез заместване получаваме \(\measuredangle E_{1} D_{1} C_{1}=\measuredangle C_{1} D X-\measuredangle E_{1} A X=\left(180^{\circ}-\measuredangle K C D-\measuredangle D K C\right)-\left(180^{\circ}-\measuredangle A X K-\measuredangle A K X\right)=\) \(=(\measuredangle A X K-\measuredangle K C D)+(\measuredangle A K X-\measuredangle D K C)\).

Понеже \(\measuredangle A K X=\measuredangle D K C\), от последното равенство намираме

(3) \[ \measuredangle E_{1} D_{1} C_{1}=\measuredangle A X K-\measuredangle K C D=\measuredangle A X D-\measuredangle A C D . \]

От друга страна, понеже четириъгълниците \(B_{1} F_{1} X B\) и \(C_{1} F_{1} X D\) са вписани, имаме \(\measuredangle B_{1} F_{1} X=180^{\circ}-\measuredangle B_{1} B X\) и \(\measuredangle C_{1} F_{1} X=180^{\circ}-\measuredangle C_{1} D X\). Оттук по-лучаваме последователно:

\(\measuredangle B_{1} F_{1} C_{1}=360^{\circ}-\measuredangle B_{1} F_{1} X-\measuredangle C_{1} F_{1} X=360^{\circ}-\left(180^{\circ}-\measuredangle B_{1} B X\right)-\left(180^{\circ}-\measuredangle C_{1} D X\right)=\)

\(=\measuredangle B_{1} B X+\measuredangle C_{1} D X=\measuredangle C B X+\measuredangle C D X\).

Но \(\measuredangle C B X+\measuredangle C D X=360^{\circ}-\measuredangle B X D-\measuredangle B C D\) (от четириъгълника \(B X D C\) ), следователно:

(4) \[ \measuredangle B_{1} F_{1} C_{1}=360^{\circ}-\measuredangle B X D-\measuredangle B C D . \]

От (3) и (4) след заместване в (2) получаваме

\(\measuredangle E_{1} YB_{1}=\measuredangle E_1 D_1 C_1 + 180^{\circ}-\measuredangle B_1 F_1 C_1=(\measuredangle AXD+\measuredangle ACD)+180^{\circ}-(360^{\circ}-\measuredangle BXD-\measuredangle BCD),\) т.е.

\(\measuredangle E_{1} YB_{1}=(\measuredangle BCD-\measuredangle ACD)+(\measuredangle AXD+\measuredangle BXD)-180^{\circ}=\measuredangle ACB(360^{\circ}-\measuredangle AXB)-180^{\circ}\) или

\(\measuredangle E_{1} YB_{1}=\measuredangle ACB-\measuredangle AXB+180^{\circ}\) .

От (1) и последното равенство чрез почленно събиране получаваме:

\[ \measuredangle E_{1} A_{1} B_{1}+\measuredangle E_{1} Y B_{1}=(\measuredangle A X B-\measuredangle A C B)+\left(\measuredangle A C B-\measuredangle A X B+180^{\circ}\right)=180^{\circ} . \]

Можем да заключим, че \(Y \in\left(k_{B}\right)\). Аналогично се доказва, че \(Y \in\left(k_{A}\right)\), с което показахме, че и четирите педални окръжности \(\left(k_{A}\right),\left(k_{B}\right),\left(k_{c}\right)\) и \(\left(k_{D}\right)\) имат обща точка.

Определение 1. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник и \(X\) е точка в равнината му, нележаща на една окръжност с никои три от върховете му. Общата точка \(Y\) на педалните окръжности на точката \(X\) относно триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) ще наричаме педален образ на \(X\) спрямо \(A B C D\).

Определение 2. Изображението в равнината на произволен четириъгълник \(A B C D\), което на произволна точка \(X\), нележаща на една окръжност с никои три от върховете му, съпоставя педалния образ \(Y\) на \(X\) спрямо \(A B C D\), ще наричаме педалност относно \(A B C D\) и ще бележим с \(\Pi(X)\).

Сега ще определим педалните образи на някои точки в произволен четириъгълник, в това число на някои негови забележителни точки.

