Образователни технологии
БЕЛЕЖКА ВЪРХУ ЕДНА ОТ ЗАДАЧИТЕ ЗА VII КЛАС – 22 МАЙ 2017 Г.
Резюме. Повод за настоящата бележка е задача 24 от Националното външно оценяване за VII клас, проведено на 22 май 2017 г.
Ключови думи: problem; solution; \(7^{\text {th }}\) grade; national assessment
Една от задачите от Националното външно оценяване за VII клас (втори модул), проведено на 22 май 2017 г., е следната:
Задача. Даден е остроъгълен \(\triangle A B C\) с височина \(C H(H \in A B)\). Върху страната \(B C\) е взета точка \(P\) такава, че разстоянията от нея до връх \(C\) и до страната \(A B\) са равни на 4 cm. През точка \(P\) е построена права, перпендикулярна на \(B C\), която пресича правата \(C H\) в точка \(M\) и \(C M=8 \mathrm{~cm}\).
А) Намерете дължината на страната \(B C\).
Б) Намерете лицето на \(\triangle A B C\), ако \(A B=14 \mathrm{~cm}\).
В) Определете отношението \(C M: C H\).
Решение. Разглеждаме правоъгълния \(\triangle C M P\). Тъй като катетът \(C P(4 \mathrm{~cm})\) е два пъти по-малък от хипотенузата \(C M(8 \mathrm{~cm})\), то от обратната теорема за катет в правоъгълен триъгълник срещу ъгъл от \(30^{0}\) следва, че \(\angle C M P=30^{0}\). Но ъглите \(C M P\) и \(C B H\) са с взаимно перпендикулярни рамене и следователно \(\angle C B H=\angle C M P=30^{0}\). Нека \(N\) е петата на перпендикуляра от \(P\) към \(A B\). По условие \(P N=4 \mathrm{~cm}\).
А) Разглеждаме правоъгълния \(\triangle P B N\). От правата теорема за катет в правоъгълен триъгълник срещу ъгъл от \(30^{0}\) следва, че \(P B=2 P N=2.4=8 \mathrm{~cm}\). Тогава
\[ B C=C P+P B=4+8=12 \mathrm{~cm} . \]
Съгласно критериите за оценяване, на получените дотук резултати се присъждат 7 точки (от общо 10 за задачата): 2 точки за чертежа, по 2 точки за намиране на ъглите \(C M P\) и \(C B H, 1\) точка за намиране на \(B C\).
Б) В тестовата книжка към задачата е включено следното упътване: Запишете пълното решение на задача 24, придружено с чертеж, който да отговаря на условието и необходимите обосновки. Следвайки упътването, построяваме \(\triangle A B C\) с реалните му размери, т.е. триъгълник със страни 14 cm и 12 cm и ъгъл между тях \(30^{0}\). Да припомним, че построяването на ъгъл \(30^{0}\) с линийка и пергел става с помощта на правоъгълен триъгълник, в който единият от катетите е два пъти по-малък от хипотенузата. След това (пак с линийката и пергела) построяваме перпендикуляр към \(B C\) през точката \(C\). Веднага се забелязва, че \(\angle A C B\) не е остър и тъй като по условие \(\triangle A B C\) е остроъгълен, заключаваме, че задачата няма решение. Ако ученикът е обърнал достатъчно внимание на упътването и се е опитал да направи чертеж, който да отговаря на условието на задачата, той ще стигне до верния отговор. Използваното доказателство се основава на построение. Съществуват и аналитични доказателства, но те не са по силите на един седмокласник предвид изучаваното учебно съдържание (например с помощта на Питагорова теорема или с тригонометрия – материал, който е застъпен в гимназиалните класове). Трябва да отбележим, че доказателство с построение, макар и достъпно за VII клас, е нетипично и не фигурира в учебната програма и учебниците. Едва ли съществуват ученици, които са го използвали по време на изпита. Ако има такива, те със сигурност са единици. Формално погледнато обаче, то наистина е достъпно, което доказва тезата в тази бележка, че задача 24 не е сгрешена.
