Сава Гроздев

Institute of Mathematics and Informatics – BAS
Acad. G. Bonchev Street bl. 8
1113 Sofia Bulgaria
E-mail: sava.grozdev@gmail.com

Веселин Ненков

Technical College Lovech
31 Sajko Saev Str.
Lovech Bulgaria
E-mail: vnenkov@mail.bg

Резюме. В статията се разглежда Задача 4 от Международната олимпиада по математика през 2014 г., за която е предложено обобщение.

Ключови думи: conic, tangent, barycentric coordinates, Feuerbach configuration

На Международната олимпиада по математика през юли 2014 г. в Кейптаун, Южна Африка, беше предложена следната задача.

Върху страната \(B C\) на остроъгълния триъгълник \(A B C\) са избрани точки \(P\) и \(Q\) така, че \(∢ P A B=∢ B C A\) и \(∢ C A Q=∢ A B C\). Точките \(M\) и \(N\) съответно върху правите \(A P\) и \(A Q\) са такива, че \(P\) е среда на \(A M\) и \(Q\) е среда на \(A N\). Да се докаже, че правите \(B M\) и \(C N\) се пресичат върху описаната около триъгълника \(A B C\) окръжност.

Нека \(\Gamma\) е описаната за \(\triangle A B C\) окръжност, а \(t_{b}\) и \(t_{c}\) са допирателните на \(\Gamma\) съответно във върховете \(B\) и \(C\). От свойството на периферния ъгъл се вижда, че \(A P \| t_{b}\) и \(A Q \| t_{c}\). Последното наблюдение ни довежда до идеята, че твърдението на задачата може да се обобщи със следната

Теорема. Нека \(\bar{k}(O)\) е конично сечение с център \(O\), описано за \(\triangle A B C\), а \(t_{b}\) \(u t_{c}\) са допирателните на \(\bar{k}(O)\) съответно в точките \(B\) и \(C\). Точките \(P u\) \(Q\) от правата \(B C\) са такива, че \(A P \| t_{b}\) и \(A Q \| t_{c}\). Ако точките \(M\) и \(N\) са симетричните образи на \(A\) съответно спрямо \(P\) и \(Q\), то правите \(B M\) и \(C N\) се пресичат върху \(\bar{k}(O)\).

Наблюденията с програмата “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP) по-твърждават хипотезата, формулирана в горната теорема. За да обосновем формулирания резултат, е необходимо да извършим строго доказателство. Такова доказателство ще получим с използването на барицентрични координати спрямо дадения \(\triangle A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) ( (Паскалев & Чобанов, 1985). Преди да преминем към доказателството на теоремата, ще намерим уравнението на допирателната в произволна точка на дадено конично сечение в равнината на \(\triangle A B C\).

1. Уравнение на допирателна в точка от конично сечение. В равнината на \(\triangle A B C\) разглеждаме кривата \(k\) с уравнение

\[ k: a_{11} x^{2}+a_{22} y^{2}+a_{33} z^{2}+2 a_{12} x y+2 a_{23} y z+2 a_{31} z x=0 \] и права \(l\), минаваща през точка \(M\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)\left(x_{M}+y_{M}+z_{M}=1\right)\) и колинеарна с вектора \((\alpha, \beta, \gamma)(\alpha+\beta+\gamma=0)\). Ако лявата част на уравнението на \(k\) е означена с \(f(x, y, z)\) и \(f_{x}(x, y, z)=a_{11} x+a_{12} y+a_{13} z, f_{y}(x, y, z)=a_{21} x+a_{22} y+a_{23} z\), \(f_{z}(x, y, z)=a_{31} x+a_{32} y+a_{33} z\), y, z) = a31x + a32 y + a33z , където \(a_{21}=a_{12}, a_{32}=a_{23}\) и \(a_{13}=a_{31}\), след заместване на параметричните уравнения \(x=x_{M}+\alpha t, y=y_{M}+\beta t, z=z_{M}+\gamma t\) на правата \(l\) в уравнението на \(k\) за параметъра \(t\) получаваме