Нека първо \(X\) е точка от правата, съдържаща диагонала \(A C\) (фиг. 2). Ще докажем, че педалният образ на точката \(X\) спрямо четириъгълника \(A B C D\) е ортогоналната є проекция \(Y\) върху правата, съдържаща другия диагонал \(B D\). Достатъчно е да докажем, че \(Y\) е втората обща точка на педалните окръжности ( \(k_{C}\) ) и ( \(k_{B}\) ) на точката \(X\) спрямо \(\triangle B C D\) и \(\triangle A B C\). Точката \(Y\) лежи на педалната окръжност ( \(k_{C}\) ) на \(X\) спрямо \(\triangle B C D\), защото е ортогонална проекция на \(X\) върху страната му \(B D\). Означаваме ортогоналните проекции на точката \(X\) върху правите \(A B\) и \(B C\) съответно с \(A_{1}\) и \(B_{1}\). Понеже четириъгълникът \(A_{1} B X Y\) е вписан в окръжност, заключваме, че точката \(Y\) лежи на окръжността, определена от точките \(A_{1}, B\) и \(X\). Но понеже и четириъгълникът \(A_{1} B B_{1} X\) е вписан в окръжност, окръжността, определена от точките \(A_{1}, B\) и \(X\), , съвпада с окръжността, определена от точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(X\). Следователно точката \(Y\) лежи и на окръжността ( \(k_{B}\) ) , определена от точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(X\), B1 и X , т.е. на педалната окръжност на \(X\) спрямо \(\triangle A B C\). Убедихме се, че \(Y \in\left(k_{B}\right) \cap\left(k_{C}\right)\). Следователно точката \(Y\) е педалният образ на \(X\) относно четириъгълника \(A B C D\). Така доказахме следната:

Теорема 2. При педалността \(П(X)\) относно произволен четириъгълник \(A B C D\) точка, лежаща върху правата, съдържаща единия диагонал, се изобразява в ортогоналната Ӱ проекция върху правата, съдържаща другия диагонал.

Следствие 1. Пресечната точка \(T\) на диагоналите на произволен четириъгълник \(A B C D\) е двойна за педалността \(П(X)\) относно него.

Доказателство. Точката \(T\) лежи на диагонала \(A C\) (фиг. 3) и следователно по теоремата се изобразява при педалността \(\Pi(X)\) в ортогоналната си проекция върху другия диагонал \(B D\). Но понеже точката \(T\) лежи и на диагонала \(B D\), тази ортогонална проекция е самата точка \(T\).

Следствие 2. В четириъгълник с перпендикулярни диагонали образ на правите, съдържащи диагоналите при педалността \(\Pi(X)\), е тяхната пресечна точка \(T\).

Доказателство. Според теоремата произволна точка от правата \(l\), съдържаща единия диагонал, се изобразява при педалността \(\Pi(X)\) в ортогоналната си проекция върху правата, съдържаща другия диагонал. Понеже по условие двете прави са перпендикулярни, тази проекция е пресечната им точка \(T\) (фиг. 3).Следователно правата \(l\) се изобразява в точката \(T\).

Следствие 3. В четириъгълник, в който диагоналите не са перпендикулярни, образ на правата, съдържаща единия диагонал при педалността \(\Pi(X)\), е правата, съдържаща другия диагонал.

Доказателство. Понеже по условие правите, съдържащи диагоналите, не са перпендикулярни, ортогоналните проекции на точките от едната от тях върху другата изцяло запълват втората права. Следователно образ на едната от правите при педалността \(\Pi(X)\) е другата права.

По подобен начин се доказва следната:

Теорема 3. При педалността \(\Pi(X)\) относно произволен четириъгълник точка, лежаща на правата, съдържаща коя да е от страните, се изобразява в ортогоналната си проекция върху правата, съдържаща срещуположната страна.

Следствие 1. Пресечните точки на правите, съдържащи срещуположните страни на произволен четириъгълник, са двойни за педалността спрямо него.

Следствие 2. Ако в четириъгълник \(A B C D\) правите, съдържащи две срещуположни страни, са перпендикулярни, то тези прави се изобразяват при педалността \(\Pi(X)\) в пресечната си точка.

