Резюме. В статията се използва експерименталната среда на Excel за проверка на идеи, хрумвания и догадки в проблемни ситуации, които възникват при решаването на тригонометрични уравнения.

Ключови думи: problem solving, trigonometric equation, number, table, macros

В училищния курс по математика се изучават тригонометрични уравнения. Нашият опит и практика показват, че с тези уравнения учениците се справят трудно. За целта предлагаме начин за преодоляване на тази ситуация, като използваме информационни технологии в обучението по математика, и по-специално възможностите на програмата Excel. Настоящата разработка за решаване на тригонометрични уравнения с компютър е направена така, че да се използва паралелно с традиционния начин за изучаване на тригонометрични уравнения. Темата се изучава само в профилирана подготовка по математика.

В Paskalev (2001) определението за тригонометрично уравнение е следното: „Едно уравнение се нарича тригонометрично, ако неизвестното се съдържа само под знака на тригонометрични функции“.

Тогава уравненията: \(\cos \left(2 x+\tfrac{\pi}{3}\right)-\cos \left(3 x-\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{3}\) и \(2 \sin x-\cos 3 x=1\) са тригонометрични уравнения по определение, а уравнението \(x+\sin 2 x=\tfrac{1}{2}\) не е тригонометрично уравнение по това определение.

Решаването на тригонометрични уравнения се свежда до решаването на основните тригонометрични уравнения (таблица 1).

Свеждането на дадено тригонометрично уравнение до основни тригонометрични уравнения се осъществява по различни начини. А записът на решението може да стане чрез интервали или посочените в таблица 1 формули. При това невинаги се вижда от пръв поглед, че два такива записа са еквивалентни. Друг важен момент е, че в процеса на решаването могат да се появят чужди корени или пък да се изпуснат корени. За да се избегнат тези опасности, е необходимо правилно да се определи дефиниционната област на уравнението и да се следи за еквивалентността на извършваните преобразувания.

Напълно допустимо е решенията да се записват в градуси, въпреки че се предпочита да са в радиани, тъй като неизвестното се счита за число, а не за ъгъл. Грешно е в записа на решението да участват едновременно и градуси, и радиани.

Тук ще се спрем на някои тригонометрични уравнения. Обособили сме ги в групи.

I група. Уравнения от вида:

\(\sin f(x)=a, \cos f(x)=a, \operatorname{tg} f(x)=a, \operatorname{cotg} f(x)=a\), където \(f(x)\) е алгебрична функция на \(x\).

Решаването на тези тригонометрични уравнения се свежда до решаването на алгебрични уравнения.

Например: ако \(f(x)=c x+b\), то решаването на уравнението \(\sin f(x)=a, \in[-1,1]\) се свежда до решаването на алгебричните уравнения \(c x+b=\alpha+2 k \pi\) и \(c x+b=\pi-\alpha+2 k \pi, k \in Z\), k ∈ Z , след което получаваме, че \(x=\tfrac{b+\alpha+2 k \pi}{c}, x=\tfrac{b+\pi-\alpha+2 k \pi}{c}, c \neq 0\).

Задача 1: да се реши уравнението \(\sin \left(3 x+\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Решение: използваме основното тригонометрично уравнение \(\sin f(x)=a\) и получаваме \(3 x+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3}+2 k \pi, 3 x+\tfrac{\pi}{6}=\pi-\tfrac{\pi}{3}+2 k \pi\), след което окончателно намираме \(x=\tfrac{(1+12 k) \pi}{18}\) и \(x=\tfrac{(1+4 k) \pi}{6}, k \in Z\).

Предлагаме решаване на задача 1 с помощта на програмата Excel.

1. В командното меню на „Модели“ въвеждаме уравнението в нормализиран вид:

2. Избираме „Намиране на рационален корен“.

Уравнението се пренася автоматично в работна клетка на Excel.

3. Натискаме бутон „Тригон“. В интервала от \(15^{0}\) до \(360^{0}\) се търси стойност в градуси за \(x\), за която функцията се анулира.

В колонка Е получаваме смесване на две последователности от решения: \(30^{0}, 150^{0}, 270^{0} \ldots\) и \(130^{0}, 250^{0} \ldots\), изместени съответно една от друга на \(20^{0}\).

4. Първа последователност проверяваме с „Графика“. За по-добро онагледяване точките за \(x\) вземаме през \(30^{0}\).

