Резюме. В статията е предложен модел за решаване на линейни уравнения с помощта на Excel. Корените на уравненията се изчисляват въз основа на коефициенти, взети от линията на тренда. С несложни автоматизации се въвежда работа с обикновени дроби. Споделя се практически опит от използването на модела.

Ключови думи: problem solving; equation; numbers; tables; trendline; macros

Увод. Един от начините за повишаване ефективността на обучението по математика е използването на информационни технологии. За помощно средство обикновено се препоръчва GeoGebra. Без да отричаме достойнствата на геометричната част на GeoGebra, считаме, че за решаване на алгебрични задачи с ученици средата не е удобна. Липсата на междинни, „подкрепящи“ решението резултати поставя под съмнение афишираните възможности за „проучване, изследване, анализ и създаване на хипотези“. Освен това координатите на пресечните точки са десетични дроби – факт, който значително ограничава кръга на решаваните задачи. В другата крайност се намира широко рекламираното приложение за Android – Photomath, което „решава алгебрични задачи направо от учебника“. Като следствие от техническите видеоограничения при смартфоните тук липсва графичната част. Шокиращо е следното обявление, което четем в анотациите към програмата: „Фотомат“ е за ученици, които не обичат математика, и определено няма да се хареса на учителите“.

Днес в професионалната си дейност учителят разполага най-малко с проектор, компютър и програма, стара колкото самия компютър – Excel. Excel е втората по използваемост програма в света и се изучава в средното училище от V клас. Но за математически цели предимно се ползва като калкулатор с множество функции. По наше мнение с добавяне на несложни автоматизации Excel може да се превърне в надежден помощник на учителя при онагледяване процеса на решаване на алгебрична задача. В настоящата статия на базата на Excel построяваме модел за решаване на линейни уравнения – материал, който се изучава в VI и VII клас. В случай че занятията се провеждат в компютърен кабинет, моделът позволява на ученика да експериментира и лично да се убеди в правилността на извършените действия; вкъщи, при писане на домашни замества учителя, служи за самоконтрол и получаване на самооценка.

Табличен метод

За таблично решаване на линейно уравнение от вида \(c x+d=0\) \((c \neq 0)\) ще разгледаме по-общия случай – линейната функция \(y=c x+d\) \((c \neq 0)\). Преместваме всички членове на уравнението в едната страна и приравняваме получения израз на нула. Разполагаме последователни стойности на \(x(x \in z)\) в една колонка, в съседна – изчислените стойности на функцията \(y\) и търсим тази стойност на \(x\), за която функцията се анулира.

Задача 1. Да се реши уравнението: \(\tfrac{2 x}{15}+1=\tfrac{3 x}{10}\).

Формули

В колонка А въвеждаме изброени стойности за \(x\).

В клетка В2 превеждаме уравнението от математически на компютърен език (Excel):

B \(2 \longleftarrow=2 *\) A \(2 / 15+1-3 *\) A \(2 / 10\)

В3 .. В9←Copy от В2

Намираме \(x=6\).

Очевидни са недостатъците на чисто табличния метод.

1. Неизвестната величина се въвежда като адрес на клетка.

2. Понякога се налага предефиниране на интервала за \(x\).

3. Методът работи само ако коренът е цяло число.

4. Коефициентите в основния (опростен) вид на уравнението в тренда са десетични дроби.

Подробно ще се спрем на възможностите за отстраняване на посочените недостатъци.

Строго погледнато, за построяване на линейната функция са достатъчни две стойности на \(x\) от множеството на рационалните числа. Значението на \(x\), за което функцията се анулира, може да се получи от аналитичния вид на тренда. В Excel този вид се осигурява от две функции: Slope, която връща коефициента \(c\) (наклон на линията) и Intercept – съответно свободния член \(d\). Неизвестната величина се намираме, като разделим \(-d\) на \(c\).

Задача 2. Да се реши уравнението: \(\tfrac{x+7}{2}+\tfrac{x-9}{7}=2\).

Допълнителни формули:

C2 ←= Slope (B2..B4; A2..A4)

D2 ←= Intercept (B2..B4; A2..A4)

A4 ←= -D2/C2

Забелязваме, че с по-малко входни данни получаваме по-добри резултати: интервали не са необходими, коефициентите са десетични дроби, а коренът – безкрайна периодична дроб.

Таблица плюс макрос

За по-нататъшна автоматизация използваме вградения в Excel език за програмиране VBA (Visual Basic for Applications). Настройката и автоматизацията на таблицата са добро упражнение по програмиране за ученици, изучаващи информатика в IX и X клас. Затова ще дадем разяснения и върху използвания програмен код.

Запомнянето на инструкциите в макрос, както и тяхното редактиране, се извършва в менюто View – Macros. Стартирането на макроса (Ctrl+r) осигурява същия резултат от фиг. 2, но само с едно въвеждане на оригиналното условие в клетка В2.

VBA помага и за запазване на обикновените дроби в основния вид на уравнението и в корена. За преобразуване на десетична дроб в обикновена тук се придържаме към следния прост алгоритъм: в двоен цикъл по i и j (например от 1 до 50), всички възможни отношения на i и j се сравняват с абсолютните стойности, върнати от Slope и Intercept. Вземат се тези отношения, които се доближават най-плътно до тях. Ако е възможно, коефициентите c и d допълнително се съкращават на НОД, намерен по алгоритъма на Евклид:

SubЕvklid(a, b) a и b са е'стествени числа

DoWhile (a <> b)

If a > b Then a = a – b

If b > a Then b = b – a

Loop

EndSub

Решението на зад. 2 сега изглежда по следния начин:

Можем да запишем точния резултат: Опростен вид на уравнението от тренда: \(\tfrac{9}{14} x+\tfrac{3}{14}=0\).

