Веселин Ненков

Technical College – Lovech
31 Sajko Saev St.
5500 Lovech Bulgaria
E-mail: vnenkov@mail.bg

Станислав Стефанов

Technical University – Sofia
1000 Sofia Bulgaria
E-mail: stanislav.toshkov@abv.bg

Хаим Хаимов

16 Bratya Shkorpil St.
9000 Varna Bulgaria

Резюме. В статията са описани някои свойства на две забележителни точки в изпъкналия четириъгълник, които са естествени обобщения на центъра на описаната окръжност и ортоцентъра на вписания четириъгълник.

Ключови думи: quadrilateral, circumcircle, circumcenter, orthocenter, Euler circle

В редица публикации са описани и изследвани различни забележителни точки в произволен изпъкнал четириъгълник (вж. литературата). Някои от забележителните точки в четириъгълника са аналози на забележителните точки в триъгълника, други са строго специфични за четириъгълника, трети са обобщения на забележителни точки на специални видове четириъгълници (вписан, описан, хармоничен и т.н.). Забележителните точки са интересни, на първо място, с многобройните си и разнообразни свойства и на второ – с връзките помежду си. Някои тройки от тях са разположени на забележителни прави, а някои четворки и дори повече – на забележителни окръжности. Те се изобразяват една в друга при различни преобразувания в четириъгълника. Разстоянията между някои от тях и върховете на четириъгълника се определят по прости формули. Интересни характеристики имат педалните четириъгълници на някои точки.

Тук ще разгледаме две тясно свързани забележителни точки в изпъкналия четириъгълник, които са обобщения на центъра на описаната окръжност и ортоцентъра на вписания четириъгълник (Grozdev & Nenkov, 2011). Както е разяснено в (Haimov, 2010), повечето от свойствата им са идентични със свойствата на последните.

Нека \(A B C D\) е произволен изпъкнал четириъгълник, а \(r_{B C D}, r_{C D A}, r_{D A B}\) и \(r_{A B C}\) са радиусите на описаните окръжности съответно на триъгълниците \(B C D, C D A, D A B\) и \(A B C\). Ако \(A B C D\) е вписан в окръжност с център \(O\), то \(r_{B C D}=r_{C D A}=r_{D A B}=r_{A B C}\) и \(\tfrac{A O}{B O}=\tfrac{r_{C D A}}{r_{B C D}}, \tfrac{B O}{C O}=\tfrac{r_{D A B}}{r_{C D A}}, \tfrac{C O}{D O}=\tfrac{r_{A B C}}{r_{D A B}}, \tfrac{D O}{A O}=\tfrac{r_{B C D}}{r_{A B C}}\) (фиг. 1). Тези свойства на центъра на описаната около \(A B C D\) окръжност ни дават основание да търсим точка \(O\) (ако съществува) със същите свойства, но в равнината на произволен изпъкнал четириъгълник \(A B C D\). Горните отношения показват, че ако \(O\) съществува, тя е пресечна точка на четири Аполониеви окръжности (фиг. 2). Следователно, ако точката \(O\) съществува, тя е единствена.

Лесно се вижда, че разгледаните отношения са еквивалентни със следните равенства:

(1) \[ A O \cdot r_{B C D}=B O \cdot r_{C D A}=C O \cdot r_{D A B}=D O \cdot r_{A B C} \text {. } \]

Въз основа на (1) въвеждаме следното

Определение 1. Точката \(O\) в равнината на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\), за която са изпълнени равенствата (1) , наричаме псевдоцентър.

От извършените разсъждения следва, че ако \(A B C D\) е вписан в окръжност, четириъгълникът притежава псевдоцентър \(O\), който съвпада с центъра на описаната му окръжност. Следователно съществуват четириъгълници, които притежават псевдоцентър. По-нататък ще покажем, че всеки изпъкнал четириъгълник притежава забележителната точка псевдоцентър. Преди това ще въведем следното

Определение 2. Сборът от ъглите, под които се вижда страната \(A B\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) от върховете му \(C\) и \(D\), наричаме ъглова мярка на страната \(A B\). Ъгловата мярка на страната \(A B\) ще означаваме с \(\varphi_{A B}\). Следователно \(\varphi_{A B}=∢ A D B+∢ A C B\) (фиг. 1).

За изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) въвеждаме и следните означения: с \(\overparen{k}_{A B}, \overparen{k}_{B C}, \overparen{k}_{C D}\) и \(\overparen{k}_{D A}\) означаваме съответно дъгите от окръжности, лежащи в \(A B C D\), от които страните \(A B, B C, C D\) и \(A B\) се виждат съответно под ъгъл \(\varphi_{A B}, \varphi_{B C}, \varphi_{C D}\) и \(\varphi_{D A}\) (фиг. 3).

Съществуването на псевдоцентър ще докажем само в случая, когато ъгловите мерки на всички страни на \(A B C D\) са по-малки от \(180^{0}\). В останалите случаи разсъжденията са аналогични.

Теорема 1. Ако \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, страните на който имат ъгловите мерки, по-малки от \(180^{0}\), дъгите \(\widehat{k}_{A B}, \widehat{k}_{B C}, \widehat{k}_{C D}\) и \(\widehat{k}_{D A}\) се пресичат в точка \(O\), за която са изпълнени равенствата \((1)\) (фиг. 3) .

Доказателство. Нека \(O^{\prime}\) е втората пресечна точка на дъгите \(\widehat{k}_{A B}\) и \({ }_{B C}\) (фиг. 3). Ще докажем, че са изпълнени равенствата

(*) \[ A O^{\prime} \cdot r_{B C D}=B O^{\prime} \cdot r_{C D A}=C O^{\prime} \cdot r_{D A B} \]

Означаваме ортогоналните проекции на \(O^{\prime}\) върху \(A B, B C\) и \(C A\) съответно с \(M, N\) и \(P\). Тъй като \(A O^{\prime}\) е диаметър на описаната около \(A P M\)

окръжност , от синусовата теорема следва \(A O^{\prime}=\tfrac{P M}{\sin ∢ C A B}\). Аналогично \(B O^{\prime}=\tfrac{M N}{\sin ∢ A B C}\). От синусовата теорема, приложена за триъгълниците \(B C D, C D A, M N P\) и \(A B C\), приложена за триъгълниците \(B C D, C D A, M N P\) и \(A B C\), MNP и ABC , получаваме съответно \(r_{B C D}=\tfrac{B C}{2 \sin ∢ B D C}\), \(r_{C D A}=\tfrac{A C}{2 \sin ∢ D C A}, \tfrac{P M}{M N}=\tfrac{\sin ∢ M N P}{\sin ∢ M P N}, \tfrac{A C}{B C}=\tfrac{\sin ∢ A B C}{\sin ∢ C A B}\). От последните равенства следва

(2) \[ \tfrac{A O^{\prime}}{B O^{\prime}} \cdot \tfrac{r_{B C D}}{r_{C D A}}=\tfrac{\sin ∢ M N P}{\sin ∢ M P N} \cdot \tfrac{\sin ∢ C D A}{\sin ∢ B D C} \]

От друга страна, от вписаните четириъгълници \(A M O^{\prime} P\) и \(M B N O^{\prime}\) следва \(∢ P M N=∢ P M O^{\prime}+∢ N M O^{\prime}=∢ P A O^{\prime}+∢ N B O^{\prime}\). Следователно

(3) \[ Đ P M N=C A O^{\prime}+C B O^{\prime} \]

Тъй като от всички точки на дъгата \(\overparen{k}_{A B}\) страната \(A B\) се вижда под тъл \(\varphi_{A B}=∢ A D B+∢ A C B\), то \(∢ C A O^{\prime}+∢ C B O^{\prime}=∢ A O^{\prime} B-∢ A C B=\varphi_{A B}-∢ A C B=∢ A D B . \quad\) Сега от (3) намираме, че \(∢ P M N=∢ A D B\). Аналогично от \(O^{\prime} \in \bar{k}_{B C}\) следва, че \(∢ M N P=∢ B D C\). От последните две равенства намираме

\[ \tfrac{\sin ∢ M N P}{\sin ∢ M P N}=\tfrac{\sin ∢ B D C}{\sin (∢ M N P+∢ P M N)}=\tfrac{\sin ∢ B D C}{\sin (∢ B D C+∢ A D B)}=\tfrac{\sin ∢ B D C}{\sin ∢ C D A} . \]

