Резюме. Статията предлага включване на възможности на експерименталната среда на програмата Excel за разнообразяване решаването на някои групи показателни уравнения от ученици в средното училище

Ключови думи: problem solving, indicative equation, number, table, macros

В настоящата статия прилагаме идеята за решаване на тригонометрични уравнения от брой \(2 / 2016\) г. при решаване на показателни уравнения. Ще покажем как програмата Excel се използва в обучението по математика по тази тема. В училищния курс по математика се изучават показателни уравнения, систематизирани в групи, което дава възможност на учениците да се ориентират към начина за решаването им. Ще илюстрираме възможностите на Excel при решаването на някои групи показателни уравнения. Разработката е направена така, че да се използва паралелно с традиционния начин на изучаване на показателни уравнения.

Уравнение, в което неизвестното е в степенния показател, се нарича по-казателно уравнение. Например: уравненията \(6^{x}-3^{2 x}=2^{2 x} ; \quad 2.5^{x-2}=7.5^{x}+3\); \(4^{x-1}=x+5\) са показателни.

При решаването на показателни уравнения се използват: определението за степен; правила за действия със степени и логаритми; теореми и свойства на показателната функция. В сила са всички теореми за равносилност на алгебрични уравнения. Задачите, които ще използваме за илюстрация, имат една и съща формулировка: „Да се реши уравнението“, която ще изпускаме, за да избегнем повторението.

За успешното формиране на умения за решаване ще систематизираме по-казателните уравнения в следните групи.

I група. Уравнения от вида \(a^{f(x)}=b\), където \(f(x)\) е елементарна функция, а \(a \in R\) и \(b \in R\). Решенията на това уравнение зависят от стойностите на \(a\) и \(b\) и затова трябва да се разгледат следните случаи.

А) Ако \(a \gt 0 ; a \neq 1\) и \(b \gt 0\), то уравнението има решение и корените могат да се намерят по два начина. Първият начин е чрез привеждане на двете страни на уравнението към степени с една и съща основа. Вторият начин е чрез логаритмуване на двете страни на даденото уравнение.

Задачи:

1. \(2^{x^{2}-5 x+6}=1\). 2 2. \(3^{x^{2}-\tfrac{5}{7} x}=\sqrt[7]{9}\). 3. \(8^{x-3}=9^{3-x}\). 4. \(\left(3^{5-x}\right)^{6-x}=9\). 5. \(5^{x-\sqrt{3 x-5}}=125\).

6. \(21.3^{x}-3^{x+4}=5^{x+2}-5^{x+3}\)

Ще илюстрираме решението на задача 6. Прилагаме свойството \(a^{n+m}=a^{n} . a^{m}\) и получаваме \(21.3^{x}-3^{x} .3^{4}=5^{x} .5^{2}-5^{x} .5^{3}\), след което представяме уравнението

във вида \(-60.3^{x}=-100.5^{x}\), а оттам и до \(\left(\tfrac{3}{5}\right)^{x}=\left(\tfrac{3}{5}\right)^{-1}\). Намираме, че \(x=-1\).

Решение с Excel:

Използваме макрос ForFor, описан в (Penev, 2014b).

7. \(9^{2 x+1}=7\).

8. \(5^{x} \cdot 2^{\tfrac{3 x}{x+1}}=100\).

Решение: определяме Д.С. \(x \neq-1\) на задача 8, след което записваме уравнението във вида: \(5^{x} \cdot 2^{\tfrac{3 x}{x+1}}=10^{2}\), делим на \(10^{2}\) двете страни на уравнението и получаваме \(5^{x-2} \cdot 2^{\tfrac{x-2}{x+1}}=1 \quad\) или \(\quad\left(5.2^{\tfrac{1}{x+1}}\right)^{x-2}=1\).

Имаме две възможности: показател нула или основа единица, т.е. \(x_{1}=2\) или \(5.2^{\tfrac{1}{x+1}}=1\) (1). За да намерим корена от (1), логаритмуваме двете му страни при основа 5 , преобразуваме и получаваме \(x_{2}=-\log _{5} 10\).

