Резюме. Разгледана е една геометрична връзка между полиноми с корени в три колинеарни точки и корените на съответните им производни посредством едно множество от елипси, породени от корените на полинома.

Ключови думи: polynomial; derivative; ellipse; circle; vertices; centroid

1. Увод. Известна е една геометрична връзка между корените на полиномите от трета степен с колинеарни корени и корените на съответните им производни. Според тази връзка корените на производната се намират във върховете на малката ос на една специална елипса, определена от върховете на равностранните триъгълници, породени от дадените колинеарни точки (Grozdev & Nenkov, 2018 a). Възможно е в същите три точки да се намират всички корени на някой полином от степен, по-висока от трета. Затова възниква въпросът за възможността да съществува подобна геометрична връзка между полином с кратни корени в три колинеарни точки и корените на неговата производна. Оказва се, че подобна геометрична връзка съществува. Нещо повече, като се забележат допълнителни елементи, тя дава възможност да се вникне по-дълбоко във връзката, изложена в (Grozdev & Nenkov, 2018 a).

2. Множество от концентрични елипси с общи върхове. Разкриването на търсените геометрични връзки между полиноми с корени в три колинеарни точки и съответните им производни са свързани с едно специално множество от елипси.

Върху правата \(l\) разглеждаме три произволни и различни точки \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\). Нека \(M_{12}, M_{23}\) и \(M_{31}\) са такива точки съответно от отсечките \(A_{1} A_{2}\), \(A_{2} A_{3}\) и \(A_{3} A_{1}\), за които са изпълнени равенствата:

(1) \(\overline{M_{12} A_{1}}: \overline{M_{12} A_{2}}=-k_{1}: k_{2}, \overline{M_{23} A_{2}}: \overline{M_{23} A_{3}}=-k_{2}: k_{3}, \overline{M_{31} A_{3}}: \overline{M_{31} A_{1}}=-k_{3}: k_{1}\),

където \(k_{1}, k_{2}\) и \(k_{3}\) са естествени числа.

През точките \(M_{12}, M_{23}\) и \(M_{31}\) построяваме съответно правите \(m_{12}, m_{23}\) и \(m_{31}\), които са перпендикулярни на \(l\). Върху правите \(m_{12}, m_{23}\) и \(m_{31}\) отбелязваме съответно двойките точки \(\left(P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}\right),\left(P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}\right)\) и \(\left(P_{31}^{\prime}, P_{31}^{\prime \prime}\right)\), така че да са изпълнени равенствата:

(2) \(M_{12} P_{12}^{\prime}=M_{12} P_{12}^{\prime \prime}=\tfrac{m}{k_{1}} A_{1} M_{12}, M_{23} P_{23}^{\prime}=M_{23} P_{23}^{\prime \prime}=\tfrac{m}{k_{2}} A_{2} M_{23}, M_{31} P_{31}^{\prime}=M_{31} P_{31}^{\prime \prime}=\tfrac{m}{k_{3}} A_{3} M_{31}\),

където \(m\) е произволно реално положително число (фиг. 1).

Така взетите точки \(P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}, P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}, P_{31}^{\prime}, P_{31}^{\prime \prime}\) (фиг. 1) удовлетворяват следната

Лема. За всяко \(m \gt 0\) точките \(P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}, P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}, P_{31}^{\prime}, P_{31}^{\prime \prime}\) лежат върху една елипса \(\bar{k}(m)\), два от върховете на която са постоянни точки от правата \(l\) (фиг. 2) .

Доказателство. Разглеждаме координатна система с абсцисна ос по правата \(l\) и произволно координатно начало \(O\). Нека спрямо въведената координатна система абсцисите на точките \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\) са съответно \(a_{1}, a_{2}\) и \(a_{3}\), , т.е. координатите има са: \(A_{1}\left(a_{1}, 0\right), A_{2}\left(a_{2}, 0\right), A_{3}\left(a_{3}, 0\right)\) ( (фиг. 1). От дефиниционните равенства (1) се получават векторните релации

\[ \overrightarrow{O M_{12}}=\tfrac{k_{2} \overrightarrow{O A_{1}}+k_{1} \overrightarrow{O A_{2}}}{k_{1}+k_{2}}, \overrightarrow{O M_{23}}=\tfrac{k_{3} \overrightarrow{O A_{2}}+k_{2} \overrightarrow{O A_{3}}}{k_{2}+k_{3}}, \overrightarrow{O M_{31}}=\tfrac{k_{1} \overrightarrow{O A_{3}}+k_{3} \overrightarrow{O A_{1}}}{k_{3}+k_{1}} \] Оттук следва, че координатите на точките \(M_{12}, M_{23}\) и \(M_{31}\) са следните:

(3) \(M_{12}\left(\tfrac{k_{2} a_{1}+k_{1} a_{2}}{k_{1}+k_{2}}, 0\right), M_{23}\left(\tfrac{k_{3} a_{2}+k_{2} a_{3}}{k_{2}+k_{3}}, 0\right), M_{31}\left(\tfrac{k_{1} a_{3}+k_{3} a_{1}}{k_{3}+k_{1}}, 0\right)\).

От последните координати за уравненията на правите \(m_{12}, m_{23}\) и \(m_{31}\) по-лучаваме съответно

(4) \(m_{12}: x=\tfrac{k_{2} a_{1}+k_{1} a_{2}}{k_{1}+k_{2}}, m_{23}: x=\tfrac{k_{3} a_{2}+k_{2} a_{3}}{k_{2}+k_{3}}, m_{31}: x=\tfrac{k_{1} a_{3}+k_{3} a_{1}}{k_{3}+k_{1}}\).

Като използваме координатите (3) за уравненията на окръжностите \(k_{12}\), \(k_{23}\) и \(k_{31}\), които имат за центрове точките \(M_{12}, M_{23}\) и \(M_{31}\) и радиуси съответно \(\tfrac{m}{k_{1}} A_{1} M_{12}, \tfrac{m}{k_{2}} A_{2} M_{23}\) и \(\tfrac{m}{k_{3}} A_{3} M_{31}\), получаваме:

(5) \(\begin{gathered} k_{12}:\left(x-\tfrac{k_{2} a_{1}+k_{1} a_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}+y^{2}=\tfrac{m^{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}}{\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}}, k_{23}:\left(x-\tfrac{k_{3} a_{2}+k_{2} a_{3}}{k_{2}+k_{3}}\right)^{2}+y^{2}=\tfrac{m^{2}\left(a_{2}-a_{3}\right)^{2}}{\left(k_{2}+k_{3}\right)^{2}} \\ k_{31}:\left(x-\tfrac{k_{1} a_{3}+k_{3} a_{1}}{k_{3}+k_{1}}\right)^{2}+y^{2}=\tfrac{m^{2}\left(a_{3}-a_{1}\right)^{2}}{\left(k_{3}+k_{1}\right)^{2}} \end{gathered}\)

От уравненията (4) и (5) за координатите на пресечните точки \(\left\{P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}\right\}=k_{12} \cap m_{12},\left\{P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}\right\}=k_{23} \cap m_{23}\) и \(\left\{P_{31}^{\prime}, P_{31}^{\prime \prime}\right\}=k_{31} \cap m_{31}\) получаваме:

(6) \(\begin{aligned} & P_{12}^{\prime}\left(\tfrac{k_{2} a_{1}+k_{1} a_{2}}{k_{1}+k_{2}}, \tfrac{m\left|a_{1}-a_{2}\right|}{k_{1}+k_{2}}\right), P_{12}^{\prime \prime}\left(\tfrac{k_{2} a_{1}+k_{1} a_{2}}{k_{1}+k_{2}},-\tfrac{m\left|a_{1}-a_{2}\right|}{k_{1}+k_{2}}\right) \\ & P_{23}^{\prime}\left(\tfrac{k_{3} a_{2}+k_{2} a_{3}}{k_{2}+k_{3}}, \tfrac{m\left|a_{2}-a_{3}\right|}{k_{2}+k_{3}}\right), P_{23}^{\prime \prime}\left(\tfrac{k_{3} a_{2}+k_{2} a_{3}}{k_{2}+k_{3}},-\tfrac{m\left|a_{2}-a_{3}\right|}{k_{2}+k_{3}}\right) \\ & P_{31}^{\prime}\left(\tfrac{k_{1} a_{3}+k_{3} a_{1}}{k_{3}+k_{1}}, \tfrac{m\left|a_{3}-a_{1}\right|}{k_{3}+k_{1}}\right), P_{31}^{\prime \prime}\left(\tfrac{k_{1} a_{3}+k_{3} a_{1}}{k_{3}+k_{1}},-\tfrac{m\left|a_{3}-a_{1}\right|}{k_{3}+k_{1}}\right) \end{aligned}\)