Оттук, след заместване в \((2)\) , получаваме \(\tfrac{A O^{\prime}}{B O^{\prime}} \cdot \tfrac{r_{B C D}}{r_{C D A}}=1\), т.е. \(A O^{\prime} ._{r_{B C D}}=B O^{\prime} ._{C D A}\). С това първото равенство в (*) е доказано. Аналогично се доказва и равенството \(B O^{\prime} . r_{C D A}=C O^{\prime} . r_{D A B}\). С това равенствата (*) са доказани.

Нека сега втората пресечна точка на дъгите \(\overparen{k}_{A B}\) и \(\overparen{k}_{D A}\) е \(O^{\prime \prime}\). Аналогично на (*) се получават равенствата

(**) \[ B O^{\prime \prime} \grave{r}_{C D A}=A O^{\prime \prime} r_{B C D}=D O^{\prime \prime} r_{A B C} \]

От (*) и (**) следват равенствата \(\tfrac{A O^{\prime}}{B O^{\prime}}=\tfrac{A O^{\prime \prime}}{B O^{\prime \prime}}=\tfrac{r_{C D A}}{r_{B C D}}\). Това означава, че точките \(O^{\prime}\) и \(O^{\prime \prime}\) лежат на една и съща Аполониева окръжност \(\alpha\) за отсечката \(A B\). От друга страна, \(O^{\prime}\) и \(O^{\prime \prime}\) са точки от дъгата \(\overparen{k}_{A B}\). Тъй като \(\alpha\) и \(\overparen{k}_{A B}\) имат само една обща точка, то \(O^{\prime} \equiv O^{\prime \prime} \equiv O\), където \(O=\widehat{k}_{A B} \cap \widehat{k}_{B C} \cap \widehat{k}_{D A}\).

Аналогично се доказва, че ако \(O^{\prime \prime \prime}\) е втората пресечна точка на \(\overparen{k}_{B C}\) и \(\overparen{k}_{C D}\), то \(O^{\prime \prime \prime} \equiv O\). Оттук следва, че четирите дъги \(\widehat{k}_{A B}, \widehat{k}_{B C}, \widehat{k}_{C D}\) и \(\widehat{k}_{D A}\) минават през точката \(O\). С това теорема 1 е доказана.

От доказателството на теорема 1 следва, че всеки изпъкнал четириъгълник притежава псевдоцентър. Освен от това теорема 1 се получава следното:

Свойство 1. Ако \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, страните на който имат ъглови мерки, по-малки от \(180^{\circ}\), то всяка страна на четириъгълника се вижда от псевдоцентъра му под ъгъл, равен на ъгловата ѝ мярка.

Забележка 1. С помощта на следствие 1 лесно се убеждаваме, че дефиницията на псевдоцентъра, изразена с определение 1, е еквивалентна с тази, представена в (Haimov, 2010).

Следват още няколко свойства на псевдоцентъра.

Свойство 2. За псевдоцентъра \(O\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) са изпълнени равенствата \(\tfrac{A O}{C O}=\tfrac{\sin ∢ B C D}{\sin ∢ D A B}\) и \(\tfrac{B O}{D O}=\tfrac{\sin ∢ C D A}{\sin ∢ A B C}\).

Доказателството на първото равенство в това свойство се получава от равенството \(A O . r_{B C D}=C O . r_{D A B}\) и синусовата теорема за триъгълниците \(D A B\) и \(B C D\) по следния начин \(\tfrac{A O}{C O}=\tfrac{r_{D A B}}{r_{B C D}}=\tfrac{B D}{2 \sin ∢ D A B} \cdot \tfrac{2 \sin ∢ B C D}{B D}=\tfrac{\sin ∢ B C D}{\sin ∢ D A B}\). Второто равенство се получава по същия начин.

