Резюме. В настоящата работа е приложена индуктивната конструкция на Симсънова права за произволен вписан многоъгълник. В резултат на това са получени забележителни за вписания многоъгълник окръжности, които притежават интересни свойства. Разглежданите конструкции са извършени с помощта на програмата The Geometer’s Sketchpad (GSP), а някои от аналитичните пресмятания – с Maple.

Ключови думи: inscribed polygon, The Geometer’s Sketchpad, Maple

1. Симсънова права спрямо вписан многоъгълник. Добре известна теорема от геометрията на триъгълника може да се изрази по следния начин: ако \(\grave{u}_{\mathrm{u}} \quad\) е произволен триъгълник и \(P\) е точка в равнината му, то петите \(P_{1}\), \(P_{2}\) и \(P_{3}\) на перпендикулярите, спуснати от \(P\) съответно към \(A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}\) и \(A_{1} A_{2}\), лежат на една права тогава и само тогава, когато \(P\) е точка от описаната за \(\Delta A_{1} A_{2} A_{3}\) окръжност \(k\). По този начин на всяка точка \(P\) от описаната окръжност \(k\) се съпоставя права, която се нарича Симсънова права на \(P\) спрямо \(\Delta \grave{u}_{\mathrm{u}} \quad\). За всички останали точки \(P\), т.е. тези, които не принадлежат на \(k\), точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) лежат на една окръжност.

Естествено възниква въпросът за аналогично получаване на прави, определени от точките на описаната около четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) окръжност \(k\). Оказва се, че петите на перпендикулярите, спуснати от произволна точка \(P\) на \(k\) върху правите \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}\) и \(A_{4} A_{1}\), A2 A3 , A3A4 и A4A1 , не лежат на една права. Въпреки това съществува друг начин за получаване на прави, съответстващи на точките от описаната окръжност \(k\). Този начин се основава на използването на добре известните ни Симсънови прави спрямо триъгълник. Нека четириъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) е вписан в окръжност \(k\) и \(P\) е точка от \(k\). С \(s_{1}, s_{2}, s_{3}\) и \(s_{4}\) означаваме Симсъновите прави на \(P\) съответно спрямо \(A_{2} A_{3} A_{4}, A_{3} A_{4} A_{1}\), \(A_{4} A_{1} A_{2}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3}\). В сила е следното твърдение: ако \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) са ортогоналните проекции на \(P\) съответно върху правите \(s_{1}, s_{2}, s_{3}\) и \(s_{4}\), то точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) лежат на една права (фиг. 1) . Тази права се нарича права на Симсън за \(P\) спрямо четириъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\).

Сега е ясно, че същият подход може да се приложи към точка \(P\) от вписан в окръжност \(k\) петоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\). В този случай имаме: петите на перпендикулярите, спуснати от \(P\), върху Симсъновите ѝ прави спрямо четириъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}, A_{3} A_{4} A_{5} A_{1}, A_{4} A_{5} A_{1} A_{2}, A_{5} A_{1} A_{2} A_{3}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), лежат на една права. Тази права се нарича права на Симсън за \(P\) спрямо петоъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\). Така можем да продължим до определяне на Симсънова права за точка \(P\) от описаната около \(n-1\)-ъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\) окръжност \(k\). По-нататък, ако \(P\) е точка от описаната около \(n\)-ъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{\mathrm{n}-1} A_{\mathrm{n}}\) окръжност \(k\), ортогоналните ѝ проекции върху нейните Симсънови прави спрямо \(n-1\)-ъгълниците \(A_{2} A_{3} \ldots A_{3} A_{\mathrm{n}-1} A_{\mathrm{n}}, ~ A_{\mathrm{u}} A \ldots A_{n} A, \ldots\), \(A_{n} A_{1} \ldots A_{n-3} A_{n-2}\) и \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} A_{n}\) лежат на една права, която се нарича Симсънова права за \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} A_{n}\). По този индуктивен начин получаваме понятието Симсънова права за точка \(P\) от описаната около \(n\) -ъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1} A_{n}\) окръжност \(k\).

2. Симсънова окръжност спрямо вписан четириъгълник. Ако точка \(P\) не лежи върху описаната окръжност на \(\Delta \grave{u}_{\mathrm{u}} \quad\), то точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) лежат на една окръжност по естествени причини (през три точки, нележащи на една права, минава една окръжност). Конструкцията на Симсънова права за точка \(P\) от описаната около четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) окръжност \(k\) ни дава идея за търсене на конфигурация в равнината на \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\), когато \(P\) не лежи върху окръжността \(k\). Нека \(P\) е точка в равнината на вписания в окръжност \(k\) четириъгьлник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). С \(P_{12}, P_{23}, P_{34}\) и \(P_{41}\) означаваме ортогоналните проекции на \(P\) съответно върху правите \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}\) и \(A_{4} A_{1}\). Нека \(P_{1}\), \(P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) са ортогоналните проекции на \(P\) съответно върху правите \(P_{12} P_{41}\), \(P_{12} P_{23}, P_{23} P_{34}\) и \(P_{34} P_{41}\) (фиг. 2). Ако \(P\) лежи върху \(k\), правите \(P_{12} P_{41}, P_{12} P_{23}\), \(P_{23} P_{34}\) и \(P_{34} P_{41}\) са Симсъновите прави на \(P\) съответно спрямо триъгълниците \(A_{4} A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3} A_{1}, A_{2} A_{3} A_{4}\) и \(A_{3} A_{4} A_{1}\) (фиг. 2). Затова можем да очакваме, че ако \(P\) не лежи върху \(k\), точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) лежат на една окръжност (както това се случва с точките \(P_{1}, P_{2}\) и \(P_{3}\) при триъгълника). Експериментите с програмата The Geometer’s Sketchpad (GSP) потвърждават нашите очаквания. Така стигаме до следната

Теорема 1. Ако четириъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} \quad e\) вписан в окръжност \(k u\) точката \(P\) не лежи върху \(k\), то точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) лежат на една окръжност \(k_{4}\).

По аналогия с правата на Симсън породената от перпендикуляри окръжност \(k_{4}\) по описания начин за точка \(P\) от равнината на вписан в окръжност \(k\) четириъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) ще наричаме \(C\) имсънова окръжност на \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) (фиг. 2).

3. Симсънова окръжност спрямо вписан петоъгълник. Подобно на получената окръжност \(k_{4}\) можем да очакваме, че съществува окръжност, породена от точка \(P\) в равнината на петоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\), вписан в окръжност \(k\).

Експериментите с GSP не потвърждават тези очаквания. Идея за нова конструкция ни дава методът на построяване на Симсънова права, преминавайки от четириъгълник към петоъгълник. Но да приложим тази идея върху вече получените окръжности \(k_{4}\). Нека \(P\) е точка, нележаща върху описаната за петоъгълника \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) окръжност \(k\). С \(k_{41}, k_{42}, k_{43}, k_{44}\) и \(k_{45}\) означаваме Симсъновите окръжности на точката \(P\) съответно спрямо четириъгълниците \(\quad A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\), \(A_{3} A_{4} A_{5} A_{1}, \quad A_{4} A_{5} A_{1} A_{2}, \quad A_{5} A_{1} A_{2} A_{3}\) и \(\quad A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\). Експериментите с GSP показват, че е изпълнена следната:

Теорема 2. Ако петоъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) е вписан в окръжност \(k\) и точката \(P\) не лежи върху \(k\), то центровете \(\Omega_{41}, \Omega_{42}, \Omega_{43}, \Omega_{44}\) и \(\Omega_{45}\) съответно на Симсъновите окръжности \(k_{41}, k_{42}, k_{43}, k_{44} u k_{45}\) лежат на една окръжност \(k_{5}\).

Окръжността \(k_{5}\) ще наричаме Симсънова окръжност за \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) (фиг. 3).

4. Симсънова окръжност и Симсънова точка спрямо вписан шестоъгълник. Прилагаме конструкцията на Симсънова окръжност спрямо вписан петоъгълник за вписан в окръжност \(k\) шестоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) и точка \(P\), нележаща върху \(k\). С \(k_{51}, k_{52}, k_{53}, k_{54}, k_{55}\) и \(k_{56}\) означаваме Симсъновите окръжности на точката \(P\) съответно спрямо петоъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}, A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{1}, A_{4} A_{5} A_{6} A_{1} A_{2}, A_{5} A_{6} A_{1} A_{2} A_{3}, A_{6} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\).

