Резюме. В статията е използвана софтуерната програма “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP) за откриване на различни интересни свойства на конични сечения, асоцирани с даден \(\triangle A B C\). Предложени са и строги доказателства на откритите свойства. Например, да разгледаме точка \(I\) в равнината на \(\triangle A B C\) и спрегнатия й \(\Delta I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} I_{\mathrm{C}}\) относно \(\triangle A B C\). Точките \(I, I_{\mathrm{A}}, I_{\mathrm{B}}\) и \(I_{\mathrm{C}}\) са центровете на вписани в \(\triangle A B C\) конични сечения, съответно \(k(I), k\left(I_{\mathrm{A}}\right), k\left(I_{\mathrm{B}}\right)\) и \(k\left(I_{\mathrm{C}}\right)\), като средите на отсечките \(I_{\mathrm{A}}, I_{\mathrm{B}}, I_{\mathrm{C}}, I_{\mathrm{B}} I_{\mathrm{C}}\), \(I_{\mathrm{C}} I_{\mathrm{A}}\), и \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), лежат на описано около \(\triangle A B C\) конично сечение \(\bar{k}(O)\). Нека правата \(I\), която е успоредна на \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), пресича \(C A\) и \(C B\) съответно в точките \(C_{\mathrm{a}}\) и \(C_{\mathrm{b}}\), а правата \(I_{\mathrm{C}}\), която е успоредна на \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), пресича \(C A\) и \(C B\) съответно в точките \(\mathrm{C}_{\mathrm{a}}^{\prime}\) и \(\mathrm{C}_{\mathrm{b}}^{\prime}\). Определяме точките \(L_{\mathrm{c}}(I)=A C_{\mathrm{a}} \cap B C_{\mathrm{b}}\) и \(L_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I_{\mathrm{C}}\right)=A C_{\mathrm{a}}{ }^{\prime} \cap B C_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\). Аналогично се дефинират точките \(L_{\mathrm{a}}(I), L_{\mathrm{b}}(I), L_{\mathrm{a}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{A}}\right)\) и \(L_{\mathrm{b}}^{\prime}\left(I_{\mathrm{B}}\right)\). Тогава, правите \(A L_{\mathrm{a}}(I), B L_{\mathrm{b}}(I)\) и \(C L_{\mathrm{c}}(I)\) се пресичат в точка \(T(I)\). В статията се разглеждат и други интересни конфигурации и свойства.

Ключови думи: THE GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP), conjugate triangle, conic, inscribed conic, circumscribed conic, tangent point

Въведение. Една интересна задача, която се поставя в равнината на даден \(\Delta A B C\), е свързана с построяването на окръжност \(k\), допираща се до две от правите \(B C, C A, A B\) и до описаната за \(\triangle A B C\) окръжност. В (Ненков, 1991) е изяснено, че радиусът на \(k\) зависи от радиуса на някоя от вписаните за \(\triangle A B C\) окръжности, а в (Grozdev & Nenkov, 2010) е показано как могат да се определят допирните точки на окръжностите \(k\) със съответните двойки от правите \(B C, C A\) и \(A B\). Оттук лесно се открива начин за построяване на центъра на \(k\). В (Grozdev & Nenkov, 2010) са определени и две специални за \(\triangle A B C\) точки \(T\) и \(T^{\prime}\), които се получават от двойките допирни точки на окръжностите \(k\) със съответните двойки прави. По този начин описаната и вписаните за \(\triangle A B C\) окръжности пораждат две забележителни за \(\triangle A B C\) точки.

Любопитно е да се открият и двойки точки, които се пораждат от други конфигурации от описано и вписани за \(\triangle A B C\) централни конични сечения. Може да се очаква, че определените в (Ненков, 2010) Фойербахови конфигураци са подходящи за получаване на такива двойки точки. Необходимите изследвания при търсене и откриване на тези двойки точки се извършват с помощта на “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP). Във връзка с доказателствата на получените твърдения ще използваме барицентрични координати спрямо координатен \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0)\), \(B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) ((Гушев & Гушев, 2011) и (Паскалев & Чобанов, 1985)). Освен това с \(A_{0}\left(0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right), B_{0}\left(\tfrac{1}{2}, 0, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(C_{0}\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 0\right)\) означаваме средите съответно на страните \(B C, C A\) и \(A B\).

Двойки забележителни точки, породени от асоциирани криви и някои техни свойства. Произволна точка \(I\left(x_{\mathrm{I}}, y_{\mathrm{I}}, z_{\mathrm{I}}\right)\left(x_{\mathrm{I}}+y_{\mathrm{I}}+z_{\mathrm{I}}=1\right)\), която не лежи върху никоя от правите \(B C, C A, A B, B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}\) и \(A_{0} B_{0}\), е център на вписано за \(\triangle A B C\) конично сечение \(k(I)\) (Фиг. 1) (Ненков, 2008). Точките \(I_{A}\left(-\tfrac{x_{I}}{1-2 x_{I}}, \tfrac{y_{I}}{1-2 x_{I}}, \tfrac{z_{I}}{1-2 x_{I}}\right)\), \(I_{B}\left(\tfrac{x_{I}}{1-2 y_{I}},-\tfrac{y_{I}}{1-2 y_{I}}, \tfrac{z_{I}}{1-2 y_{I}}\right)\), \(I_{C}\left(\tfrac{x_{I}}{1-2 z_{I}}, \tfrac{y_{I}}{1-2 z_{I}},-\tfrac{z_{I}}{1-2 z_{I}}\right)\) определят \(\Delta I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} I_{\mathrm{C}}\) , който се нарича спрегнат на \(I\) спрямо \(\triangle A B C\) (Паскалев & Чобанов, 1985) (с. 67). Точките \(I_{\mathrm{A}}\), \(I_{\mathrm{B}}\) и \(I_{\mathrm{C}}\) са центрове на криви \(k\left(I_{\mathrm{A}}\right), k\left(I_{\mathrm{B}}\right)\) и \(k\left(I_{\mathrm{C}}\right)\), вписани в \(\triangle A B C\) (Фиг. 1) [4]. Средите на отсечките на \(I_{\mathrm{A}}, I_{\mathrm{B}}, I_{\mathrm{C}}, I_{\mathrm{B}} I_{\mathrm{C}}, I_{\mathrm{C}} I_{\mathrm{A}}\) и \(\mathrm{I}_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), , както е показано в (Ненков, 2008), лежат на конично сечение \(\bar{k}(O)\) с център точка \(O\) ( (Фиг. 1). Всяка от точките \(I, I_{\mathrm{A}}, I_{\mathrm{B}}, I_{\mathrm{C}}\) и \(O\) определя еднозначно останалите (Ненков, 2010), затова двойките криви \(\bar{k}(O)\) и \(k(I), \bar{k}(O)\) и \(k\left(I_{\mathrm{A}}\right), \bar{k}(O)\) и \(k\left(I_{\mathrm{B}}\right), \bar{k}(O)\) и \(k\left(I_{\mathrm{C}}\right)\) ще наричаме асоциирани спрямо \(\triangle A B C\). В (Ненков, 2008) и (Ненков, 2010) е показано, че така построените криви притежават свойства, които са подобни на съответните свойства на вписаните и описаната окръжности за \(\triangle A B C\). Затова можем да очакваме, че кривите \(\bar{k}(O), k(I), k\left(I_{\mathrm{A}}\right), k\left(I_{\mathrm{B}}\right)\), \(k\left(I_{\mathrm{C}}\right)\) пораждат двойки точки, подобни на получените в (Grozdev & Nenkov, 2010).

Следвайки аналогията с описания в (Grozdev & Nenkov, 2010) случай, търсенето на желаните точки трябва да започне с намирането на крива \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\), която се допира до правите BC и CA съответно в точки \(\mathrm{C}_{\mathrm{b}}\) и \(\mathrm{C}_{\mathrm{a}}\), а също така се допира до \(\bar{k}(O)\) (Фиг. 2). В случай на окръжност (Grozdev & Nenkov, 2010) точките \(\mathrm{C}_{\mathrm{b}}\) и \(\mathrm{C}_{\mathrm{a}}\) лежат на права през \(I\), перпендикулярна на \(C I\), което означава, че правата \(C_{\mathrm{a}} C_{\mathrm{b}}\) е успоредна на другата ъглополовяща \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), минаваща през върха \(C\). В общия случай трябва да очакваме, че правата \(C_{\mathrm{a}} C_{\mathrm{b}}\) е успоредна на правата \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), която е хармонично спрегната на \(C I\) спрямо \(B C\) и \(C A\). Затова нека с помощта на GSP да построим пресечните точки \(C_{\mathrm{b}}\) и \(C_{\mathrm{a}}\) на правата през \(I\), успоредна на \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), съответно с \(B C\) и \(C A\) (Фиг. 1). След това да построим прави през \(C_{\mathrm{b}}\) и \(C_{\mathrm{a}}\), успоредни на правите, минаващи през \(I\) и допирните точки на \(k(I)\), съответно с \(B C\) и \(C A\). Забелязваме, че тези прави се пресичат в точка \(I(C)\) върху \(C I\). Затова може да се очаква, че кривата \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\) с център \(I(C)\) и допираща се до \(C A\) и \(C B\) съответно в точките \(C_{\mathrm{a}}\) и \(C_{\mathrm{b}}\) ще се допира до \(\bar{k}(O)\). Експериментите с GSP потвърждават очакванията и затова \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\) е търсената крива, а точките \(C_{\mathrm{a}}\) и \(C_{\mathrm{b}}\) са необходимите елементи за откриване на точки, които са обобщения на забележителните точки, разгледани в (Grozdev & Nenkov, 2010) .