Определение 3. Ако \(M, N, P\) и \(Q\) са ортогоналните проекции на точката \(O\) съответно върху правите \(A B, B C, C D\) и \(D A\), четириъгълникът \(M N P Q\) се нарича педален на точката \(O\) (фиг. 4).

Свойство 3. Педалният четириъгълник \(M N P Q\) на псевдоцентъра \(O\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) е успоредник (фиг. 4).

Доказателство. От синусовата теорема за триъгълниците \(A M Q\) и \(C P N\) следват съответно равенствата \(Q M=A O \cdot \sin ∢ D A B \quad\) и \(P N=C O \cdot \sin ∢ B C D\). sin BCD . От друга страна, според свойство 2 е изпълнено . Следователно \(Q M=P N\). Аналогично се показва, че \(M N=P Q\). Следователно \(M N P Q\) е успоредник.

По аналогичен начин се доказва и следното

Свойство 4. Ортогоналните проекции на псевдоцентъра \(O\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) върху двойка срещуположни страни и двата диагонала са върхове на успоредник.

Други свойства на псевдоцентъра се съдържат в (Haimov, 2010).

Забележка 2. Лесно се доказва, че псевдоцентърът \(O\) на четириъгълника \(A B C D\) лежи или в ъгъла между правите \(A B\) и \(C D\), съдържащ четириъгълника, или в съответния ъгъл между правите \(B C\) и \(D A\). Доказва се, че в равнината на \(A B C D\) може да има най-много две точки, чиито педални четириъгълници са успоредници. Едната според свойство 3 е псевдоцентърът. Другата, както лесно се съобразява, лежи извън споменатите ъгли. Следователно, ако педалният четириъгълник на една точка от тези ъгли е успоредник, то тя съвпада с псевдоцентъра. Този факт ще ни послужи по-нататък.

Определение 4. Педалният четириъгълник \(M N P Q\) на псевдоцентъра \(O\) за изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) ще наричаме педално вписан успоредник на \(A B C D\).

Дотук разгледахме част от свойствата на псевдоцентъра. Преди да преминем към втората забележителна точка на произволен изпъкнал четириъгълник \(A B C D\), да предположим, че \(A B C D\) е вписан в окръжност. От направения в началото коментар следва, че псевдоцентърът му съвпада с центъра \(O\) на описаната окръжност. Педалният четириъгълник на този център е успоредник. Той има за върхове средите на страните на \(A B C D\) (понеже \(O\) лежи върху симетралите на страните). Известно е, че перпендикулярите, спуснати от средите на страните на вписания четириъгълник \(A B C D\) към срещуположните страни се пресичат в една точка \(H\) (Grozdev & Nenkov, 2011). Тя се нарича ортоцентър на четириъгълника, а самите перпендикуляри – негови височини. Както ще видим сега, с помощта на педално вписания успоредник на четириъгълника \(A B C D\) могат да се дефинират обобщения на височините и ортоцентъра и в случая, когато той не е вписан в окръжност.

Определение 5. Ако \(A B C D\) еизпъкнал четириъгълник, перпендикулярите, спуснати от върховете на педално вписания му успоредник \(M N P Q\) към срещуположните им страни, се наричат височини на четириъгълника.

Теорема 2. Височините на изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) се пресичат в една точка \(H\).

Доказателството на тази теорема се съдържа в (Haimov, 2010).

Определение 6. Пресечната точка \(H\) на височините на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) ще наричаме ортоцентър на \(A B C D\).

Ортоцентърът \(H\) на четириъгълника \(A B C D\) е образ на псевдоцентъра му \(O\) при едно важно преобразувание.

Определение 7. Нека \(x O y\) е произволен ъгъл с мярка \(\varphi\left(0 \lt \varphi \lt 180^{\circ}\right)\). Композицията от симетрията \(g\) спрямо ъглополовящата на ъгъла \(x O y\) и хомотетията \(h\) с център върха му \(O\) и коефициент \(\cos \varphi\) ще наричаме симетрична хомотетия спрямо ъгъла \(x O y\) и ще означаваме с \(g h\).