Експериментите с GSP показват, че независимо от положението на \(P\) са изпълнени следните две теореми.

Теорема 3. Ако шестоъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) е вписан в окръжност \(k\) и точката \(P\) не лежи върху \(k\), то центровете \(\Omega_{51}, \Omega_{52}, \Omega_{53}, \Omega_{54}, \Omega_{55} u\) \(\Omega_{56}\) съответно на Симсъновите окръжности \(k_{51}, k_{52}, k_{53}, k_{54}, k_{55}\) и \(k_{56}\) лежат на една окръжност \(k_{6}\).

Теорема 4. Ако шестоъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) е вписан в окръжност \(k\) и точката \(P\) не лежи върху \(k\), то Симсъновите окръжности \(k_{51}, k_{52}, k_{53}\), \(k_{54}, k_{55} u k_{56}\) минават през една точка \(T_{6}\).

Окръжността \(k_{6}\) ще наричаме Симсънова окръжност за \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\), а точката \(T_{6}\)– точка на Симсън, съответна на \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\) (фиг. 4).

5. Симсънова окръжност и Симсънова точка спрямо вписан седмоъгълник. Прилагаме идеята за построяване на Симсъновите окръжности \(k_{5}\) и \(k_{6}\) за седмоъгълник \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}\), вписан в окръжност \(k\) и точка \(P\), нележаща върху \(k\). С \(k_{61}, k_{62}, k_{63}, k_{64}\), \(k_{65}, k_{66}\) и \(k_{67}\) означаваме Симсъновите окръжности на точката \(P\) съответно спрямо шестоъгълниците \(A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}, A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{1}\), \(A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{1} A_{2}, \quad A_{5} A_{6} A_{7} A_{1} A_{2} A_{3}\), \(A_{6} A_{7} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}, \quad A_{7} A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) и \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}\). Освен това Симсъновите точки, съответни на \(P\) спрямо същите шестоъгълници, означаваме с \(T_{61}, T_{62}, T_{63}\), \(T_{64}, T_{65}, T_{66}\) и \(T_{67}\).

Експериментите с GSP показват, че независимо от положението на \(P\) са изпълнени следните три теореми.

Теорема 5. Ако седмоъгълникът \(\quad A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}\) е вписан в окръжност \(k u\) точката \(P\) не лежи върху \(k\), то центровете \(\Omega_{61}, \Omega_{62}\) , \(\Omega_{63}, \Omega_{64}, \Omega_{65}, \Omega_{66} u \Omega_{67}\) съответно на Симсъновите окръжности \(k_{61}, k_{62}, k_{63}\), \(k_{64}, k_{65}, k_{66} u k_{67}\) лежат на една окръжност \(k_{7}\).

Теорема 6. Ако седмоъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}\) е вписан в окръжност \(k\) и точката \(P\) не лежи върху \(k\), то Симсъновите окръжности \(k_{61}, k_{62}, k_{63}, k_{64}, k_{65}, k_{66} u k_{67}\) минават през една точка \(T_{7}\).

Теорема 7. Ако седмоъгълникът \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}\) е вписан в окръжност \(k\) и точката \(P\) не лежи върху \(k\), то точките на Симсън \(T_{61}, T_{62}, T_{63}, T_{64}\), \(T_{65}, T_{66}\) и \(T_{67}\), съответни на \(P\), лежат на една окръжност \(\overrightarrow{k}_{7}\) с център точката на Симсън \(T_{7}\).

Окръжността \(k_{7}\) ще наричаме Симсънова окръжност за \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}\), точката \(T_{7}\)– точка на Симсън, съответна на \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}\), а окръжността k7 – втора окръжност та \(\bar{k}_{7}\)-втора окръжност на Симсън за \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7}\) (фиг. 5).

6. Симсънови окръжности и точки на Симсън за вписан \(n\)-ъгълник. Ако с разсъждения, подобни на вече изложените, за \(n-1\)-ъгълник \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n-1}\) , вписан в окръжност \(k\), и точка \(P\), нележаща на \(k\), сме получили понятията Симсънова окръжност \(k_{n-1}(n \geq 5)\), точка на Симсън \(T_{n-1}(n \geq 7)\), съответна на \(P\) и втора окръжност на Симсън \(\bar{k}_{n-1}(n \geq 8)\), то с индуктивни съображения стигаме до следните твърдения.

Теорема 8. Ако \(n\)-ъгълникът \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}(n \geq 5)\) е вписан в окръжност \(k\) и точката \(P\) не лежи върху \(k\), то центровете на Симсъновите окръжности на \(P\) спрямо всички \(n-1\)-ъгълничи, вписани в \(k\), лежат на една окръжност \(k_{n}\).

Теорема 9. Ако \(n\)-ъгълникът \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}(n \geq 6)\) е вписан в окръжност \(k\) и точката \(P\) не лежи върху \(k\), то Симсъновите окръжности на \(P\) спрямо всички \(n-1\)-ъгълници, вписани в \(k\), минават през една точка \(T_{n}\).

Теорема 10. Ако \(n\)-ъгълникът \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}(n \geq 7)\) е вписан в окръжност \(k\) и точката \(P\) не лежи върху \(k\), то точките на Симсън, съответни на \(P\) спрямо всички \(n-1\)-ъгълници, вписани в \(k\), лежат на една окръжност \(\bar{k}_{n} c\) център точката на Симсън \(T_{n}\).

Окръжността \(k_{n}\), точката \(\bar{T}_{n}^{n}\) и окръжността \(\bar{k}_{n}\) наричаме съответно \(C u м\)сънова окръжност за \(P\), точка на Симсън, съответна на \(P\), и втора окръжност на Симсън за \(P\) спрямо \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\).

7. Доказателства на теоремите. Извършените наблюдения с GSP доведоха до формулиране на съответни резултати. Узаконяването на тези резултати обаче се нуждае от доказателство. Затова преминаваме към доказване на формулираните теореми. Получените конфигурации ще разгледаме в комплексната равнина, като описаната около многоъгълника \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\) окръжност \(k\) ще считаме за единична. Както обикновено, афиксите на точките ще означаваме със съответните им малки букви. От казаното следва, че при всяко \(n \geq 4\) са изпълнени равенствата \(a_{j} \bar{a}_{j}=1(j=1,2, \ldots, n)\).

7.1. Доказателство на теорема 1. От равенството, чрез което се определя ортогоналната проекция на точка върху хорда от единичната окръжност за петите \(P_{12}, P_{23}, P_{34}\) и \(P_{41}\) на перпендикулярите, спуснати от точка \(P\) съответно върху правите \(A_{1} A_{2}, A_{2} A_{3}, A_{3} A_{4}\) и \(A_{4} A_{1}\), намираме, че са изпълнени равенствата:

(1) \[ \begin{aligned} & p_{12}=\tfrac{1}{2}\left(a_{1}+a_{2}+p-a_{1} a_{2} \bar{p}\right), p_{23}=\tfrac{1}{2}\left(a_{2}+a_{3}+p-a_{2} a_{3} \bar{p}\right), \\ & p_{34}=\tfrac{1}{2}\left(a_{3}+a_{4}+p-a_{3} a_{4} \bar{p}\right), p_{41}=\tfrac{1}{2}\left(a_{4}+a_{1}+p-a_{4} a_{1} \bar{p}\right) . \end{aligned} \]

Петите \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) на перпендикулярите през \(P\) съответно върху правите \(P_{12} P_{41}, P_{12} P_{23}, P_{23} P_{34}\) и \(P_{34} P_{41}\) определяме по следния начин. От условието \(\left(p_{41}-p_{12}\right)\left(\bar{p}-\bar{p}_{1}\right)+\left(\bar{p}_{41}-\bar{p}_{12}\right)\left(p-p_{1}\right)=0\) за перпендикулярност на \(P P_{1}\) и \(P_{12} P_{41}\) и (1) имаме \(\left(a_{1}-p\right) p_{1}-a_{1} a_{2} a_{4}\left(1-a_{1} \bar{p}\right) \bar{p}_{1}=\left(a_{1}-p\right) p-a_{1} a_{2} a_{4}\left(1-a_{1} \bar{p}\right) \bar{p}\). От условието \(\left(\bar{p}_{41}-\bar{p}_{12}\right) p_{1}-\left(p_{41}-p_{12}\right) \bar{p}_{1}=\bar{p}_{41} p_{12}-p_{12} \bar{p}_{41}\) за колинеарност на точките \(P_{1}\) , \(P_{12}\) и \(P_{41}\) следва

\[ \begin{aligned} & 2\left(a_{1}-p\right) p_{1}+2 a_{1} a_{2} a_{4}\left(1-a_{1} \bar{p}\right) \bar{p}_{1}= \\ & =-p^{2}-a_{1}^{2} a_{2} a_{4} \bar{p}^{2}+a_{1}\left(a_{2}+a_{4}\right) p \bar{p}-\left(a_{2}+a_{4}\right) p-a_{1}^{2}\left(a_{2}+a_{4}\right) \bar{p}+\left(a_{1}+a_{2}\right. \end{aligned} \]