Б) Ако \(a \gt 0\) и \(b \leq 0\), то уравнението няма решение, например: \(5^{x-3}=-2\).

В) Ако \(a=1\) и \(b \neq 1\), то уравнението няма решение, например: \(1^{x+3}=2\).

Г) Ако \(a=1\) и \(b=1\), то всяка допустима стойност на неизвестното е решение на уравнението, например: \(1^{\sqrt{x-5}}=1\).

Съществуват показателни уравнения, които след преобразуване се свеждат до случаите в I група, като:

II група. Уравнения от вида \(a^{f(x)}=b^{g(x)}\), където \(a \gt 0, a \neq 1, b \gt 0\) и \(b \neq 1\). Решаваме ги, като логаритмуваме двете страни на уравнението при една и съща основа. Тогава уравнението добива вида \(a^{f(x)}=a^{g(x) \log _{a} b}\), което е еквивалентно на \(f(x)=g(x) \log _{a} b\).

Уравненията от тази група се явяват обобщения на уравненията от I група.

Решете уравненията в задачи от 1 до 8:

1. \(3^{x-\cfrac{1}{2}}-2^{2 x}=4^{x-\cfrac{1}{2}}-3^{x+\cfrac{1}{2}}\) 2. \(3.2^{x-5}=5.7^{2 x}\) 3. \(5^{x^{2}+x} \cdot 4^{x^{2}}=100^{x^{2}}\) 4. \(3^{2 x-1}=5^{3-x}\) 5. \(4.7^{x-2}=28^{x+1}\). 6. \(5^{x} \cdot \sqrt[x]{8^{x-1}}=500\).х 8х1 500. 7. \(2^{x} .3^{x}=\tfrac{3}{2^{-1}} \sqrt{6^{4 x-10}}\). 8. \(5^{x-3}=8^{x^{2}-7 x+12}\).

Ще илюстрираме решението на задача 8:

Решение: в уравнението \(5^{x-3}=8^{(x-3)(x-4)}\) делим двете му страни на \(5^{x-3}\) и получаваме \(1=\left(\tfrac{8^{x-4}}{5}\right)^{x-3}\), откъдето \(x-3=0\) или \(1=\tfrac{8^{x-4}}{5}\), т.е. \(x_{1}=3\) или \(x_{2}=4+\log _{8} 5\).

III група. Показателни уравнения, които се решават чрез разлагане на множители.

По този начин могат да се решат например следните уравнения:

1. \(4^{x+1}+4^{x}=320\). 2. \(2.3^{x+1}-4.3^{x-2}=450\). 3. \(6^{x}+15=5.2^{x}+3^{x+1}\).

4. \(4^{2 x-9}-2^{4 x-24}+4^{2 x-12}-16^{x-6}=1008\).

Ще илюстрираме решението на тази група с решаването на следната задача:

5. \(8-x .2^{x}+2^{3+x}-x=0\).

Решение: като използваме свойство \(a^{n+m}=a^{n} \cdot a^{m}\), представяме уравнението във вида \(8-x .2^{x}+2^{3} .2^{x}-x=0\) и след групиране получаваме уравнението \(\left(2^{x}+1\right) \cdot(8-x)=0\). Тъй като \(2^{x}+1=0\) няма решение, то единствен корен на уравнението е \(x=8\).

IV група. Показателни уравнения, които се опростяват чрез субституция. Те имат вида \(F\left(a^{f(x)}\right)=0\), където \(F\) и \(f\) са елементарни функции. Чрез субституцията \(t=a^{f(x)}, t \gt 0\) даденото уравнение се свежда до алгебричното уравнение \(F(t)=0, t \gt 0\). Сред тези уравнения са уравненията от вида:

А) \(m \cdot a^{2 f(x)}+n \cdot a^{f(x)}+p=0\), които чрез субституцията \(a^{f(x)}=t, t \gt 0\) се свеждат до квадратно уравнение (тричленно показателно уравнение).

