Резюме. Разгледани са твърдения, свързани с обобщението на една от задачите от Международната олимпиада по математика през 2011 г. Обърнато е специално внимание на доказателствата, като за опростяване на изчисленията са използвани инверсия и подходяща точка на Микел.

Ключови думи: THE GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP), triangle, circle, tangent point, Miquel point.

Съществуват математически твърдения, в които при вникване в детайлите от различни гледни точки се получават различни съдържателни обобщения. Освен това се забелязват нови свойства на добре известни обекти. Подходящ пример за такова твърдение е следната задача от 52-та международна математическа олимпиада през 2011 г.: Нека \(l\) е допирателна към описаната окръжност \(\Gamma\) на остроъгълен триъгълник \(A B C . C l_{a}, l_{b} u l_{c}\) са означени симетричните прави на \(l\) съответно спрямо правите \(B C, C A\) и \(A B\). Да се докаже, че описаната окръжност около триъгълника, образуван при пресичането на правите \(l_{a}, l_{b} u\) \(l_{c}\), се допира до \(\Gamma\). (Гроздев, 2011)

Едно обобщение, в което е определена една забележителна точка за \(\triangle A B C\), зависеща от произволна описана за \(\triangle A B C\) крива от втора степен, е направено в (Гроздев & Ненков, 2012). Тук ще разгледаме друго, по-различно обобщение на същата задача. За целта в началото ще отбележим друга нейна формулировка. Във връзка с това ще припомним две свойства на ортоцентъра \(H\) на \(\triangle A B C\).

Нека \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) са описаните окръжности съответно за триъгълниците \(B C H\), \(C A H\) и \(A B H\). Ще потърсим някои връзки на тези окръжности с произволна допирателна \(l\) за \(\Gamma\).

1) Симетричната точка на \(H\) спрямо правата \(B C\) лежи върху \(\Gamma\) (Паскалев \(\&\) Чобанов, 1985). Следователно окръжността, симетрична на \(k_{a}\) спрямо \(B C\), е \(\Gamma\). Затова, при симетрия спрямо \(B C\), допирателната \(l\) на \(\Gamma\) се преобразува в допирателна \(l_{a}\) към \(k_{a}\). По аналогичен начин забелязваме, че правите \(l_{b}\) и \(l_{c}\), симетрични на \(l\) съответно спрямо \(C A\) и \(A B\), са допирателни съответно към \(k_{b}\) и \(k_{c}\).

2) Ако \(s\) е произволна права през \(H\), а правите \(s_{a}, s_{b}\) и \(s_{c}\) са симетричните образи на \(s\) съответно спрямо правите \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB , то \(s_{a}, s_{b}\) и \(s_{c}\) минават през точка \(P\) от \(\Gamma\) (Шарыгин, 1986) и (Прасолов, 1986). Затова при симетрия спрямо \(B C\) точката \(P\) се преобразува във втората пресечна точка \(H_{a}\) на \(k_{a}\) и \(s\) . Следователно, ако \(l\) е допирателната на \(\Gamma\) в точката \(P\left(P=s_{a} \cap l\right)\), правата \(l_{a}\) е допирателна на \(k_{a}\) в точката \(H_{a}\). Аналогично установяваме, че ако вторите пресечни точки на \(s\) с \(k_{b}\) и \(k_{c}\) са съответно \(H_{b}\) и \(H_{c}\), правите \(l_{b}\) и \(l_{c}\) се допират съответно до \(k_{b}\) и \(k_{c}\) в \(H_{b}\) и \(H_{c}\).

От направените наблюдения следва, че олимпиадната задача може да се формулира по следния по-различен начин:

Твърдение 1. Нека \(H\) е ортоцентърът на не правоъгълен триъгълник \(A B C\) с описана окръжност \(\Gamma\), а \(k_{a}, k_{b} u k_{c}\) са описаните окръжности съответно за триъгълниците \(B C H, C A H\) и \(A B H\). Права \(l\) през \(H\) пресича тези окръжности за втори път съответно в точките \(H_{a}, H_{b} u H_{c}\). Ако правите \(l_{a}, l_{b}\) \(u l_{c}\) са допирателни към \(k_{a}, k_{b} u k_{c}\) съответно в точките \(H_{a}, H_{b}\) и \(H_{c}\), H b и H c , то описаната окръжност около триъгълника, образуван при пресичането на \(l_{a}, l_{b}\) и \(l_{c}\), се допира до Γ .