От получените две равенства намираме

(2) \[ \begin{aligned} & p_{1}=\tfrac{1}{4\left(a_{1}-p\right)}\left[-3 p^{2}+a_{1}^{2} a_{2} a_{4} \bar{p}^{2}+a_{1}\left(a_{2}+a_{4}\right) p \bar{p}+\right. \\ & \left.+\left(2 a_{1}-a_{2}-a_{4}\right) p-a_{1}\left(a_{1} a_{2}+a_{1} a_{4}+2 a_{2} a_{4}\right) \bar{p}+\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{1}+a_{4}\right)\right] \end{aligned} \]

Аналогично се получават равенствата

(3) \(\begin{aligned} & p_{2}=\cfrac{1}{4\left(a_{1}-p\right)}\left[-3 p^{2}+a_{2}^{2} a_{1} a_{3} \bar{p}^{2}+a_{2}\left(a_{1}+a_{3}\right) p \bar{p}+\right. \\ & \left.+\left(2 a_{2}-a_{1}-a_{3}\right) p-a_{2}\left(a_{2} a_{1}+a_{2} a_{3}+2 a_{1} a_{3}\right) \bar{p}+\left(a_{2}+a_{1}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right)\right] \\ & p_{3}=\cfrac{1}{4\left(a_{3}-p\right)}\left[-3 p^{2}+a_{3}^{2} a_{2} a_{4} \bar{p}^{2}+a_{3}\left(a_{2}+a_{4}\right) p \bar{p}+\right. \\ & \left.+\left(2 a_{3}-a_{2}-a_{4}\right) p-a_{3}\left(a_{3} a_{2}+a_{3} a_{4}+2 a_{2} a_{4}\right) \bar{p}+\left(a_{3}+a_{2}\right)\left(a_{3}+a_{4}\right)\right] \\ & p_{4}=\cfrac{1}{4\left(a_{4}-p\right)}\left[-3 p^{2}+a_{4}^{2} a_{1} a_{3} \bar{p}^{2}+a_{4}\left(a_{1}+a_{3}\right) p \bar{p}+\right. \\ & \left.+\left(2 a_{4}-a_{1}-a_{3}\right) p-a_{4}\left(a_{4} a_{1}+a_{4} a_{3}+2 a_{1} a_{3}\right) \bar{p}+\left(a_{4}+a_{1}\right)\left(a_{4}+a_{3}\right)\right] \end{aligned}\)

От (2) и (3) след известни пресмятания получаваме равенствата:

\[ \begin{aligned} & p_{1}-p_{2}=-\tfrac{p+a_{1} a_{2} \bar{p}-a_{1}-a_{2}}{4\left(a_{1}-p\right)\left(a_{2}-p\right)}\left[\left(a_{1} a_{4}-a_{2} a_{3}\right) p \bar{p}+\left(a_{3}-a_{4}\right) p+a_{1} a_{2}\left(a_{3}-a_{4}\right) \bar{p}+a_{2} a_{4}-a_{1} a_{3}\right] \\ & p_{2}-p_{3}=-\tfrac{p+a_{2} a_{3} \bar{p}-a_{2}-a_{3}}{4\left(a_{2}-p\right)\left(a_{3}-p\right)}\left[\left(a_{2} a_{1}-a_{3} a_{4}\right) p \bar{p}+\left(a_{4}-a_{1}\right) p+a_{2} a_{3}\left(a_{4}-a_{1}\right) \bar{p}+a_{3} a_{1}-a_{2} a_{4}\right] \\ & p_{3}-p_{4}=-\tfrac{p+a_{3} a_{4} \bar{p}-a_{3}-a_{4}}{4\left(a_{3}-p\right)\left(a_{4}-p\right)}\left[\left(a_{3} a_{2}-a_{4} a_{1}\right) p \bar{p}+\left(a_{1}-a_{2}\right) p+a_{3} a_{4}\left(a_{1}-a_{2}\right) \bar{p}+a_{4} a_{2}-a_{3} a_{1}\right. \\ & p_{4}-p_{1}=-\tfrac{p+a_{4} a_{1} \bar{p}-a_{4}-a_{1}}{4\left(a_{4}-p\right)\left(a_{1}-p\right)}\left[\left(a_{4} a_{3}-a_{1} a_{2}\right) p \bar{p}+\left(a_{2}-a_{3}\right) p+a_{4} a_{1}\left(a_{2}-a_{3}\right) \bar{p}+a_{1} a_{3}-a_{4} a_{2}\right] \\ & p_{1}-p_{3}=\tfrac{a_{3}-a_{1}}{4\left(a_{1}-p\right)\left(a_{3}-p\right)}\left\{\left(a_{2}+a_{4}\right) p^{2} \bar{p}+a_{2} a_{4}\left(a_{1}+a_{3}\right) p \bar{p}^{2}-p^{2}-a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \bar{p}^{2}\right. \\ & \left.-\left[\left(a_{1}+a_{3}\right)\left(a_{2}+a_{4}\right)+2 a_{2} a_{4}\right] p \bar{p}+\left(a_{1}+a_{3}\right) p+a_{1} a_{3}\left(a_{2}+a_{4}\right) \bar{p}+a_{2} a_{4}-a_{1} a_{3}\right\} \\ & p_{2}-p_{4}=\tfrac{a_{4}-a_{2}}{4\left(a_{2}-p\right)\left(a_{4}-p\right)}\left\{\left(a_{1}+a_{3}\right) p^{2} \bar{p}+a_{1} a_{3}\left(a_{2}+a_{4}\right) p \bar{p}^{2}-p^{2}-a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \bar{p}^{2}-\right. \\ & \left.-\left[\left(a_{2}+a_{4}\right)\left(a_{1}+a_{3}\right)+2 a_{1} a_{3}\right] p \bar{p}+\left(a_{2}+a_{4}\right) p+a_{2} a_{4}\left(a_{1}+a_{3}\right) \bar{p}+a_{1} a_{3}-a_{2} a_{4}\right\} \end{aligned} \] От (2) и (3) следват още равенствата:

\[ \begin{aligned} &\bar{p}_{1}=\tfrac{1}{4 a_{1} a_{2} a_{4}\left(1-a_{1} \bar{p}\right)}\left[p^{2}-3 a_{1}^{2} a_{2} a_{4} \bar{p}^{2}+a_{1}\left(a_{2}+a_{4}\right) p \bar{p}-\left(2 a_{1}+a_{2}+a_{4}\right) p+\right.\\ &+\left. a_{1}\left(2 a_{2} a_{4}-a_{1} a_{2}-a_{1} a_{4}\right) \bar{p}+\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{1}+a_{4}\right)\right], \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & \bar{p}_{2}=\tfrac{1}{4 a_{1} a_{2} a_{3}\left(1-a_{1} \bar{p}\right)}\left[p^{2}-3 a_{2}^{2} a_{1} a_{3} \bar{p}^{2}+a_{2}\left(a_{1}+a_{3}\right) p \bar{p}-\left(2 a_{2}+a_{1}+a_{3}\right) p+\right. \\ & \left.+a_{2}\left(2 a_{1} a_{3}-a_{2} a_{1}-a_{2} a_{3}\right) \bar{p}+\left(a_{2}+a_{1}\right)\left(a_{2}+a_{3}\right)\right], \\ & \bar{p}_{3}=\tfrac{1}{4 a_{2} a_{3} a_{4}\left(1-a_{3} \bar{p}\right)}\left[p^{\dot{u}}-3 a_{3} a_{2} a_{4} \bar{p}+a_{3}\left(a_{2}+a_{4}\right) p \bar{p}-\left(2 a_{3}+a_{2}+a_{4}\right) p+\right. \\ & \left.+a_{3}\left(2 a_{2} a_{4}-a_{3} a_{2}-a_{3} a_{4}\right) \bar{p}+\left(a_{3}+a_{2}\right)\left(a_{3}+a_{4}\right)\right], \\ & \bar{p}_{4}=\tfrac{1}{4 a_{1} a_{3} a_{4}\left(1-a_{4} \bar{p}\right)}\left[p^{2}-3 a_{4}^{2} a_{1} a_{3} \bar{p}^{2}+a_{4}\left(a_{1}+a_{3}\right) p \bar{p}-\left(2 a_{4}+a_{1}+a_{3}\right) p+\right. \\ & \left.+a_{4}\left(2 a_{1} a_{3}-a_{4} a_{1}-a_{4} a_{3}\right) \bar{p}+\left(a_{4}+a_{1}\right)\left(a_{4}+a_{3}\right)\right] . \\ & \bar{p}_{1}-\bar{p}_{2}=-\tfrac{\left(a_{1}-p\right)\left(a_{2}-p\right)\left(p_{1}-p_{2}\right)}{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(1-a_{1} \bar{p}\right)\left(1-a_{2} \bar{p}\right)}, \bar{p}_{2}-\bar{p}_{3}=-\tfrac{\left(a_{2}-p\right)\left(a_{3}-p\right)\left(p_{2}-p_{3}\right)}{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(1-a_{2} \bar{p}\right)\left(1-a_{3} \bar{p}\right)}, \\ & \bar{p}_{3}-\bar{p}_{4}=-\tfrac{\left(a_{3}-p\right)\left(a_{4}-p\right)\left(p_{3}-p_{4}\right)}{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(1-a_{3} \bar{p}\right)\left(1-a_{4} \bar{p}\right)}, \bar{p}_{4}-\bar{p}_{1}=-\tfrac{\left(a_{4}-p\right)\left(a_{1}-p\right)\left(p_{4}-p_{1}\right)}{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(1-a_{4} \bar{p}\right)\left(1-a_{1} \bar{p}\right)}, \\ & \bar{p}_{1}-\bar{p}_{3} \quad \tfrac{\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{2}-p\right)\left(a_{4}-p\right)\left(p_{2}-p_{4}\right)}{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(a_{4}-a_{2}\right)\left(1 a_{1} \bar{p}\right)\left(1 a_{3} \bar{p}\right)} \\ & \bar{p}_{2}-\bar{p}_{4}=-\tfrac{\left(a_{4}-a_{2}\right)\left(a_{1}-p\right)\left(a_{3}-p\right)\left(p_{1}-p_{3}\right)}{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(1-a_{2} \bar{p}\right)\left(1-a_{4} \bar{p}\right)} \end{aligned} \]

От тези равенства следва, че \(\tfrac{\bar{p}_{1}-\bar{p}_{3}}{\bar{p}_{2}-\bar{p}_{3}}: \tfrac{\bar{p}_{1}-\bar{p}_{4}}{\bar{p}_{2}-\bar{p}_{4}}=\tfrac{p_{1}-p_{3}}{p_{2}-p_{3}}: \tfrac{p_{1}-p_{4}}{p_{2}-p_{4}}\). Следователно точките \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) и \(P_{4}\) лежат на една окръжност \(k_{4}\). С това теорема 1 е доказана

Тъй като теорема 1 е в основата на всички следващи резултати, ще определим центъра \(\Omega_{4}\) и радиуса \(R_{4}\) на окръжността \(k_{4}\). Уравнението на \(k_{4}\) е \(\left(z-\omega_{4}\right)\left(\bar{z}-\bar{\omega}_{4}\right)=R_{4}^{2}\), което записваме във вида \(z \bar{z}-\bar{\omega} z-\omega \bar{z}+\omega \bar{\omega}=R^{2}\). Оттук имаме \(\bar{p}_{k} \omega+p_{k} \bar{\omega}_{4}=p_{k} \bar{p}_{k}+R_{4}^{2}-\omega_{4} \bar{\omega}_{4} \quad(k=1,2,3,4)\). Тези равенства водят до системата уравнения \(\left(\bar{p}_{1}-\bar{p}_{2}\right) \omega+\left(p_{1}-p_{2}\right) \bar{\omega}=p_{1} \bar{p}_{1}-p_{2} \bar{p}_{2}\), \(\left(\bar{p}_{2}-\bar{p}_{3}\right) \omega+\left(p_{2}-p_{3}\right) \bar{\omega}=p_{2} \bar{p}_{2}-p_{3} \bar{p}_{3}\). Като използваме (2), (3) и равенствата за \(\bar{p}_{1}, \bar{p}_{2}, \bar{p}_{3}\), намираме

\[ \begin{aligned} & p_{1} \bar{p}_{1}-p_{2} \bar{p}_{2}=-\tfrac{p+a_{1} a_{2} \bar{p}-a_{1}-a_{2}}{16 a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(a_{1}-p\right)\left(a_{2}-p\right)\left(1-a_{1} \bar{p}\right)\left(1-a_{2} \bar{p}\right)} \times \\ & \times\left[\left(a_{1} a_{4}-a_{2} a_{3}\right) p \bar{p}+\left(a_{3}-a_{4}\right) p+a_{1} a_{2}\left(a_{3}-a_{4}\right) \bar{p}+a_{2} a_{4}-a_{1} a_{3}\right] \times \\ & \times\left\{-3 p^{3}+3 a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{3} a_{4} \bar{p}^{3}+a_{1} a_{2} p^{2} \bar{p}-a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} p \bar{p}^{2}+2\left(a_{1}+a_{2}\right) p^{2}-2 a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(a_{1}+a_{2}\right) \bar{p}^{2}-\right. \\ & -\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{1} a_{2}-a_{3} a_{4}\right) p \bar{p}+\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}-a_{1} a_{2}-a_{3} a_{4}\right) p+\left[a_{1}^{2} a_{2}^{2}+a_{3} a_{4}\left(a_{1} a_{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)\right] \bar{p}- \\ & \left.-\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(a_{1} a_{2}-a_{3} a_{4}\right)\right\}, \quad p+a_{2} a_{3} \bar{p}-a_{2}-a_{3} \\ & p_{2} \bar{p}_{2}-p_{3} \bar{p}_{3}=-\tfrac{16 a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(a_{2}-p\right)\left(a_{3}-p\right)\left(1-a_{2} \bar{p}\right)\left(1-a_{3} \bar{p}\right)}{16} \\ & \times\left[\left(a_{2} a_{1}-a_{3} a_{4}\right) p \bar{p}+\left(a_{4}-a_{1}\right) p+a_{2} a_{3}\left(a_{4}-a_{1}\right) \bar{p}+a_{3} a_{1}-a_{2} a_{4}\right] \times \\ & \times\left\{-3 p^{3}+3 a_{1} a_{2}^{2} a_{3}^{2} a_{4} \bar{p}^{3}+a_{2} a_{3} p^{2} \bar{p}-a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} p \bar{p}^{2}+2\left(a_{2}+a_{3}\right) p^{2}-2 a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\left(a_{2}+a_{3}\right) \bar{p}^{2}-\right. \\ & -\left(a_{2}+a_{3}\right)\left(a_{4} a_{1}-a_{2} a_{3}\right) p \bar{p}+\left(a_{2}^{2}+a_{3}^{2}-a_{2} a_{3}-a_{4} a_{1}\right) p+\left[a_{2}^{2} a_{3}^{2}+a_{4} a_{1}\left(a_{2} a_{3}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2}\right)\right] \bar{p}- \\ & \left.-\left(a_{2}+a_{3}\right)\left(a_{4} a_{1}-a_{2} a_{3}\right)\right\} . \end{aligned} \]

Тези равенства, заместени в системата уравнения, водят до определяне на \(\omega_{4}\) чрез формулите:

(4) \[ \begin{aligned} & \omega_{4}=\cfrac{\sigma_{44} \bar{p}^{3}-\sigma_{34} \bar{p}^{2}+\sigma_{24} \bar{p}-\sigma_{14}+3 p^{2} \bar{p}-2 p}{4(p \bar{p}-1)} \\ & \bar{\omega}_{4}=\cfrac{p^{3}-\sigma_{14} p^{2}+\sigma_{24} p-\sigma_{34}+3 \sigma_{44} p \bar{p}^{2}-2 \sigma_{44} \bar{p}}{4 \sigma_{44}(p \bar{p}-1)} \end{aligned} \]

където \(\sigma_{14}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}, \sigma_{24}=a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{1} a_{4}+a_{2} a_{3}+a_{2} a_{4}+a_{3} a_{4}\).

