Образователни технологии
НАЦИОНАЛНА СТУДЕНТСКА ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКА
Резюме. От 18 до 22 май 2017 г. в курорта „Пампорово“ се проведе традиционната Национална студентска олимпиада по математика с международно участие. Домакин на събитието беше Пловдивският университет „П. Хилендарски“. В олимпиадата участваха повече от 100 студенти от 14 университета от България и 2 университета от чужбина. Състезанието протече в 3 групи в зависимост от учебното съдържание по математика, изучавано в различните университети. В статията се обсъждат задачите от третата група. В тази група се състезаваха студенти от икономически висши училища, в които обучението по математика е с малък брой часове. Предложени са методически решения.
Ключови думи: problem; solution; Olympiad; University; student
и \(y\) са реални числа.
Задача 1. Дадени са матриците \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right)\) и \(B=\left(\begin{array}{cc}x & -2 y \\ y & x\end{array}\right)\), където \(x\) и \(y\) са реални числа.
a) Да се намери детерминантата \(D\) на матрицата \(A . B\).
б) Да се докаже, че точките \(M(x, y)\), за които уравнението \(3 D \cdot u^{2}+D \cdot u+3=0\) няма реални корени, лежат във вътрешността на елипса. Да се определят дължините на осите на елипсата.
в) Ако \(x^{2}+y^{2} \neq 0\) и \(A^{2018} \cdot B=B^{2018} \cdot A\), да се докаже, че \(A^{2017}=B^{2017}\).
Задача 2. Дадена е параболата \(\pi: y^{2}=8 . x\). Правата \(l\) минава през точката \(M(-2, a)(a \in \mathbb{R})\) и е успоредна на оста на \(\pi\). Параболата \(\pi\) пресича \(l\) в точка \(C\) и точката \(A\) е симетрична на точката \(F(2,0)\) спрямо \(C\).
а) Да се намерят координатите на \(C\).
б) Да се намерят координатите на \(A\).
в) Да се намери броят на общите точки на описаната около \(\triangle A M C\) окръжност и параболата \(\pi\) в зависимост от стойностите на \(a\).
Задача 3. Графиките на функциите \(f(x)=x^{2017}\) и \(g(x)=a \cdot \ln x\) \((a \in \mathbb{R}, a \neq 0)\) имат обща допирателна \(t\) в точка \(T\).
a ) Да се намерят \(a\) и координатите на \(T\).
б) Да се намери уравнението на \(t\).
в) Ако \(t\) пресича координатните оси в точките \(A\) и \(B\), а \(O\) е началото на координатната система, да се намери лицето на \(\triangle O A B\).
Решение на задача 1. а) За детерминантите на \(A\) и \(B\) имаме съответно \(\operatorname{det} A=3\) и \(\operatorname{det} B=x^{2}+2 y^{2}\). Следователно \(D=3 .\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\).
б) Дискриминантата на уравнението \(3 D \cdot u^{2}+D \cdot u+3=0\) е \(D_{0}=D^{2}-36 . D=9\left(x^{2}+2 y^{2}\right)\left(x^{2}+2 y^{2}-12\right)\). Разглежданото уравнение няма реални корени, когато \(D_{0} \lt 0\). След заместване с резултата от а) получаваме, че е изпълнено неравенството \(x^{2}+2 y^{2}-12 \lt 0\). Последното записваме във вида \(\tfrac{x^{2}}{(2 \sqrt{3})^{2}}+\tfrac{y^{2}}{(\sqrt{6})^{2}} \lt 1\). Следователно точките \(M(x, y)\) лежат вътре в елипсата \(\tfrac{x^{2}}{(2 \sqrt{3})^{2}}+\tfrac{y^{2}}{(\sqrt{6})^{2}}=1\), полуосите \(a\) и \(b\) на която имат дължини \(a=2 \sqrt{3}\) и \(b=\sqrt{6}\). Следователно дължините на осите са \(2 a=4 \sqrt{3}\) и \(2 b=2 \sqrt{6}\).
в) Равенството \(A^{2018} \cdot B \quad B^{2018} \cdot A\) записваме във вида \(A^{2017} \cdot(A \cdot B)=B^{2017} \cdot(B \cdot A)\). Тъй като \(A \cdot B=B \cdot A=\left(\begin{array}{cc}x+2 y & 2(x-y) \\ -(x-y) & x+2 y\end{array}\right) \neq\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) и \(D \neq 0\), то \(A^{2017}=B^{2017}\).