Забележка: Във формулировката на твърдение 1 сме се отказали от ограничението \(\triangle A B C\) да е остроъгълен, но сме наложили друго – да не е правоъгълен. Ако \(∢ A C B=90^{\circ}\), то \(H \equiv C\), а \(k_{a}\) и \(k_{b}\) не са определени с три различни точки. Затова изключваме правоъгълните триъгълници.

Сега по естествен начин възниква следният въпрос: Какво ще се случи, ако ортоцентърът \(H\) се замени с произволна точка \(H\) в равнината на произволен триъгълник \(A B C\) ? Тук можем да ускорим придвижването от зададения въпрос до получаване на неговия отговор във вид на хипотеза, като използваме конструктивните и динамични възможности на програмата „THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP). Наблюденията с GSP показват, че твърдение 1 остава вярно и при произволна точка \(H\). Като вземем предвид забележката към твърдение 1, лесно съобразяваме, че ако точката \(H\) лежи върху някоя от правите \(B C, C A\) и \(A B\) или върху \(\Gamma\), разглежданата конструкция не е коректна. Така вече можем да формулираме обобщение на твърдение 1, а следователно и на олимпиадната задача, в следния вид:

Твърдение 2. Нека \(H\) е точка от равнината на триъгълник \(A B C\) с описана окръжност \(\Gamma\), която не лежи върху \(B C, C A, A B\) и \(\Gamma\), CA , AB и Γ , а \(k_{a}, k_{b} u k_{c}\) са описаните окръжности съответно за триъгълниците \(B C H, C A H\) и \(A B H\). Права \(l\) през \(H\) пресича тези окръжности за втори път съответно в точките \(H_{a}\), \(H_{b}\) и \(H_{c}\). Ако правите \(l_{a}, l_{b}\) и \(l_{c}\) са допирателни към \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) съответно в точките \(H_{a}, H_{b}\) и \(H_{c}\), Hb и Hc , то описаната окръжност \(\Gamma_{1}\) около триъгълника, образуван при пресичането на \(l_{a}, l_{b} u l_{c}\), lb и lc , се допира до \(\Gamma\). (Фиг. 1)

Тъй като точката \(H\) и правата \(l\) през нея са произволни, аналитичните подходи за доказателство на твърдение 2 водят до прекалено големи усложнения в пресмятанията и получаваните чрез тях резултати. Затова е по-добре да използваме индиректен подход при доказателството на твърдение 1, подход, при който някои от пресмятанията могат да се опросят съществено.

Разглеждаме инверсия \(i\) с полюс \(H\) и степен \(r^{2}\left(r \in \mathbb{R}^{+}\right)\). При тази инверсия окръжностите \(k_{a}, k_{b}\) и \(k_{c}\) се преобразуват съответно в правите \(k_{a}^{\prime}, k_{b}^{\prime}\) и \(k_{c}^{\prime}\), kb′ и kc′ , неминаващи през \(H\), а правата \(l\)– в себе си. Тъй като \(k_{b} \cap k_{c}=A \neq H, k_{c} \cap k_{a}=B \neq H\) и \(k_{a} \cap k_{b}=C \neq H\), то при \(i\) тези точки се преобразуват съответно в \(A^{\prime}=k_{b}^{\prime} \cap k_{c}^{\prime}\), \(B^{\prime}=k_{c}^{\prime} \cap k_{a}^{\prime}\) и \(C^{\prime}=k_{a}^{\prime} \cap k_{b}^{\prime}\), т. е. \(k_{a}^{\prime} \equiv B^{\prime} C^{\prime}, k_{b}^{\prime} \equiv C^{\prime} A^{\prime}\) и \(k_{c}^{\prime} \equiv A^{\prime} B^{\prime}\). Следователно при \(i\) точките \(H_{a}=l \cap k_{a}\), \(H_{b}=l \cap k_{b}\) и \(H_{c}=l \cap k_{c}\) се преобразуват съответно в точките \(H_{a}^{\prime}=l \cap B^{\prime} C^{\prime}, H_{b}^{\prime}=l \cap C^{\prime} A^{\prime}\) и \(H_{c}^{\prime}=l \cap A^{\prime} B^{\prime}\), т. е. \(H_{a}^{\prime}\), \(H_{b}^{\prime}\) и \(H_{c}^{\prime}\) са пресечните точки на \(l\) с правите, образуващи триъгьлника \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}\). Инверсните образи на допирателните \(l_{a}, l_{b}\) и \(l_{b}\) са съответно окръжностите \(l_{a}^{\prime}, l_{b}^{\prime}\) и \(l_{c}^{\prime}\), минаващи през \(H\) и допиращи се съответно до \(B^{\prime} C^{\prime}, C^{\prime} A^{\prime}\) и \(A^{\prime} B^{\prime}\) в точките \(H_{a}^{\prime}, H_{b}^{\prime}\) и \(H_{c}^{\prime}\). Следователно образът на \(\Gamma_{1}\) е окръжността \(\Gamma_{1}^{\prime}\), минаваща през пресечните точки на \(l_{a}^{\prime}, l_{b}^{\prime}\) и \(l_{c}^{\prime}\), различни от \(H\). Като вземем предвид тези наблюдения и променим означенията, инверсията \(i\) преобразува твърдение 2 в следното:

