ЕДНО НЕРАВЕНСТВО ЗА ТРАПЕЦ
Резюме. Тази бележка е посветена на обобщението на една задача за трапец от сп. „Математика и информатика“, 2000 г.
Ключови думи: convex quadrilateral, square, rhombus, trapezoid, area.
В следващите редове ще приведем едно обобщение на следната:
Задача 1. Върху страните \(A B, B C, C A\) и \(D A\) на произволен трапец \(A B C D\) външно за трапеца са построени квадрати с центрове съответно \(P, M, Q\) и \(N\). Да се докаже неравенството \(S_{P M Q N} \geq 2 . S_{A B C D}\) и да се определи при какви условия за трапеца се достига равенство (Фиг. 1) (Математика и информатика, 2000).
Тази задача, чийто автор е Валери Цеков, е публикувана като задача 2 в рубриката „Задачи по математика“ на списание „Математика и информатика“, кн. 1, 2000 г. В рубриката „Решения на задачите“ на същото списание (кн. 2, 2001 г.) (Математика и информатика, 2001) е публикувано решението на автора, което използва аналитични средства. Тук ще решим следната по-обща:
Задача 2. Върху страните на произволен трапец \(A B C D\) външно за трапеца са построени ромбове така, че ъглите на два ромба, прилежащи на един и същи ъгъл на трапеца, са равни. Ако ромбовете, построени върху страните \(A B, B C\), \(C A\) и \(D A\) на трапеца, имат центрове съответно \(P, M, Q\) и \(N\), а равните им ъгли са с мярка \(\alpha\), да се докаже неравенството \(S_{P M Q N} \geq 2 . S_{A B C D} . \sin ^{2} \alpha\) и да се определи при какви условия за трапеца се достига равенство (Фиг. 2).
Ще покажем едно решение на тази задача, което използва преди всичко геометрични съображения. Преди това ще докажем следната известна
Теорема. Върху страните на изпъкнал четириъгълник външно са построени ромбове така, че ъглите на два ромба, прилежащи на един и същ ъгъл на четириъгълника, са равни. Тогава отсечките, съединяващи центровете на противоположните ромбове, са равни, а ъглите между тях са равни на ъглите на ромбовете. (Шарыгин, 1986)
Доказателство: Нека е даден произволен изпъкнал четириъгълник \(A B C D\). Означаваме с \(A_{1}, B_{1}\) и \(C_{1}\) средите съответно на отсечките \(B C, C A\) и \(A B\), CA и AB, а с \(P, M, Q\) и \(N\) означаваме центровете на ромбовете, построени съответно върху страните \(A B, B C, C D\) и \(D A\) на четириъгълника. Нека освен това ромбовете, прилежащи на върха \(B\), имат ъгли с мярка \(\alpha\) при този връх. От въведените означения на Фиг. 3 и Фиг. 4 непосредствено следват равенствата:
(1) \[ P C_{1}=B_{1} A_{1}=\tfrac{A B}{2}, C_{1} B_{1}=A_{1} M=\tfrac{B C}{2} . \]
В зависимост от стойностите на \(∢ A B C\) и \(\alpha\) са възможни следните два случая: 1) \(∢ A B C+\alpha \lt 180^{\circ}\) (Фиг. 3) и 2) \(∢ A B C+\alpha \gt 180^{\circ}\) (Фиг 4). В случай 1) от Фиг. 3 се вижда, че раменете на \(∢ P C_{1} B_{1}\) са успоредни на раменете на \(∢ A_{P} B C=∢ A B C+\alpha\) , а раменете на \(∢ M A_{1} B_{1}\) са успоредни на раменете на \(∢ A B C_{M}=∢ A B C+\alpha\). Така получаваме, че в случай 1) са изпълнени равенствата
(2) \[ ∢ P C_{1} B_{1}=∢ B_{1} A_{1} M=∢ A B C+\alpha . \]
Аналогично от Фиг. 4 се вижда, че в случай 2) са изпълнени равенствата
(3) \[ ∢ P C_{1} B_{1}=∢ B_{1} A_{1} M=360^{\circ}-(∢ A B C+\alpha) . \]
От (1), (2), (3) и първи признак за еднаквост на триъгълници следва \(\Delta P C_{1} B_{1} \cong \Delta B_{1} A_{1} M\). Следователно