Решение на задача 2. Тъй като параболата \(\pi\) има канонично уравнение \(y^{2}=8 . x\) спрямо координатната система \(O x y\), то оста на \(\pi\) съвпада с абсцисната ос \(O x\). Следователно уравнението на \(l\) е \(y=a\). Системата, образувана от уравненията на \(l\) и \(\pi\), има единствено решение \(x=\tfrac{a^{2}}{8}\) и \(y=a\). Затова \(l \cap \pi=C\left(\tfrac{a^{2}}{8}, a\right)\). С това подточка а) е решена. За координатите на \(A\) са изпълнени равенствата \(x_{A}=2 x_{C}-x_{F}\) и \(y_{A}=2 y_{C}-y_{F}\). Оттук и от резултата, получен в а), следва, че \(A\left(\tfrac{a^{2}-8}{4}, 2 a\right)\). С това е решена подточка б). Симетралите \(s_{C M}\) и \(s_{A M}\) на отсечките \(C M\) и \(A M\) имат съответно следните уравнения \(s_{C M}: x=\tfrac{a^{2}-16}{16}\) и \(s_{A M}: 8 a x+32 y-a\left(a^{2}+32\right)=0\). Системата, образувана от тези уравнения, има следното решение \(x_{0}=\tfrac{a^{2}-16}{16}\), \(y_{0}=\tfrac{a\left(a^{2}+80\right)}{64}\). По този начин намерихме координатите \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) на центъра \(\Omega\) на окръжността \(k\), описана за \(\triangle A C M\).
Разстоянието \(M \Omega\) е равно на радиуса \(R\) на \(k\). От координатите на \(\Omega\) по-лучаваме равенството \(R^{2}=\left(\tfrac{a^{2}+16}{16}\right)^{3}\). Оттук намираме уравнението на окръжността \(k: 32 x^{2}+32 y^{2}-4\left(a^{2}-16\right) x-a\left(a^{2}+80\right) y+a^{2}\left(a^{2}+40\right)=0\). От уравненията на \(k\) и \(\pi\) получаваме, че ординатите на общите за \(k\) и \(\pi\) точки удовлетворяватуравнението \((y-a)^{2}\left(y^{2}+2 a y+2 a^{2}+80\right)=0\). Завтория множител в това уравнение имаме \(y^{2}+2 a y+2 a^{2}+80=(y+a)^{2}+a^{2}+80 \gt 0\). Затова той няма реални корени. Следователно уравнението има един двоен корен \(y=a\). Оттук и а) следва, че \(C\left(\tfrac{a^{2}}{8}, a\right)\) е единствената обща точка на \(k\) и \(\pi\) при произволно реално число \(a\). Следователно \(k\) и \(\pi\) са допирателни за всички реални стойности на \(a\). С това е решена и подточка в).
Решение на задача 3. Нека абсцисата на точката \(T\) е \(x_{0}\). Тъй като функциите \(f(x)\) и \(g(x)\) се допират в \(T\), то \(f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)\) и \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right)\). Затова са изпълнени равенствата \(x_{0}^{2017}=a \ln x_{0}\) и \(2017 x_{0}^{2016}=\tfrac{a}{x_{0}}\). Оттук 2017. \(a \ln x_{0}=a\), т.е. \(\ln x_{0}=\tfrac{1}{2017}\). Следователно \(x_{0}=\sqrt[2017]{e}\) и \(a=2017 e\). От-2017. \(a \ln x_{0}=a\), т.е. \(\ln x_{0}=\tfrac{1}{2017}\). Следователно \(x_{0}=\sqrt[2017]{e}\) и \(a=2017 e\). Оттук \(T(\sqrt[2017]{e}, e)\). Допирателната \(t\) има уравнение \(y-e=g^{\prime}(\sqrt[2017]{e})(x-\sqrt[2017]{e})\).
Оттук следва, че \(y=\tfrac{2017 e}{\sqrt[2017]{e}} x-2016 . e\). Нека \(t \cap O x=A\) и \(t \cap O y=B\). От уравнението на \(t\) имаме \(A\left(\tfrac{2016 \sqrt[2017]{e}}{2017}, 0\right)\) и \(B(0,-2016 e)\). Следователно \(S_{O A B}=\tfrac{2016^{2} \cdot e \cdot \sqrt[2017]{e}}{4034}\).