Основен вид, получен след допълнително съкращаване: \(3 x+1=0\). Отговор: \(x=-\tfrac{1}{3}\).

За машинното решение сложността на израза е без значение.

Задача 3. Да се реши уравнението: \(\tfrac{2 x-9}{-6}-x=\tfrac{9-x}{10}+\tfrac{5 x+3}{-15}\).

Резултати

Опростен вид на уравнението от тренда: \(-\tfrac{9}{10} x+\tfrac{4}{5}=0\).

Основен вид, получен след допълнително съкращаване: \(-9 x+8=0\).

Отговор:, \(x=\tfrac{8}{9}\).

Задача 4. Да се реши уравнението: \(\tfrac{7}{15}\left(3 x-\tfrac{1}{4}\right)+\tfrac{9}{20}\left(\tfrac{2 x}{9}+5\right)=\tfrac{3 x}{5}\).

Резултати

Опростен вид на уравнението от тренда: \(\tfrac{9}{10} x+\tfrac{32}{15}=0\).

Отговор: \(x=-\tfrac{64}{27}=-2 \tfrac{10}{27}\).

Решаване на уравнение от вида \((a x+b)(c x+d)=0(a \neq 0\) и \(c \neq 0)\)

Произведението на два или повече множителя е равно на нула, когато поне един от тях е равен на нула. Разделяме задачата на две линейни уравнения, които решаваме поотделно. Накрая обединяваме получените решения:

Задача 5. Да се реши уравнението: \((1-0,5 x)\left(2 x+\tfrac{1}{3}\right)\)

В случая и двата множителя са в основен вид – факт, който се потвърждава от резултатите.

От тренда: \(--+1=0\). От тренда: \(2 x+\tfrac{1}{3}=0\).

Отговор: \(x_{1}=2\) и \(x_{2}=-\tfrac{1}{6}\).

Решаване на модулни линейни уравнения от вида \(|c x+d|=m\) (\(m \gt 0\) и \(c \neq 0\)).

Уравнение от този вид има два корена. Графиката му представлява два лъча, които пресичат абсцисата в две точки. Х координатите на тези точки можем да намерим, като изследваме функцията за анулиране при изменение на независимата променлива в зададен интервал. За практически цели подходящ се оказа интервал от – 50 до 50 със стъпка на изменение 0,5.n = 20 ‘n може да се вземе и от клетка For i = -n to n step 0.5 do

Всяка стойност на i заместваме x в условието на уравнението и ако открием 0 или смяна на знака на функцията, текущото и предишното значение на i се запомнят в клетки А2 и А3. Тогава Slope и Intercept сработват по същия начин както в по-горе решените задачи. Коренът се получава автоматично в А4. Цикълът приключва след регистриране на втора x координата.

Next

Задача 6. Да се реши уравнението: \(\tfrac{|4+3 x|}{10}=\tfrac{3}{5}-\tfrac{|4+3 x|}{5}\).

Резултати

От тренда на левия лъч: \(-\tfrac{9}{10} x+\tfrac{9}{5}=0\).

Основен вид: \(-x-2=0\).

Отговор: \(x_{1}=-2\)

От тренда на десния лъч: \(\tfrac{9}{10} x+\tfrac{3}{5}=0\).

Основен вид: \(3 x+2=0\).

Отговор: \(x_{2}=-\tfrac{2}{3}\).

Заключение

Пред компютър ученикът се преобразява. Въпрос на престиж е получаването на верен отговор. Работата с модела не изключва водене на записки в тетрадка. Първоначално Excel е забранен и задачата се решава писмено. След изтичане на контролно време Excel се отключва и извършва проверка. Ученикът има възможност да експериментира и да поправи допуснатите грешки. По този сценарий технологията беше използвана в VII клас, в СУ „П. Волов“ – Шумен. При всички случаи беше забелязан повишен интерес към изучавания материал.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Bizova-Laleva, V. (2012). Parametri, tablici I dinamichni grafiki. Mathematics and Informatics, 55 (6), 549 – 561. [Бизова-Лалева, В. (2012). Параметри, таблици и динамични графики. Математика \(u\) информатика, 55 (6) , 549 – 561.]

Grozdev, S. & D. Dekov (2013). Mathematics with Computer. Mathematics and Informatics, 56 (2), 123 – 132. [Гроздев, С. & Д. Деков (2013). Математика с компютър. Математика и информатика, 56 (2), 123 – 132.]

Grozdev, S. & D. Dekov (2013). Еkstremalni zadachi v srednoto uchilishte s pomoshta na komputerni tablici. Mathematics and Informatics, 56 (4), \(351-367\). [Гроздев, С. & Д. Деков (2013). Екстремални задачи в средното училище с помощта на компютърни таблици. Математика и информатика, 56 (4), 351 – 367.]

Penev, P. & D. Stefanova (2015). Samostojatelno reshavane na zadachi s Excel. Mathematics and Informatics, 58 (2), 149 – 156 [Пенев, П. & Д. Стефанова (2015). Самостоятелно решаване на задачи с Excel. Математика и информатика, 58 (2), 149 – 156.]

Rangelova, P., K. Bekriev, L. Dilkina & N. Ivanova (1999). Sbornik po matematika 7 klas. Plovdiv: Letera. [Рангелова, П., К. Бекриев, Л. Дилкина & Н. Иванова (1999). Сборник по математика VII клас. Пловдив: Летера.]