Образователни технологии
БЕЛЕЖКА ВЪРХУ ТЕОРЕМАТА ЗА СТЕПЕННИТЕ СРЕДНИ И ОБУЧАВАЩИЯ ХАРАКТЕР НА ОЛИМПИАДИТЕ
Резюме. Повод за настоящата бележка е задача 3. за VIII клас от областния кръг на Националната олимпиада по математика, проведен на 8 февруари 2017 г.
Ключови думи: problem, solution, Olympiad, educational character
Една от задачите на областния кръг по математика за VIII клас през 2017 г. е следната.
За положителните числа \(a, b, c\) и \(d\) да се докажат неравенствата:
\[ \begin{aligned} & \text { а) }\left(\cfrac{a+b+c+d}{4}\right)^{3} \leq \cfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}{4} \\ & \text { б) } \cfrac{a^{3}}{2 a^{4}+1}+\cfrac{b^{3}}{2 b^{4}+1}+\cfrac{c^{3}}{2 c^{4}+1} \leq 1, \text { ако } a+b+c=3 . \end{aligned} \]
Съдържателната математическа част на тази задача е свързана с теоремата за степенните средни, която може да се формулира по следния начин.
Теорема за степенните средни. Дадени са положителните числа \(a_{1}, a_{2}\), \(\ldots, a_{n}\). Ако \(\alpha \lt \beta\), то степенното средно от ред \(\alpha\) не надминава степенното средно от ред \(\beta\), т.е.
\[ \left(\cfrac{a_{1}^{\alpha}+a_{2}^{\alpha}+\ldots+a_{n}^{\alpha}}{n}\right)^{\cfrac{1}{\alpha}} \leq\left(\cfrac{a_{1}^{\beta}+a_{2}^{\beta}+\ldots+a_{n}^{\beta}}{n}\right)^{\cfrac{1}{\beta}} . \]
Равенството се достига само ако \(a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}\).
Тази теорема обобщава неравенствата между класическите средни величини: средното аритметично (степенното средно при \(\alpha=1\) ), средното квадратично (степенното средно при \(\alpha=2\) ), средното хармонично (степенното средно \(a=-1\) ), при), средното геометрично (степенното средно при \(\alpha \rightarrow 0\) ) и др. При \(\alpha=1\) и \(\beta=k\), където \(k\) е цяло число, по-голямо от 1 , се получава следният частен случай, който е достъпен за ученици:
\[ \left(\cfrac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}\right)^{k} \leq \cfrac{a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\ldots+a_{n}^{k}}{n} . \]
Разглежданата задача от областния кръг е свързана с по-частните случаи на горния частен случай на теоремата за степенните средни, когато \(k=2\) или 3, а \(n=2,3\) или 4. Твърде често тези частни случаи се разглеждат в школите по математика. Поради тази причина в указанията към областните комисии беше изрично споменато, че е разрешено използването на теоремата за степенните средни, без да е необходимо тя да се доказва дори и в случаите, свързани с олимпиадната задача. Теоремата не е от учебното съдъжание по математика за ЗИП, като е естествено да се предполага, че по-голямата част от осмокласниците, участващи в областния кръг, не я познават в общия ѝ вид. Целта за включване на разглежданата задача в темата е да им са даде възможност да проявят творчество и да докажат постьпково споменатите частни случаи, като използват добре известното им неравенство между средното аритметично и средното геометрично първоначално на две, а след това и на повече положителни числа. Най-важната цел на задачата е учениците да достигнат (самостоятелно или с позоваване на теоремата за степенните средни) до неравенството \[ \left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3} \leq \cfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} \] където \(a, b\) и \(c\) са положителни числа, след което да го приложат за доказване на твърдението от точка б). Самото приложение изисква досещане и техническа сръчност, което представлява най-трудната част на задачата за тези, които познават теоремата за степенните средни. Ако ученикът е почувствал духа на подточка а), той би могъл да се справи и с подточка б), използвайки кубични корени. Ето самото решение на б).
От неравенството между средното аритметично и средното геометрично имаме:
\[ 2 a^{4}+1=a^{4}+a^{4}+1 \geq 3 \sqrt[3]{a^{8}} \text { и оттук } \cfrac{a^{3}}{2 a^{4}+1} \leq \cfrac{a^{3}}{3 \sqrt[3]{a^{8}}}=\cfrac{1}{3} \sqrt[3]{a} \]
Тогава \(\cfrac{a^{3}}{2 a^{4}+1}+\cfrac{b^{3}}{2 b^{4}+1}+\cfrac{c^{3}}{2 c^{4}+1} \leq \cfrac{1}{3}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b})\). Сега от неравенството
\[ \left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3} \leq \cfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} \text { следва, че } \] \(\cfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}}{3} \leq \sqrt[3]{\cfrac{a+b+c}{3}}=\sqrt[3]{\cfrac{3}{3}}=1\), с което твърдението в б) е доказано.
По време на провеждането на областния кръг осмокласниците все още не са изучавали кубичен корен. Поради това предлагаме решение без кубичен корен и ако някой попита защо се излага решение с кубичен корен, то отговорът е, че именно това е естественият ход за решаване на задачата. Не бива да се забравя, че основната цел на олимпиадите не е селекция за национален отбор. Селекцията е важна, но много по-важно е учениците да повишат знанията и уменията си по математика чрез участието си в олимпиадите. Ето все пак решение без кубичен корен.