5. По същия начин проверяваме втората последователност:

6. Периодът и в двата случая е \(120^{0}=\tfrac{2 \pi}{3}\). Решенията в радиани вземаме от таблиците: \(x=\tfrac{\pi}{18}+\tfrac{2 k \pi}{3}\) и \(x=\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2 k \pi}{3} k \in Z\). Резултатите не противоречат на алгебричните решения. Учениците добиват увереност и сами решават следващите задачи от групата.

Задача 2: решете уравненията:

а) \(\cos \left(3 x+\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\);

б) \(\cos \left(2 x+45^{0}\right)=\tfrac{1}{2}\).

II група. Уравнения от вида \(F_{1}\left[\varphi_{1}\left(f_{1}(x)\right)\right] \cdot F_{2}\left[\varphi_{2}\left(f_{2}(x)\right)\right] \ldots F_{n}\left[\varphi_{n}\left(f_{n}(x)\right)\right]=0\), където \(f_{i}\) са алгебрични функции на \(x\), \(\varphi\) са тригонометрични функции, а \(F_{i}\) са рационални функции (Милушева, 1993). Тук трябва да се има предвид следното: областта на решенията на даденото уравнение е равна на сечението от областите на допустимите стойности на променливата за всеки от множителите. Ще решим следващата задача.

Задача 3: да се реши уравнението: \(3 \sin x(1+\operatorname{tg} x)=0\).

Решение: за уравнението \(3 \sin x(1+\operatorname{tg} x)=0 \quad\) (1) определяме \(D_{x}=D_{\sin x} \cap D_{(1+\operatorname{tg} x)}=R /\left[(2 k+1) \tfrac{\pi}{2}\right], k \in Z\). Решението на уравнение (1) се свежда до решение на уравненията \(\sin x=0\) (2) и \(1+\operatorname{tg} x=0\) (3). Решението на (1) е сечение от множеството \(D_{x}\) и обединението на множеството от решения на (2) и (3), т. е. \(x=k \pi, x=-\tfrac{\pi}{4}+k \pi, k \in Z\).

По аналогичен начин се постъпва при решаването на уравненията в задача 4.

Задача 4:

а) \(7 \sin 2 x(1+\operatorname{tg} 3 x)=0\);

б) \(\sin x(\sqrt{3}-\operatorname{cotg} x)=0\);

в) \(\cos x \cos 2 x(1+2 \sin 2 x)=0\);

г) \(\sin 5 x+\sin 3 x=\cos 6 x-\cos 2 x\);

д) \(\sin 2 x-\cos ^{2} x=0\).

III група. Уравнения от вида:

\[ \begin{aligned} & a \sin ^{2} f(x)+b \sin f(x)+\mathrm{c}=0 ; a \cos ^{2} f(x)+b \cos f(x)+\mathrm{c}=0 ; \\ & a \operatorname{tg}^{2} f(x)+b \operatorname{tg} f(x)+\mathrm{c}=0 ; a \operatorname{cotg}^{2} f(x)+b \operatorname{cotg} f(x)+\mathrm{c}=0 . \end{aligned} \]

Решават се съответно чрез субституциите \(\sin f(x)=y(t)), \cos f(x)=y(t),\) \(\operatorname{tg} f(x)=y(t), \operatorname{cotg} f(x)=y(t)\).

Задача 5: решете уравненията:

а) \(2 \sin ^{2} x+5 \sin x-3=0\);

Решаването на следващите уравнения ще става чрез универсална субституция:

\[ \sin x=\tfrac{2 \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \tfrac{x}{2}}, \cos x=\tfrac{1-\operatorname{tg}^{2} \tfrac{x}{2}}{1+\operatorname{tg}^{2} \tfrac{x}{2}} \]

б) \(3 \sin x+2 \cos x=1\) (след преобразуване се получава уравнението \(3 \operatorname{tg}^{2} \tfrac{x}{2}+6 \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}-1=0\) );

в) \(\sin x-\cos x=1\);

г) \(\sin 2 x+\cos ^{2} x=3 \sin ^{2} x\); д) \(3 \sin x+4 \cos x=5\).

IV група. Хомогенни тригонометрични уравнения. Тези уравнения са от първа степен относно \(\sin \chi\) и \(\cos x\), т. е. à \(\sin x+b \cos x=0\).

Решават се чрез деление на \(\cos x\) (или на \(\sin x\) ). В резултат на делението на \(\cos x\) (или на \(\sin x\) ) се получава основно тригонометрично уравнение \(a \operatorname{tg} x+b=0\) (или \(a \operatorname{cotg} x+b=0\) ).

Тук ще посочим и хомогенни уравнения от втора степен:

\(a \sin ^{2} x+b \sin x \cos x+c \cos ^{2} x=0\).