По аналогичен начин определяме и кривата \(k_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right)\) с център \(I^{\prime}(C)\) по допирните й точки \(C_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}\) и \(C_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\) и съответно с \(C A\) и \(C B\), които се получават от пресичането с \(C A\) и \(C B\) на правата през \(I_{\mathrm{C}}\), успоредна на \(I_{\mathrm{a}} I_{\mathrm{b}}\) (Фиг. 1, 2). По-нататък определяме точките \(L_{\mathrm{c}}(I)=A C_{\mathrm{a}} \cap B C_{\mathrm{b}}\) и \(L_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I_{\mathrm{c}}\right)=A C_{\mathrm{a}}{ }^{\prime} \cap B C_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\) ( (Фиг. 1, 2). Аналогично определяме точките \(L_{\mathrm{a}}(I), L_{\mathrm{b}}(I), L_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}\left(I_{\mathrm{A}}\right)\) и \(L_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\left(I_{\mathrm{B}}\right)\). Наблюденията с GSP върху връзките на тези точки с върховете на \(\triangle A B C\) ни дават основание да формулираме следните две свойства:

Свойство 1. Правите \(A L_{\mathrm{a}}(I), B L_{\mathrm{b}}(I)\), и \(C L_{\mathrm{c}}(I)\), и CLc (I) , минават през една точка T(I) (Фиг. 4).

Свойство 2. Правите \(A L_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}(I), B L_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}(I)\), и \(C L_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}(I)\), , минават през една точка T \((I)\) (Фиг. 5).

По отношение на разположението на точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) в равнината на \(\triangle A B C\) забелязваме, че са изпълнени:

Свойство 3. Ако \(\bar{k}(O)\) е елипса, точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са вътрешни за \(\triangle A B C\) (Фиг. 6).

Свойство 4. Ако \(\bar{k}(O)\) е хипербола, точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са едновременно външни или едновременно вътрешни за \(\triangle A B C\) (Фиг. 7).

При търсене на връзка между точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) и други точки от равнината на \(\triangle A B C\) забелязваме следното:

Свойство 5. Медицентърьт \(G\) на \(\triangle A B C\) лежи на правата \(T(I) T^{\prime}(I)\) (Фиг. 6, 7).

Правите, минаващи през върховете на \(\triangle A B C\) и допирните точки на \(k(I)\) със срещуположните им страни, се пресичат в една точка, която наричаме точка на Жергон за \(\triangle A B C\) спрямо \(k(I)\) (I) (Фиг. 8) (Ненков, 2010). За тази точка е изпълнено:

Свойство 6. Точката на Жергон за \(\triangle A B C\) спрямо \(k(I)\) лежи на правата \(T(I)\) \(T^{\prime}(I)\) (Фиг. 6, 7).

Доказателство на свойства 1 и 2. Нека \(l_{\mathrm{c}}\) е правата през \(I\), успоредна на \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\). От координатите на точките \(I, I_{\mathrm{A}}\) и \(I_{\mathrm{B}}\) получаваме, че \(l_{\mathrm{c}}\) се описва с параметричните

уравнения:

(1) \[ l_{\mathrm{c}}: x=x_{\mathrm{I}}+x_{\mathrm{I}} t, y=y_{\mathrm{I}}-y_{\mathrm{I}} t, z=z_{\mathrm{I}}+\left(y_{\mathrm{I}}-x_{\mathrm{I}}\right) t . \]

Като комбинираме (1) с всяко от уравненията \(B C: x=0\) и \(C A: y=0\), получаваме координатите съответно на \(C_{\mathrm{b}}\) и \(C_{\mathrm{a}}\) във вида

(2) \[ C_{\mathrm{b}}\left(0,2 y_{\mathrm{I}}, 1-2 y_{\mathrm{I}}\right), C_{\mathrm{a}}\left(2 x_{\mathrm{I}}, 0,1-2 x_{\mathrm{I}}\right) . \]

От (2) за правите \(A C_{\mathrm{b}}\) и \(B C_{\mathrm{a}}\) намираме съответно уравненията

(3) \[ A C_{\mathrm{b}}: x=1-t_{1}, y=2 y_{\mathrm{I}} t_{1}, z=z_{\mathrm{I}}+\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right) t_{1} \]

(4) \[ B C_{\mathrm{a}}: x=2 x_{\mathrm{I}} t_{2}, y=1-t_{2}, z=\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right) t_{2} \]

От (3) и (4) намираме координатите на \(L_{\mathrm{c}}(I)=A C_{\mathrm{a}} \cap B C_{\mathrm{b}}\) във вида

(5) \[ L_{c}(I)\left(\tfrac{2 x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)}{1-4 x_{I} y_{I}}, \tfrac{2 y_{I}\left(1-2 x_{I}\right)}{1-4 x_{I} y_{I}}, \tfrac{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{1-4 x_{I} y_{I}}\right) \]

Аналогично намираме, че координатите на точките \(L_{\mathrm{a}}(I)\) и \(L_{\mathrm{b}}(I)\) са:

(6) \[ \begin{aligned} & L_{a}(I)\left(\tfrac{\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{1-4 y_{I} z_{I}}, \tfrac{2 y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)}{1-4 y_{I} z_{I}}, \tfrac{2 z_{I}\left(1-2 y_{I}\right)}{1-4 y_{I} z_{I}}\right) \\ & L_{b}(I)\left(\tfrac{2 x_{I}\left(1-2 z_{I}\right)}{1-4 z_{I} x_{I}}, \tfrac{\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{1-4 z_{I} x_{I}}, \tfrac{2 z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)}{1-4 z_{I} x_{I}}\right) \end{aligned} \]

От координатите (5) и (6) намираме уравненията на правите \(A L_{\mathrm{a}}(I), B L_{\mathrm{b}}(I)\) и \(C L_{\mathrm{c}}(I)\) във вида

(7) \[ A L_{a}(I): x=1-\left(y_{I}+z_{I}-4 y_{I} z_{I}\right) t_{3}, y=y_{I}\left(1-2 z_{I}\right) t_{3}, z=z_{I}\left(1-2 y_{I}\right) t_{3} , \]

(8) \[ B L_{b}(I): x=x_{I}\left(1-2 z_{I}\right) t_{4}, y=1-\left(z_{I}+x_{I}-4 z_{I} x_{I}\right) t_{4}, z=z_{I}\left(1-2 x_{I}\right) t_{4}, \]

(9) \[ C L_{c}(I): x=x_{I}\left(1-2 y_{I}\right) t_{5}, y=y_{I}\left(1-2 x_{I}\right) t_{5}, z=1-\left(x_{I}+y_{I}-4 x_{I} y_{I}\right) t_{5}. \]

От (7) и (8) получаваме координатите на точката \(T(I)=A L_{\mathrm{a}}(I) \cap B L_{\mathrm{b}}(I)\) :

(10) \[ T(I)\left(\tfrac{x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{\tau}, \tfrac{y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{\tau}, \tfrac{z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{\tau}\right) \]

където \(\tau=1-4 x_{I} y_{I}-4 y_{I} z_{I}-4 z_{I} x_{I}+12 x_{I} y_{I} z_{I}=4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)\).

От симетричния вид на координатите на точката \(T(I)\) е ясно, че тя лежи и върху правата \(C L_{\mathrm{c}}(I)\). Всъщност това лесно се проверява със заместване на (10) в (9). С това свойство 1 е доказано.

Необходими са някои уточнения в свойство 1, породени от резултатите, водещи до неговото доказателство. Първо, точката \(L_{\mathrm{c}}(I)\) съществува във вида, определен с (5) само когато точката \(I\) не лежи върху хиперболата \(\chi_{\mathrm{c}}: 1-4 x y=0\) (Фиг. 9) (тя се допира до \(A B\) в точката \(C_{0}\) и има за асимптоти правите \(C A\) и \(C B\) ). Ако в числителите на (5) използваме равенството \(1-4 x_{\text {I }} y_{\text {I }}=0\), получаваме безкрайната точка (\(2 x_{\text {I }}-\) \(1,2 y_{\mathrm{I}}-1,2 z_{\mathrm{I}}\) ). Векторьт (\(-1,2 y_{\mathrm{I}}-2 y_{\mathrm{I}}\) ) (който според (3) е колинеарен с правата \(A C_{\mathrm{b}}\) ) е колинеарен с вектора (\(2 x_{\mathrm{I}}-1,2 y_{\mathrm{I}}-1,2 z_{\mathrm{I}}\) ) (определящ разглежданата безкрайна точка) тогава и само тогава, когато са изпълнени равенствата \(\tfrac{2 x_{I}-1}{-1}=\tfrac{2 y_{I}-1}{2 y_{I}}=\tfrac{2 z_{I}}{1-2 y_{I}}\). Лесно се вижда, че те са изпълнени точно когато \(1-4 x_{I_{1}} y_{1}=0\). Следователно правата \(A C_{\mathrm{b}}\) е колинеарна с вектора (\(2 x_{\mathrm{I}}-1,2 y_{\mathrm{I}}-1,2 z_{\mathrm{I}}\) ) точно когато \(I \in \chi_{\mathrm{c}}\). По аналогичен начин от (4) следва, че \(B C_{\mathrm{a}}\) е колинеарна със същия вектор точно когато \(I \in \chi_{\mathrm{c}}\). Така, когато \(I \in \chi_{\mathrm{c}}\), можем да определим безкрайната точка \(L_{\mathrm{c}}(I)\left(2 x_{\mathrm{I}}-1,2 y_{\mathrm{I}}-1,2 z_{\mathrm{I}}\right)\) като обща точка на успоредните прави \(A C_{\mathrm{b}}\) и \(B C_{\mathrm{a}}\).