Лема 1. Нека \(x O y\) е произволен ъгъл с мярка \(\varphi\). Образът на произволна точка \(A\) от рамото \(O x \rightarrow\) при симетричната хомотетия \(g h\) спрямо \(x O y\) e проекцията ѝ върху правата, на която лежи другото рамо на \(x O y\) (фиг. 5) .

Доказателство. Образът на точката \(A\) при симетрията \(g\) спрямо ъглополовящата на ъгъл \(x O y\) е точката \(A^{\prime}\) от рамото \(O y^{\rightarrow}\), за която \(O A^{\prime}=O A\) (фиг. 5). От своя страна, образ на точката \(A^{\prime}\) от рамото \(O y^{\rightarrow}\) при хомотетията \(h\) с център \(O\) и коефициент \(\cos \varphi\) е точката \(A^{\prime \prime}\) от правата \(l\), за която \(\overrightarrow{O A^{\prime \prime}}=\overrightarrow{O A^{\prime}} \cdot \cos \varphi\). От \(O A^{\prime}=O A\) и последното равенство следва, че \(\overrightarrow{O A^{\prime \prime}}=\overrightarrow{O A} \cdot \cos \varphi\), т. .е., точката \(A^{\prime \prime}\) е проекция на точката \(A\) върху правата \(l\).

Теорема 3. Ако продълженията на страните \(A B\) и \(D C\) на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\) се пресичат в точка \(K\), oбразът на псевдоцентъра \(O\) за \(A B C D\) при симетричната хомотетия \(g h\) спрямо \(∢ A K D e\) ортоцентърьт \(H\) на \(A B C D\).

Доказателството на тази теорема се съдържа в (Haimov, 2010).

Сега да направим следната важна

Забележка 3. Доказва се, че ортоцентърът \(H\) на вписания четириъгълник \(A B C D\) има следното свойство: „Ойлеровите окръжности на триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) имат обща точка, която е \(H\)“. Но е известно още, че Ойлеровите окръжности на тези триъгълници имат обща точка и когато \(A B C D\) не е вписан, а е произволен четириъгълник (Nenkov, 2008). Това е една забележителна точка, открита още в началото на ХХ век. В (Haimov, 2010) е доказано, че ортоцентърът на изпъкнал четириъгълник (дефиниран с определение 6) съвпада с тази точка. Ето защо всички свойства на ортоцентъра, разглеждани както тук, така и в (Haimov, 2010), са нови свойства на въпросната точка. Фактът, че във всеки изпъкнал четириъгълник \(A B C D\) Ойлеровите окръжности на триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) имат ортоцентъра \(H\) за обща точка, ще ни послужи при доказателството на следната

Теорема 4. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, продълженията на страните \(A B\) и \(D C\) се пресичат в точка \(K\) и \(∢ A K D=\varphi\). Ако \(H\) е ортоцентърът на \(A B C D\), а \(E_{1}\) и \(E_{3}\) са средите съответно на страните \(A B\) и \(D C\), mo \(E_{1} H E_{3}=180^{\circ}-\varphi\).

Доказателство. Означаваме средите на диагонала \(A C\) и страните \(D C\) и \(A D\) съответно с \(F_{1}, E_{2}\) и \(E_{4}\) (фиг. 6). Ойлеровите окръжности на \(B C D, C D A, D A B\) и \(A B C\) означаваме съответно с \(k_{A}, k_{B}, k_{C}\) и \(k_{D}\) . Ортоцентърьт \(H\) на \(A B C D\) е обща точка на Ойлеровите окръжности на триъгълниците \(A B C, B C D, C D A\) и \(D A B\) (според забележка 3). Ойлеровите окръжности на триъгълниците \(\grave{u} \quad\) и \(A B C\) са определени от средите на страните си съответно \(F_{1}, E_{3}, E_{4} \in D A\) и \(E_{1}, E_{2}, F_{1}\). От \(H \in k_{D}\) следва, че \(∢ E_{4} H F_{1}=∢ E_{4} E_{3} F_{1}\). От друга страна \(A F_{\mathrm{u}} E E\) е успоредник и затова \(∢ E_{4} E_{3} F_{1}=∢ E_{4} A F_{1}\). Тогава \(∢ E_{4} H F_{1}=∢ E_{4} A F_{1}\). Аналогично от \(H \in k_{B}\) се получава, че \(∢ E_{1} H F_{1}=∢ E_{1} A F_{1}\). Събираме почленно последните две равенства и получаваме