1. \(10.2^{x}-4^{x}=16\). 2. \(2 \tfrac{1}{4} \cdot 4^{x}-\tfrac{1}{2} \cdot 4^{2 x}=1\). 3. \(5^{x}-5^{3-x}=20\).

Б) \(A_{0} \cdot a^{f(x)}+A_{1} \cdot b^{f(x)}+A_{2}=0\)

1. \(4^{\sqrt{x^{2}-2}+x}-5.2^{x-1+\sqrt{x^{2}-2}}=6\)

В) Показателни уравнения от вида \(\grave{u}^{x} \pm^{x}=\), където \(A \cdot B=1\).

1. \((\sqrt{6+\sqrt{35}})^{x}+(\sqrt{6-\sqrt{35}})^{x}=12\)

Решение: понеже \(\sqrt{6+\sqrt{35}} \cdot \sqrt{6-\sqrt{35}}=1\), умножаваме двете страни на уравнението с \((\sqrt{6+\sqrt{35}})^{x}\), след което получаваме \((\sqrt{6+\sqrt{35}})^{2 x}-12(\sqrt{6+\sqrt{35}})^{x}+1=0\). Полагаме \((\sqrt{6+\sqrt{35}})^{x}=y\). Определяме Д.С. \(y \gt 0\) и решаваме квадратното уравнение. Получаваме \(y_{1,2}=6 \pm \sqrt{35}\). Следователно \((\sqrt{6+\sqrt{35}})^{x}=6+\sqrt{35}\) с корен \(x_{1}=2\) и \((\sqrt{6+\sqrt{35}})^{x}=6-\sqrt{35}\), което преобразуваме до \((\sqrt{6+\sqrt{35}})^{x}=\tfrac{1}{6+\sqrt{35}}\). Получаваме \(x_{2}=-2\).

2. \((2+\sqrt{3})^{x}+3(2-\sqrt{3})^{x}=4\) 3. \((\sqrt{5+2 \sqrt{6}})^{x}+(\sqrt{5-2 \sqrt{6}})^{x}=10\).

Г) \(A_{0} \cdot\left(a^{2 x}+a^{-2 x}\right)+A_{1} \cdot\left(a^{x}+a^{-x}\right)+A_{2}=0\).

Решаването на задачи от \(\Gamma\) ) ще илюстрираме със следния пример 1 :

1. \(9 \cdot\left(9^{x}+9^{-x}\right)-3 \cdot\left(3^{x}+3^{-x}\right)-72=0\)

Решение: за целта полагаме \(3^{x}+3^{-x}=y, y \geq 2\). Тогава \(9^{x}+9^{-x}=3^{2 x}+3^{-2 x}=y^{2}-2\) и \(9\left(y^{2}-2\right)-3 y-72=0 \Leftrightarrow 3 y^{2}-y-30=0\).

Корените на това уравнение са \(y_{1}=\tfrac{10}{3}\) и \(y_{2}=-3\). Тьй като \(y_{2} \lt 0\), а по условие \(y \geq 2\), решението на уравнението се определя от \(y_{1}=\tfrac{10}{3}\). Тогава условие \(y \geq 2\), решението на уравнението се определя от \(y_{1}=\tfrac{10}{3}\). Тогава чиито\(3^{x}+3^{-x}=\tfrac{10}{3}\). Полагаме \(3^{x}=t, t \gt 0\) корени са \(t_{1}=3\) ии получаваме уравнението \(t+\tfrac{1}{t}=\tfrac{10}{3}\), да до решаване на двете уравнения \(t_{2}=\tfrac{1}{3}\). Решениет \(3^{x}=3\) ио на \(3^{x}=\tfrac{1}{3}\) даденото, откъдет уравнениео намираме, се свеж че \(x_{1}=1\) и \(x_{2}=-1\).