Твърдение 3. Дадени са триъгълник \(A B C\) с описана окръжност \(\Gamma\), точка \(H\) и права \(l\) през \(H\), неминаваща през никой от върховете на \(A B C\). Окръжностите \(k_{a}, k_{b} u k_{c}\) са такива, че съдържат \(H\) и се допират съответно до \(B C, C A\) и \(A B\) в точките \(H_{a}=l \cap B C\), \(H_{b}=l \cap C A\) и \(H_{c}=l \cap A B\). Ако вторите пресечни точки на двойките окръжности \(\left(k_{b}, k_{c}\right),\left(k_{c}, k_{a}\right) u\left(k_{a}, k_{b}\right)\) са съответно \(A_{1}\), \(B_{1}\) и \(C_{1}\), то окръжността \(\Gamma_{1}\), описана около \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\), се допира до \(\Gamma\). (Фиг. 2)

Оказва се, че прекият подход към доказване на това твърдение също води до съществени изчислителни проблеми. Затова с помощта на GSP ще направим още няколко наблюдения върху геометричната конфигурация, описана в твърдение 3.

Нека правата \(l\) е фиксирана, а точката \(H\) се движи по нея. Съответните наблюдения с GSP показват, че окръжността \(\Gamma_{1}\) се променя с изменението на точката \(H\), но винаги минава през една постоянна точка \(M\). Следователно, допирната точка \(M\) на \(\Gamma\) и \(\Gamma_{1}\) зависи от положението на правата \(l\) спрямо \(\triangle A B C\), но не зависи от положението на \(H\) върху \(l\). След като точката \(M\) зависи само от правите \(B C, C A, A B\) и \(l\), CA , AB и l , то възниква въпросът: Коя е тази точка? Точка, която е характерна за четири прави в общо положение, е така наречената точка на Микел. Това е точката, в която се пресичат четирите окръжности, описани за четирите триъгълника, получаващи се при пресичането на дадените четири прави (Фиг. 3). Проверката с GSP показва, че наистина постоянната точка \(M\) при фиксирана права \(l\) е точката на Микел, определена от правите \(B C, C A, A B\) и \(l\). По този начин получаваме следното:

Следствие 1. Ако в твърдение 3 правата \(l\) е постоянна, то окръжностите \(\Gamma\) и \(\Gamma_{1}\) се допират в точката на Микел \(M\), определена от правите \(B C, C A\), \(A B\) и \(l\), за произволна точка \(H\) от \(l\).

Сега, като вземем предвид следствие 1, можем да конструираме такова доказателство на твърдение 3, което е същевременно доказателство и на следствие 1, че аналитичните пресмятания да не бъдат свързани с прекалено сложни изчисления. За целта да вземем предвид, че до четирите прави \(B C, C A, A B\) и \(l\) се допира единствена парабола \(\pi\), която има за фокус точката на Микел \(M\) (Ненков, 1999) (Фиг. 3). Така задачата за аналитичното определяне на основните обекти, участващи в условието на твърдение 3, може да се параметризира, както е показано в (Ненков, 1998).

