Резюме. Статията е продължение на „Решаване на линейни уравнения с Excel“ от бр. 2/2018 г. на сп. „Математика и информатика“ и по същество е развитие на описания в нея модел. Въвеждат се нови техники за изследване на дефиниционни множества.

Ключови думи: problem solving; equation; numbers; tables; trendline; macros

Увод

Коефициентите на линейния тренд съдържат потенциал за решаване и на нелинейни уравнения. В училищния курс по математика за VIII и IX клас това са квадратните и дробните рационални уравнения. Опростяването на рационалните изрази, които участват в тези уравнения, понякога води до промяна на техните дефиниционни множества (ДМ) и като следствие – до загуба на корен или до поява на чужд корен в решението. Обикновено търсим стойности на \(x\), за които знаменателят на дробта се анулира, и накрая правим проверка дали намерените корени са допустими. Но съществуват задачи, при които определянето на ДМ е част от решаването им. Експерименталната среда на Excel и вграденият в нея Visual Basic позволяват тези действия да бъдат автоматизирани.

Разделяй и владей

Разглеждаме уравнението като частен случай на съответната функция. Характерните точки на функцията изследваме в избрана област (например от –50 до +50), разбивайки областта на части (интервали). Тук в понятието „характерна точка“ включваме и корените на уравнението.

Първи случай. Функцията е дефинирана в краищата на интервала и сменя знака: построяваме права по точки с координати за \(x\) краищата на интервала. С намерената от линейния тренд междинна \(x\) координата заместваме границата на интервала, чиято функция е с по-голямо абсолютно отклонение, и отново построяваме линията на тренда (изправяме кривата). Поставена в машинен цикъл, операцията неминуемо води до стесняване на интервала и в крайна сметка – до анулиране на функцията или до изчислителна грешка #DIV0! (Деление на нула).

Пример 1. Да се реши уравнението: \(3 x^{2}+11 x+6=0\).

В един от интервалите цикълът с постусловие „анулиране на функцията“ е открил корен \(x_{1}=-\tfrac{2}{3}\). Клетки А2 и А3 са крайни \(X\) координати, В2 и В3 – съответните \(Y\) координати, А4 и В4 – работни клетки, С2 и D2 – коефициенти на линейния тренд \(y=c x+d(c \neq 0)\), получени от зона А2.. В3, Е2 е изчислената стойност на \(x\left(x=-\tfrac{d}{c}\right)\).

Формули:

C2 ←=Slope(B2..B3;A2..A3)

D2 ←=Intercept(B2..B3;A2..A3)

E2 ←=-D2/C2

A4 ←=E2

Ето първите две (от общо пет) итерации в основния цикъл:

След първата итерация е коригирана клетка А2, понеже съдържа променлива, чиято функция е с по-голямо абсолютно отклонение. В третата итерация ще бъде коригирана клетка А3 и т.н.

Графично линейният тренд се мести към точка с координати \(\left[-\tfrac{2}{3} ; 0\right]\), докато накрая заеме позиция на права, максимално приближена до допирателната в тази точка. От теорията знаем, че ъгловият коефициент \(c\) на допирателната е равен на производната на функцията в тази точка. В нашия случай това е 7. За достатъчно малки нараствания на \(x\) твърдението може да се провери по формулата: \(y^{\prime}=\tfrac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=\tfrac{B 2-B 3}{A 2-A 3}\).

Аналогично основният цикъл открива втори корен \(x_{2}=-3\).

Ъгловият коефициент \(c\) е равен на \(-7,0003\). Имайки предвид симетрията на параболата спрямо оста \(x=\left(-3-\tfrac{2}{3}\right) / 2\), очакваме производна, равна на –7.

Появата на знаци след хилядните отдаваме на факта, че изчислението не е резултат от намиране на граница. Проверката показва, че тези знаци могат да бъдат игнорирани без загуба на точност. Окончателно: в точка \([-3 ; 0]\) имаме \(y^{\prime}=-7\).

Обобщената картина на казаното дотук изглежда по следния начин:

По експериментален път можем да намерим и екстремума (в случая минимум) на функцията. Линейният тренд в екстремалната точка е допирателна, успоредна на абсцисата (с нулев ъглов коефициент). Следователно търсим тренд, при който клетка С2 е с минимална стойност. Ето отговора на модела:

Извод: функцията има минимум \(y \approx-4,08333\) при \(x \approx-1,83333=-\tfrac{11}{6}\).