Използването на кубичен корен не е задължително и при прилагането на неравенството между средното аритметично и средното геометрично. По-точно, в разглежданата задача това неравенство може да се запише без корени така: \(\left(\cfrac{2 a^{4}+1}{3}\right)^{3} \geq a^{8}\), т.е. \(\left(2 a^{4}+1\right)^{3} \geq 27 a^{8}\). Оттук \(\cfrac{a^{9}}{\left(2 a^{4}+1\right)^{3}} \leq \cfrac{a^{9}}{27 a^{8}}=\cfrac{1}{27} a\), т.е. \(\left(\cfrac{a^{3}}{2 a^{4}+1}\right)^{3} \leq \cfrac{1}{27} a\). По същия начин \(\left(\cfrac{b^{3}}{2 b^{4}+1}\right)^{3} \leq \cfrac{1}{27} b\) и \(\left(\cfrac{c^{3}}{2 c^{4}+1}\right)^{3} \leq \cfrac{1}{27} c\). Като сумираме последните три неравенства, стигаме до
\[ \left(\cfrac{a^{3}}{2 a^{4}+1}\right)^{3}+\left(\cfrac{b^{3}}{2 b^{4}+1}\right)^{3}+\left(\cfrac{c^{3}}{2 c^{4}+1}\right)^{3} \leq \cfrac{1}{27}(a+b+c)=\cfrac{1}{27} \cdot 3=\cfrac{1}{9} \]
По-нататък с помощта на \(\left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3} \leq \cfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\) имаме:
\[ \left(\cfrac{\cfrac{a^{3}}{2 a^{4}+1}+\cfrac{b^{3}}{2 b^{4}+1}+\cfrac{c^{3}}{2 c^{4}+1}}{3}\right)^{3} \leq \cfrac{\left(\cfrac{a^{3}}{2 a^{4}+1}\right)^{3}+\left(\cfrac{b^{3}}{2 b^{4}+1}\right)^{3}+\left(\cfrac{c^{3}}{2 c^{4}+1}\right)^{3}}{3} \leq \cfrac{1}{3} \cdot \cfrac{1}{9}= \] Оттук \(\left(\cfrac{a^{3}}{2 a^{4}+1}+\cfrac{b^{3}}{2 b^{4}+1}+\cfrac{c^{3}}{2 c^{4}+1}\right)^{3} \leq 1\) и като използваме, че степените (в нашия случай целочислени) на по-големите от 1 числа са по-големи от 1 , заключаваме, че:
За пълнота на разглежданията привеждаме решението и на подточка a) на задачата, както и на неравенството \(\left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3} \leq \cfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\). За целта ще използваме, че \(\left(\cfrac{a+b}{2}\right)^{2} \leq \cfrac{a^{2}+b^{2}}{2}\). Тогава \(\left(\cfrac{a+b}{2}\right)^{3}=\left(\cfrac{a+b}{2}\right)^{2} \cdot \cfrac{a+b}{2} \leq \cfrac{a^{2}+b^{2}}{2} \cdot \cfrac{a+b}{2}=\cfrac{a^{3}+b^{3}}{2}-\cfrac{a^{3}+b^{3}-a^{2} b-a b^{2}}{4}\) и тъй като \(\cfrac{a^{3}+b^{3}-a^{2} b-a b^{2}}{4}=\cfrac{a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)}{4}=\cfrac{(a-b)\left(a^{2}-b^{2}\right)=(a-b)^{2}(a+b)}{4} \geq 0\), то от горното следва, че \(\left(\cfrac{a+b}{2}\right)^{3} \leq \cfrac{a^{3}+b^{3}}{2}\). Следователно
\[ \begin{aligned} & \leq \cfrac{\cfrac{a^{3}+b^{3}}{2}+\cfrac{c^{3}+d^{3}}{2}}{2}=\cfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}{4} \\ & \left(\cfrac{a+b+c+d}{4}\right)^{3}=\left(\cfrac{\cfrac{a+b}{2}+\cfrac{c+d}{2}}{2}\right)^{3} \leq \cfrac{\left(\cfrac{a+b}{2}\right)^{3}+\left(\cfrac{c+d}{2}\right)^{3}}{2} \leq \end{aligned} \]
Тъй като \(\left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3}=\left(\cfrac{a+b+c+\cfrac{a+b+c}{3}}{4}\right)^{3}\), можем да приложим вече доказаното неравенство от а) за \(d=\cfrac{a+b+c}{3}\). Имаме:
\[ \left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3}=\left(\cfrac{a+b+c+\cfrac{a+b+c}{3}}{4}\right)^{3} \leq \cfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}+\left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3}}{4} \] и оттук \(4\left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3} \leq a^{3}+b^{3}+c^{3}+\left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3}\), т.е.
\[ \begin{aligned} & 3\left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3} \leq a^{3}+b^{3}+c^{3} . \\ & \quad \text { Заключаваме, че }\left(\cfrac{a+b+c}{3}\right)^{3} \leq \cfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3} . \end{aligned} \] В края на бележката ще отбележим още веднъж основната теза: олимпиади по математика, както и по останалите предмети, трябва се схващат като прояви, в които учениците и учителите се докосват до важни факти в науката, придобиват знания и умения за тяхното прилагане и формират траен интерес към дисципланата, в която се изявяват.
REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА
Grozdev, S. (2007). For High Achievements in Mathematics. The Bulgarian Experience (Theory and Practice). Sofia: ADE, 295 pages.