(4) \[ P B_{1}=M B_{1}, \]
(5) \[ ∢ B_{1} P C_{1}=∢ A_{1} B_{1} M, ∢ P B_{1} C_{1}=∢ B_{1} M A_{1} . \]
В случай 1) от Фиг. 3, (2) и (5) се получават равенствата \[ \begin{gathered} ∢ P B_{1} M=∢ P B_{1} C_{1}+∢ C_{1} B_{1} A_{1}+∢ A_{1} B_{1} M=∢ B_{1} M A_{1}+∢ C_{1} B_{1} A_{1}+∢ A_{1} B_{1} M= \\ =\left(∢ B_{1} M A_{1}+∢ A_{1} B_{1} M\right)+∢ C_{1} B_{1} A_{1}=180^{\circ}-(∢ A B C+\alpha)+∢ A B C=180^{\circ}-\alpha . \end{gathered} \]
В случай 2) от Фиг. 4, (3) и (5) се получават равенствата \[ \begin{gathered} ∢ P B_{1} M=∢ C_{1} B_{1} A_{1}-\left(∢ P B_{1} C_{1}+∢ A_{1} B_{1} M\right)=∢ C_{1} B_{1} A_{1}-\left(∢ B_{1} M A_{1}+∢ A_{1} B_{1} M\right)= \\ =∢ A B C-\left\{180^{\circ}-\left[360^{\circ}-(∢ A B C+\alpha)\right]\right\}=180^{\circ}-\alpha . \end{gathered} \]
Последните пресмятания показват, че и в двата случая е изпълнено равенството
(6) \[ ∢ C_{1} B_{1} A_{1}=180^{\circ}-\alpha . \]
Ясно е, че аналогично на (4) и (6) се получават равенствата
(7) \[ Q B_{1}=N B_{1}, ∢ Q B_{1} N=180^{\circ}-\alpha . \]
Сега от (4), (6) и (7) се забелязва, че при ротация с център точката \(B_{1}\) и ъгъл на въртене \(180^{\circ}-\alpha\) триъгълникът \(B_{1} P Q\) отива в триъгълника \(B_{1} M N\) (Фиг. 3, 4). Следователно \(P Q=M N\) и единият от ъглите между отсечките \(P Q\) и \(M N\) е равен на \(180^{\circ}-\alpha\), а оттук – другият ъгъл между тях е равен на \(\alpha\). С това теоремата е доказана.
Решение на задача 2: С помощта на току-що доказаната теорема ще получим едно решение на задача 2. Нека \(A B \| C D, P T \perp C D\) и \(Q K \perp C D\), като \(P T\) пресича правите \(A B\) и \(C D\) съответно в точките \(L\) и \(T\), а \(K \in C D\) (Фиг. 1, 2). От правоъгълните триъгълници \(A B P\) и \(C D Q\) лесно се вижда, че са изпълнени равенствата:
(8) \[ P L=\tfrac{A B}{2} \cdot \sin \alpha, Q K=\tfrac{C D}{2} \cdot \sin \alpha . \]
От теоремата следва, че за лицето на четириъгълника \(P M Q N\) е в сила:
(9) \[ S_{P M Q N}=\tfrac{1}{2} P Q^{2} \sin \alpha . \]
От фиг. 2 (Фиг.1), (8), неравенството между средното аритметeично и средното геометрично (Гроздев, 2005), както и формулата за лице на трапец получаваме последователно:
\[ \begin{aligned} & P Q=P H+H Q \geq P T+K Q=P L+L T+K Q=\tfrac{A B}{2} \cdot \sin \alpha+L T+\tfrac{C D}{2} \cdot \sin \alpha= \\ & =\tfrac{A B+C D}{2} \cdot \sin \alpha+L T \geq 2 \cdot \sqrt{\tfrac{A B+C D}{2} \cdot L T \cdot \sin \alpha}=2 \cdot \sqrt{S_{A B C D} \cdot \sin \alpha}, \text { т.е. } \end{aligned} \]
(10) \[ P Q \geq 2 \cdot \sqrt{S_{A B C D} \cdot \sin \alpha} . \]
Сега от (9) и (10) следва неравенството \(S_{P M Q N} \geq 2 . S_{A B C D} . \sin ^{2} \alpha\). sin2 α . Равенство се достига точно когато \(K \equiv H \equiv T\) и \(L T=\tfrac{A B+C D}{2} \cdot \sin \alpha\), т. е. когато трапецът \(A B C D\) е равнобедрен и има височина, равна на средната му отсечка, умножена със \(\sin \alpha\). В случая, когато ромбовете са квадрати, височината е равна на средната отсечка на трапеца.
ЛИТЕРАТУРА
Гроздев, С. (2005). Подготовка за Европейско кенгуру. София: СМБ (ISBN 9548880-20-2), 220 стр.
Сп. Математика и информатика (2000), 1, 74. Задачи по математика, Задача 2.
Сп. Математика и информатика (2001), 2, 74. Решения на задачите от кн.1, 2000 г.
Шарыгин, И. Ф.(1986). Задачи по геометрии, Планиметрия. Москва: Наука, 74, зад. 303.