\[ \begin{gathered} f(\alpha, \beta, \gamma) t^{2}+2\left[f_{x}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) \alpha+f_{y}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) \beta+f_{z}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) \gamma\right] t+ \\ +f\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)=0 \end{gathered} \] Ако \(M\) е точка от \(k\) и \(l\) е тангента за \(k\), то \(f\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)=0\). Тогава \(t=0\) е корен на последното уравнение и за да е двоен корен на същото уравнение, трябва да е изпълнено равенството \(f_{x}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) \alpha+f_{y}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) \beta+f_{z}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) \gamma=0\). От \(\alpha+\beta+\gamma=0\) и последното равенство получаваме \(\alpha=\tfrac{f_{z}-f_{y}}{f_{y}-f_{x}} \gamma\) и \(\beta=\tfrac{f_{x}-f_{z}}{f_{y}-f_{x}} \gamma\).

Нека правата \(l\) има общо уравнение \(l: u x+v y+w z=0\). Лесно се вижда, че при \(\alpha=v-w, \beta=w-u\) и \(\gamma=u-v\) от параметричните уравнения на \(l\) се получава общото уравнение. Затова можем да положим \(u=w-\beta, v=w-\alpha\). Тъй като \(u x_{M}+v y_{M}+w z_{M}=0\), то \(w=-y_{M} \alpha+x_{M} \beta\). Оттук намираме \(u=-y_{M} \alpha-\left(1-x_{M}\right) \beta\), \(v=\left(1-y_{M}\right) \alpha+x_{M} \beta, w=-y_{M} \alpha+x_{M} \beta\). След заместване в последните равенства на получените по-горе изразявания за \(\alpha\) и \(\beta\) чрез \(\gamma\), като вземем предвид, че \(x_{M} f_{x}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)+y_{M} f_{y}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)+z_{M} f_{z}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)=0\), получавамеравенството \(f_{x}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) x+f_{x}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) y+f_{x}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right) z=0\). Сега от дефиницията на \(f_{x}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right), f_{y}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)\) и \(f_{z}\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)\) получаваме, че уравнението на тангентата \(l\) през точката \(M\) на \(k\) има следното уравнение:

(1) \(l:\left(a_{11} x_{M}+a_{12} y_{M}+a_{13} z_{M}\right) x+\left(a_{21} x_{M}+a_{22} y_{M}+a_{23} z_{M}\right) y+\left(a_{31} x_{M}+a_{32} y_{M}+a_{33} z_{M}\right) z=0\).

2. Доказателство на теоремата. Описаната крива \(\bar{k}(O)\) принадлежи на Фойербахова конфигурация, в която центърът на една от вписаните в \(\triangle A B C\) криви е точката \(I\left(x_{I}, y_{I}, z_{I}\right)\) ( (Ненков, 2010). Тогава уравнението на \(\bar{k}(O)\) може да се представи във вида:

(2) \[ \bar{k}(O): x_{I}^{2} y z+y_{I}^{2} z x+z_{I}^{2} x y=0 . \]

От (1) и (2), когато \(M\) съвпада с \(B\) и \(C\), се получават уравненията съответно на допирателните \(t_{b}\) и \(t_{c}\) във вида: \(t_{b}: z_{I}^{2} x+x_{I}^{2} z=0, t_{c}: y_{I}^{2} x+x_{I}^{2} y=0\). Тъй като правата суравнение \(u x+v y+w z=0\) е колинеарна с вектора ( \(v-w, w-u, u-v\) ) , то векторите \(\overrightarrow{t_{b}}\left(-x_{I}^{2}, x_{I}^{2}-z_{I}^{2}, z_{I}^{2}\right)\) и \(\overrightarrow{t_{c}}\left(x_{I}^{2},-y_{I}^{2}, y_{I}^{2}-x_{I}^{2}\right)\) са колинеарни съответно с допирателните \(t_{b}\) и \(t_{c}\). Сега за параметричните уравнения на правите \(l_{b} \| t_{b}\) и \(l_{c} \| t_{c}\) намираме \[ \begin{aligned} & l_{b}: x=1-x_{I}^{2} p, y=\left(x_{I}^{2}-z_{I}^{2}\right) p, z=z_{I}^{2} p, \\ & l_{c}: x=1+x_{I}^{2} q, y=-y_{I}^{2} q, z=\left(y_{I}^{2}-x_{I}^{2}\right) q . \end{aligned} \]