Решение с Excel:

Ще предложим и решение на задача 2:

2. \((1+\sqrt{3})^{x}+2^{x-1}(2+\sqrt{3})^{x}=4\)

Решение: отново използваме свойството \(a^{n+m}=a^{n} \cdot a^{m}\) и получаваме \(\quad(1+\sqrt{3})^{x}+\tfrac{2^{x}(2+\sqrt{3})^{x}}{2}=4\), след което преобразуваме до вида \((1+\sqrt{3})^{x}+\tfrac{(2 \cdot 2+2 \cdot \sqrt{3})^{x}}{2}=4\). От \((1+\sqrt{3})^{2 x}=(4+2 \sqrt{3})^{x}\) следва, че можем да запишем уравнението във вида \((1+\sqrt{3})^{x}+\tfrac{(1+\sqrt{3})^{2 x}}{2}=4\). Полагаме \((1+\sqrt{3})^{x}=y, y \gt 0\) и получаваме уравнението \(y^{2}+2 y-8=0\), което има корени \(y_{1}=2\) и \(y_{2}=-4 \lt 0\). Окончателно намираме, че \(x=\log _{(1+\sqrt{3})} 2\).

\(\mathbf{V}\) група. Показателни уравнения, които са хомогенни:

A) хомогенни от първа степен относно \(a^{x}\) и \(b^{x}: m . a^{x}+n . b^{x}=0\), където \(m\) и \(n\) са реални числа. Нека \(0 \lt b \lt a\). Разделяме двете страни на даденото уравнение на \(b^{x} \gt 0\) и получаваме показателно уравнение \(m \cdot\left(\tfrac{a}{b}\right)^{x}+n=0\), което е от първа група.

Задачи:

1. \(9.7^{x}-49.3^{x}=0\). 2. \(5^{x-3}=7^{x}\). 3. \(3^{x+1}+3^{x-1}+3^{x-2}=5^{x}+5^{x-1}+5^{x-2}\).

Б) Уравнение от вида: \(m \cdot a^{2 x}+n \cdot a^{x} \cdot b^{x}+p \cdot b^{2 x}=0\), където \(a, b\) и \(m, n, p\) са реални константи, като \(a \gt 0, a \neq 1, b \gt 0\) и \(b \neq 1\). Такива уравнения се наричат хомогенни показателни уравнения от втора степен относно \(a^{x}\) и \(b^{x}\). Те се свеждат до квадратни след деление на \(b^{2 x} \gt 0\) и полагане \(\left(\tfrac{a}{b}\right)^{x}=y, y \gt 0\).

4. \(4^{x}+6^{x}=9^{x}\). 5. \(16^{x}+36^{x}=2.81^{x}\). 6. \(2.7^{x}-5^{x}=\sqrt{35^{x}}\). 7. \(9^{x}=6^{x}+2^{2 x+1}\).

Решение: ще решим уравнението от задача 7. Записваме го по следния начин: \(3^{2 x}=3^{x} \cdot 2^{x}+2^{2 x} \cdot 2\) и преобразуваме до \(3^{2 x}-3^{x} \cdot 2^{x}-2^{2 x} \cdot 2=0\). Делим двете страни на \(2^{2 x}\) и записваме уравнението във вида \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2 x}-\left(\tfrac{3}{2}\right)^{x}-2=0\); откъдетрешение, то решението получавамео се определя от \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{x}=2\) или \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{x}=-1\). \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{x}=2\), тТъй.е. \(x=4+\log _{1,5} 2\). като \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{x}=-1\) няма

В) Хомогенни уравнения от трета степен относно \(a^{x}\) и \(b^{x}\).

8. \(7^{3 x+1}+2^{3 x+2}=16.28^{x}-5.98^{x}\)