По същия начин определяме безкрайните точки \(L_{\mathrm{a}}(I)\left(2 x_{\mathrm{I}}, 2 y_{\mathrm{I}}-1,2 z_{\mathrm{I}}-1\right)\) и \(L_{\mathrm{b}}(I)\left(2 x_{\mathrm{I}},-1,2 y_{\mathrm{I}}, 2 z_{\mathrm{I}}-1\right)\), когато точката \(I\) лежи съответно върху хиперболите \(\chi_{\mathrm{a}}: 1-4 y z=0\) и \(\chi_{\mathrm{b}}: 1-4 z x=0\). Тъй като трите хиперболи нямат общи точки, то точките \(L_{\mathrm{a}}(I), L_{\mathrm{b}}(I)\) и \(L_{\mathrm{c}}(I)\) не могат да са едновременно безкрайни.

Ако \(L_{\mathrm{c}}(I)\) е безкрайна, то \(\mathrm{C} L_{\mathrm{c}}(I)\) отново се представя с (9), затова и в този случай \(T(I) \in \mathrm{C} L_{\mathrm{c}}(I)\).

Втората особеност в доказателството на свойство 1 е свързана с факта, че \(T(I)\) съществува във вида, определен с (10) само когато I не лежи върху кривата от трета степен \(K_{3}\) с уравнение \(K_{3}: 1-4 x y-4 y z-4 z x+12 x y z=0\) (Фиг. 10). Аналогично на рагледания случай с \(L_{\mathrm{c}}(I)\) забелязваме, че точката \(T(I)\), определена с ( (10), когато \(I \in \mathrm{~K}_{3}\), може да се представи във вида

(10') \[ T(I)\left(x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right), y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right), z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right) \text {. } \]

В този случай от (7), (8) и (9) се вижда, че правите \(A L_{\mathrm{a}}(I), B L_{\mathrm{b}}(I)\) и \(C L_{\mathrm{c}}(I)\) са колинеарни с вектора \(\left(x_{\mathrm{I}}\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 z_{\mathrm{I}}\right), y_{\mathrm{I}}\left(1-2 z_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right), z_{\mathrm{I}}\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)\right)\), определящ безкрайната точка \(T(I)\). По друг начин казано, тези прави са успоредни, когато \(I \in \mathrm{~K}_{3}\). Освен това, общите точки на \(\chi_{\mathrm{c}}\) и \(\mathrm{K}_{3}\) са \(\mathrm{C}_{0}\) и безкрайните точки на \(C A\) и \(C B\). Следователно точките \(T(I)\) и \(L_{\mathrm{c}}(I)\) не могат едновременно да бъдат безкрайни.

Доказателството на свойство 2 се провежда по аналогичен начин. В същата последователност се получават съответните резултати, необходими за определяне на точката \(T^{\prime}(I)\). В началото намираме, че правата \(l_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\) през \(I_{\mathrm{C}}\), успоредна на \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), се описва с параметричните уравнения:

(1') \[ l_{c}^{\prime}: x=\tfrac{x_{I}}{1-2 z_{I}}+x_{I} t^{\prime}, y=\tfrac{y_{I}}{1-2 z_{I}}-y_{I} t^{\prime}, z=-\tfrac{z_{I}}{1-2 z_{I}}+\left(y_{I}-x_{I}\right) t^{\prime} . \]

От (1¢) намираме \(C_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\) и \(C_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}\) във вида:

(2') \[ C_{b}^{\prime}\left(0, \tfrac{2 y_{I}}{1-2 z_{I}}, \tfrac{2 x_{I}-1}{1-2 z_{I}}\right), C_{a}^{\prime}\left(\tfrac{2 x_{I}}{1-2 z_{I}}, 0, \tfrac{2 y_{I}-1}{1-2 z_{I}}\right) \]

От (2¢) за правите \(\mathrm{A} C_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\) и \(\mathrm{B} C_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}\) намираме съответно уравненията

(3') \[ A C_{b}^{\prime}: x=1-\left(1-2 z_{I}\right) t_{1}^{\prime}, y=2 y_{I} t_{I}^{\prime}, z=\left(2 x_{I}-1\right) t_{1}^{\prime} \]

(4') \[ B C_{a}^{\prime}: x=2 x_{I} t_{2}^{\prime}, y=1-\left(1-2 z_{I}\right) t_{2}^{\prime}, z=\left(2 y_{I}-1\right) t_{2}^{\prime} \]

От (3¢) и (4¢) определяме координатите на \(L_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}(I)=A C_{\mathrm{a}}{ }^{\prime} \cap B C_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\) във вида

(5') \[ L_{c}^{\prime}(I)\left(\tfrac{2 x_{I}\left(2 x_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{2 y_{I}\left(2 y_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{\left(2 x_{I}-1\right)\left(2 y_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}\right) \]

където \(\tau^{\prime}=1-4 x_{I} y_{I}-4 y_{I} z_{I}-4 z_{I} x_{I}\).

Аналогично намираме координатите на точките \(L_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}(I)\) и \(L_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}(I)\) във вида:

(6') \[ \begin{aligned} & L_{a}^{\prime}(I)\left(\tfrac{\left(2 y_{I}-1\right)\left(2 z_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{2 y_{I}\left(2 y_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{2 z_{I}\left(2 z_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}\right) \\ & L_{b}^{\prime}(I)\left(\tfrac{2 x_{I}\left(2 x_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{\left(2 z_{I}-1\right)\left(2 x_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{2 z_{I}\left(2 z_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}\right) \end{aligned} \]

където \(\tau^{\prime}=1-4 x_{I} y_{I}-4 y_{I} z_{I}-4 z_{I} x_{I}\).

От координатите (5¢) и (6¢) намираме уравненията на правите \(A L_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}(I), B L_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}(I)\) и \(C L_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}(I)\) :

(7') \(A L_{a}^{\prime}(I): x=1+\left(2 x_{I} y_{I}+4 y_{I} z_{I}+2 z_{I} x_{I}-y_{I}-z_{I}\right) t_{3}^{\prime}, y=y_{I}\left(2 y_{I}-1\right) t_{3}^{\prime}, z=z_{I}\left(2 z_{I}-1\right) t_{3}^{\prime}\),

(8') \(B L_{b}^{\prime}(I): x=x_{I}\left(2 x_{I}-1\right) t_{4}^{\prime}, y=1+\left(2 x_{I} y_{I}+2 y_{I} z_{I}+4 z_{I} x_{I}-z_{I}-x_{I}\right) t_{4}^{\prime}, z=z_{I}\left(1-2 z_{I}\right) t_{4}^{\prime}\),

(9') \(C L_{c}^{\prime}(I): x=x_{I}\left(2 x_{I}-1\right) t_{5}^{\prime}, y=y_{I}\left(2 y_{I}-1\right) t_{5}^{\prime}, z=1+\left(4 x_{I} y_{I}+2 y_{I} z_{I}+2 z_{I} x_{I}-x_{I}-y_{I}\right) t_{5}^{\prime}\).

От (7¢) и (8¢) получаваме координатите на точката \(T^{\prime}(I)=A L_{a}^{\prime}(I) \cap B L_{b}^{\prime}(I)\) :

(1) \[ T^{\prime}(I):\left(\tfrac{x_{I}\left(2 x_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{y_{I}\left(2 y_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{z_{I}\left(2 z_{I}-1\right)}{\tau^{\prime}}\right) \]

където \(\tau^{\prime}=1-4 x_{I} y_{I}-4 y_{I} z_{I}-4 z_{I} x_{I}\).

От симетричния вид на координатите на точката \(T^{\prime}(I)\) е ясно, че тя лежи и върху правата \(C L^{\prime}(I)\). Всъщност това лесно се проверява със заместване на (1) в (9¢). С това свойство 2 е доказано.

Свойство 2 също се нуждае от някои уточнения, породени от резултатите, довели до неговата доказателство. Точката \(L_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}(I)\) съществува във вида, определен с (5¢) само когато точката \(I\) не лежи върху елипсата \(k(G): 1-4 x y-4 y z-4 z x=0\), която се допира до \(B C, C A\) и \(A B\) съответно в точките \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) (тя има за център медицентъра \(G\) на \(\triangle A B C\) ) (Фиг. 10). Ако в числителите на (5¢) и (6¢) се използва \(\tau^{\prime}=0\), се вижда, че и в трите случая се получава безкрайната точка \(\left(x_{\mathrm{I}}\left(2 x_{\mathrm{I}}-1\right), y_{\mathrm{I}}\left(2 y_{\mathrm{I}}-1\right), z_{\mathrm{I}}\left(2 z_{\mathrm{I}}-1\right)\right)\).