\(\sigma_{34}=a_{1} a_{2} a_{3}+a_{1} a_{2} a_{4}+a_{1} a_{3} a_{4}+a_{2} a_{3} a_{4}, \quad \sigma_{44}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\)

От (4) за \(\mathrm{R}_{4}\) намираме равенството

(5) \[ \small{ \begin{aligned} & R_{4}^{2}=\left(\omega-p_{1}\right)\left(\bar{\omega}-\bar{p}_{1}\right)=\cfrac{1}{16 a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}(p \bar{p}-1)^{2}} \times \\ & \times\left[\left(a_{2}+a_{4}\right) p^{2} \bar{p}+a_{2} a_{4}\left(a_{1}+a_{3}\right) p \bar{p}^{2}-p^{2}-a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \bar{p}^{2}-\right. \\ & \left.-\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{1}+2 a_{2} a_{4}\right) p \bar{p}+\left(a_{1}+a_{3}\right) p+a_{1} a_{3}\left(a_{2}+a_{4}\right) \bar{p}+a_{2} a_{4}-a_{1} a_{3}\right] \times \\ & \times\left[\left(a_{1}+a_{3}\right) p^{2} \bar{p}+a_{1} a_{3}\left(a_{2}+a_{4}\right) p \bar{p}^{2}-p^{2}-a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \bar{p}^{2}-\right. \\ & \left.-\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{4}+a_{4} a_{1}+2 a_{1} a_{3}\right) p \bar{p}+\left(a_{2}+a_{4}\right) p+a_{2} a_{4}\left(a_{1}+a_{3}\right) \bar{p}+a_{1} a_{3}-a_{2} a_{4}\right] \end{aligned} } \]

Забележка. Равенствата \((4)\) и \((5)\) са определени като център и радиус на окръжността, описана около \(\Delta P_{1} P_{2} P_{3}\). Заместването на \(p_{4}\) и \(\bar{p}_{4}\) в уравнението на тази окръжност показва, че те също са решение на това уравнение. Това означава, че \(P_{4}\) лежи върху описаната за \(\Delta P_{1} P_{2} P_{3}\) окръжност. Така получаваме още едно доказателство на теорема 1.

7.2. Доказателство на теорема 2. С \(s_{k j}\) означаваме \(k\)-ия симетричен по-лином на тези от числата \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\) и \(a_{5}\), от които е изключено \(a_{j}\) \((k=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5)\), т.е. изпълнени са равенствата: \(s_{11}=a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\), \(s_{12}=a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{1}, s_{13}=a_{4}+a_{5}+a_{1}+a_{2}, s_{14}=a_{5}+a_{1}+a_{2}+a_{3}, s_{15}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\), \(s_{21}=a_{2} a_{3}+a_{2} a_{4}+a_{2} a_{5}+a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{5}, \quad s_{22}=a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{1}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{1}+a_{5} c_{5}\) \(s_{23}=a_{4} a_{5}+a_{4} a_{1}+a_{4} a_{2}+a_{5} a_{1}+a_{5} a_{2}+a_{1} a_{2}, \quad s_{24}=a_{5} a_{1}+a_{5} a_{2}+a_{5} a_{3}+a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{2} a_{3}\), \(s_{25}=a_{1} a_{2}+a_{1} a_{3}+a_{1} a_{4}+a_{2} a_{3}+a_{2} a_{4}+a_{3} a_{4}, \quad s_{31}=a_{2} a_{3} a_{4}+a_{2} a_{3} a_{5}+a_{2} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{5}\), \(s_{32}=a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{1}+a_{3} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{5} a_{1}, \quad s_{33}=a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{5} a_{2}+a_{4} a_{1} a_{2}+a_{5} a_{1} a_{2}\), \(s_{34}=a_{5} a_{1} a_{2}+a_{5} a_{1} a_{3}+a_{5} a_{2} a_{3}+a_{1} a_{2} a_{3}, \quad s_{35}=a_{1} a_{2} a_{3}+a_{1} a_{2} a_{4}+a_{1} a_{3} a_{4}+a_{2} a_{3} a_{4}\), \(s_{41}=a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}, s_{42}=a_{3} a_{4} a_{5} a_{1}, s_{43}=a_{4} a_{5} a_{1} a_{2}, s_{44}=a_{5} a_{1} a_{2} a_{3}, s_{45}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}\). OT (4) следва, че афиксите на центровете \(\Omega_{41}, \Omega_{42}, \Omega_{43}, \Omega_{44}\) и \(\Omega_{45}\), съответно на Симсъновите окръжности \(k_{41}, k_{42}, k_{43}, k_{44}\) и \(k_{45}\), се изразяват с равенствата:

\[ \begin{aligned} & \omega_{41}=\tfrac{s_{41} \bar{p}^{3}-s_{31} \bar{p}^{2}+s_{21} \bar{p}-s_{11}+3 p^{2} \bar{p}-2 p}{4(p \bar{p}-1)}, \bar{\omega}_{41}=\tfrac{p^{3}-s_{11} p^{2}+s_{21} p-s_{31}+3 s_{41} p \bar{p}^{2}-2 s_{41} \bar{p}}{4 s_{41}(p \bar{p}-1)} \\ & \omega_{42}=\tfrac{s_{42} \bar{p}^{3}-s_{32} \bar{p}^{2}+s_{22} \bar{p}-s_{12}+3 p^{2} \bar{p}-2 p}{4(p \bar{p}-1)}, \bar{\omega}_{42}=\tfrac{p^{3}-s_{12} p^{2}+s_{22} p-s_{32}+3 s_{42} p \bar{p}^{2}-2 s_{42} \bar{p}}{4 s_{42}(p \bar{p}-1)} \\ & \omega_{43}=\tfrac{s_{43} \bar{p}^{3}-s_{33} \bar{p}^{2}+s_{23} \bar{p}-s_{13}+3 p^{2} \bar{p}-2 p}{4(p \bar{p}-1)}, \bar{\omega}_{43}=\tfrac{p^{3}-s_{13} p^{2}+s_{23} p-s_{33}+3 s_{43} p \bar{p}^{2}-2 s_{43} \bar{p}}{4 s_{43}(p \bar{p}-1)} \\ & \omega_{44}=\tfrac{s_{44} \bar{p}^{3}-s_{34} \bar{p}^{2}+s_{24} \bar{p}-s_{14}+3 p^{2} \bar{p}-2 p}{4(p \bar{p}-1)}, \bar{\omega}_{44}=\tfrac{p^{3}-s_{14} p^{2}+s_{24} p-s_{34}+3 s_{44} \bar{p}^{2}-2 s_{44} \bar{p}}{4 s_{44}(p \bar{p}-1)} \\ & \omega_{45}=\tfrac{s_{45} \bar{p}^{3}-s_{35} \bar{p}^{2}+s_{25} \bar{p}-s_{15}+3 p^{2} \bar{p}-2 p}{4(p \bar{p}-1)}, \bar{\omega}_{45}=\tfrac{p^{3}-s_{15} p^{2}+s_{25} p-s_{35}+3 s_{45} p \bar{p}^{2}-2 s_{45} \bar{p}}{4 s_{45}(p \bar{p}-1)} \end{aligned} \] Нека \(\Omega_{5}\) и \(R_{5}\) са съответно центърът и радиусът на описаната за \(\Delta \Omega_{41} \Omega_{42} \Omega_{43}\) окръжност \(k_{5}\). Както в случая с четириъгълника, от уравнението на \(k_{5}\) и горните равенства определяме системата уравнения:

\[ \begin{aligned} & 4(p \bar{p}-1)\left(a_{3}-p\right)\left(a_{4}-p\right)\left(a_{5}-p\right) z+4(p \bar{p}-1)\left(1-a_{3} \bar{p}\right)\left(1-a_{4} \bar{p}\right)\left(1-a_{5} \bar{p}\right) \sigma_{55} \bar{z}=z_{12} \\ & 4(p \bar{p}-1)\left(a_{4}-p\right)\left(a_{5}-p\right)\left(a_{1}-p\right) z+4(p \bar{p}-1)\left(1-a_{4} \bar{p}\right)\left(1-a_{5} \bar{p}\right)\left(1-a_{1} \bar{p}\right) \sigma_{55} \bar{z}=z_{23} \end{aligned} \] където