(5) \[ ∢ E_{4} H F_{1}+∢ F_{1} H E_{1}=∢ E_{4} A F_{1}+∢ F_{1} A E_{1} . \]

От друга страна, са изпълнени равенствата \(∢ E_{4} H F_{1}+∢ F_{1} H E_{1}=∢ E_{4} H E_{1}\) и \(Đ E_{4} A F_{1}+F_{1} A E_{1}=E_{4} A E_{1}\) (фиг. 6). Сега от равенството (5) следва

(6) \[ ∢ E_{4} H E_{1}=∢ E_{4} A E_{1} . \]

Аналогично се доказва равенството (фиг. 6)

(7) \[ ∢ E_{4} H E_{3}=∢ E_{4} D E_{1} . \]

След почленно събиране на (6) и (7) се получава

(8) \[ ∢ E_{4} H E_{1}+∢ E_{4} H E_{3}=∢ E_{4} A E_{1}+∢ E_{4} D E_{3} . \]

От друга страна, е изпълнено (фиг. 6)

(9) \[ ∢ E_{4} H E_{1}+∢ E_{4} H E_{3}=∢ E_{1} H E_{3} . \]

От (8) и (9) следва равенството \(∢ E_{4} A E_{1}+∢ E_{4} D E_{3}=∢ E_{1} H E_{3}\). Освен това от \(\triangle A K D\) имаме \(∢ E_{4} A E_{1}+∢ E_{4} D E_{3}=180^{\circ}-∢ A K D=180^{\circ}-\varphi\). Следователно \(∢ E_{1} H E_{3}=180^{\circ}-\varphi\). С това теоремата е доказана.

С помощта на теорема 4 ще докажем още едно свойство на псевдоцентъра на четириъгълника.

Свойство 5. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, в който \(A B\) не е успоредна на \(C D\), симетралата \(l_{1}\) на страната \(A B\) пресича правата \(C D\) в точка \(M\), асиметралата \(l_{2}\) настраната \(C D\) пресичаправата \(A B\) вточка \(P\). Ако \(N\) е пресечната точка на симетралите \(l_{1}\) и \(l_{2}\), то псевдоцентърьт \(O\) на \(A B C D\) лежи на дъгата \(\overparen{M N P}\) от описаната около \(\triangle M N P\) окръжност (фиг. 7) .

Доказателство. Нека \(K\) е пресечната точка на продълженията на страните \(A B\) и \(C D\), а \(E_{1}\) и \(E_{3}\) са съответните им среди и \(∢ A K D=\varphi\) (фиг. 7). Ако \(g h\) е симетричната хомотетия спрямо \(∢ A K D\), то \(O \rightarrow H\), където \(H\) е ортоцентърьт на \(A B C D\) и \(M \xrightarrow{g h} E_{1}, P \xrightarrow{g h} E_{3}\) (по теорема 3 и лема 1). Следователно \(∢\) ù се изобразява при \(g h\) в \(∢ E_{1} H E_{3}\), т.е. \(∢ M O P=∢ E_{1} H E_{3}\). Но \(∢ E_{1} H E_{3}=180^{\circ}-\varphi\) (по теорема 4) и затова \(∢ M O P=180^{\circ}-\varphi\). Същевременно от това, че \(E_{1} K E_{3} N\) е вписан четириъгълник, следва \(\quad ∢ M N P=∢ E_{1} N E_{3}=180^{\circ}-∢ A K D=180^{\circ}-\varphi . \quad\) Следователно \(∢ M O P=∢ M N P\) и точката \(O\) лежи на дъгата \(\widehat{M N P}\) от окръжността, описана около \(\triangle M N P\).

Ще се спрем на още една връзка между разгледаните тук забележителни точки.