Същият резултат се получава от числителите на \(T^{\prime}(I)\) в \((1)\). Както при свойство 1, от (3¢), (4¢), (7¢), (8¢) и (9¢) се получава, че векторът, определящ тази точка, е колинеарен с всяка от правите \(A C_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}, B C_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}, A L_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}(I), B L_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}(I)\) и \(C L_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}(I)\). Следователно, когато \(I \in k(G)\), правите \(A L_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}(I), B L_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}(I)\) и \(C L_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}(I)\) определят безкрайната точка \(T^{\prime}(I)\) във вида:

(11') \[ T^{\prime}(I)\left(x_{I}\left(2 x_{I}-1\right), y_{I}\left(2 y_{I}-1\right), z_{I}\left(2 z_{I}-1\right)\right) . \]

Като се използва равенството \(\tau^{\prime}=0\), координатното представяне (11¢) може да се запише и във вида

(11'') \[ T^{\prime}(I)\left(\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right),\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right),\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right) . \]

Накрая трябва да отбележим, че тъй като общите точки на кривите \(K_{3}\) и \(k(G)\) са само \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) (Фиг. 10), то \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) не могат да бъдат едновременно безкрайни точки.

Доказателство на свойства 3 и 4. Асоциираните криви \(\bar{k}(O)\) и \(k(I)\) са от един и същи вид [4] и [5]. Видът на \(\bar{k}(O)\) и \(k(I)\), както е показано в (Ненков, 2008), зависи от броя на решенията на уравнението \(y_{I}^{2} x^{2}+x_{I}^{2} y^{2}+\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right) x y=0\).

Дискриминантата на квадратичната форма, участваща в това уравнение, е \(\mathrm{D}=-\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 z_{\mathrm{I}}\right)\). Затова \(\bar{k}(O)\) е елипса точно когато \(\mathrm{D} \lt 0\) и хипербола-при \(\mathrm{D} \gt 0\).

1) Нека \(\bar{k}(O)\) е елипса. Тогава неравенството \(\mathrm{D} \lt 0\) има решения в следните случаи:

\[ \begin{aligned} & \text { 1.1) } \left.\left.x_{I} \lt 0, y_{I} \gt \tfrac{1}{2}, z_{I} \gt \tfrac{1}{2} ; 1.2\right) x_{I} \gt \tfrac{1}{2}, y_{I} \lt 0, z_{I} \gt \tfrac{1}{2} ; 1.3\right) x_{I} \gt \tfrac{1}{2}, y_{I} \gt \tfrac{1}{2} \\ & \left.z_{I} \lt 0 ; 1.4\right) 0 \lt x_{I} \lt \tfrac{1}{2}, 0 \lt y_{I} \lt \tfrac{1}{2}, 0 \lt z_{I} \lt \tfrac{1}{2} \end{aligned} \]

В случай 1.1), тъй като \(x_{\mathrm{I}} \lt 0\), то \(\tau \lt 0\) и \(\tau^{\prime}=\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)^{2}-4 z_{\mathrm{I}} x_{\mathrm{I}} \gt 0\). От (0) и (1) се вижда, че координатите на \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са положителни числа. Следователно \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са вътрешни за \(\triangle A B C\). В случаите 1.2) и 1.3) аналогично се получава, че \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са вътрешни за \(\triangle A B C\). В случай 1.4) се получават неравенствата \(\tau=x_{\mathrm{I}}\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 z_{\mathrm{I}}\right)+y_{\mathrm{I}}\left(1-2 z_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right)+z_{\mathrm{I}}\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right) \gt 0\), \(\tau^{\prime}=-\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 z_{\mathrm{I}}\right)-8 x_{\mathrm{I}} y_{\mathrm{I}} z_{\mathrm{I}} \lt 0\), от които лесно следва, че координатите в (10) и (11) са положителни числа. Следователно \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са вътрешни за \(\triangle A B C\). С това свойство 3 е доказано.

2) Нека \(\bar{k}(O)\) е хипербола. Тогава неравенството \(\mathrm{D} \gt 0\) има решения в следните случаи:

2.1) \(\left.\left.x_{I} \gt \tfrac{1}{2}, y_{I} \lt \tfrac{1}{2}, z_{I} \lt \tfrac{1}{2} ; 2.2\right) x_{I} \lt \tfrac{1}{2}, y_{I} \gt \tfrac{1}{2}, z_{I} \lt \tfrac{1}{2} ; 2.3\right) x_{I} \lt \tfrac{1}{2}, y_{I} \lt \tfrac{1}{2}\), \(z_{I} \gt \tfrac{1}{2}\) (случаят 2.4) \(x_{I} \gt \tfrac{1}{2}, y_{I} \gt \tfrac{1}{2}, z_{I} \gt \tfrac{1}{2}\) е невъзможен, тъй като противоречи на равенството \(x_{\mathrm{I}}+y_{\mathrm{I}}+z_{\mathrm{I}}=1\) ).

В случай 2.1) има няколколко възможности.

А) Ако \(y_{\mathrm{I}} \gt 0\) и \(z_{\mathrm{I}} \lt 0\), то числителят на втората координата в (10) е отрицателен, а другите два числителя са положителни. Затова, независимо от знака на \(\tau\), поне една от координатите в (10) е отрицателна. Следователно \(T(I)\) е външна за \(\triangle A B C\). Освен това, \(\tau^{\prime}=\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)^{2}-4 z_{\mathrm{I}} x_{\mathrm{I}} \gt 0\), което означава, че втората координата в (11) е отрицателна. Следователно и \(T^{\prime}(I)\) е външна за \(\triangle A B C\).

Б) Ако \(y_{\mathrm{I}} \lt 0\) и \(z_{\mathrm{I}} \gt 0\), аналогично на предишния случай се вижда, че \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са външни за \(\triangle A B C\).

В) Ако \(y_{\mathrm{I}} \gt 0\) и \(z_{\mathrm{I}} \gt 0\), то \(\tau \gt 0\), което показва, че втората и третата координати в (10) са отрицателни. Следователно \(T(I)\) е външна за \(\triangle A B C\). От друга страна числителят на първата координата в (11) е положителен, а другите два числителя са отрицателни. Затова, независимо от знака на \(\tau^{\prime}\), поне една от координатите в (11) е отрицателна. Следователно и \(T^{\prime}(I)\) е външна за \(\triangle A B C\). Г) Ако \(y_{\mathrm{I}} \lt 0\) и \(z_{\mathrm{I}} \lt 0\), то \(\tau \gt 0\), което показва, че и трите координати в (10) са положителни. Следователно \(T(I)\) е вътрешна за \(\triangle A B C\). Освен това \(\tau^{\prime}=x_{\mathrm{I}}\left(2 x_{\mathrm{I}}-1\right)+y_{\mathrm{I}}\left(2 y_{\mathrm{I}}-1\right)+z_{\mathrm{I}}\left(2 z_{\mathrm{I}}-1\right) \gt 0\), което показва, че и трите координати в (11) са положителни. Следователно и \(T^{\prime}(I)\) е вътрешна за \(\triangle A B C\).

По аналогичен начин се разглеждат случаите 2.2) и 2.3).

Доказателство на свойство 5. Първо ще разгледаме случая, когато \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са крайни точки. За целта използваме, че точките \(M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\) и \(M_{3}\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)\) лежат на една права точно когато е изпълнено равенството:

(12) \[ \left|\begin{array}{lll} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{array}\right|=0[6] \]

Като се вземе предвид, че \(G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right)\), с непосредствено заместване в (12) на координатите от (10) и (11) се установява, че точките \(T(I), T^{\prime}(I)\) и \(G\) лежат на една права.

Ако \(T(I)\) е безкрайна, от равенството \(\tau=0\) следва, че което според (10') означава, че \(\overrightarrow{T^{\prime}(I) G}\) е колинеарен с вектора, определящ \(T(I)\).

\[ \overrightarrow{T^{\prime}(I) G}\left(\tfrac{x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{12 x_{I} y_{I} z_{I}}, \tfrac{y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{12 x_{I} y_{I} z_{I}}, \tfrac{z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{12 x_{I} y_{I} z_{I}}\right) \]

Ако \(T^{\prime}(I)\) е безкрайна, ото равенств то \(\tau^{\prime}=0\) следва, че

\[ \overrightarrow{T(I) G}\left(\tfrac{x_{I}\left(1-2 x_{I}\right)}{12 x_{I} y_{I} z_{I}}, \tfrac{y_{I}\left(1-2 y_{I}\right)}{12 x_{I} y_{I} z_{I}}, \tfrac{z_{I}\left(1-2 z_{I}\right)}{12 x_{I} y_{I} z_{I}}\right) \] което според (11¢) означава, че \(\overrightarrow{T(I) G}\) е колинеарен с вектора, определящ \(T^{\prime}(I)\).

Доказателство на свойство 6. В (Ненков, 2010) е показано, че точката на Жергон има следното координатно представяне:

(13) \[ J\left(-\tfrac{\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{\tau^{\prime}},-\tfrac{\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{\tau^{\prime}},-\tfrac{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{\tau^{\prime}}\right) \]

Когато \(J\) е крайна, свойство 6 се получава, като се провери равенството (12) чрез заместване на (10), (11) и (13).