\[ z_{12}=3 \sigma_{55} a_{3} a_{4} a_{5} p \bar{q}^{5}-3 p^{5} \bar{p}+a_{3} a_{4} a_{5} p^{3} \bar{p}^{2}-\sigma_{55} p^{2} \bar{p}^{3}+3\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right) p^{4} \bar{p}- \] \[ \begin{aligned} & -3 \sigma_{55}\left(a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{3}\right) p \bar{p}^{4}+2 p^{4}-2 \sigma_{55} a_{3} a_{4} a_{5} \bar{p}^{4}-4\left(a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{3}\right) p^{3} \bar{p}+ \\ & +4 \sigma_{55}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right) p \bar{p}^{3}+\left[a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{3}\right)-a_{3} a_{4} a_{5}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right)\right] p^{2} \bar{p}^{2}+ \\ & +\sigma_{55}\left(a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{3}\right) \bar{p}^{3}-\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right) p^{3}+ \\ & +\left[a_{3} a_{4}^{2}+a_{3}^{2} a_{4}+a_{4} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}+a_{5} a_{3}^{2}+a_{5}^{2} a_{3}-a_{1} a_{2}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right)+6 a_{3} a_{4} a_{5}\right] p^{2} \bar{p}+ \\ & +\left[a_{3} a_{4} a_{5}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right)-a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4}^{2}+a_{3}^{2} a_{4}+a_{4} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}+a_{5} a_{3}^{2}+a_{5}^{2} a_{3}\right)-6 \sigma_{55}\right] p \bar{p}^{2}- \\ & -\left(a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}-a_{1} a_{2}\right) p^{2}+\left[a_{1} a_{2}\left(a_{3}^{2} a_{4}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{5}^{2} a_{3}^{2}\right)-a_{3}^{2} a_{4}^{2} a_{5}^{2}\right] \bar{p}^{2}+ \\ & +\left[a_{1} a_{2}\left(a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}\right)-\left(a_{3}^{2} a_{4}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{5}^{2} a_{3}^{2}\right)+\right. \\ & \left.+2 a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{3}\right)-2 a_{3} a_{4} a_{5}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right)\right] p \bar{p}+ \\ & +\left[a_{3} a_{4}^{2}+a_{3}^{2} a_{4}+a_{4} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}+a_{5} a_{3}^{2}+a_{5}^{2} a_{3}-a_{1} a_{2}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right)\right] p+ \\ & +\left[a_{3} a_{4} a_{5}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right)-a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4}^{2}+a_{3}^{2} a_{4}+a_{4} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}+a_{5} a_{3}^{2}+a_{5}^{2} a_{3}\right)\right] \bar{p}+ \\ & +a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{3}\right)-a_{3} a_{4} a_{5}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right) \\ & z_{23}=3 \sigma_{55} a_{4} a_{5} a_{1} p \bar{q}^{5}-3 p^{5} \bar{p}+a_{4} a_{5} a_{1} p^{3} \bar{p}^{2}-\sigma_{55} p^{2} \bar{p}^{3}+3\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right) p^{4} \bar{p}- \\ & -3 \sigma_{55}\left(a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}+a_{1} a_{4}\right) p \bar{p}^{4}+2 p^{4}-2 \sigma_{55} a_{4} a_{5} a_{1} \bar{p}^{4}-4\left(a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}+a_{1} a_{4}\right) p^{3} \bar{p}+ \\ & +4 \sigma_{55}\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right) p \bar{p}^{3}+\left[a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}+a_{1} a_{4}\right)-a_{4} a_{5} a_{1}\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right)\right] p^{2} \bar{p}^{2}+ \\ & +\sigma_{55}\left(a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}+a_{1} a_{4}\right) \bar{p}^{3}-\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right) p^{3}+ \\ & +\left[a_{4} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}+a_{5} a_{1}^{2}+a_{5}^{2} a_{1}+a_{1} a_{4}^{2}+a_{1}^{2} a_{4}-a_{2} a_{3}\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right)+6 a_{4} a_{5} a_{1}\right] p^{2} \bar{p}+ \\ & +\left[a_{4} a_{5} a_{1}\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right)-a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}+a_{5} a_{1}^{2}+a_{5}^{2} a_{1}+a_{1} a_{4}^{2}+a_{1}^{2} a_{4}\right)-6 \sigma_{55}\right] p \bar{p}^{2}- \\ & -\left(a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{1}^{2}-a_{2} a_{3}\right) p^{2}+\left[a_{2} a_{3}\left(a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{5}^{2} a_{1}^{2}+a_{1}^{2} a_{4}^{2}\right)-a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{1}^{2}\right] \bar{p}^{2}+ \\ & +\left[a_{2} a_{3}\left(a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{1}^{2}\right)-\left(a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{5}^{2} a_{1}^{2}+a_{1}^{2} a_{4}^{2}\right)+\right. \\ & \left.+2 a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}+a_{1} a_{4}\right)-2 a_{4} a_{5} a_{1}\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right)\right] p \bar{p}+ \\ & +\left[a_{4} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}+a_{5} a_{1}^{2}+a_{5}^{2} a_{1}+a_{1} a_{4}^{2}+a_{1}^{2} a_{4}-a_{2} a_{3}\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right)\right] p+ \\ & +\left[a_{4} a_{5} a_{1}\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right)-a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}+a_{5} a_{1}^{2}+a_{5}^{2} a_{1}+a_{1} a_{4}^{2}+a_{1}^{2} a_{4}\right)\right] \bar{p}+ \\ & +a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}+a_{1} a_{4}\right)-a_{4} a_{5} a_{1}\left(a_{4}+a_{5}+a_{1}\right) \end{aligned} \] След решаване на системата намираме

(6) \[\omega_{5}=\cfrac{\sigma_{55} \bar{p}^{4}-\sigma_{45} \bar{p}^{3}+\sigma_{35} \bar{p}^{2}-\sigma_{25} \bar{p}+\sigma_{15}+3 p^{3} \bar{p}^{2}-5 p^{2} \bar{p}+p}{4(p \bar{p}-1)^{2}},\]

(7) \[ \begin{aligned} & R_{5}^{2}=\left(a_{1}-p\right)\left(a_{2}-p\right)\left(a_{3}-p\right)\left(a_{4}-p\right)\left(a_{5}-p\right) \times \\ & \times \cfrac{\left(1-a_{1} \bar{p}\right)\left(1-a_{2} \bar{p}\right)\left(1-a_{3} \bar{p}\right)\left(1-a_{4} \bar{p}\right)\left(1-a_{5} \bar{p}\right)}{16 \sigma_{55}(p \bar{p}-1)^{4}}, \end{aligned} \]

където \(\sigma_{k 5}\) е \(k\)-ият симетричен полином на \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\) и \(a_{5}\).

От симетричния вид на (6) и (7) по отношение на \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\) и \(a_{5}\) следва, че точките \(\Omega_{44}\) и \(\Omega_{45}\) също лежат върху окръжността \(k_{5}\). С това теорема 3 е доказана.

7.3. Доказателство на теореми 3 и 4. С \(s_{k j}\) означаваме \(k\)-ия симетричен полином на тези от числата \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\) и \(a_{6}\), от които е изключено \(a_{j}\) \((k=1,2,3,4,5 ; j=1,2,3,4,5,6)\). От (6), както в случая с петоъгълника, изразяваме афиксите на центровете \(\Omega_{51}, \Omega_{52}, \Omega_{53}, \Omega_{54}, \Omega_{55}\) и \(\Omega_{56}\), съответно на Симсъновите окръжности \(k_{51}, k_{52}, k_{53}, k_{54}, k_{55}\) и \(k_{56}\), чрез полиномите \(s_{k j}(k=1,2,3,4,5 ; j=1,2,3,4,5,6)\). Нека \(\Omega_{6}\) и \(R_{6}\) са съответно центърът и радиусът на описаната за \(\Delta \Omega_{51} \Omega_{52} \Omega_{53}\) окръжност \(k_{6}\). Както в случая с четириъгълника, от уравнението на \(k_{6}\) и равенствата за \(\omega_{51}, \omega_{52}, \omega_{53}\) и техните комплексно спрегнати определяме системата уравнения:

\[ \begin{aligned} & -4(p \bar{p}-1)^{2}\left(a_{3}-p\right)\left(a_{4}-p\right)\left(a_{5}-p\right)\left(a_{6}-p\right) z+ \\ & +4(p \bar{p}-1)^{2}\left(1-a_{3} \bar{p}\right)\left(1-a_{4} \bar{p}\right)\left(1-a_{5} \bar{p}\right)\left(1-a_{6} \bar{p}\right) \sigma_{66} \bar{z}=u_{12} \\ & -4(p \bar{p}-1)^{2}\left(a_{4}-p\right)\left(a_{5}-p\right)\left(a_{6}-p\right)\left(a_{1}-p\right) z+ \\ & +4(p \bar{p}-1)^{2}\left(1-a_{4} \bar{p}\right)\left(1-a_{5} \bar{p}\right)\left(1-a_{6} \bar{p}\right)\left(1-a_{1} \bar{p}\right) \sigma_{66} \bar{z}=u_{23} \end{aligned} \] където \[ \begin{aligned} & u_{12}=3 \sigma_{66} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} p^{2} \bar{p}^{7}-3 p^{7} \bar{p}^{2}+3\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right) p^{6} \bar{p}^{2}+5 p^{6} \bar{p}-5 \sigma_{66} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} p \bar{p}^{6}- \\ & -3 \sigma_{66}\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right) p^{2} \bar{p}^{6}+a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} p^{4} \bar{p}^{3}-\sigma_{66} p^{3} \bar{p}^{4}+\sigma_{66} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} \bar{p}^{5}- \\ & -3\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right) p^{5} \bar{p}^{2}-5\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right) p^{5} \bar{p}-p^{5}+ \\ & +3 \sigma_{66}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right) p^{2} \bar{p}^{5}-2 \sigma_{66}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right) \\ & +5 \sigma_{66}\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right) p \bar{p}^{5}+2\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right) p^{4} \bar{p}^{2}+ \\ & +\left[a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right)-a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)\right] p^{3} \bar{p}^{3}+ \\ & +6\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right) p^{4} \bar{p}+ \\ & +\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\left[a_{1} a_{2}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)-\right. \\ & \left.-\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right)\right] p^{2} \bar{p}^{2}-6 \sigma_{66}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right) p \bar{p}^{4}+ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & +\left[a_{3}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{4}^{2}\left(a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{6}\right)+\right. \\ & \left.+a_{6}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{5}\right)-a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\right] p^{3} \bar{p}^{2}+ \\ & +\left\{a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)-a_{1} a_{2}\left[a_{3}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+\right.\right. \\ & \left.\left.+a_{4}^{2}\left(a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{6}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{5}\right)\right]-\sigma_{66}\right\} p^{2} \bar{p}^{3}+ \\ & +\left[a_{1} a_{2}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)-a_{3}^{2}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)-a_{4}^{2}\left(a_{5}+a_{6}+a_{3}\right)-a_{5}^{2}\left(a_{6}+a_{3}+a_{4}\right)-\right. \\ & \left.-a_{6}^{2}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}\right)-8\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right)\right] p^{3} \bar{p}+ \\ & +\left\{8 \sigma_{66}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)-a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right)+\right. \\ & +a_{1} a_{2}\left[a_{3}^{2} a_{4}^{2}\left(a_{5}+a_{6}\right)+a_{3}^{2} a_{5}^{2}\left(a_{4}+a_{6}\right)+a_{3}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{4}+a_{5}\right)+a_{4}^{2} a_{5}^{2}\left(a_{3}+a_{6}\right)+\right. \\ & \left.\left.+a_{4}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{3}+a_{5}\right)+a_{5}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{3}+a_{4}\right)\right]\right\} p \bar{p}^{3}+ \\ & +\left\{a_{3}^{2} a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{3}^{2} a_{4}^{2} a_{6}^{2}+a_{3}^{2} a_{5}^{2} a_{6}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{6}^{2}-a_{1} a_{2}\left(a_{3}^{2} a_{4}^{2}+a_{3}^{2} a_{5}^{2}+a_{3}^{2} a_{6}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{6}^{2}+a_{5}^{2} a_{6}^{2}\right)\right. \\ & -2 a_{1} a_{2}\left[a_{3}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{4}^{2}\left(a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{6}\right)+\right. \\ & \left.\left.+a_{6}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{5}\right)\right]+2 a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)-11 \sigma_{66}\right\} p \bar{p}^{2}+ \\ & +\left\{11 a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}-2 a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+2\left[a_{3}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+\right.\right. \\ & \left.+a_{4}^{\text {ù }}\left(a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{5}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{6}\right)+a_{6}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{5}\right)\right]- \\ & \left.-a_{1} a_{2}\left(a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}\right)+a_{3}^{2} a_{4}^{2}+a_{3}^{2} a_{5}^{2}+a_{3}^{2} a_{6}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{6}^{2}+a_{5}^{2} a_{6}^{2}\right\} p^{2} \bar{p}+ \\ & +\left(a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}-a_{1} a_{2}\right) p^{3}+\bar{p}^{3}\left\{a_{3}^{2} a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{6}^{2}-\right. \\ & \left.-a_{1} a_{2}\left[a_{3}^{2} a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{3}^{2} a_{4}^{2} a_{6}^{2}+a_{3}^{2} a_{5}^{2} a_{6}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{6}^{2}+a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\right]\right\} \\ & +\left\{a_{1} a_{2}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)-2\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right)-\left[a_{3}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+\right.\right. \\ & \left.\left.+a_{4}^{2}\left(a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{6}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{5}\right)\right]\right\} p^{2}+ \\ & +\left\{a _ { 1 } a _ { 2 } \left[a_{3}^{2} a_{4}^{2}\left(a_{5}+a_{6}\right)+a_{3}^{2} a_{5}^{2}\left(a_{4}+a_{6}\right)+a_{3}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{4}+a_{5}\right)+a_{4}^{2} a_{5}^{2}\left(a_{3}+a_{6}\right)+\right.\right. \\ & \left.+a_{4}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{3}+a_{5}\right)+a_{5}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{3}+a_{4}\right)\right]-a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right)+ \\ & \left.+{ }_{66}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)\right\} \bar{p}+\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\left[a_{1} a_{2}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)-\right. \\ & \left.-\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right)\right] p \bar{p}+\left\{a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)-\right. \\ & -a_{1} a_{2}\left[a_{3}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{4}^{2}\left(a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{6}\right)+\right. \\ & \left.\left.+a_{6}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{5}\right)\right]-3 \sigma_{66}\right\} \bar{p}+ \\ & +\left[a_{3}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{4}^{2}\left(a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{6}\right)+\right. \\ & \left.+a_{6}^{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{4} a_{5}\right)-a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4}+a_{3} a_{5}+a_{3} a_{6}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)+3 a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\right] p+ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & +a_{1} a_{2}\left(a_{3} a_{4} a_{5}+a_{3} a_{4} a_{6}+a_{3} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{6}\right)-a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}\left(a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}\right), \\ & u_{23}=3 \sigma_{66} a_{4} a_{5} a_{6} a_{1} p^{2} \bar{p}^{7}-3 p^{7} \bar{p}^{2}+3\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right) p^{6} \bar{p}^{2}+5 p^{6} \bar{p}-5 \sigma_{66} a_{4} a_{5} a_{6} a_{1} p \bar{p}^{6}- \\ & -3 \sigma_{66}\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right) p^{2} \bar{p}^{6}+a_{4} a_{5} a_{6} a_{1} p^{4} \bar{p}^{3}-\sigma_{66} p^{3} \bar{p}^{4}+\sigma_{66} a_{4} a_{5} a_{6} a_{1} \bar{p}^{5}- \\ & -3\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right) p^{5} \bar{p}^{2}-5\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right) p^{5} \bar{p}-p^{5}+ \\ & +3 \sigma_{66}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right) p^{2} \bar{p}^{5}-2 \sigma_{66}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right) p^{2} \bar{p}^{4}+ \\ & +5 \sigma_{66}\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right) p \bar{p}^{5}+2\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right) p^{4} \bar{p}^{2}+ \\ & +\left[a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right)-a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right)\right] p^{3} \bar{p}^{3}+ \\ & +6\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right) p^{4} \bar{p}+ \\ & +\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)\left[a_{2} a_{3}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right)-\right. \\ & \left.-\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right)\right] p^{2} \bar{p}^{2}-6 \sigma_{66}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right) p \bar{p}^{4}+ \\ & +\left[a_{4}^{2}\left(a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{4} a_{1}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}\right)+\right. \\ & \left.+a_{1}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)-a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)\right] p^{3} \bar{p}^{2}+ \\ & +\left\{a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)-a_{1} a_{2}\left[a_{4}^{2}\left(a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+\right.\right. \\ & \left.\left.+a_{5}^{2}\left(a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{4} a_{1}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}\right)+a_{1}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\right]-\sigma_{66}\right\} p^{2} \bar{p}^{3}+ \\ & +\left[a_{2} a_{3}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right)-a_{4}^{2}\left(a_{5}+a_{6}+a_{1}\right)-a_{5}^{2}\left(a_{6}+a_{1}+a_{4}\right)-a_{6}^{2}\left(a_{1}+a_{4}+a_{5}\right)-\right. \\ & \left.-a_{1}^{2}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}\right)-8\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right)\right] p^{3} \bar{p}+ \\ & +\left\{8 \sigma_{66}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right)-a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right)+\right. \\ & +a_{2} a_{3}\left[a_{4}^{2} a_{5}^{2}\left(a_{6}+a_{1}\right)+a_{4}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{1}+a_{5}\right)+a_{4}^{2} a_{1}^{2}\left(a_{5}+a_{6}\right)+a_{5}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{1}+a_{4}\right)+\right. \\ & \left.\left.+a_{5}^{2} a_{1}^{2}\left(a_{4}+a_{6}\right)+a_{6}^{2} a_{1}^{2}\left(a_{4}+a_{5}\right)\right]\right\} p \bar{p}^{3}+ \\ & +\left\{a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{6}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{1}^{2}+a_{4}^{2} a_{6}^{2} a_{1}^{2}+a_{5}^{2} a_{6}^{2} a_{1}^{2}-a_{2} a_{3}\left(a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{6}^{2}+a_{4}^{2} a_{1}^{2}+a_{5}^{2} a_{6}^{2}+a_{5}^{2} a_{1}^{2}+a_{6}^{2} a_{1}^{2}\right)-\right. \\ & -2 a_{2} a_{3}\left[a_{4}^{2}\left(a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{4} a_{1}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}\right)+\right. \\ & \left.\left.+a_{1}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\right]+2 a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)-11 \sigma_{66}\right\} p \bar{p}^{2}+ \\ & +\left\{11 a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}-2 a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+2\left[a_{4}^{2}\left(a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+\right.\right. \\ & \left.+a_{5}^{2}\left(a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{4} a_{1}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}\right)+a_{1}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\right]- \\ & \left.-a_{2} a_{3}\left(a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{1}^{2}\right)+a_{4}^{2} a_{5}^{2}+a_{4}^{2} a_{6}^{2}+a_{4}^{2} a_{1}^{2}+a_{5}^{2} a_{6}^{2}+a_{5}^{2} a_{1}^{2}+a_{6}^{2} a_{1}^{2}\right\} p^{2} \bar{p}+ \\ & +\left(a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{1}^{2}+a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}-a_{2} a_{3}\right) p^{3}+\bar{p}^{3}\left\{a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{6}^{2} a_{1}^{2}-\right. \\ & \left.-a_{2} a_{3}\left[a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{6}^{2}+a_{4}^{2} a_{5}^{2} a_{1}^{2}+a_{4}^{2} a_{6}^{2} a_{1}^{2}+a_{5}^{2} a_{6}^{2} a_{1}^{2}+a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)\right]\right\}+ \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} & +\left\{a_{2} a_{3}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right)-2\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right)-\left[a_{4}^{2}\left(a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+\right.\right. \\ & \left.\left.+a_{5}^{2}\left(a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{4} a_{1}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}\right)+a_{1}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\right]\right\} p^{2}+ \\ & +\left\{a _ { 2 } a _ { 3 } \left[a_{4}^{2} a_{5}^{2}\left(a_{6}+a_{1}\right)+a_{4}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{1}+a_{5}\right)+a_{4}^{2} a_{1}^{2}\left(a_{5}+a_{6}\right)+a_{5}^{2} a_{6}^{2}\left(a_{1}+a_{4}\right)+\right.\right. \\ & \left.+a_{5}^{2} a_{1}^{2}\left(a_{4}+a_{6}\right)+a_{6}^{2} a_{1}^{2}\left(a_{4}+a_{5}\right)\right]-a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right)+ \\ & \left.+2 \sigma_{66}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right)\right\} \bar{p}^{2}+\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)\left[a_{2} a_{3}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right)-\right. \\ & \left.-\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right)\right] p \bar{p}+\left\{a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)-\right. \\ & -a_{2} a_{3}\left[a_{4}^{2}\left(a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{4} a_{1}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}\right)+\right. \\ & \left.\left.+a_{1}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)\right]-3 \sigma_{66}\right\} \bar{p}+ \\ & +\left[a_{4}^{2}\left(a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{5}^{2}\left(a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+a_{6}^{2}\left(a_{4} a_{1}+a_{4} a_{5}+a_{5} a_{1}\right)+\right. \\ & \left.+a_{1}^{2}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{5} a_{6}\right)-a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5}+a_{4} a_{6}+a_{4} a_{1}+a_{5} a_{6}+a_{5} a_{1}+a_{6} a_{1}\right)+3 a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\right] p+ \\ & + \\ & +a_{2} a_{3}\left(a_{4} a_{5} a_{6}+a_{4} a_{5} a_{1}+a_{4} a_{6} a_{1}+a_{5} a_{6} a_{1}\right)-a_{4} a_{5} a_{6} a_{1}\left(a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{1}\right) \end{aligned} \]