С непосредствено заместване на координатите (6) лесно се установява, че точките \(P_{12}^{\prime}, P_{12}^{\prime \prime}, P_{23}^{\prime}, P_{23}^{\prime \prime}, P_{31}^{\prime}, P_{31}^{\prime \prime}\) лежат на крива от втора степен \(\bar{k}(m)\), чието уравнение е следното:

(7) \(\begin{array}{ll} \bar{k}(m): & m^{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right) x^{2}-m^{2}\left[\left(k_{2}+k_{3}\right) a_{1}+\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right) a_{3}\right] x+ \\ & +k_{1} k_{2} k_{3} y^{2}+m^{2}\left(k_{1} a_{2} a_{3}+k_{2} a_{3} a_{1}+k_{3} a_{1} a_{2}\right)=0 . \end{array}\)

Сега да запишем уравнението(7) по следния начин

(8) \(\left[x-\tfrac{\left(k_{2}+k_{3}\right) a_{1}+\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right) a_{3}}{2\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right)}\right]^{2}+\tfrac{k_{1} k_{2} k_{3}}{m^{2}\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right)} \cdot y^{2}=q\),

където \(q=\tfrac{\left[\left(k_{2}+k_{3}\right) a_{1}+\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right) a_{3}\right]^{2}-\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right)\left(k_{1} a_{2} a_{3}+k_{2} a_{3} a_{1}+k_{3} a_{1} a_{2}\right)}{4\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right)^{2}}\).

Ако \(q \gt 0\), равенството (8) показва, че \(\bar{k}(m)\) е елипса. В противен случай от (8) следва, че \(\bar{k}(m)\) е имагинерна елипса или две пресичащи се комплексно спрегнати прави. Тъй като тези случаи нямат геометричен смисъл, по-нататък ще разглеждаме само случаите, в които (7) е уравнение на елипса \(\bar{k}(m)\). Освен това от (8) се вижда, че центърът \(S\) на елипсата \(\bar{k}(m)\) има следните координати

(9) \[ S\left(\tfrac{\left(k_{2}+k_{3}\right) a_{1}+\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right) a_{3}}{2\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right)}, 0\right) . \]

От (7) при \(y=0\) се вижда, че елипсата \(\bar{k}(m)\) има върхове \(V_{1}\) и \(V_{2}\) върху правата \(l\) (фиг. 2), координатите на които удовлетворяват уравнението

(10) \(\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right) x^{2}-\left[\left(k_{2}+k_{3}\right) a_{1}+\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right) a_{3}\right] x+k_{1} a_{2} a_{3}+k_{2} a_{3} a_{1}+k_{3} a_{1} a_{2}=0\)

От (10) следва, че тези върхове не зависят от \(m\), което означава, че те са постоянни точки от правата \(l\) за всяка елипса \(\bar{k}(m)\) (фиг. 2). С това лемата е доказана.

Доказаната лема показва, че когато \(k_{1}, k_{2}\) и \(k_{3}\) остават постоянни, а стойността на \(m\) се променя, се получава множество от елипси с общи върхове (фиг. 2). От всичките тези елипси една е окръжност. Тя се получава при някоя специална стойност \(m_{0}\) на \(m\). Кривата \(\bar{k}(m)\) е окръжност \(\bar{k}_{0}\) тогава и само тогава, когато коефициентите пред \(x^{2}\) и \(y^{2}\) са равни. Така получаваме, че \(\bar{k}(m)\) е окръжност \(\bar{k}_{0}\) само когато \(m=m_{0}=\sqrt{\tfrac{k_{1} k_{2} k_{3}}{k_{1}+k_{2}+k_{3}}}\). Окръжността \(\bar{k}_{0}\), както всички останали елипси на разглежданото множество, пресича правата \(l\) в постоянните точки \(V_{1}\) и \(V_{2}\), които са решенията на (10) .