Ако \(\tau^{\prime}=0\), точките \(J\) и \(T^{\prime}(I)\) са едновременно безкрайни. Нещо повече, от (13) и (11¢) се вижда, че те съвпадат. Следователно, когато \(J\) е безкрайна, свойство 6 е изпълнено. което според (10') означава, че \(\overrightarrow{J T^{\prime}(I)}\) е колинеарен с вектора, определящ \(T(I)\).

Ако \(T(I)\) е безкрайна, ото равенств то \(\tau^{\prime}=0\) следва, че

\[ \overrightarrow{J T^{\prime}(I)}\left(\tfrac{3 x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{3 y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{\tau^{\prime}}, \tfrac{3 z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{\tau^{\prime}}\right) \]

Точките \(T\) и \(T^{\prime}\), определени в (Grozdev & Nenkov, 2010), са изогонално спрегнати спрямо \(\triangle A B C\). Интересно е по-общо дали определените точки \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) притежават подобно свойство. За да намерим такова свойство, ще въведем понятието спрегнастост спрямо описана за \(\triangle A B C\) крива.

Изображение спрямо описана крива. Първо, ще припомним две добре познати изображения в равнината на \(\triangle A B C\). Изогоналното изображение съпоставя на крайна точка \(\mathrm{P}\left(x_{\mathrm{p}}, y_{\mathrm{p}}, z_{\mathrm{p}}\right)\), нележаща върху описаната за \(\triangle A B C\) окръжност \(\Gamma\), пресечната точка \(\mathrm{Q}\left(x_{\mathrm{Q}}, y_{\mathrm{Q}}, z_{\mathrm{Q}}\right)\) на правите AQ, BQ ите \(\mathrm{AQ}, \mathrm{BQ}\) и CQ, които са симетрични съответно на \(A P, B P\) и \(C P\) спрямо съответните ъглополовящи при върховете \(A, B\)

и \(C\) на \(\triangle A B C\). Координатите на \(Q\) се изразяват с формулите

(14) \[ x_{Q}=\tfrac{a^{2} y_{P} z_{P}}{\vartheta}, y_{Q}=\tfrac{b^{2} z_{P} x_{P}}{\vartheta}, z_{Q}=\tfrac{c^{2} x_{P} y_{P}}{\vartheta} \]

където \(|B C|=a,|A C|=b,|A B|=c\) и \(\vartheta=a^{2} y_{P} z_{P}+b^{2} z_{P} x_{P}+c^{2} x_{P} y_{P}\) (Паскалев & Чобанов, 1985) (с. 64–67).

Ако \(P \in \Gamma: \mathrm{a}^{2} y z+b^{2} z x+c^{2} x y=0\), тогава като образ на \(P\) разглеждаме безкрайната точка Q, определена от направлението на успоредните прави, които са симетрични съответно на \(A P, B P\) и \(C P\) спрямо съответните ъглополовящи при върховете \(A, B\) и \(C\) на \(\triangle A B C\) (Хитов, 1990) (с. 237–238, зад. 1061). Ако \(P\) е безкрайна, чрез конструкция обратна на последната, като образ на \(P\) получаваме точка \(Q\) от Г. Във всички възможни случаи точката образ \(Q\) се получава след прилагане на осеви симетрии спрямо ъглополовящите при върховете на \(\triangle A B C\). Двойките съответни прави \(A P, A Q ; B P, B Q\) и \(C P, C Q\) при тези симетрии могат да се разглеждат като хармонично спрегнати спрямо двойките ъглополовящи на \(\triangle A B C\) съответно при върховете \(A, B\) и \(C\). Самите двойки ъглополовящи са хармонично спрегнати спрямо двойките страни на \(\triangle A B C\) през съответните върхове \(A, B\) и \(C\).

Изотомичното изображение съпоставя на крайна точка \(P\left(x_{\mathrm{p}}, y_{\mathrm{p}}, z_{\mathrm{p}}\right)\), yP, zP), нележаща върху описаната за \(\triangle A B C\), елипса \(\bar{k}(G)\) с център медицентъра \(G\) на \(\triangle A B C\), пресечната точка \(Q\left(x_{\mathrm{Q}}, y_{\mathrm{Q}}, z_{\mathrm{Q}}\right)\) на правите \(A Q, B Q\) и \(C Q\), , минаващи през точките, които са симетрични съответно на пресечните точки на \(A P, B P\) и \(C P\) с правите \(B C, C A\) и \(A B\) спрямо съответните среди \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) на страните на \(\triangle A B C\). Координатите на \(Q\) се изразяват с формулите

(15) \[ x_{Q}=\tfrac{y_{P} z_{P}}{\vartheta^{\prime}}, y_{Q}=\tfrac{z_{P} x_{P}}{\vartheta^{\prime}}, z_{Q}=\tfrac{x_{P} y_{P}}{\vartheta^{\prime}} \]

където \(\vartheta^{\prime}=y_{P} z_{P}+z_{P} x_{P}+x_{P} y_{P}\) ((Гушев & Гушев, 2011), (Паскалев & Чобанов, 1985) (с. 69–71)).

Ако \(P \in \bar{k}(G): y z+z x+x y=0\), тогава като образ на \(P\) разглеждаме безкрайната точка \(Q\), определена от направлението на успоредните прави, минаващи през точките, които са симетрични съответно на пресечните точки на \(A P, B P\) и \(C P\) с правите \(B C, C A\) и \(A B\) спрямо съответните среди \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\) на страните на \(\triangle A B C\) (Гушев & Гушев, 2011). Ако \(P\) е безкрайна, чрез конструкция обратна на последната, като образ на \(P\) получаваме точка \(Q\) от \(\bar{k}(G)\).

Нека \(g_{\mathrm{a}}, g_{\mathrm{b}}\) и \(g_{\mathrm{c}}\) са правите, минаващи съответно през \(A, B\) и \(C\), , успоредно на срещуположните им \(B C, C A\) и \(A B\). Означаваме \(\mathrm{G}_{\mathrm{A}}=g_{\mathrm{b}} \cap g_{\mathrm{c}}, \mathrm{G}_{\mathrm{B}}=g_{\mathrm{c}} \cap g_{\mathrm{a}}\) и \(\mathrm{G}_{\mathrm{C}}=g_{\mathrm{a}} \cap g_{\mathrm{b}}\). Двойките съответни прави \(A P, A Q ; B P, B Q\) и \(C P, C Q\) при изотомичното изображение могат да се разглеждат като хармонично спрегнати спрямо двойките прави \(A G\), \(g_{\mathrm{a}} ; B G, g_{\mathrm{b}}\) и \(C G, g_{\mathrm{c}}\) съответно във върховете \(A, B\) и \(C\). Самите двойки прави \(A G, g_{\mathrm{a}}\); \(B G, g_{\mathrm{b}}\) и \(C G, g_{\mathrm{c}}\) са хармонично спрегнати спрямо двойките страни на \(\triangle A B C\) през съответните върхове \(A, B\) и \(C\).

Изводите, които направихме за тези изображения, показват, че може да се търси тяхно обобщение по следния начин: Нека \(I\left(x_{\mathrm{I}}, y_{\mathrm{I}}, z_{\mathrm{I}}\right)\) е произволна точка \(\left(x_{\mathrm{I}}+y_{\mathrm{I}}+z_{\mathrm{I}}=1\right.\) или \(\left.x_{\mathrm{I}}+y_{\mathrm{I}}+z_{\mathrm{I}}=0\right)\), която не лежи върху никоя от правите \(B C, C A, A B\), \(B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}\) и \(A_{0} B_{0}\), , а точките

\[ \begin{aligned} I_{A} & \left(\tfrac{-x_{I}}{-x_{I}+y_{I}+z_{I}}, \tfrac{y_{I}}{-x_{I}+y_{I}+z_{I}}, \tfrac{z_{I}}{-x_{I}+y_{I}+z_{I}}\right) \\ & I_{B}\left(\tfrac{x_{I}}{x_{I}-y_{I}+z_{I}}, \tfrac{-y_{I}}{x_{I}-y_{I}+z_{I}}, \tfrac{z_{I}}{x_{I}-y_{I}+z_{I}}\right) \\ & I_{C}\left(\tfrac{x_{I}}{x_{I}+y_{I}-z_{I}}, \tfrac{y_{I}}{x_{I}+y_{I}-z_{I}}, \tfrac{-z_{I}}{x_{I}+y_{I}-z_{I}}\right) \end{aligned} \] определят \(\Delta I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}} I_{\mathrm{C}}\), който е спрегнат на \(I\) спрямо \(\Delta A B C\) (Паскалев & Чобанов, 1985) (с. 67). Сега, ако \(P\left(x_{\mathrm{p}}, y_{\mathrm{p}}, z_{\mathrm{p}}\right)\) е произволна точка, нележаща върху никоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB, въвеждаме означенията \(A_{1}=A P \cap B C, B_{1}=B P \cap C A\) и \(C_{1}=A C \cap A B\). Нека \(A A_{2}\left(A_{2} \in B C\right)\) е хармонично спрегната на \(A A_{1}\) спрямо \(A I\) и \(I_{\mathrm{B}} I_{\mathrm{C}}, B B_{2}\left(B_{2} \in C A\right)\) е хармонично спрегната на \(B B_{1}\) спрямо \(B I\) и \(I_{\mathrm{C}} I_{\mathrm{A}}\), а \(C C_{2}\left(C_{2} \in A B\right)\) е хармонично спрегната на \(C C_{1}\) спрямо \(C I\) и \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\). По аналогия със споменатите частни случаи може да се предположи, че правите \(A A_{2}, B B_{2}\) и \(C C_{2}\) минават през една точка \(Q\left(x_{\mathrm{Q}}, y_{\mathrm{Q}}, z_{\mathrm{Q}}\right)\) (Фиг. 11). Експериментите с GSP потвърждават това предположение.