Делим уравнението на \(\cos ^{2} x\) (или на \(\sin ^{2} x\) ) и получаваме \(a \operatorname{tg}^{2} x+b \operatorname{tg} x+c=0\) или \(c \operatorname{cotg}^{2} x+b \operatorname{cotg} x+a=0\) ).

Задача 6: решете уравненията:

а) \(\sin \left(3 x+30^{0}\right)-\sqrt{3} \cos \left(3 x+30^{0}\right)=0\);

б) \(3 \sin ^{2} x-2 \sin x \cos x-\cos ^{2} x=0\);

в) \(\sin 3 x=\sqrt{3} \cos 3 x\); г) \(\sin x+\tfrac{1}{\cos x}=\cos x\).

V група. Уравнения от вида:

\(a \sin x+b \cos x=c\), където \(a, b\) и \(c\) са коефициенти, различни от нула.

Решаваме уравнението, като разделим на \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) и полагаме \(\sin \varphi=\tfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \cos \varphi=\tfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\).

Задача 7: да се реши уравнението \(5 \sin x-12 \cos x+13 \sin 3 x=0\).

Решение: за да решим това уравнение, преобразуваме първите му два члена, както следва:

\[ \sqrt{5^{2}+12^{2}}\left(\tfrac{5}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}} \sin x-\tfrac{12}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}} \cos x\right)=13(\cos \varphi \sin x-\sin \varphi \cos x) \] \(=13 \sin (x-\varphi), \quad\) където \(\quad \sin \varphi=\tfrac{12}{13}, \cos \varphi=\tfrac{5}{13}\). След това уравнението добива вида \(\sin (x-\varphi)+\sin 3 x=0, \quad\) или \(\quad 2 \sin \left(2 x-\tfrac{\varphi}{2}\right) \cos \left(x+\tfrac{\varphi}{2}\right)=0\) и има решения \(\quad x=\tfrac{\varphi}{4}+\tfrac{k \pi}{2} ; x=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\varphi}{2}+k \pi, k \in Z . \quad\) От \(\cos \varphi=\tfrac{5}{13} \Rightarrow \varphi \approx 16^{0} 36^{\prime}\), т. е. уравнението има следните две групи решения: \(x \approx 16^{0} 50^{\prime}+k \cdot 90^{0} ; x \approx-33^{0} 43^{\prime}+(2 k+1) \cdot 90^{0}, k \in Z\).

Това уравнение се оказва трудно за решаване по посочения начин, затова провеждаме експрименти с Excel. Използваме схемата, описана при решаването на задача 1.

3. След натискане на „Тригон“ наблюдаваме, че в интервала от \(15^{0}\) до \(360^{0}\) не е открит рационален корен в градуси.

4. Търсим приближени корени по чисто графичен метод. Построяването на чертеж е автоматизирано. Достатъчно е да въведем начало и стъпка на разбиване на интервал. Графика на функцията в интервала от \(-90^{0}\) до \(+90^{0}\) :

Виждаме, че в указания интервал функцията сменя знака си три пъти. Детайлизираме стойностите за всяка смяна. Обграждаме локализирането на всеки корен.

Разликата между стойностите на намерените корени в т. а и т. б е \(90^{0}\), т. е. периодът е \(90^{\circ}=\tfrac{\pi}{2}\).

Наклонът на линията в този случай ни позволява да предположим, че локализираният корен е от друга последователност (извадките в т. а, т. б. и т. в са равнопоставени по обем). Периодът може да се уточни чрез експериментиране с обхвата на независимата променлива. Нека отбележим, че допълнително се извежда и линейният тренд в изследвания участък – обстоятелство, което може да се използва за приближени изчисления.

Задача 8: решете уравненията:

а) \(\sin x-\sqrt{3} \cos x=1\);

б) \(\sin 3 x-\sqrt{3} \cos 3 x=-\sqrt{3}\).

На учениците, обособени в групи, бе поставена самостоятелна работа да решат задачите от II, III и IV група по двата начина.

VI група. Тригонометрични уравнения с параметър.