Следствие 3. Ако в четириъгълник \(A B C D\) правите, съдържащи две срещуположни страни, не са перпендикулярни, то тези прави се изобразяват една в друга при педалността П (Х).

Както ще видим сега, педалните образи на някои забележителни точки в четириъгълник са също забележителни точки. Преди това ще приведем някои необходими за по-нататъшното изложение сведения за две забележителни точки в изпъкнал четириъгълник, наречени псевдоцентър и ортоцентър.

В (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2016) е доказано следното твърдение:

„Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Ако \(r_{A B C}, r_{B C D}, r_{C D A}\) и \(r_{D A B}\) са радиусите на описаните окръжности съответно около триъгълниците \(A B C\), \(B C D, C D A\) и \(D A B\), CDA и DAB , то съществува единствена точка \(O\) в равнината на \(A B C D\), за разстоянията от която до върховете на \(A B C D\) са изпълнени равенствата (фиг. 4).

\[ A O \cdot r_{B C D}=B O \cdot r_{C D A}=C O \cdot r_{D A B}=D O \cdot r_{A B C} \]

Тази точка \(O\) е забележителна със свойствата си и се нарича псевдоцентър на четириъгълника. В (Haimov, 2010) е доказано следното:

Твърдение \(A\). Четириъгълникът \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) с върхове ортогоналните проекции на псевдоцентъра \(O\) върху правите, съдържащи страните на произволен изпъкнал четириъгълник \(A B C D\), са върхове на успоредник (фиг. 4). Перпендикулярите \(A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}\) и \(D_{1} D_{2}\), , спуснати от върховете на успоредника \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) към срещуположните страни на четириъгълника \(A B C D\), се пресичат в една точка \(H\).

Тази точка \(H\) е също забележителна със свойствата си и се нарича ортоцентър на четириъгълника \(A B C D\). В (Haimov, 2010) е доказано и следното:

Твърдение Б. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(O\) е псевдоцентърът му. Изпълнено е равенството \(\measuredangle A O C=180^{\circ}-|\measuredangle A D C-\measuredangle A B C|\). При това точката \(O\) лежи в полуравнината относно правата, съдържаща диагонала \(A C\), в която се намира върхът на по-малкия от ъглите \(A D C\) и \(A B C\).

Сега ще докажем, че образ на първата от въпросните две забележителни точки на изпъкнал четириъгълник при педалността \(\Pi(X)\) е втората точка.

Теорема 4. Педалният образ на псевдоцентъра \(O\) на произволен изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) е ортоцентърът му \(H\).

Доказателство. За определеност ще считаме, че псевдоцентърът \(O\) лежи в \(\triangle A B C\) (фиг. 5). При друго разположение на точката \(O\) разсъжденията са аналогични. Означаваме ортогоналните проекции на точката \(O\) върху правите \(A B, B C\) и \(C A\) съответно с \(A_{1}, B_{1}\) и \(A_{1}\).

Ортоцентърьт \(H\), съгласно цитираното твърдение А, е пресечна точка на перпендикулярите \(A_{1} A_{2}\) и \(B_{1} B_{2}\), спуснати от точките \(A_{1}\) и \(B_{1}\) съответно към правите \(C D\) и \(A D\left(A_{2} \in C D, B_{2} \in A D\right)\). Ще докажем първо, че точката \(H\) лежи на педалната окръжност ( \(k_{B}\) ) на псевдоцентъра \(O\) относно \(\triangle A B C\). Имаме

(5) \[ \measuredangle A_{1} H B_{1}=\measuredangle A_{2} H B_{2}=180^{\circ}-\measuredangle A D C . \]

Понеже четириъгълниците \(A A_{1} O E_{1}\) и \(C B_{1} O E_{1}\) са вписани, имаме: \(\measuredangle A_{1} E_{1} O=\measuredangle A_{1} A O\) и \(\measuredangle B_{1} E_{1} O=\measuredangle B_{1} C O\). Оттук получаваме последователно \(\measuredangle A_{1} E_{1} B_{1}=\measuredangle A_{1} E_{1} O+\measuredangle B_{1} E_{1} O=\measuredangle A_{1} A O+\measuredangle B_{1} C O=\measuredangle B A O+\measuredangle B C O=\measuredangle A O C-\measuredangle A B C\)