Разглеждаме геометричната конфигурация, описана в твърдение 3, в комплексната равнина спрямо Гаусова координатна система, както това е показано на фиг. 3. Спрямо тази координатна система, както е показано в (Ненков, 1998), афиксът на произволна точка \(Z\) от параболата \(\pi\), допираща се до правите \(A B, B C, C A\) и \(l\), е \(z=\tfrac{2 p}{(1+t)^{2}},|t|=1(p\) е фокалният параметър на \(\pi)\). Нека допирните точки на правите \(A B, B C, C A\) и \(l\) с \(\pi\) се получават съответно при \(t=t_{1}, t=t_{2}, t=t_{3}\) и \(t=t_{4}\), допирната точка на втората допирателна през \(H\) се получава при \(t=t_{0}\). Тогава от резултатите в (Ненков, 1998) се получават равенствата (афиксите на точките ще означаваме със съответните малки букви):

(1) \[ \begin{gathered} a=\tfrac{2 p}{\left(1+t_{2}\right)\left(1+t_{3}\right)}, \quad b=\tfrac{2 p}{\left(1+t_{3}\right)\left(1+t_{1}\right)}, \quad c=\tfrac{2 p}{\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{2}\right)} \\ h=\tfrac{2 p}{\left(1+t_{4}\right)\left(1+t_{0}\right)}, \quad h_{a}=\tfrac{2 p}{\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)}, \quad h_{b}=\tfrac{2 p}{\left(1+t_{2}\right)\left(1+t_{4}\right)}, \quad h_{c}=\tfrac{2 p}{\left(1+t_{3}\right)\left(1+t_{4}\right)} \end{gathered} \]

където \(\left|t_{j}\right|=1\).

Преминаваме към определяне на центъра \(O_{a}\) на \(k_{a}\). Тъй като \(k_{a}\) се допира до \(B C\) в \(H_{a}\), то \(O_{a} H_{a} \perp B C\) и затова е изпълнено равенството \((b-c)\left(\bar{o}_{a}-\bar{h}_{a}\right)+(\bar{b}-\bar{c})\left(o_{a}-h_{a}\right)=0\) (Тонов, 1988). След като заместим необходимите резултати от (1) и извършим някои преобразувания, получаваме

(2) \[ \bar{o}_{a}-t_{1} o_{a}=\tfrac{2 p t_{1}\left(t_{4}-1\right)}{\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)} \]

Нека \(M_{a}\) е средата на \(H H_{a}\). Тогава от (1) следва, че \(m_{a}=\tfrac{p\left(2+t_{0}+t_{1}\right)}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)}\). Тъй като \(O_{a}\) лежи върху симетралата на \(H H_{a}\), изпълнено е равенството \(\left(h-h_{a}\right)\left(\bar{o}_{a}-\bar{m}_{a}\right)+\left(\bar{h}-\bar{h}_{a}\right)\left(o_{a}-m_{a}\right)=0\) (Тонов, 1988). Сега от израза за \(m_{a}\) и (1) получаваме

(3) \[ -\bar{o}_{a}+t_{4} o_{a}=\tfrac{2 p t_{4}\left(1-t_{0} t_{1}\right)}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)} \]

От (2) и (3) имаме:

(4) \[ o_{a}=\tfrac{2 p\left[t_{1}\left(t_{4}-t_{0}-1\right)+t_{4}\right]}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)\left(t_{4}-t_{1}\right)}, \bar{o}_{a}=\tfrac{2 p t_{1} t_{4}\left[t_{0}\left(t_{4}-t_{1}-1\right)+t_{4}\right]}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)\left(t_{4}-t_{1}\right)} \]

Уравнението на \(k_{a}\) получаваме от равенството \(\left|z-o_{a}\right|^{2}=\left|h_{a}-o_{a}\right|^{2}\), което се записва още така: \(z \bar{z}-\bar{o}_{a} z-o_{a} \bar{z}+\bar{o}_{a} h_{a}+o_{a} \bar{h}_{a}-h_{a} \bar{h}_{a}=0\). След като използваме (1) и (4) за уравнението на \(k_{a}\), намираме