Решение: използваме свойство \(a^{n+m}=a^{n} \cdot a^{m}\) и записваме уравнението по следния начин: \(7.7^{3 x}+4.2^{x}-16.2^{2 x} \cdot 7^{x}+5.2^{x} \cdot 7^{2 x}=0\). Делим двете му страни на \(2^{3 x}\) и уравнението добива вида \(7 \cdot\left(\tfrac{7}{2}\right)^{3 x}+5 \cdot\left(\tfrac{7}{2}\right)^{2 x}-16 \cdot\left(\tfrac{7}{2}\right)^{x}+4=0\). Полагаме \(\left(\tfrac{7}{2}\right)^{x}=y\), като \(y \gt 0\) и получавамеуравнението \(7 \cdot y^{3}+5 \cdot y^{2}-16 \cdot y+4=0\), чиито корени са \(y_{1}=1, y_{2}=\tfrac{2}{7}\) и \(y_{3}=-2\). Решенията на у уравнението намираме чрез субституцията \(\left(\tfrac{7}{2}\right)^{x}=1 \Leftrightarrow x_{1}=0\) и \(\left(\tfrac{7}{2}\right)^{x}=\tfrac{2}{7} \Leftrightarrow x_{2}=-1\).

Решение с Excel:

VI група. Показателни уравнения с неизвестно и в основата. Те са от вида:

А) Уравнение от вида \(f(x)^{\varphi(x)}=1\).

За да се реши уравнение от този вид, трябва да се разгледат три случая:

1. \(\left\lvert\, \begin{aligned} & \varphi(x)=0 \\ & f(x) \neq 0\end{aligned}\right.\) 2. \(\left\lvert\, \begin{aligned} & \varphi(x) \text { е дефинирана } \\ & f(x)=1\end{aligned}\right.\) 3. \(\left\lvert\, \begin{aligned} & \varphi(x) \text { е четно число } \\ & f(x)=-1\end{aligned}\right.\)

Задачи:

1. \((x-3)^{x+5}=1\). 2. \(\left(x^{2}-5 x\right)^{3 x-6}(x+3)^{6-3 x}=1\).

3. \(\left(4 x^{2}+2 x+1\right)^{\tfrac{x^{2}-2 x-15}{x+0,5}}=1\). 4. \(|x|^{x^{2}-x-2}=1\).

Ще илюстрираме решаването на задачи от тази група със следващата задача

5. \(\left(x^{2}-3 x\right)^{2 x-4} \cdot(x+1)^{4-2 x}=1\)

Решение: т ъй като \(x=-1\) не е решение, даденото уравнение е еквивалентно на уравнението \(\left(\tfrac{x^{2}-3 x}{x+1}\right)^{2 x-4}=1\). За целта ще разгледаме:

1) \(\left|\begin{array}{l}2 x-4=0 \\ \tfrac{x^{2}-3 x}{x+1} \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\right| \begin{aligned} & x=2 \\ & x \neq 0 \text { и } x \neq 3 . \text { Следователно } x=2 \text { е решение. } \\ & x \neq-1\end{aligned}\)

2) \(\left\lvert\, \begin{aligned} & \tfrac{x^{2}-3 x}{x+1} \neq 0 \\ & 2 x-4 \text { е дефинирана за всяко } x\end{aligned} \Leftrightarrow x_{1 / 2}=2 \pm \sqrt{5}\right.\).

3) \(\tfrac{x^{2}-3 x}{x+1}=-1 \Leftrightarrow x=1\). Освен това за \(x=1\) показателят \(2 x-4=-2\) е четно число. Следователно решенията на уравнението са: \(x_{1 / 2}=2 \pm \sqrt{5}\);

\(x_{3}=2 ; x_{4}=1\).

Б) Уравнението \(f(x)^{\varphi(x)}=f(x)^{g(x)}\) се решава чрез специфични изследвания и методи. Неговите решения се намират, като се обединят решенията на следните уравнения:

1. \(f(x)=0\), при условие че \(\varphi(x) \gt 0\) и \(\mathrm{g}(x) \gt 0\).

2. \(f(x)=1\), при условие че \(\varphi(x)\) и \(\mathrm{g}(x)\) са дефинирани.

3. \(f(x)=-1\), при условие че \(\varphi(x)\) и \(\mathrm{g}(x)\) са едновременно четни или едновременно нечетни числа или са несъкратими обикновени дроби с нечетен знаменател, на който числителите са с една и съща четност.

4. \(\varphi(x)=\mathrm{g}(x)\), при \(f(x) \gt 0\), а когато \(f(x) \lt 0\), трябва \(\varphi(x)\) и \(\mathrm{g}(x)\) да са цели числа с или дробни числа с нечетен знаменател.