Същевременно според цитираното твърдение Б имаме:

\[ \measuredangle A O C=180^{\circ}-\measuredangle A D C+\measuredangle A B C . \]

От последните две равенства следва, че:

\[ \measuredangle A_{1} E_{1} B_{1}=\measuredangle A O C-\measuredangle A B C=180^{\circ}-\measuredangle A D C . \]

Оттук и от (5) получаваме, че \(\measuredangle A_{1} H B_{1}=\measuredangle A_{1} E_{1} B_{1}\). Можем да заключим, че точката \(H\) лежи на окръжността, определена от точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(A_{1}\), B1 и A1, т.е. че \(H \in\left(k_{B}\right)\). Доказахме, че ортоцентърът \(H\) лежи върху педалната окръжност на псевдоцентъра \(O\) относно \(\triangle A B C\). По същия начин се доказва, че \(H\) лежи и върху педалните окръжности на \(O\) относно \(\triangle B C D, \triangle C D A\) и \(\triangle D A B\). Следователно \(H\) е педалният образ на \(O\) относно \(A B C D\).

Както ще видим сега, образът при педалността \(\Pi(X)\) на още една забележителна точка на четириъгълник е също специална точка в него.

Теорема 5. Педалният образ на центьра \(I\) на вписаната окръжност на описан четириъгълник \(A B C D\) е пресечната точка \(T\) на диагоналите на последния.

Доказателство. За определеност ще предполагаме, че центърьт \(I\) на вписаната в \(A B C D\) окръжност лежи в \(\triangle A T B\) (фиг. 6). При друго разположение на точката \(I\) разсъжденията са аналогични. Нека правите \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точка \(U\). Означаваме ортогоналните проекции на центъра \(I\) върху правите \(A B, B C, D A\) и \(A C\) съответно с \(A_{1}, B_{1}, D_{1}\) и \(E_{1}\). Педалната окръжност ( \(k_{B}\) ) на точката \(I\) спрямо \(\triangle A B C\) е определена от точките \(A_{1}, B_{1}\) и \(E_{1}\). Ще докажем първо, че \(T \in\left(k_{B}\right)\). Понеже четириъгълниците \(A A_{1} I E_{1}\) и \(B B_{1} I A_{1}\) са вписани, имаме \(\measuredangle E_{1} A_{1} I=\measuredangle E_{1} A I\) и \(\measuredangle B_{1} A_{1} I=\measuredangle B_{1} B I\). Оттук получаваме последователно:

(*) \[ \measuredangle E_{1} A_{1} B_{1}=\measuredangle E_{1} A_{1} I+\measuredangle B_{1} A_{1} I=\measuredangle E_{1} A I+\measuredangle B_{1} B I=\measuredangle C A I+\measuredangle C B I=\measuredangle A I B-\measuredangle A C B . \]

Но понеже \(I\) е център на вписаната в \(\triangle A B U\) окръжност, имаме: \(\measuredangle A I B=90^{\circ}+\tfrac{1}{2} \not \subset A U B\). Оттук и от (*) получаваме последователно:

(6) \(\measuredangle E_{1} A_{1} B_{1}=\measuredangle A I B-\measuredangle A C B=90^{\circ}+\tfrac{1}{2} \measuredangle A U B-\measuredangle A C B\).

Точките \(B_{1}\) и \(D_{1}\) са допирните точки на вписаната в \(A B C D\) окръжност със страните \(A D\) и \(B C\) и както лесно се доказва, \(T \in B_{1} D_{1}\). Тогава от равнобедрения \(\triangle B_{1} U D_{1}\) имаме \(\measuredangle T B_{1} C=\measuredangle D_{1} B_{1} U=90^{\circ}-\tfrac{1}{2} \measuredangle A U B\). Оттук получаваме:

(7) \(\not E_{1} T B_{1}=\measuredangle T C B_{1}+\measuredangle T B_{1} C=\measuredangle A C B+90^{\circ}-\tfrac{1}{2} \measuredangle A U B\).