Определение 8. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\) и \(D^{\prime}\) са центровете на Ойлеровите окръжности съответно на триъгълниците \(D A B, B C D, A B C\) и \(C D A\). Четириъгълника \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) ще наричаме спрегнат на \(A B C D\) (фиг. 8).

Теорема 6. Ако \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) е спрегнатият четириъгълник на изпъкналия четириъгълник \(A B C D\), то псевдоцентърът на \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) съвпада \(c\) ортоцентъра на \(A B C D\).

Доказателство. Ортоцентърьт \(H\) на четириъгълника \(A B C D\) е обща точка на Ойлеровите окръжности на триъгълниците \(D A B, B C D, A B C\) и \(C D A\) (според забележка 3) (фиг. 8). Нека \(E_{1}, E_{2}, E_{3}\) и \(E_{4}\) са средите съответно на страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\). Освен това нека \(A^{\prime} B^{\prime} \cap H E_{1}=M\), \(B^{\prime} C^{\prime} \cap H E_{2}=N, C^{\prime} D^{\prime} \cap H E_{3}=P\) и \(D^{\prime} A^{\prime} \cap H E_{4}=Q\). Отсечката \(A^{\prime} B^{\prime}\) е централа на Ойлеровите окръжности \(k_{C}\) и \(k_{D}\) съответно на \(\triangle D A B\) и \(\triangle A B C\), а \(H E_{1}\) е общата им хорда. Следователно \(A^{\prime} B^{\prime} \perp H E_{1}\) и \(M\) е средата на \(H E_{1}\). Тогава \(M\) е образ на \(E_{1}\) при хомотетията \(h\left(H, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(A^{\prime} B^{\prime} \perp H M\). Аналогично се доказва, че точките \(N, P\) и са образи съответно на \(E_{2}\), \(E_{3}\) и \(E_{4}\) при същата хомотетия \(h\left(H, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(B^{\prime} C^{\prime} \perp H N, C^{\prime} D^{\prime} \perp H P\) и \(D^{\prime} A^{\prime} \perp H Q\). Четириъгълникът \(E_{1} E_{2} E_{3} E_{4}\) с върхове средите на страните на \(A B C D\) е успоредник. Следователно \(M N P Q\) също е успоредник. От друга страна, \(M N P Q\) е педалният четириъгълник на точката \(H\) по отношение на четириъгълника \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Лесно се съобразява, че точката \(H\) лежи в ъгъла между правите \(A^{\prime} B^{\prime}\) и \(C^{\prime} D^{\prime}\), съдържащ \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\), или в съответния ъгъл между правите \(A^{\prime} D^{\prime}\) и \(B^{\prime} C^{\prime}\). От забележка 2 следва, че \(H\) съвпада с псевдоцентъра на четириъгълника \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\). Така се убедихме, че ортоцентърът \(H\) на \(A B C D\) съвпада с псевдоцентъра на \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\).

Накрая ще приведем без доказателство още едно свойство на ортоцентъра на изпъкнал четириъгълник, което има интересно приложение.

Свойство 6. Нека \(A B C D\) изпъкнал четириъгълник, като \(T=A C \cap B D\), \(U=A D \cap B C, V=A B \cap D C\). Ортоцентърьт \(H\) на \(A B C D\) лежи на окръжността, определена от точките \(U, V\) и \(T\).

От това свойство следва интересният факт, че точката на Фойербах в триъгълника (допирната точка на вписаната и Ойлеровата окръжност) лежи на окръжността, определена от петите на ъглополовящите, но доказателството е обемисто, затова не го излагаме.

Накрая предлагаме няколко задачи за упражнение.

Задача 1. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, а \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) е неговият спрегнат четириъгълник. Да се докаже, че ортоцентърът на \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) съвпада с медицентъра на \(A B C D\).

Упътване: използвайте доказателството на теорема 6 и следствието след определение 5 от (Haimov, 2010).

Задача 2. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, за който \(O\) е псевдоцентърът му. Означаваме с \(P\) точката в полуравнината на правата \(A B\), съдържаща \(A B C D\) такава, че \(∢ P A B=∢ A C D\) и \(∢ P B A=∢ B D C\). Нека още правата \(B P\) пресича диагонала \(A C\) в точка \(M\), а правата \(A P\) пресича диагонала \(B D\) в точка \(N\). Да се докаже, че правата \(M N\) минава през псевдоцентъра \(O\) на \(A B C D\).