Примери: 1. \(x^{2}=x^{3 x+1}\). 2. \(x^{2 x^{2}}=x^{x+1}\). 3. \(x=x^{x-1}\). 4. \(x^{\sqrt[3]{x^{2}}}=\sqrt{x^{x}}\).

5. \(\sqrt[4]{(x-3)^{x+1}}=\sqrt[3]{(x-3)^{x-2}}\)

VII група. Уравнения от вида \(a^{f(x)}=\varphi(x), a \gt 0\) и \(a \neq 1\). Ще търсим решенията на такива уравнения измежду стойностите на \(x\), за които \(\varphi(x)\) и \(f(x)\) са дефинирани и \(\varphi(x) \gt 0\). Уравненията от тази група се свеждат до разглеждане на показателната функция , \(a^{f(x)}\) а \(\varphi(x)\) е алгебрична или трансцендентна функция.

Задачи:

1. \(2^{x-1}=x+1\). 2 2. \(2^{x}=x^{2}-2 x\). 3. \(\left(\tfrac{3}{2}\right)^{x}=1+\tfrac{1}{x}\). 4. \(2^{x}=\operatorname{tg} x\). 5. \(2^{x}=\sqrt{3-x}\).

6. Да се докаже, че уравнението \(7^{3-x}=5+x\) има единствено решение.

Решение:

I начин: да означим \(f(x)=7^{3-x}\) и \(g(x)=5+x\). Разгледани като функции, изразите са определени за всяко \(x\), но тъй като \(7^{3-x} \gt 0\), то и \(5+x \gt 0\), т.е. \(x \gt -5\) е множеството от допустими стойности на уравнението. Тъй като \(f(2)=7\) и \(g(2)=7\), то числото 2 е решение на уравнението. Нека допуснем, че то има и други решения \(x_{1} \lt 2\) и \(x_{2} \gt 2\). Функцията \(f(x)=7^{3-x}\) е намаляваща, т.е. \(\grave{u}\left({ }_{1}\right) \gt (2)=7\) и \(f\left(x_{2}\right) \lt f(2)=7\). Функцията \(g(x)=5+x\) е растяща, т.е. \(g\left(x_{1}\right) \lt g(2)=7\) и \(g\left(x_{2}\right) \gt g(2)=7\). Оттук получаваме, че \(f\left(x_{1}\right) \gt 7 \gt g\left(x_{1}\right)\), следователно \(f\left(x_{1}\right) \neq g\left(x_{1}\right)\), т.е. \(x_{1}\) не е корен на даденото уравнение. Аналогично за \(x_{2}\) получаваме \(f\left(x_{2}\right) \lt 7 \lt g\left(x_{2}\right)\), те \(x_{2}\) не е корен на даденото уравнение. Следователно даденото уравнение няма друг корен освен числото 2.

Решение с Excel:

II начин: за да решим задачата без досещането, че \(x=2\) е корен, можем да разсъждаваме така. Разглеждаме непрекъснатата и намаляваща функция \(F(x)=7^{3-x}-x-5\). Тя приема както отрицателни, така и положителни стойности. Например \(F(1)=43\) и \(F(3)=-7\). Според теоремата на Болцано (свойство на непрекъсната функция в интервал да приема всички „междинни“ стойности) съществува стойност на аргумента \(x_{0} \in(1 ; 3)\), за която \(F\left(x_{0}\right)=0\). Лесно се установява, че \(x=2\) е корен на уравнението.

III начин: ще решим задачата, като използваме построяване на графиките на функциите на един и същи чертеж. Но по този начин единствеността на корена не е обоснована. Отново да означим \(f(x)=7^{3-x}\) и \(g(x)=5+x\). Тъй като \(7^{3-x} \gt 0\), то и \(5+x \gt 0\), т.е. \(x \gt -5\) е множеството от допустими стойности на уравнението. Функцията \(f(x)\) е намаляваща, а \(g(x)\) - растяща. Тогава техните графики ще се пресекат в една точка, което означава, че уравнението има точно един корен. От чертеж 1 следва, че \(x=2\) е евентуален корен на уравнението. Правим проверка за \(x=2\) и установяваме, че \(7^{3-2}=2+5\), откъдето получаваме, че \(x=2\) е наистина решение на уравнението.