От (6) и (7) след почленно събиране получаваме:

\[ \measuredangle E_{1} A_{1} B_{1}+\measuredangle E_{1} T B_{1}=\left(90^{\circ}+\tfrac{1}{2} \measuredangle A U B-\measuredangle A C B\right)+\left(\measuredangle A C B+90^{\circ}-\tfrac{1}{2} \measuredangle A U B\right)=180^{\circ} . \]

Можем да заключим, че \(T \in\left(k_{B}\right)\). Доказахме, че точката \(T\) лежи на педалната окръжност на точката \(I\) относно \(\triangle A B C\). По същия начин се доказва, че \(T\) лежи и на педалните окръжности на точката \(I\) спрямо \(\triangle B C D, \triangle C D A\) и \(\triangle D A B\). Следователно \(T\) е педалният образ на \(I\) спрямо четириъгълника \(A B C D\).

Накрая ще приведем без доказателства някои връзки на изображението педалност \(\Pi(X)\) спрямо четириъгълник с други преобразувания в равнината на четириъгълник.

В (Nenkov, Stefanov & Haimov, 2017) е разгледано едно изображение в равнината на четириъгълник, наречено инверсна изогоналност. То е свързано с една забележителна точка в четириъгълника, наречена точка на Микел. Нека \(A B C D\) е произволен четириъгълник, в който продълженията на страните \(A D\) и \(B C\) се пресичат в точката \(U\), а продълженията на страните \(A B\) и \(D C\)– в точка \(V\) (фиг. 7). Доказва се, че описаните окръжности около триъгълниците \(A B U, C D U, A D V\) и \(B C V\) имат обща точка \(M\). Тя се нарича точка на Микел за четириъгълника \(A B C D\).

Определение 3. Композицията от симетрията с ос ъглополовящата \(m\) на \(\measuredangle B M D\) и инверсията с полюс \(M\) и степен \(r^{2}=B M . D M\) се нарича инверсна изогоналност спрямо \(A B C D\).

В (Alexandrov & Haimov, 2003) е разгледано друго изображение в равнината на четириъгълник, наречено изогонална спрегнатост. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник. Две точки \(X\) и \(Y\) в равнината му се наричат изогонално спрегнати, ако лежат на изогонални прави спрямо всеки от ъглите му (две прави се наричат изогонално спрегнати спрямо даден ъгъл, ако сключват равни ъгли с ъглополовящата му) (фиг. 8). Изображението, което на една точка \(X\) съпоставя изогонално спрегнатата Ӱ точка \(Y\), се нарича изогонална спрегнатост в четириъгълника. В споменатата статия се доказват следните свойства на второто изображение.

Свойство \(A_{1}\). Две точки \(X\) и \(Y\) в равнината на изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) са изогонално спрегнати тогава и само тогава, когато съществува конично сечение с фокуси \(X\) и \(Y\), вписано в \(A B C D\).

Свойство \(5_{1}\). Две точки \(X\) и \(Y\) в равнината на изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) са изогонално спрегнати тогава и само тогава, когато ортогоналните им проекции върху правите, съдържащи страните на \(A B C D\), лежат на една окръжност (фиг. 8).

Връзката на изображението педалност \(\Pi(X)\) спрямо четириъгълник с преобразуванията инверсна изогоналност и изогонална спрегнатост се изяснява в следната:

Теорема 6. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник и \(X\) е точка, различна от върховете му и точката на Микел (фиг. 9). Нека \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\) и \(D_{1}\) са ортогоналните проекции на точката \(X\) съответно върху правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\). Педалният образ \(Y\) на точката \(X\) спрямо четириъгълника \(A B C D\) съвпада с инверсно изогоналната точка на \(X\) спрямо четириъгълника \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\). При това, ако четириъгълникът \(A B C D\) е вписан в окръжност, точките \(X\) и \(Y\) са и изогонално спрегнати спрямо четириъгълника \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) (фиг. 9).