От друга страна, изогоналното и изотомичното изображения имат по една особена крива от втора степен (окръжност и елипса), която се изобразява в безкрайната права. Освен това, както се вижда от (14) и (15), полиномът на тази крива участва в координатното представяне на точката образ. Затова, тъй като описаната за \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}(O)\), асоциирана с \(k(I)\), притежава уравнение

(16) \[ \bar{k}(O): x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y=0 \]

може да се предполага, че образът \(Q\) на точка \(P \notin \bar{k}(O)\) има координати, които се изразяват със следните равенства:

(17) \[ x_{Q}=\tfrac{x_{I}^{2} y_{P} z_{P}}{\vartheta_{I}(P)}, y_{Q}=\tfrac{y_{I}^{2} z_{P} x_{P}}{\vartheta_{I}(P)}, z_{Q}=\tfrac{z_{I}^{2} x_{P} y_{P}}{\vartheta_{I}(P)}, \]

където \(\vartheta_{I}(P)=x_{I}^{2} y_{P} z_{P}+y_{I}^{2} z_{P} x_{P}+z_{I}^{2} x_{P} y_{P}\).

Наблюденията с GSP показват, че точката \(Q\), построена по координатите (17), съвпада с точката \(Q\), получена при предишната конструкция (Фиг. 11). Нещо повече, когато \(P \notin \bar{k}(O)\), правите \(A A_{2}, B B_{2}\) и \(C C_{2}\) са успоредни, т.е. точката \(Q\) е безкрайна. Обратно, когато \(A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\) са успоредни (точката \(P\) е безкрайна), правите \(A A_{2}\), \(B B_{2}\) и \(C C_{2}\) се пресичат в точка \(Q\) от \(\bar{k}(O)\) (Фиг. 12). Всички тези наблюдения ни дават основание да разглеждаме изображение в равнината на \(\triangle A B C\) спрямо описаната му крива \(\bar{k}(O)\), при което точките \(P\) и \(Q\) наричаме спрегнати спрямо \(\bar{k}(O)\).

Преминаваме към доказателство на направените заключения. Нека

\[ A I \cap B C=L_{1}\left(0, \tfrac{y_{I}}{y_{I}+z_{I}}, \tfrac{z_{I}}{z_{I}+y_{I}}\right) \text { и } \quad I_{B} I_{C} \cap B C=L_{2}\left(0, \tfrac{y_{I}}{y_{I}-z_{I}}, \tfrac{z_{I}}{z_{I}-y_{I}}\right) . \]

Ако \(A_{1}\) не е безкрайната точка на \(B C\), то \(A_{1}\left(0, \tfrac{y_{P}}{y_{P}+z_{P}}, \tfrac{z_{P}}{z_{P}+y_{P}}\right)\). От хармоничността следва, че са изпълнени равенствата \(s=\tfrac{\overline{L_{1} A_{1}}}{\overline{L_{2} A_{1}}}=-\tfrac{\overline{L_{1} A_{2}}}{\overline{L_{2} A_{2}}}\). Затова \(\overrightarrow{O A_{1}}=\tfrac{\overrightarrow{O L_{1}}-s \cdot \overrightarrow{O L_{2}}}{1-s}\) и \(\overrightarrow{O A_{2}}=\tfrac{\overrightarrow{O L_{1}}+s \cdot \overrightarrow{O L_{2}}}{1+s}\). Първото от тези равенства заедно с координатите на \(A_{1}\) води до \(s=\tfrac{y_{I}-z_{I}}{y_{I}+z_{I}} \cdot \tfrac{y_{I} z_{P}-y_{P} z_{I}}{y_{I} z_{P}+y_{P} z_{I}}\), от което заедно с второто определяме координатите на \(A_{2}\) във вида \(A_{2}\left(0, \tfrac{y_{I}^{2} z_{P}}{y_{I}^{2} z_{P}+z_{I}^{2} y_{P}}, \tfrac{z_{I}^{2} y_{P}}{y_{I}^{2} z_{P}+z_{I}^{2} y_{P}}\right)\). Аналогично от \(B_{1}\left(\tfrac{x_{P}}{x_{P}+z_{P}}, 0, \tfrac{z_{P}}{z_{P}+x_{P}}\right)\) и \(C_{1}\left(\tfrac{x_{P}}{x_{P}+y_{P}}, \tfrac{y_{P}}{y_{P}+x_{P}}, 0\right)\) се намират точките \(B_{2}\) и \(C_{2}\) във вида \(B_{2}\left(\tfrac{x_{I}^{2} z_{P}}{x_{I}^{2} z_{P}+z_{I}^{2} x_{P}}, 0, \tfrac{z_{I}^{2} x_{P}}{x_{I}^{2} z_{P}+z_{I}^{2} x_{P}}\right)\) и \(C_{2}\left(\tfrac{x_{I}^{2} y_{P}}{x_{I}^{2} y_{P}+y_{I}^{2} x_{P}}, \tfrac{y_{I}^{2} x_{P}}{x_{I}^{2} y_{P}+y_{I}^{2} x_{P}}, 0\right)\). Сега, ако \(P \notin \bar{k}(O)\), установяваме, че координатите \(A, A_{2}\) и точката \(Q\), определена с (17), удовлетворявят равенството (12), което означава, че тези точки лежат на една права, т.е. \(A A_{2}\) минава през \(Q\). Аналогично се установява, че правите \(B B_{2}\) и \(C C_{2}\) минават през точката \(Q\), определена с (17). Ако \(P \in \bar{k}(O)\), изпълне но е равенството \(\vartheta_{I}(P)=0\). Следователно съществува безкрайна точка \(Q\), определена от направлението на вектора

(17') \[ \overrightarrow{Q}\left(x_{I}^{2} y_{P} z_{P}, y_{I}^{2} z_{P} x_{P}, z_{I}^{2} x_{P} y_{P}\right). \]

С помощта на равенството \(\vartheta_{I}(P)=0\) лесно се проверява, че векторите \(\overrightarrow{AA_2}\) , \(\overrightarrow{BB_2}\) и \(\overrightarrow{CC_2}\) са колинеарни с вектора \(\overrightarrow{Q}\) , определен с (17¢). Обратно, ако \(P\) е безкрайна точка, можем да я разглеждаме като обща точка на успоредните прави \(A A_{2}, B B_{2}\) и \(C C_{2}\), а съответната й \(Q\) е пресечната точка на правите \(A A_{1}, B B_{1}\) и \(C C_{1}\) върху \(\bar{k}(O)\) и има координати, представящи се с (17) (в този случай трябва да се има предвид, че е изпълнено равенството \(x_{\mathrm{p}}+y_{\mathrm{p}}+z_{\mathrm{p}}=0\) ).

Ако \(A_{1}(0,-1,1)\) е безкрайната точка на правата BC, т.е. \(P \in g_{\text {a }}\), то координатното представяне на P е \(P(1,-p, p)\), p), където \(p\) е реално число. В този случай \(A_{2}\left(0, \tfrac{y_{I}^{2}}{y_{I}^{2}-z_{I}^{2}}, \tfrac{z_{I}^{2}}{z_{I}^{2}-y_{I}^{2}}\right)\) е средата на отсечката \(L_{1} L_{2}\). Координатите на \(A_{2}\) могат да се получат от предишния случай при \(y_{\mathrm{p}}=-p\) и \(z_{\mathrm{p}}=p\). Затова всички получени резултати са приложими и в този случай.

Ако \(I \equiv G\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{3}\right) \) точките \(A_{2}\left(0, \tfrac{z_{P}}{z_{P}+y_{P}}, \tfrac{y_{P}}{y_{P}+z_{P}}\right)\) \(B_{2}\left(\tfrac{z_{P}}{z_{P}+x_{P}}, 0, \tfrac{x_{P}}{x_{P}+z_{P}}\right)\) и \(C_{2}\left(\tfrac{y_{P}}{y_{P}+x_{P}}, \tfrac{x_{P}}{x_{P}+y_{P}}, 0\right)\), симетрични на \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) съответно спрямо \(A_{0}, B_{0}\) и \(C_{0}\), се получават от съответните точки, получени при \(I \neq G\), като се замести \(x_{P}=y_{P}=z_{P}=\tfrac{1}{3}\). Следователно всички резултати, получени при \(I \neq G\), са приложими и при \(I \equiv G\), т.е. при изотомичното изображение.

