Резюме. Авторът предлага обобщение на ортоцентричния триъгълник. Обобщеният триъгълник е перспективен на триъгълника \(A B C\) и зависи от произволна точка на Чева \(P\). Наричаме го \(H\)-триъгълник на точката \(P\). Изображението, което на точка на Чева \(P\) съпоставя перспектора на \(H\)-триъгълника на \(P\) и триъгълника \(A B C\), наричаме \(H\)-изображение на \(P\). Показваме, че \(H\)-изображението е композиция на две известни преобразувания на точки: допълнение и изогонална спрегнатост. Намираме образите на някои забележителни точки при \(H\)-изображението. Резултатите в тази статия могат да бъдат използвани за тестване на компютърната програма „Откривател“.

Ключови думи: generalization of the orthic triangle, perspective triangle, perspector, notable points

Добре е известно, че триъгълникът с върхове петите на височините на даден неправоъгълен триъгълник са нарича ортоцентричен триъгълник. Ортоцентричният триъгълник притежава интересни и разнообразни свойства. Едно от основните свойства на ортоцентричния триъгълник е, че той е перспективен с изходния триъгълник \(A B C\), като перспекторът е ортоцентърът. Ще припомним, че два триъгълника в равнината се наричат перспективни, ако правите, преминаващи през съответните върхове, се пресичат в една точка. Тази точка се нарича център на перспективата, или перспектор, за по-кратко.

Тук ще разгледаме едно обобщение на ортоцентричния триъгълник. Обобщеният триъгълник също е перспективен на изходния триъгълник \(A B C\). В тази статия с \(P\) ще бележим произволна точка на Чева. Обобщеният триъгълник зависи от произволна точка на Чева \(P\). Ако точката на Чева е ортоцентърът, то обобщеният триъгълник съвпада с ортоцентричния триъгълник. Ще наричаме обобщения триъгълник \(H\)-триъгълник на \(P\). Перспекторът на \(H\)-триъгълника на \(P\) и триъгълника \(B C\) ще наричаме \(H\)-точка на \(P\). Изображението, което на точка на Чева \(P\) съпоставя H  точката на \(P\), ще наричаме \(H\)-изображение на P. Както ще видим, \(H\)-изображението може да бъде представено като композиция на две известни изображения на точки – допълнение и изогонална спрегнатост. Образите на забележителни точки на триъгълника при \(H\)-изображението са също забележителни точки на триъгълника. Част от забележителните точки – образи, по мнението на автора, не са разглеждани досега в литературата. Построяването на новите забележителни точки с линийка и пергел не представлява трудност.

Дефинираме \(H\)-триъгълника на точката \(P\), както следва. Нека \(\Delta A_{1} B_{1} C_{1}\) е триъгълникът на Чева на точката \(P\). Трите точките \(A, B\) и \(B_{1}\) дефинират окръжност и трите точки \(A, C\) и \(C_{1}\) дефинират още една окръжност. Тези две окръжности се пресичат в точката \(A\) и в още една точка, която означаваме с \(Q_{a}\). Аналогично дефинираме точките \(Q_{b}\) и \(Q_{c}\). Тези три точки \(Q_{a}, Q_{b}\) и \(Q_{c}\) са върховете на \(H-\) триъгълника на точката \(P\).

Ще отбележим, че така дефинираните точки \(Q_{a}, Q_{b}\) и \(Q_{c}\) са брокариани съответно на четириъгълниците \(B C B_{1} C_{1}, C A C_{1} A_{1}\) и \(A B A_{1} B_{1}\) (Хаимов, 2005), (Хаимов, 2006) и като такива, имат различни забележителни свойства.

Теорема 1. За всяка точка \(P \quad H\)-триъгълникът на \(P\) и \(\triangle A B C\) са перспективни.

Фигура 1 илюстрира Теорема 1. На фиг. 1 точката \(P\) е произволна точка на Чева в равнината на \(\triangle A B C\). Триъгълникът \(Q_{a} Q_{b} Q_{c}\) е \(H\)-триъгълникът на точката \(P\). Правите \(A Q_{a}, B Q_{b}\) и \(C Q_{c}\) се пресичат в една точка, която е \(H\)-точката на точката \(P\).

Теорема 2. Нека точка \(P\) има барицентрични координати (\(u: v: w\) ). Тогава \(H-\) точката на \(P\) (т.е. перспекторьт на \(H\)-триъгълника на \(P\) и триъгълника \(A B C\) ) има барицентрични координати \(\left(\tfrac{a^{2}}{v+w}: \tfrac{b^{2}}{w+u}: \tfrac{c^{2}}{u+v}\right)\).

Теорема 3. \(H\)-изображението е композиция на допълнение и изогонална спрегнатост.