(5) \[ k_{a}:\begin{aligned} & z \bar{z}-\tfrac{2 p t_{1} t_{4}\left[t_{4}\left(1+t_{0}\right)-t_{0}\left(1+t_{1}\right)\right]}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)\left(t_{4}-t_{1}\right)} z- \\ & -\tfrac{2 p\left[t_{1}\left(t_{4}-t_{0}-1\right)+t_{4}\right]}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)\left(t_{4}-t_{1}\right)} \bar{z}+\tfrac{4 p^{2} t_{1} t_{4}\left(t_{4}-t_{0}\right)}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{4}\right)^{2}\left(t_{4}-t_{1}\right)}=0 \end{aligned} \]

Уравненията на \(k_{b}\) и \(k_{c}\) се получават от уравнението (5) на \(k_{a}\), като \(t_{1}\) се замени съответно с \(t_{2}\) и \(t_{3}\). След като извадим уравненията на \(k_{a}\) и \(k_{b}\) и извършим някои преобразувания, стигаме до равенството:

\(\bar{z}=-\tfrac{t_{4}^{2}\left[t_{1} t_{2}-t_{0}\left(t_{1}+t_{2}\right)+t_{0} t_{4}+t_{4}-t_{0}\right]}{\left(t_{4}-t_{0}-1\right) t_{1} t_{2}+t_{4}\left(t_{1}+t_{2}\right)-t_{0} t_{4}} z+\tfrac{2 p t_{4}\left(t_{4}-t_{0}\right)\left(t_{1} t_{2}+t_{4}\right)}{\left(1+t_{4}\right)\left[\left(t_{4}-t_{0}-1\right) t_{1} t_{2}+t_{4}\left(t_{1}+t_{2}\right)-t_{0} t_{4}\right]}\).

Заместваме последния израз в (5) и получаваме квадратното уравнение \(\alpha z^{2}+\beta z+\gamma=0\), където \(\alpha=-\tfrac{t_{4}^{2}\left[t_{1} t_{2}-t_{0}\left(t_{1}+t_{2}\right)+t_{0} t_{4}+t_{4}-t_{0}\right]}{\left(t_{4}-t_{0}-1\right) t_{1} t_{2}+t_{4}\left(t_{1}+t_{2}\right)-t_{0} t_{4}}\), \(\gamma=-\tfrac{4 p^{2} t_{4}^{2}\left(t_{1}-t_{4}\right)\left(t_{0}-t_{4}\right)}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{4}\right)^{2}\left[\left(t_{4}-t_{0}-1\right) t_{1} t_{2}+t_{4}\left(t_{1}+t_{2}\right)-t_{0} t_{4}\right]}\), а \(\beta\) е комплексно число, зависещо от \(t_{0}, t_{1}, t_{2}\) и \(t_{4}\). Тъй като \(k_{a}\) и \(k_{b}\) се пресичат в точките \(H\) и \(C_{1}\), то корените на последното уравнение са \(h\) и \(c_{1}\). Сега от формулата на Виет за произведението на корените на едно квадратно уравнение, приложена към последното уравнение, следва, че \(h . c_{1}=\tfrac{\gamma}{\alpha}=\tfrac{4 p^{2}\left(t_{4}-t_{0}\right)}{\left(1+t_{0}\right)\left(1+t_{4}\right)^{2}\left[t_{1} t_{2}-t_{0}\left(t_{1}+t_{2}\right)+t_{0} t_{4}+t_{4}-t_{0}\right]}\). След заместване на \(h\) от (1) окончателно получаваме

(6) \[ c_{1}=\tfrac{2 p\left(t_{4}-t_{0}\right)}{\left(1+t_{4}\right)\left[t_{1} t_{2}-t_{0}\left(t_{1}+t_{2}\right)+t_{0} t_{4}+t_{4}-t_{0}\right]}. \]

Аналогично на (6) стигаме до равенствата:

(7) \[ \begin{aligned} & a_{1}=\tfrac{2 p\left(t_{4}-t_{0}\right)}{\left(1+t_{4}\right)\left[t_{2} t_{3}-t_{0}\left(t_{2}+t_{3}\right)+t_{0} t_{4}+t_{4}-t_{0}\right]} \\ & b_{1}=\tfrac{2 p\left(t_{4}-t_{0}\right)}{\left(1+t_{4}\right)\left[t_{3} t_{1}-t_{0}\left(t_{3}+t_{1}\right)+t_{0} t_{4}+t_{4}-t_{0}\right]} \end{aligned} \]

Сега да определим уравнението на окръжността, минаваща през точките \(M\), \(A_{1}\) и \(B_{1}\) от равенството \(\tfrac{a_{1}-z}{b_{1}-z} \cdot \tfrac{a_{1}}{b_{1}}=\tfrac{\bar{a}_{1}-\bar{z}}{\bar{b}_{1}-\bar{z}} \cdot \tfrac{\bar{a}_{1}}{\bar{b}_{1}}\), като в него заместим (7). След извършване на необходимите преобразувания получаваме, че уравнението на описаната за \(\Delta M A_{1} B_{1}\) окръжност е следното:

(8) \[ \Gamma_{1}: \small{ \begin{aligned} &\left(1+t_{4}\right)\left[\left(t_{0}-t_{4}+1\right) t_{1} t_{2} t_{3}-t_{4}\left(t_{1} t_{2}+t_{2} t_{3}+t_{3} t_{1}\right)+t_{0} t_{4}\left(t_{1}+t_{2}+t_{3}\right)\right] z \bar{z}+\\ &+2 p t_{1} t_{2} t_{3} t_{4}\left(t_{4}-t_{0}\right) z+2 p t_{4}\left(t_{4}-t_{0}\right) \bar{z}=0 \end{aligned} } \]

След заместване на (6) в (8) установяваме, че точката \(C_{1}\) лежи върху \(\Gamma_{1}\). Освен това в [6] е намерено уравнението на \(\Gamma\) във вида:

(9) \[ \Gamma:\left(1+t_{1}\right)\left(1+t_{2}\right)\left(1+t_{3}\right) z \bar{z}-2 p t_{1} t_{2} t_{3} z-2 p \bar{z}=0 \]

Съвместното решаване на уравненията (8) и (9) води до единственото решение \(z=0\). Следователно \(\Gamma\) и \(\Gamma_{1}\) се допират в точката на Микел \(M\). С това твърдение 3 и следствие 1 са доказани.

Сега, като вземем предвид, че твърдение 2 е инверсно на твърдение 3, получаваме и неговото доказателство. Освен това от следствие 1 намираме:

Следствие 2. Ако в твърдение 2 правата \(l\) е постоянна, то окръжностите \(\Gamma\) и \(\Gamma_{1}\) се допират в постоянна точка за произволна точка \(H\) от \(l\).

Тук трябва да се отбележи, че постоянната точка в следствие 2, за разлика от следствие 1, не е характерната за тази геометрична конфигурация точка на Микел. Това се проверява непосредствено, като се направят необходимите построения в GSP.

Накрая е необходимо да отбележим, че намереното във връзка с твърдение 2, твърдение 3 и неговото следствие 1 ни предлага още едно свойство на точката на Микел, определена от четири прави в общо положение.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гроздев, С. (2011). Международна олимпиада по математика. Математика плюс, 3 (75) , 56–59.

2. Гроздев, С. & Ненков, В. (2012). Една забележителна точка на триъгълника. Математика и математическо образование, 41, 330–337.

3. Ненков, В. (1998). Конични сечения, вписани в триъгълник. Математика и информатика, 5, 54 – 59.

4. Ненков, В. (1999). Парабола, вписана в триъгълник. Математика и информатика, 4, 61 – 65.

5. Паскалев, Г. & И. Чобанов. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.

6. Прасолов, В. (1986). Задачи по планиметрии. Част I. Москва: Наука, 154, зад. 9.23.

7. Тонов, И. (1988). Приложение на комплексните числа в геометрията. София: Народна просвета.

8. Шарыгин, И. (1986). Задачи по геометрии. Планиметрия. Москва: Наука, 52, зад. 139.