Във всички случаи, ако \(P\) е точка върху някоя от правите \(A I, B I, C I, I_{\mathrm{B}} I_{\mathrm{C}}, I_{\mathrm{C}} I_{\mathrm{A}}\) и \(I_{\mathrm{A}} I_{\mathrm{B}}\), нейният образ \(Q\) лежи върху същата права. Затова трябва да се очаква, че то_чките \(\mathrm{I}, I_{\mathrm{A}}, I_{\mathrm{B}}\) A Bи \(I_{\mathrm{C}}\) C са единствените двойни елементи на изображението спрямо \(\bar{k}(O)\). Аналитично това може да се установи така: ако \(P\) е двоен елемент на разглежданото изображение, от (17) следва, че са изпълнени равенствата

\[ \left(\tfrac{x_{P}}{x_{I}}\right)^{2}=\left(\tfrac{y_{P}}{y_{I}}\right)^{2}=\left(\tfrac{z_{P}}{z_{I}}\right)^{2}=\tfrac{x_{P} y_{P} z_{P}}{\vartheta_{I}(P)}=l_{I}^{2} . \] Оттук следва, че \(x_{\mathrm{P}}=\varepsilon_{1} L_{\mathrm{I}} x_{\mathrm{I}}, y_{\mathrm{P}}=\varepsilon_{2} L_{\mathrm{V}} y_{\mathrm{I}}\) и \(z_{\mathrm{P}}=\varepsilon_{3} L_{\mathrm{I}} z_{\mathrm{I}}\), yP = e2LIyI и zP = e3LIzI, където \(\varepsilon_{1} \pm 1, \varepsilon_{2} \pm 1\) и \(\varepsilon_{3} \pm 1\). Ако \(P\) е крайна точка, от равенството \(x_{\mathrm{P}}+y_{\mathrm{P}}+z_{\mathrm{P}}=1\) следва, че \(x_{P}=\tfrac{\varepsilon_{1} x_{I}}{\varepsilon_{1} y_{I}}\), \(y_{P}=\tfrac{\varepsilon_{1} y_{I}}{\varepsilon_{1} x_{I}+\varepsilon_{2} y_{I}+\varepsilon_{3} z_{I}}\) и \(z_{P}=\tfrac{\varepsilon_{1} z_{I}}{\varepsilon_{1} x_{I}+\varepsilon_{2} y_{I}+\varepsilon_{3} z_{I}}\). Тези равенства показват, че единствените двойни точки са \(I\), \(I_{\mathrm{A}}\), \(I_{\mathrm{B}}\) и \(I_{\mathrm{C}}\). Ако \(P\) е безкрайна точка, от равенството \(x_{\mathrm{P}}+y_{\mathrm{P}}+z_{\mathrm{P}}=0\) следва, че \(\varepsilon_{1} x_{\mathrm{I}}+\varepsilon_{2} y_{\mathrm{I}}+\varepsilon_{3} z_{\mathrm{I}}=0\). Последното равенство означава, че някоя от точките \(I, I_{\mathrm{A}}, I_{\mathrm{B}}\) и \(I_{\mathrm{C}}\) е безкрайна и \(P\) съвпада с тази точка. Следователно изображението спрямо \(\bar{k}(O)\) има безкрайна двойна точка точно когато \(\bar{k}(O)\) е парабола и безкрайната точка на параболата е точно тази двойна точка.

Спрегнатост на точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) спрямо \(\bar{k}(O)\). След като вече е определено понятието изображение спрямо кривата \(\bar{k}(O)\), с GSP можем да определим образите на точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) спрямо \(\bar{k}(O)\). Наблюдаваният резултат може да се формулира по следния начин:

Свойство 7. Точките T(I) и те \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) са спрегнати спрямо \(\bar{k}(O)\).

Доказателството на това свойство се получава, като чрез (10) и (11) се провери, че са изпълнени равенствата (17).

Трябва да се отбележи, че ако някоя от точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) е безкрайна, другата лежи върху \(\bar{k}(O)\). Това обяснява, установения по-рано факт, че точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\) не могат да са едновременно безкрайни.

Определянето на точките \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\), както и техните свойства, по никакъв начин не зависи от допирните точки на кривите, допиращи се до \(\bar{k}(O)\). Интересно е да се намерят тези допирни точки и да се открият някои техни свойства.

Допирни точки на кривите \(k_{\mathrm{a}}(I(A))\), \(k_{\mathrm{b}}(I(B))\), \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\), \(k_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(A)\right)\), \(k_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(B)\right)\) \(k_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right)\) с \(\bar{k}(O)\) (Фиг 13, 14). За да намерим допирните точки, определяме уравненията на кривите. При определяне на уравнението на \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\) първо намираме координатите на центъра \(I(C)\). За целта намираме уравнението на правата \(c_{\mathrm{a}}\), минаваща през точката \(C_{\text {а }}\) и колинеарна с вектора \(\overrightarrow{I B_{I}}\left(B_{I}\left(\tfrac{1-2 z_{I}}{2 y_{I}}, 0, \tfrac{1-2 x_{I}}{2 y_{I}}\right)\right.\) е допирната точка на \(k(I)\) с \(C A\) (I) с CA (Ненков, 2010) и уравнението на правата \(c_{\mathrm{b}}\), минаваща през точката \(C_{\mathrm{b}}\) и колинеарна с вектора \(\overrightarrow{I A_{I}}\left(B_{I}\left(0, \tfrac{1-2 z_{I}}{2 x_{I}}, \tfrac{1-2 y_{I}}{2 x_{I}}\right)\right.\), е допирната точка на \(k(I)\) с \(B C\) (Ненков, 2010). След решаване на системата от получените уравнения намираме \[ I(C)\left(\tfrac{4 x_{I}^{2} y_{I}}{1-2 z_{I}}, \tfrac{4 x_{I} y_{I}^{2}}{1-2 z_{I}}, \tfrac{4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{1-2 z_{I}}\right) \]

Сега уравнението на \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\) намираме по условията, че тази крива минава през \(C_{\mathrm{a}}\) и \(C_{\mathrm{b}}\), допира се до \(C A\) и \(C B\) съответно в тези точки и минава през точката, симетрична на \(C_{\mathrm{a}}\) (или \(C_{\mathrm{b}}\) ) спрямо \(I(C)\). Резултатът, който получаваме, е следният:

\[ k_{c}(I(C)): \begin{aligned} & y_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)^{2} x^{2}+x_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2} y^{2}+4 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z^{2}- \\ & -4 x_{I}^{2} y_{I}\left(1-2 y_{I}\right) y z-4 x_{I} y_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right) z x-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 x_{I} y_{I}\right) x y=0 . \end{aligned} \]

Като се заместят равенствата \(x^{2}=x-x y-z x, y^{2}=y-y z-z x\) и \(z^{2}=z-y z-z x\), последното уравнение приема следния по-удобен вид:

(18) \(k_{c}(I(C)): x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y-y_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)^{2} x-x_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2} y-4 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z=0\).

От (16) и (18) получаваме координатите на допирната точка \(U_{\mathrm{c}}\) на \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\) с \(\bar{k}(O)\) във вида

(19) \[ U_{c}\left(\tfrac{2 x_{I}^{2} 2 y_{I}-1}{u_{c}(I)}, \tfrac{2 y_{I}^{2} 2 x_{I}-1}{u_{c}(I)}, \tfrac{z_{I} 2 x_{I}-12 y_{I}-1}{u_{c}(I)}\right), \]

където \(u_{\mathrm{c}}(I)=\left(1-3 x_{\mathrm{I}}\right)\left(1-3 y_{\mathrm{I}}\right)-x_{\mathrm{I}} y_{\mathrm{I}}\).

Ако точката \(I\) лежи върху хиперболата \(\bar{\chi}_{c}:(1-3 x)(1-3 y)-x y=0\) (Фиг. 15), кривите \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\) и \(\bar{k}(O)\) имат обща безкрайна точка, определена с

(19') \[ U_{c}\left(2 x_{I}^{2}\left(2 y_{I}-1\right), 2 y_{I}^{2}\left(2 x_{I}-1\right), z_{I}\left(2 x_{I}-1\right)\left(2 y_{I}-1\right)\right) . \]

В тези случаи \(k_{\mathrm{c}}(I(C))\) и \(\bar{k}(O)\) имат обща асимптота.

Аналогично на (19) намираме допирните точки \(U_{\mathrm{a}}\) и \(U_{\mathrm{b}}\) на \(\bar{k}(O)\) съответно с \(k_{\mathrm{a}}(I(A))\) и \(k_{\mathrm{b}}(I(B))\) във вида:

(20) \[ U_{a}\left(\tfrac{x_{I}\left(2 y_{I}-1\right)\left(2 z_{I}-1\right)}{u_{a}(I)}, \tfrac{2 y_{I}^{2}\left(2 z_{I}-1\right)}{u_{a}(I)}, \tfrac{2 z_{I}^{2}\left(2 y_{I}-1\right)}{u_{a}(I)}\right) \]

(21) \[ U_{b}\left(\tfrac{2 x_{I}^{2}\left(2 z_{I}-1\right)}{u_{b}(I)}, \tfrac{y_{I}\left(2 z_{I}-1\right)\left(2 x_{I}-1\right)}{u_{b}(I)}, \tfrac{2 z_{I}^{2}\left(2 x_{I}-1\right)}{u_{b}(I)}\right) \]

където \(u_{\mathrm{a}}(I)=\left(1-3 y_{\mathrm{I}}\right)\left(1-3 z_{\mathrm{I}}\right)-y_{\mathrm{I}} z_{\mathrm{I}}\) и \(u_{\mathrm{b}}(I)=\left(1-3 z_{\mathrm{I}}\right)\left(1-3 x_{\mathrm{I}}\right)-z_{\mathrm{I}} x_{\mathrm{I}}\).