Естествено, квадратното уравнение в пример 1 може да бъде решено и чрез посимволно отделяне на коефициентите и проверка на дискриминантата.

\[ \text { Отг. } x_{1}=-\tfrac{2}{3} \text { и } x_{2}=-3 \text {. } \] Методът на интервалите обаче предоставя по-богати възможности за анализ.

Когато функцията прекъсва вътре в интервала, възниква изчислителна грешка „Деление на нула“ (#DIV0!).

Пример 2. Да се реши уравнението: \(\tfrac{x-3}{x-5}+\tfrac{1}{x}=\tfrac{x+5}{x(x-5)}\).

Резултатите показват, че 0 и 5 не са решения, въпреки че 5 анулира квадратното уравнение \(x^{2}-3 x-10=0\), получено след опростяване. Тук 5 е чужд корен.

Отг. \(x=-2\).

Втори случай. Функцията не е дефинирана в единия край на интервала.

Получаваме интересна ситуация, ако се върнем итерация назад. В приграничната зона линейният тренд ограничава функцията. Нейната загуба в единия край на интервала е сигурен индикатор, че в областта съществува асимптота. В горния пример правите \(x=0\) и \(x=5\) са вертикални асимптоти на функцията \(y=\tfrac{x-3}{x-5}+\tfrac{1}{x}-\tfrac{x+5}{x(x-5)}\). По-трудно откриваеми са хоризонталните и наклонените асимптоти.

Пример 3. Да се намерят асимптотите на кривата: \(y=\tfrac{3 x^{4}+1}{x^{3}}\).

Резултати от изследването на приграничните области:

Функцията има една вертикална асимптота \(x=0\).

Коефициентът \(d\) е достатъчно малък и може да се пренебрегне.

Коефициентът \(c\) е равен на 3. Следователно функцията има наклонена асимптота \(y=3 x\).

Теорията потвърждава получените резултати:

\[ \mathrm{c}=\lim _{x \rightarrow \infty} \tfrac{y}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \tfrac{3 x^{4}+1}{x^{4}}=3 \text { и } \mathrm{d}=\lim _{x \rightarrow \infty}[y-c x]=0 . \]

Заключение

При по-сложните уравнения подвеждащите решения са заложени именно в дефиниционните множества. Задачата започва с определяне на ДМ и завършва с проверка за принадлежност на корен към ДМ. Това са демотивиращи действия, понякога по-трудоемки от самите преобразувания. Описаните в статията техники за анализ на ДМ биха помогнали на ученика в преодоляването на психологическата бариера.

Неволно навлязохме в територията на математическия анализ. Но намирането на производна, минимум и максимум на функция е математически апарат, който се използва при решаване на екстремални задачи. Очевидно възможностите на линейния тренд не се изчерпват дотук и крият още изненади. На „операционната маса“ може да бъде поставено всяко алгебрично уравнение и всяка функция.

REFERENCES/ЛИТЕРАТУРА

Bizova-Laleva, V. (2012). Parametri, tablici I dinamichni grafiki. Mathematics and Informatics, 55 (6), 549 – 561. [Бизова-Лалева, В. (2012). Параметри, таблици и динамични графики. Математика и информатика, 55 (6) , 549 – 561.]

Grozdev, S. & D. Dekov (2013). Mathematics with Computer. Mathematics and Informatics, 56 (2), 123 – 132. [Гроздев, С. & Д. Деков (2013). Математика с компютър. Математика и информатика, 56 (2), 123 – 132.]

Grozdev, S. & D. Dekov (2013). Еkstremalni zadachi v srednoto uchilishte s pomoshta na komputerni tablici. Mathematics and Informatics, 56 (4), 351 – 367. [Гроздев, С. & Д. Деков (2013). Екстремални задачи в средното училище с помощта на компютърни таблици. Математика и информатика, 56 (4) , 351 – 367.]

Penev, P. & D, Stefanova (2015). Samostojatelno reshavane na zadachi s Excel. Mathematics and Informatics, 58 (2), 149 – 156. [Пенев, П. & Д. Стефанова (2015). Самостоятелно решаване на задачи с Excel. Математика и информатика, 58 (2), 149 – 156.]

Penev, P., (2018). Solving linear equations with Excel. Mathematics and Informatics, 61, 2, 132 – 141. [Пенев, П., (2018). Решаване на линейни уравнения с Excel. Математика и информатика, 61, 2, 132 – 141.]

Rangelova, P., K. Bekriev, L. Dilkina & N. Ivanova (1999). Sbornik po matematika VII klas. Plovdiv: Letera. [Рангелова, П., К. Бекриев, Л. Дилкина & Н. Иванова (1999). Сборник по математика VII клас. Пловдив: Летера.]