За проверка на графичното решение с Excel използваме обикновена таблица:

Вижда се, че \(x=2\) е координата на пресечната точка на двете линии.

VIII група. Параметрични показателни уравнения.

Задача 1. Намерете стойностите на параметъра \(a\), за които уравнението \(9^{x-1}-4.3^{x-1}-1+2 a=0\) има точно едно решение.

Решение: преобразуваме даденото уравнение по следния начин: \(3^{2 x}-12.3^{x}+18 a-9=0\). Полагаме \(3^{x}=y\), където Д.С.: \(y \gt 0\) и у уравнението добива вида \(y^{2}-12 y+18 a-9=0\), т.е. получаваме квадратно параметрично уравнение, което можем да решим по няколко начина: чрез формулите за корените на квадратно уравнение, чрез формулите на Виет, чрез разпределение на корените на квадратно уравнение върху числовата ос и други. Ще илюстрираме решаването на това уравнение чрез формулите за корените на квадратно уравнение. За целта намираме \(D=b^{2}-4 a c\) и разглеждаме следните случаи:

1) Ако \(D \lt 0\), то уравнението няма решение.

2) Ако \(D=0 \Rightarrow a=\tfrac{5}{2}\). Тогава коренът на уравнението е \(y=6 \in\) Д.С., т.е. при \(a=\tfrac{5}{2}\) даденото уравнение има един корен.

3) Ако \(D \gt 0\), корените са два: \(y_{1 / 2}=6 \pm \sqrt{45-18 a}\). За да принадлежат на Д.С., те трябва да са положителни, т.е. решаваме две ирационални неравенства: \(6-\sqrt{45-18 a} \gt 0\) и \(6+\sqrt{45-18 a} \gt 0\). Нека решим неравенството \(6-\sqrt{45-18 a} \gt 0\) Преобразуваме го до \(\sqrt{45-18 a} \lt 6\) и записваме системата \(\left|\begin{array}{l}45-18 a \geq 0 \\ 45-18 a \lt 36\end{array} \Leftrightarrow\right| \begin{aligned} & a \leq \tfrac{5}{2} \\ & a \gt -\tfrac{1}{2}\end{aligned} \quad a \in\left(-\tfrac{1}{2} ; \tfrac{5}{2}\right]\). Да решим и второто неравенство \(6+\sqrt{45-18 a} \gt 0 \Leftrightarrow \sqrt{45-18 a} \gt -6 \Leftrightarrow \quad\) всяко число \(a \in\left(-\infty ; \tfrac{5}{2}\right]\).

От 2) и 3) следва, че: при \(a \in\left(-\infty ;-\tfrac{1}{2}\right]\) уравнението има един корен; при \(a \in\left(-\tfrac{1}{2} ; \tfrac{5}{2}\right)\) уравнението има два корена; при \(a=\tfrac{5}{2}\) уравнението има един корен; при \(a \in\left(\tfrac{5}{2} ;+\infty\right)\) уравнението няма корени. Следователно при \(a \in\left(-\infty ;-\tfrac{1}{2}\right] \cup\left\{\tfrac{5}{2}\right\}\) даденото уравнение има един корен.