Доказателство. Нека точката \(P\) има барицентрични координати (\(x: y: z\) ) . Тогава допълнението на \(P\) има барицентрични координати ( \(y+z: z+x: x+y\) ) , а изогонално спрегнатата точка на \(P\) има барицентрични координати \(\left(\tfrac{a^{2}}{x}: \tfrac{b^{2}}{y}: \tfrac{c^{2}}{z}\right)\). Оттук следва, че изогонално спрегнатата точка на допълнението на точка \(P=(u: v: w)\) има барицентрични координати \(\left(\tfrac{a^{2}}{v+w}: \tfrac{b^{2}}{w+u}: \tfrac{c^{2}}{u+v}\right)\).

Теорема 3 позволява да намерим образите на ред забележителни точки на триъгълника при \(H-\) изображението.

Теорема 4. Ортоцентърът на произволен неправоъгълен триъгълник е двойна точка на \(H\)-изображението.

Доказателство. Първо намираме допълнението на ортоцентъра. Това е центърът \(O\) на описаната окръжност. (Паскалев \(\&\) Чобанов, 1985). След това намираме изогонално спрегнатата точка на точката \(O\). Това е ортоцентърът \(H\)(Паскалев \(\&\) Чобанов, 1985). Следователно, ортоцентърът \(H\) е двойна точка на \(H\)изображението.

Теорема 5. Образът на медицентъра на триъгълника при \(H-\) изображението е точката на Лемоан.

Доказателство. Допълнението на медицентъра е самият медицентър. Изогонално спрегнатата точка на медицентъра е точката на Лемоан (Паскалев & Чобанов, 1985) .

Фигура 2 илюстрира Теорема 5. На фигура 2 точка \(G\) е медицентърът на триъгълника \(A B C\), т триъгълникът \(O_{a} O_{b} O_{c}\) е \(H\)-триъгълникът на медицентъра \(G\), точка \(K\) е точката на Лемоан, правите \(A K, B K\) и \(C K\) са симедианите. Тогава точките \(O_{a}\), \(O_{b}\) и \(O_{c}\) лежат върху симедианите.

Теорема 6. Образът на точката на Нагел на триъгълника при \(H-\) изображението е центърът на вписаната окръжност.

Доказателство. Допълнението на точката на Нагел \(N\) е центърът на вписаната окръжност \(I\). Изогонално спрегнатата точка на \(I\) е самата точка \(I\) (Паскалев & Чобанов, 1985) .

Ще отбележим, че ако знаем барицентричните координати на една точка, по теорема 3 лесно можем да намерим барицентричните координати на образа на точката при \(H\)-изображението. Например центърът на вписаната окръжност има барицентрични координати \((a: b: c)\), откъдето образът на тази точка при \(H-\) изображението има барицентрични координати \(\left(\tfrac{a^{2}}{b+c}: \tfrac{b^{2}}{c+a}: \tfrac{c^{2}}{a+b}\right)\).

Накрая ще приведем барицентричните координати на върховете на \(H\)-триъгълника \(O_{a} O_{b} O_{v}\) на медицентъра: \(Q_{a}=\left(b^{2}+c^{2}-2 a^{2}: 3 b^{2}: 3 c^{2}\right)\), \(Q_{b}=\left(3 a^{2}: c^{2}+a^{2}-2 b^{2}: 3 c^{2}\right), Q_{c}=\left(3 a^{2}: 3 b^{2}: a^{2}+b^{2}-2 c^{2}\right)\).

А ето и една задача за самостоятелна работа.

Задача. Да се докаже, че ортоцентърът е единствената двойна точка на \(H\)изображението.

В заключение, ще отбележим, че с помощта на компютърната програма „Откривател“ (Гроздев \(\&\) Деков, 2013) би могло да се изследват връзките на забележителни точки на триъгълника с \(H\)-изображения на дадени забележителни точки, както и да бъдат открити и други триъгълници, перспективни с \(H\)-триъгълника на медицентъра.

ЛИТЕРАТУРА

Хаимов, Х. (2005). Брокариани на четириъгълник, Математика, 5.

Хаимов, Х. (2006). Брокарианите забележителни точки в четири-ъгълника, Математика и информатика, 6.

Паскалев, Г. & И. Чобанов (1985). Забележителни точки в триъгълника, София: Народна просвета.

Гроздев, С. & Д. Деков (2013). Някои приложения на компютърната програма „Откривател“, Математика и информатика, 5.

REFERENCES

Haimov, H. (2005). Brokariani na chetiriagalnik, Matematika, 5.

Haimov, H. (2006). Brokarianite zabelezhitelni tochki v chetiriagalnika, Matematika \(i\) informatika, 6.

Paskalev, G. & I. Chobanov (1985). Zabelezhitelni tochki v triagalnika, Sofiya. Narodna prosveta.

Grozdev, S. & D. Dekov (2013). Nyakoi prilozheniya na kompyutarnata programa „Otkrivatel“, Matematika i informatika, 5.