Напълно естествено е една математическа задача да няма решение и примери за наличие на такова обстоятелство са в изобилие. Освен цитираното упътване към задачата мотив за подобен подход към \(\mathbf{A}\) ) е, че никъде в условието до този момент не се говори за намиране на височината \(C H\). Самата височина се споменава за първи път във B). И откъде накъде в критериите за оценяване се предвижда 1 точка за намиране на \(C H\) преди намиране на лицето \(S_{A B C}\). Причината е, че на автора на задачата му се „иска“ ученикът да игнорира упътването и без никакви проверки да пристъпи към прилагане на формулата за лице на триъгълник по страна и височина към нея. Авторът би имал право на това, ако беше формулирал задачата по друг начин. Например:
Алтернативна формулировка 1. Даден е \(\Delta A B C\) с височина \(C H\), където \(H\) е от страната \(A B\). Върху страната \(B C\) е взета точка \(P\) такава, че разстоянията от нея до връх \(C\) и до страната \(A B\) са равни на 4 cm. През точка \(P\) е построена права, перпендикулярна на \(B C\), която пресича правата \(C H\) в точка \(M\) и \(C M=8 \mathrm{~cm}\).
А) Намерете дължината на страната \(B C\).
Б) Намерете лицето на \(\triangle A B C\), ако \(A B=14 \mathrm{~cm}\).
В) Определете отношението \(C M: C H\).
Алтернативна формулировка 2. Даден е тъпоъгълен \(\triangle A B C\) \(\left(\angle A C B \gt 90^{\circ}\right)\) с височина \(C H(H \in A B)\). Върху страната \(B C\) е взета точка \(P\) такава, че разстоянията от нея до връх \(C\) и до страната \(A B\) са равни на 4 cm . През точка \(P\) е построена права, перпендикулярна на \(B C\), която пресича правата \(C H\) в точка \(M\) и \(C M=8 \mathrm{~cm}\).
А) Намерете дължината на страната \(B C\).
Б) Намерете лицето на \(\triangle A B C\), ако \(A B=14 \mathrm{~cm}\).
В) Определете отношението \(C M: C H\).
Алтернативна формулировка 3. Даден е остроъгълен \(\triangle A B C\) с височина \(C H(H \in A B)\). Върху страната \(B C\) е взета точка \(P\) такава, че разстоянията от нея до врьх \(C\) и до страната \(A B\) са равни на 4 cm. През точка \(P\) е построена права, перпендикулярна на \(B C\), която пресича правата \(C H\) в точка \(M\) и \(C M=8 \mathrm{~cm}\).
А) Намерете дължината на страната \(B C\).
Б) Определете отношението \(C M: C H\).
В) Намерете лицето на \(\triangle A B C\), ако \(A B=13,8 \mathrm{~cm}\).
Промените в алтернативната формулировка 3 са две: разменени са местата на подточки Б) и В), а дължината на страната \(A B\) е намалена така, че триъгълникът да бъде наистина остроъгълен (възможни са и други подходящи стойности на \(A B\) ). Първата промяна съдържа естествено „подсказване“, което насочва ученика към пресмятане на височината \(C H\).
Продължаваме решението на оригиналната задача.
В) Разглеждаме правоъгълния \(\triangle H B C\). От правата теорема за катет в правоъгълен триъгълник срещу ъгъл от \(30^{0}\) следва, че \(C H=\tfrac{1}{2} B C=\tfrac{1}{2} \cdot 12=6 \mathrm{~cm}\). Тогава \[ C M: C H=8: 6=4: 3 \text {. } \]
Ученикът получава още 2 точки: 1 точка за \(C H\) и 1 точка за намиране на отношението.
В края на бележката ще споменем отново основната теза: задача 24 от темата за външно оценяване в VII клас не е сгрешена. Неточности има в критериите за оценяване. Но учениците не разполагат с критериите по време на изпита и нямат нищо общо с тях. При това критериите са винаги с предварителен характер, защото не е възможно да се предвидят всички подходи. Следователно учениците не са поставени пред невъзможност да решат задача 24 в пълнота. Учудваща е разрасналата се кампания (организирана от недоброжелатели), че задача 24 била сгрешена. Друг е въпросът защо повечето ученици са умножили дължините на \(A B\) и \(C H\), разделили са с 2 и са получили отговор \(42 \mathrm{~cm}^{2}\) за лицето на несъществуващия триъгълник \(A B C\). Дискусия изобщо не би имало, ако вместо въпросната задача 24 беше предложена друга задача. Но за това вината не е на МОН, а на Центъра за оценяване в предучилищното и училищното образование. Очевидно е, че отговорните фактори в Центъра не са анализирали в достатъчна степен миналогодишните гафове със същото това външно оценяване в VII клас и продължават да включват хора със съмнителни математически компетенции в групата на авторите и експертите оценители.