Задача 2. Решете уравнението: \(\sqrt{a\left(2^{x}-2\right)+1}=1-2^{x}\)

(Национален пролетен турнир – Казанлък, 1974 г., Х клас)

Решение: полагаме \(2^{x}=y\) и получаваме ирационалното уравнение \(\sqrt{a y+1-2 a}=1-y\). За да има решение полученото уравнение, необходимо е \(1-y \geq 0 \Leftrightarrow y \leq 1\). Повдигаме в квадрат и получаваме: \(a y+1-2 a=1-2 y+y^{2}\) или \(y^{2}-(a+2) y+2 a=0\) с \(D=(a-2)^{2}\) и корени \(y_{1}=2, y_{2}=a\). Но \(y \leq 1\) и \(y_{1}=2\) не е решение, а \(2^{x}=a\), като \(0 \lt a \leq 1\) и решението е \(x=\log _{2} a\). Отговор: при \(0 \lt a \leq 1\) решението \(x=\log _{2} a\). При \(a \leq 0\) или \(a \gt 1\) уравнението няма решение

Задача 3. Намерете стойностите на реалния параметър \(a\), за които уравнението \(\left(a^{2}+a-6\right) \cdot 2^{x}+2^{-x}=2 a\) има един положителен и един отрицателен корен. (Конкурсен изпит СУ, 1996 г.)

Решение: в уравнението \(\left(a^{2}+a-6\right) \cdot 2^{x}+2^{-x}=2 a\) полагаме \(2^{x}=y\) и заместваме: \(\left(a^{2}+a-6\right) \cdot \tfrac{1}{y}+y-2 a=0\), т.е. \(y^{2}-2 a y+a^{2}+a-6=0\). Ако единият корен е положителен, т.е. \(x_{1} \gt 0\), следва, че \(y_{1} \in(0 ; 1)\). Ако другият корен е отрицателен, т.е. \(x_{2} \lt 0\), следва, че \(y_{2} \gt 1\). Според разпределението на корените на квадратното уравнение числото 0 трябва да е по-малко от корените на уравнението, а числото 1 трябва да е между корените. Числото 1 е между корените \(y_{1}\) и \(y_{2}\) на квадратното уравнение, ако \(a^{2}-a-5 \lt 0\), т.е. \(a \in\left(\tfrac{1-\sqrt{21}}{2} ; \tfrac{1+\sqrt{21}}{2}\right)\). Числото 0 е по-малко от корените \(y_{1}\) и \(y_{2}\) на уравнението, ако \(a^{2}+a-6 \gt 0\), т.е \(a \in(-\infty ; 3) \cup(2 ;+\infty)\). Сега намираме окончателно \(a \in\left(2 ; \tfrac{1+\sqrt{21}}{2}\right)\).

От разработката се вижда, че сме приложили програмата Excel само за уравнения, чиито корени са реални числа. Въпреки това използването на програмата Excel при решаване на показателни уравнения дава възможност за:

- демонстрация на техники за автоматизиране на процеса на решаване на показателни уравнения;

- активизиране дейността на учениците;

- събуждане на интереса на учениците към математиката;

- ориентиране в спецификата на показателните уравнения;

- даване на насоки за търсене на алгебрично решение и проверка на получени резултати;

- разнообразяване на работата в клас.

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Borodulja, I. (1968) Exponential and logarithmic equations (in Russian). Moscow: Prosveshtenie.

Vavilov, V. et al. (1987). Mathematics problems (in Russian). Moscow: Nauka.

Zapryanov, Z., V. Vakarelova & B. Dimitrov(1994). Algebra for 10-th grade (in Bulgarian). Sofia: Prosveta.

Onova, M. & V. Milushev (1994). Exponential equations and inequalities (in Bulgarian). Plovdiv: Bojking.

Paskalev, G. & Z. Paskaleva (2001). Mathematics for 11-th grade (in Bulgaria). Sofia: Archimedes.

Penev, P. (2014a). Heuristics by Excel (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 57, 1, 18 – 33.

Penev, P. (2014b). More Heuristics by Excel (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 57, 5, 5472 – 479.

Penev, P. & D. Stefanova (2015). Individual problem solving by Excel (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 58, 2, 149 – 156.

Rangelova, P. (2006). Collection of mathematical problems for 9. – 12. Grades with Methodological Instructions (in Bulgarian). Plovdiv: Makros.

Stefanova, D. & P. Penev (2016). One More Idea for Solving Trigonometric Equations (in Bulgarian). Mathematics and Informatics, 59, 2, 170 – 182.

Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE. (ISBN 978-954-92139-1-1), 295 pages.