Оттук при \(x=0\) се получават координатите на точките \(P\) и \(Q\) във вида: \(P\left(0, \tfrac{x_{I}^{2}-z_{I}^{2}}{x_{I}^{2}}, \tfrac{z_{I}^{2}}{x_{I}^{2}}\right), Q\left(0, \tfrac{y_{I}^{2}}{x_{I}^{2}}, \tfrac{x_{I}^{2}-y_{I}^{2}}{x_{I}^{2}}\right)\). Сега за симетричните точки \(M\) и \(N\) на \(A\) спрямо \(P\) и \(Q\) получаваме \(M\left(-1, \tfrac{2\left(x_{I}^{2}-z_{I}^{2}\right)}{x_{I}^{2}}, \tfrac{2 z_{I}^{2}}{x_{I}^{2}}\right)\) и \(N\left(-1, \tfrac{2 y_{I}^{2}}{x_{I}^{2}}, \tfrac{2\left(x_{I}^{2}-y_{I}^{2}\right)}{x_{I}^{2}}\right)\). От координатите на \(M\) и \(N\) намираме параметричните уравнения на правите \(B M\) и \(C N\) във вида:

\[ \begin{aligned} & B M: x=m, y=1+\tfrac{2 z_{I}^{2}-x_{I}^{2}}{x_{I}^{2}} m, z=-\tfrac{2 z_{I}^{2}}{x_{I}^{2}} m \\ & C N: x=n, y=-\tfrac{2 y_{I}^{2}}{x_{I}^{2}} n, z=1+\tfrac{2 y_{I}^{2}-x_{I}^{2}}{x_{I}^{2}} n \end{aligned} \]

С помощта на тези уравнения заключаваме, че пресечната точка \(T\) на правите \(B M\) и \(C N\) има следните координати

\[ T\left(\tfrac{x_{I}^{2}}{x_{I}^{2}-2 y_{I}^{2}-2 z_{I}^{2}},-\tfrac{2 y_{I}^{2}}{x_{I}^{2}-2 y_{I}^{2}-2 z_{I}^{2}},-\tfrac{2 z_{I}^{2}}{x_{I}^{2}-2 y_{I}^{2}-2 z_{I}^{2}}\right) \]

Непосредственото заместване на тези координати в лявата част на (2) води до вярно тъждество. С това теоремата е доказана.

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С. & Ненков, В. (2013). Един специален вид криви от втора степен, породени от точката на Нагел. Математика плюс, 21 (2) , 44 – 53.

Гроздев, С. & Ненков, В. (2014). Крива на Чева за точка от равнината на триъгълник. Математика и информатика, 57 (3) , 285 – 298.

Гроздев, С. & Ненков, В. (2009). Една крива от втора степен за две точки на Чева. Математика и математическо образование, 38, 245 – 248.

Ненков, В. (2010). Няколко свойства на Фойербаховата конфигурация. Математика и информатика, 53 (5) , 42 – 61.

Ненков, В. (2008). Обобщение на теоремата на Фойербах. Математика и информатика, 51 (2) , 35 – 42.

Паскалев, Г. & Чобанов, И. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.

Хитов, Х. (1990). Геометрия на триъгълника. София: Народна просвета.

REFERENCES

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2013). Edin specialen vid krivi ot vtora stepen, porodeni ot tochkata na Nagel, Matematika Plus, 21 (2) , 44 – 53.

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2014). Kriva na Cheva za tochka ot ravninata na tri’g’lnik Мatematika i Informatika, 57 (3) , 285 – 298.

Grozdev, S. & Nenkov, V. (2009). Edna kriva ot vtora stepen za dve tochki na Cheva. Мatematika i matematichesko obrazovanie, 38, 245 – 248.

Nenkov, V. (2010). Nyakolko svoystva na Feuerbahovata kongiguracia. Matematika \(i\) Informatika, 53 (5) , 42 – 61.

Nenkov, V. (2008). Obobshtenie na teoremata na Feuerbah. Мatematika i Informatika, 51 (2) , 35 – 42.

Paskalev, G. & Chobanov, G. (1985). Zabelezhitelni tochki v tri’g’lnika. Sofia: Narodna prosveta.

Hitov, H. (1990). Geometriya na tri’g’lnika. Sofia: Narodna prosveta.