Задача 9:

а) за кои стойности на параметъра \(a\) уравнението \(\sin 2 x-2 \sqrt{2} a(\sin x-\cos x)+1-4 a=0\) има решение в интервала \(\left[\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{2}\right]\);

Решение: след преобразуване уравнението приема вида \((\sin x+\cos x)^{2}-4 a\left(1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)\right)=0\) или \(2 \sin ^{2}\left(x+\tfrac{\pi}{4}\right)-8 a \sin ^{2}\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{8}\right)=0\), тда. е. има \(\sin \left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{8}\right)=0\) (к\(\left[\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{3 \pi}{4}\right]\), т.е. \(\cos \tfrac{3 \pi}{4} \leq 2 \grave{a}-1 \leq \cos \tfrac{\pi}{2}\) решение в интервоетоала няма \(\left[\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{2}\right]\) корен, в трябв интерва ъгълътала \(\left[\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{2}\right]\) ) è \(\cos ^{2}\left(\tfrac{x}{2}+\tfrac{\pi}{8}\right)=\grave{a}\). и така намираме, че à \(\in\left[\tfrac{2-\sqrt{2}}{4} ; \tfrac{1}{2}\right] ;\) \(x+\tfrac{\pi}{4}\) да е в интервала За

б) за кои стойности на параметъра \(a\) уравнението \((1-a) \cos 2 x+2(1-2 a) \sin x+a+3=0\) има решение;

в) да се реши уравнението: \(\sin 3 x+\sin 2 x=m \sin x\).

г) за кои стойности на параметъра \(p\) уравнението \((p-1) \cos x+(p+1) \sin x-2 p=0\) има рационални корени? Намерете тези корени.

Решение: използваме универсалната субституция и преобразуваме уравнението до: \((3 p-1) \operatorname{tg}^{2} \tfrac{x}{2}-2(p+1) \operatorname{tg} \tfrac{x}{2}+p+1=0\). След това получаваме, че при \(p=-1, x=0^{0}+360^{0} k\); и при \(p=1, x=90^{0}+360^{0} k, k \in Z\).

Нека отново използваме възможностите на програмата Excel и решим уравнението от г).

3. След натискане на „Старт“ получаваме две решения:

4. С „Графика“ от работните уравнения уточняваме периодите.

Графичното решение на задачата потвърждава алгебричното:

при \(p=-1, x=0^{0}+360^{0} k\); при \(p=1, x=90^{0}+360^{0} k, k \in Z\).

Използването на програмата Excel в тази тема дава възможност за:

– ориентиране в спецификата на тригонометричните уравнения;

– даване на насоки за търсене на алгебрично решение и проверка на получени резултати;

– разнообразяване на работата в клас;

– събуждане на интереса на учениците към математиката;

– активизиране дейността на учениците;

– демонстрация на техники за автоматизиране на процеса на решаване на тригонометрични уравнения.

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Mavrova, R. & D. Boykina (2003). Pomagalo po problemi na metodikata na obuchenieto po matematika. Plovdiv: Paisiy Hilendarski [Маврова, Р. & Д. Бойкина (2003). Помагало по проблеми на методиката на обучението по математика. Пловдив: Паисий Хилендарски].

Milusheva, D. & V. Milushev (1993). Trigonometrichni funktsii, uravneniya, neravenstva. Boyking. [Милушева, Д. & В. Милушев (1993). Тригонометрични функции, уравнения, неравенства. Бойкинг].

Paskalev, G. & Zdr. Paskaleva (2001). Matematika za XI klas. Sofi a: Arhimed [Паскалев, Г. & Здр. Паскалева (2001). Математика за XI клас. София: Архимед].

Paskalev, G.( 1998). Sbornik ot zadachi po matematika – Algebra. Sofi a: Regaliya 6. [Паскалев, Г.( 1998). Сборник от задачи по математика – Алгебра. София: Регалия 6].

Penev, P. & D. Stefanova (2015). Samostoyatelno reshavane na zadachi s Excel, Matematika i informatika, 58, 21, 149 – 156 [Пенев, П. & Д. Стефанова (2015). Самостоятелно решаване на задачи с Excel, Математика и информатика, 58, 21, 149 – 156. ].

Penev, P. (2014). Evristika s Excel. Matematika i informatika, 57, 1, 18 – 33 [Пенев, П. (2014). Евристика с Excel. Математика и информатика, 57, 1, 18 – 33].

Penev, P. (2014). Oshte evristiki s Excel. Matematika i informatika, 57, 5, 472 – 479 [Пенев, П. (2014). Още евристики с Excel. Математика и информатика, 57, 5, 472 – 479].

Rangelova, P. (2006). Sbornik po matematika IX – XII klas s metodichni ukazaniya. Makros. [Рангелова, П. (2006). Сборник по математика IX – XII клас с методични указания. Макрос.]

Zapryanov, Z., V. Vakarelova & B. Dimitrov. (1994). Algebra za X klas na SOU. Sofiya: Prosveta [Запрянов, З., В. Вакарелова & Б. Димитров. (1994). Алгебра за X клас на СОУ. София: Просвета].