Задача 3. Нека \(A B C D\) е изпъкнал четириъгълник, за който \(O\) е псевдоцентърът му, а \(r_{A}\) и \(r_{C}\) са радиусите на описаните около триъгълниците \(A O B\) и \(C O D\) окръжности. С \(M\) означаваме пресечната точка на симетралата на страната \(A B\) с правата \(C D\), а с \(N\)– пресечната точка на симетралата на \(C D\) с правата \(A B\). Да се докаже, че \(\tfrac{O M}{O N}=\tfrac{r_{A}}{r_{C}}\).

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2011). Orthocenter of inscribed quadrilateral, Mathematics Plus, 4, 63-69. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2011). Ортоцентър на вписан четириъгълник, Математика плюс, 4, 63 – 69.]

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012). Around the orthocenter in the plain and the space. Sofia: Arhimedes 2000. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2012). Около ортоцентъра в равнината и пространството. София: Архимед 2000. ]

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2013). Several properties of the quadrilateral, determined by its circumscribed conics, Mathematics Plus, 1, 57 – 66. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2013). Няколко свойства на четириъгълника, определени от описаните му централни конични сечения, Математика плюс, 1, 57 – 66.]

Grozdev, S., Nenkov, V. & Haimov, H. (2013). Eight lines through a notable point of the quadrilateral, Mathematics Plus, 4, 63 – 65. [Гроздев, С., В. Ненков & Х. Хаимов. (2013). Осем линии през една забележителна точка за четириъгълник, Математика плюс, 4, 63 – 65.]

Nenkov, V. (2008). Four Euler circles through a point, Mathematics Plus, 2, 60 – 61. [Ненков, В. (2008). Четири Ойлерови окръжности през една точка, Математика плюс, 2, 60 – 61.]

Nenkov, V. (2010). A set of the centers of conics inscribed in a quadrilateral, Mathematics and Informatics, 4, 24 – 30. [Ненков, В. (2010). Множество на центровете на вписаните в четириъгълник конични сечения, Математика и информатика, 4, 24 – 30.]

Nenkov, V. (2011). A set of the centers of conics circumscribed for a quadrilateral, Mathematics and Informatics, 4, 15 – 20. [Ненков, В. (2011). Множество на центровете на описаните за четириъгълник конични сечения, Математика и информатика, 4, 15 – 20.]

Haimov, H. (1997). The epicenter – a notable point for the quadrilateral, Mathematics, 1. [Хаимов, Х. (1997). Епицентърът – забележителна точка в четириъгълника, Математика, 1. ]

Haimov, H. (1999). One more notable point in the quadrilateral, Mathematics, 6. [Хаимов, Х. (1999). Още една забележителна точка в четириъгълника, Математика, 6.]

Haimov, H. (2001). The Brocardians – notable points in the quadrilateral, Mathematics and Informatics, 6. [Хаимов, Х. (2001). Брокарианите – забележителни точки в четириъгълника, Математика \(u\) информатика, 6.]

Haimov, H. (2005). Brocardian points of a quadrilateral, Mathematics Plus, 5. [Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълник, Математика плюс, 5. ]

Haimov, H. (2010). Geometry of the quadrilateral, Mathematics Plus, 2, 28 – 50. [Хаимов, Х. (2010). Геометрия на четириъгълника, Математика плюс, 2, 28 – 50. ]

Georgieva, M. & Grozdev, S. (2016). Morfodinamikata za razvitieto na noosfernia intelekt. (4 \({ }^{\text {th }}\) ed.). Sofia: Publ. House “Iztok-Zapad”. 327 pages [Георгиева М. Гроздев С. (2016). [Морфодинамиката за развитието на ноосферния интелект. (4-то изд.) София: Издателство „Изток – Запад“.]

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE, 295 pages.

Malcheski, R., Grozdev, S. & Anevska, K. (2015). Geometry of complex number, Sofia: Arhimedes 2000.