В (Grozdev & Nenkov, 2018 a) е разгледана специална елипса, която се получава при \(m=\sqrt{3}\) и \(k_{1}=k_{2}=k_{3}=1\). Интересно е да се забележи такава специална елипса и в случаите, когато \(k_{1}, k_{2}\) и \(k_{3}\) са произволни естествени числа. Такива специални елипси, които обобщават разгледания в (Grozdev & Nenkov, 2018 a) случай, могат да се получат чрез различни формуи \(m^{\prime \prime}=\tfrac{\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right) \sqrt{k_{1}+k_{2}+k_{3}}}{3}\) ли, в които \(m\) е функция на \(k_{1}, k_{2}\) (прии \(k_{3}\) \(k_{1}=k_{2}=k_{3}=1\) . Например \(m^{\prime}=\tfrac{\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right) \sqrt{3}}{3}\) се получава случаят от (Grozdev & Nenkov, 2018 a)). Най-естествената стойност на \(m\), при която се получава специална елипса в разглежданото множество от елипси, е \(m=\tfrac{1}{m_{0}}=\sqrt{\tfrac{k_{1}+k_{2}+k_{3}}{k_{1} k_{2} k_{3}}}\), тъй като тя е реципрочна на стойността, при която се получава окръжността \(\bar{k}_{0}\) (най-специалната от всички елипси, минаващи през точките \(V_{1}\) и \(V_{2}\) ). Така получаваме специалната елипса \(\bar{k}_{1}\).

Особен случай на кривата \(\bar{k}_{1}\) се получава, когато \(k_{1}=k_{2}=k_{3}=p\). Триъгълниците \(A_{1} A_{2} P_{12}^{\prime}, A_{1} A_{2} P_{12}^{\prime \prime}, A_{2} A_{3} P_{23}^{\prime}, A_{2} A_{3} P_{23}^{\prime \prime}, A_{3} A_{1} P_{31}^{\prime}, A_{3} A_{1} P_{31}^{\prime \prime}\) в този случай са равностранни, а уравнението (7) преминава в следното

\[ \overline{k_{1}}: 9 x^{2}-6\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right) x+p^{4} y^{2}+3\left(a_{2} a_{3}+a_{3} a_{1}+a_{1} a_{2}\right)=0 . \]

3. Връзка между корените на производната и общите върхове на множеството от елипси. Сега ще покажем, че върховете \(V_{1}\) и \(V_{2}\) на разгледаното множество от елипси са търсената връзка между споменатите в началото по-линоми и техните производни. По-точно в сила е следната:

Теорема. Ако точките \(A_{1}, A_{2} \cup A_{3}\) лежат на една права \(l\), а \(P(z)\) e полином от степен \(n=k_{1}+k_{2}+k_{3}\) на комплексна променлива с комплексни коефициенти и има \(k_{j}\) кратен корен в точката \(A_{j}(j=1,2,3)\), то производната \(P'(z)\) на \(P(z)\) има корени в общите върхове на елипсите \(\bar{k}(m)\) .

Доказателство. Разглеждаме Гаусова координатна система с реална ос по правата \(l\). Спрямо тази координатна система афиксите \(a_{1}, a_{2}\) и \(a_{3}\), съответно на точките \(A_{1}, A_{2}\) и \(A_{3}\), са реални числа. Ако \(P(z)\) е полином, който притежава свойствата, описани в теоремата, той се представя по следния начин:

\[ P(z)=a\left(z-a_{1}\right)^{k_{1}}\left(z-a_{2}\right)^{k_{2}}\left(z-a_{3}\right)^{k_{3}} . \]

Следователно неговата производна \(P^{\prime}(z)\) е следната

\[ P^{\prime}(z)=a\left(z-a_{1}\right)^{k_{1}-1}\left(z-a_{2}\right)^{k_{2}-1}\left(z-a_{3}\right)^{k_{3}-1} U(z){ }^{6} \] където