Когато \(I\) е точка върху някоя от хиперболите \(\bar{\chi}_{a}:(1-3 y)(1-3 z)-y z=0\) и \(\bar{\chi}_{b}:(1-3 z)(1-3 x)-z x=0\), съответната от кривите \(k_{\mathrm{a}}(I(A))\) и \(k_{\mathrm{b}}(I(B))\) има обща асимптота с \(\bar{k}(O)\).

За да определим допирната точка \(U_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\) на \(k_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right)\) с \(\bar{k}(O)\), намираме, че центърът на \(k_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right)\) е

\[ I^{\prime}(C)\left(\tfrac{4 x_{I}^{2} y_{I}}{\left(1-2 z_{I}\right)^{2}}, \tfrac{4 x_{I} y_{I}^{2}}{\left(1-2 z_{I}\right)^{2}}, \tfrac{-4 x_{I} y_{I} z_{I}-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{\left(1-2 z_{I}\right)^{2}}\right) \] откъдето получаваме уравнението на \(k_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right)\) във вида

\(k_{c}^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right): y_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2} x^{2}+x_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)^{2} y^{2}+4 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z^{2}+\) \[ +4 x_{I}^{2} y_{I}\left(1-2 x_{I}\right) y z+4 x_{I} y_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right) z x-\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(\left(1-2 z_{I}\right)^{2}-2 x_{I} y_{I}\right)=0 . \]

Последното уравнение записваме в следния по-удобен вид

(22) \(k_{c}^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right):\left(1-2 z_{I}\right)^{2}\left(x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y\right)-y_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)^{2} x-x_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)^{2} y-4 x_{I}^{2} y_{I}^{2} z=0\).

От (16) и (22) получаваме координатите на допирната точка \(U_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\) на \(k_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right)\) с \(\bar{k}(O)\) във вида

(23) \[ U_{c}^{\prime}\left(\tfrac{2 x_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)}{u_{c}^{\prime}(I)}, \tfrac{2 y_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)}{u_{c}^{\prime}(I)},-\tfrac{z_{I}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{u_{c}^{\prime}(I)}\right), \]

където \(u_{c}^{\prime}(I)=\left(1-2 z_{I}\right)\left(2\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)+z_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\right)\).

Аналогично на (23) намираме допирните точки \(U_{\mathrm{a}}^{\prime}\) и \(U_{\mathrm{b}}^{\prime}\) на \(\bar{k}(O)\) съответно с \(k_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(A)\right)\) и \(k_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(B)\right)\) във вида:

(24) \[ U_{a}^{\prime}\left(\tfrac{x_{I}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{u_{a}^{\prime}(I)}, \tfrac{2 y_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)}{u_{a}^{\prime}(I)}, \tfrac{2 z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)}{u_{a}^{\prime}(I)}\right) \]

(25) \[ U_{b}^{\prime}\left(\tfrac{2 x_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)}{u_{b}^{\prime}(I)},-\tfrac{y_{I}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{u_{b}^{\prime}(I)}, \tfrac{2 z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)}{u_{b}^{\prime}(I)}\right) \]

където \(u_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}(I)=\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right)\left(2\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)\left(1-2 z_{\mathrm{I}}\right)+x_{\mathrm{I}}\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right)\right)\) и \(u_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}(I)=\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)\left(2\left(1-2 z_{\mathrm{I}}\right)\right.\) \(\left.\left(1-2 x_{\mathrm{I}}\right)+y_{\mathrm{I}}\left(1-2 y_{\mathrm{I}}\right)\right)\).

Когато \(I\) е точка върху някоя от параболите \(\bar{\pi}_{\mathrm{a}}: 2(1-2 y)(1-2 z)+x(1-2 x)\), \(\bar{\pi}_{\mathrm{b}}: 2(1-2 z)(1-2 x)+y(1-2 y)=0\) и \(\bar{\pi}_{\mathrm{c}}: 2(1-2 x)(1-2 y)+z(1-2 z)=0\) (Фиг.16), съответната от кривите \(k_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(A)\right), k_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(B)\right)\) и \(k_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\left(I^{\prime}(C)\right)\) има обща асимптота с \(\bar{k}(O)\).

Чевиани, породени от допирните точки. Естествено е да се запитаме дали допирните точки определят чевиани с върховете на \(\triangle A B C\). Експериментите с GSP показват следните резултати

Свойство 8. Правите \(A U_{\mathrm{a}}, B U_{\mathrm{b}} u C U_{\mathrm{c}}\) минават през една точка \(U(I)\) ( (Фиг. 13).

Свойство 9. Правите \(A U_{\mathrm{a}}{ }^{\prime}, B U_{\mathrm{b}}{ }^{\prime}\) и \(C U_{\mathrm{c}}{ }^{\prime}\) минават през една точка \(U^{\prime}(I)\) ( (Фиг. 14).

В тези свойства се разбира, че точките \(U(I)\) и \(U^{\prime}(I)\) могат да бъдат безкрайни.

Установяването на свойство 8 се извършва, като се намерят уравненията на правите \(A U_{\mathrm{a}}\) и \(B U_{\mathrm{b}}\), а след това се намери решението на системата, получена от тези уравнения. Накрая проверяваме, че координатите на получената точка са решение и на уравнението на правата \(C U_{\mathrm{c}}\). Резултатът, който получаваме за \(U(I)\), е

(26) \[ U(I)\left(\tfrac{x_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}{u(I)}, \tfrac{y_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right)}{u(I)}, \tfrac{z_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)}{u(I)}\right) \]

където \(u(I)=1-4 x_{I} y_{I}-4 y_{I} z_{I}-4 z_{I} x_{I}+10 x_{I} y_{I} c_{I}\).

Ако точката \(I\) леживърхукриватаоттретастепен \(U_{3}: 1-4 x y-4 y z-4 z x+10 x y z=0\) (Фиг. 17), точката \(U(I)\) е безкрайна и в координати се представя по следния начин:

(26') \[ U(I)\left(x_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right), y_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)\left(1-2 x_{I}\right), z_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\right) . \]

Аналогично за точката \(U^{\prime}(I)\) получаваме

(27) \[ U^{\prime}(I)\left(\tfrac{x_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right)}{u^{\prime}(I)}, \tfrac{y_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right)}{u^{\prime}(I)}, \tfrac{z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)}{u^{\prime}(I)}\right) \]

където \(u^{\prime}(I)=-2\left(1-4 x_{I} y_{I}-4 y_{1} z_{I}-4 z_{I} x_{I}+6 x_{I} y_{I} c_{I}\right)\).

Когато точката I лежи върху кривата от трета степен

\(\mathrm{U}_{3}{ }^{\prime}: 1-4 x y-4 y z-4 z x+6 x y z=0\) (Фиг. 18), точката \(U^{\prime}(I)\) е безкрайна и координатите й са:

(27') \[ U^{\prime}(I)\left(x_{I}^{2}\left(1-2 x_{I}\right), y_{I}^{2}\left(1-2 y_{I}\right), z_{I}^{2}\left(1-2 z_{I}\right)\right) \]

Точките \(U(I)\) и \(U^{\prime}(I)\), също както \(T(I)\) и \(T^{\prime}(I)\), не могат да бъдат едновременно безкрайни.

Едно свойство на колинеарност. Любопитно е да се намери връзка на получените точки \(U(I)\) и \(U^{\prime}(I)\) с други забележителни точки, определени от разглежданата конфигурация от асоцирани криви. Построенията с GSP показват, че е изпълнено следното

Свойство 10. Точките \(U(I), U^{\prime}(I), T(I), I\) и O лежат на една права (Фиг. 19).

За да се докаже последното свойство, е достатъчно да се провери три пъти равенството (12) за тройките точки \(U(I), U^{\prime}(I), T(I) ; U(I), U^{\prime}(I), I\) и \(U(I), U^{\prime}(I), O\) като се използват (26), (27), (10) и координатите на \(O\), получени в (Ненков, 2008), които се изразяват по следния начин:

(28) \[ O\left(\tfrac{\left(1-2 x_{I}-2 y_{I} z_{I}\right) x_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{\left(1-2 y_{I}-2 z_{I} x_{I}\right) y_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}, \tfrac{\left(1-2 z_{I}-2 x_{I} y_{I}\right) z_{I}^{2}}{\left(1-2 x_{I}\right)\left(1-2 y_{I}\right)\left(1-2 z_{I}\right)}\right). \]

ЛИТЕРАТУРА

1. Гушев, А. & Гушев, В. (2011). Приложние на понятието масов център в геометрията. Математика, 1, 14–24.

2. Гушев, А. & Гушев, В. (2011). Още за изотомичните елементи в триъгълника и изотомичното изображение. Математика, 2, 25–35.

3. Ненков, В. (1991). Отношение на радиусите на две окръжности. Обучението по математика и информатика, 1, 63–64.

4. Ненков, В. (2008). Обобщение на теоремата на Фойербах. Математика и информатика, 2, 35–42.

5. Ненков, В. (2010). Няколко свойства на Фойербаховата конфигурация. Математика и информатика, 5, 42–61.

6. Паскалев, Г. & Чобанов, И. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.

7. Хитов, Х. (1990). Геометрия на триъгълника. София: Народна просвета.

8. Grozdev, S. & Nenkov, V. (2010). Two Remarkable Points of the Triangle Geometry. In: Research and Education in Mathematics, Informatics and their Applications, Proceedings of the anniversary international conference, 10-12. 2010, 349–354.