От тази теорема с помощта на свойства \(\mathrm{A}_{1}\) и \(\mathrm{F}_{1}\) се получава следното:

Следствие. Нека \(A B C D\) е вписан четириъгълник. Ако \(Y\) е педалният образ на точката \(X\), различна от върховете \(A, B, C\) и \(D\) и точката на Микел, и \(A_{1}, B_{1}, C_{1}\) и \(D_{1}\) са ортогоналните проекции на \(X\) съответно върху правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\), , то ортогоналните проекции на \(X\) и \(Y\) съответно върху правите \(A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}\) и \(D_{1} A_{1}\) лежат на една окръжност. Съществува конично сечение с фокуси \(X\) и \(Y\), вписано в \(A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}\) (фиг. 9).

В заключение предлагаме две задачи за упражнение на читателите.

Задача 1. Нека \(A B C D\) е вписан четириъгълник с перпендикулярни диагонали. Да се докаже, че образ на центъра \(O\) на описаната му окръжност при педалността \(\Pi(X)\) спрямо него е пресечната точка \(T\) на диагоналите.

Задача 2. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, в който са изпълнени равенствата \(\measuredangle A C B=90^{\circ}-\tfrac{1}{2} \measuredangle A D B\) и \(\measuredangle A C D=90^{\circ}-\tfrac{1}{2} \measuredangle A B D\). Да се докаже, че образ на центъра на вписаната в \(\triangle A B D\) окръжност при педалността \(\Pi(X)\) спрямо \(A B C D\) е точката на Фойербах за \(\triangle A B D\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2016). Pseudocenter and orthocenter – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6, 614 – 625. (ISSN 1310-2230) [Ненков, В., С. Стефанов & Х. Хаимов (2016). Псевдоцентър и ортоцентър – забележителни точки в четириъгълника, Математика и информатика, 6, 614 – 625.]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral. Pseudocenter and orthocenter, Мathematics Plus 2, 28 – 30, 43 – 50. (ISSN 08618321) [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника. Псевдоцентър и ортоцентър, Математика плюс 2, 28 – 30, 43 – 50. (ISSN 0861-8321).]

Nenkov, V., S. Stefanov & H. Haimov (2016). Geometry of the quadrilateral, Miquel point, inverse isogonality, Mathematics and Informatics, 81 – 93. (ISSN 1310-2230) [Ненков, В., С. Стефанов \(\&\) X. Хаимов (2017). Геометрия на четириъгълника, точка на Микел, инверсна изогоналност, Математика и информатика 1, 81 – 93. (ISSN 1310-2230).]

Alexandrov, P. & H. Haimov (2003). Geometry of the Quadrangle. Isogonal Conjugated Points. Proceedings of the the International Congress of MASSEE 2003, 141.

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Around the orthocenter in the plane and the space. Sofia: Archimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2012). Three notable points on the medians of the triangle. Sofia: Archimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2012). Три забележителни точки върху медианите на триъгълника. София: Архимед 2000.]

Nenkov, V. (2008). Four Euler circles through a point, Мathematics Plus, 2, 60 – 61. (ISSN 0861-8321) [Ненков, В. (2008). Четири Ойлерови окръжности през една точка, Математика плюс, 2, 60 – 61. (ISSN 0861-8321).]

Nenkov, V. (2008). Complex numbers and pedal circles. Мathematics and Informatics, 5 – 6, 37 – 41. (ISSN 1310-2230) [Ненков, В. (1997). Комплексни числа и педални окръжности, Математика и информатика, 5 – 6, 37 – 41. (ISSN 1310-2230).]

Grozdev, S., V. Nenkov & H. Haimov (2013). Eight lines through a notable point of the quadrilateral, Mathematics Plus, 4, 63 – 65. (ISSN 0861-8321) [Гроздев, С., В. Ненков & Х. Хаимов. (2013). Осем линии през една забележителна точка за четириъгълник, Математика плюс, 4, 63 – 65. (ISSN 0861-8321).]

Stefanov, S. (2017). Second pseudocenter of a quadrilateral, Mathematics and Informatics, 3, 261 – 270. (ISSN 1310-2230) [Стефанов, Ст. (2017). Втори псевдоцентър на четириъгълник, Математика и информатика, 3, 261 – 270. (ISSN 1310-2230).]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The BulgarianExperience (Theory and Practice). Sofia: ADE. (ISBN 978-954-92139-1-1)

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of complex numbers, Sofia: Arhimedes 2000. (ISBN 978-954-779-1886)