(11) \( U(z)=\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}\right) z^{2} -\left[\left(k_{2}+k_{3}\right) a_{1}+\left(k_{3}+k_{1}\right) a_{2}+\left(k_{1}+k_{2}\right) a_{3}\right] z+k_{1} a_{2} a_{3}+k_{2} a_{3} a_{1}+k_{3} a_{1} a_{2}=0 . \)

Тъй като уравнението (10) и полиномът \(U(z)\) от (11) имат едни и същи корени, то получаваме твърдението на теоремата.

Полиномът \(P^{\prime}(z)\) има \(k_{j}-1\) кратен корен във върха \(A_{j}(j=1,2,3)\) (Genov, Mihovski & Mollov, 1991), а останалите два корена се описват от токущо доказаната теорема. По този начин получаваме пълна геометрична картина на корените на \(P^{\prime}(z)\).

Ако \(P(z)=P(x)\) е полином с реални коефициенти на реална променлива, можем да представим геометрично резултатите, формулирани в теоремата. На фиг. 3 е показан случай при \(k_{1}=2, k_{2}=3\) и \(k_{3}=4\), а на фиг. 4 имаме случай, при който \(k_{1}=k_{2}=k_{3}=3\).

Като обединим резултатите, които ни дава доказаната тук теорема за полиноми с колинеарни корени, и резултатите, съдържащи се в (Grozdev & Nenkov, 2018 b), отнасящи се до полиноми с корени във върховете на триъгълник, можем да заключим, че са намерени геометрични връзки между полином, всички корени на който се намират в три точки, и неговата производна.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Balk, M., G. Balk & A. Poluhin (1988). Real applications of imaginary numbers. Kiev: Radjanskaja Shkola. [Балк, М., Г. Балк & А. Полухин (1988). Реальные применения мнимых чисел. Киев: Радянськая школа.]

Genov, G., S. Mihovski & T. Mollov (1991). Algebra with Number theory. Sofia: Nauka I Izkustvo. [Генов, Г., С. Миховски & Т. Моллов (1991). Алгебра с теория на числата. София: Наука и изкуство.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018 a). Polynomials of third degree with collinear roots. Mathematics and Informatics, 3, 283 – 293. [Гроздев, С. & В. Ненков (2018 a). Полиноми от трета степен с колинеарни корени. Математика и информатика, 3, 283 – 293.]

Grozdev, S. & V. Nenkov (2018 b). Polynomials of forth degree with roots in the vertices of parallelogram. Mathematics and Informatics, 3, 277 – 282. [Гроздев, С. & В. Ненков. (2018 b). Полиноми от четвърта степен с корени във върховете на успоредник. Математика и информатика, 3, 277 – 282.]

Mateev, A. (1977). Projective geometry. Sofia: Nauka I Izkustvo. [Матеев, А. (1977). Проективна геометрия. София: Наука и изкуство.]

Markushevich, A. & L. Markushevich (1980). Introduction to the Theory of analytic functions. Sofia: Nauka I Izkustvo. [Маркушевич, А. & Л. Маркушевич (1980). Увод в теорията на аналитичните функции. София: Наука и изкуство.]

Nenkov, V. (1998). Conics inscribed in a triangle. Mathematics and Informatics, 5, 54 – 59. [Ненков, В. (1998). Конични сечения, вписани в триъгълник. Математика и информатика, 5, 54 – 59.]

Nenkov, V. (2010). A relation between the non-real roots and a real ellipse, Mathematics Plus, 2, 61 – 63. [Ненков, В. (2010). Една връзка между нереални корени и реална елипса, Математика плюс, 2, \(61-63\).]

Paskalev, G. & I. Chobanov (1985). Notable points in the triangle. Sofia: Nauka I Izkustvo. [Паскалев, Г. & И. Чобанов (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.]

Prasolov, V. (1986). Problems in Geometry. Part II. Moscow: Nauka. [Прасолов, В. (1986). Задачи по планиметрии. Часть ІІ. Москва: Наука.]