След решаване на системата намираме

(8) \( \omega_{6}=\cfrac{\sigma_{66} \bar{p}^{5}-\sigma_{56} \bar{p}^{4}+\sigma_{46} \bar{p}^{3}-\sigma_{36} \bar{p}^{2}+\sigma_{26} \bar{p}-\sigma_{16}+3 p^{4} \bar{p}^{3}-8 p^{3} \bar{p}^{2}+6 p^{2} \bar{p}}{4(p \bar{p}-1)^{3}} \) ,

(9) \(\begin{aligned} & R_{6}^{2}=\left(a_{1}-p\right)\left(a_{2}-p\right)\left(a_{3}-p\right)\left(a_{4}-p\right)\left(a_{5}-p\right)\left(a_{6}-p\right) \times \\ & \times \cfrac{\left(1-a_{1} \bar{p}\right)\left(1-a_{2} \bar{p}\right)\left(1-a_{3} \bar{p}\right)\left(1-a_{4} \bar{p}\right)\left(1-a_{5} \bar{p}\right)\left(1-a_{6} \bar{p}\right)}{16 \sigma_{66}(p \bar{p}-1)^{6}} \end{aligned}\)

където \(\sigma_{k 6}\) е \(k\)-ият симетричен полином на \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\) и \(a_{6}\).

От симетричния вид на (8) и (9) по отношение на \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\) и \(a_{6}\) следва, че точките \(\Omega_{54}, \Omega_{55}\) и \(\Omega_{56}\) също лежат върху окръжността \(k_{6}\). С това теорема 3 е доказана.

Сега след изваждане на уравненията на двойките окръжности \(k_{51}, k_{52}\) и \(k_{52}, k_{53}\) получаваме уравненията на радикалните оси на тези двойки окръжности съответно във вида:

\[ \begin{aligned} & \left(\bar{\omega}_{51}-\bar{\omega}_{52}\right) z+\left(\omega_{51}-\omega_{52}\right) \bar{z}=\omega_{51} \bar{\omega}_{51}-\omega_{52} \bar{\omega}_{52}+R_{51}^{2}-R_{52}^{2} \\ & \left(\bar{\omega}_{52}-\bar{\omega}_{53}\right) z+\left(\omega_{52}-\omega_{53}\right) \bar{z}=\omega_{52} \bar{\omega}_{52}-\omega_{53} \bar{\omega}_{53}+R_{52}^{2}-R_{53}^{2} \end{aligned} \]

След заместване на съответните стойности от (6) и (7) за решението на тази система уравнения получаваме

(10) \[ t_{6}=\tfrac{-\left(\sigma_{66} \bar{p}^{5}-\sigma_{56} \bar{p}^{4}+\sigma_{46} \bar{p}^{3}-\sigma_{36} \bar{p}^{2}+\sigma_{26} \bar{p}-\sigma_{16}\right)+3 p^{3} \bar{p}^{2}-5 p^{2} \bar{p}+p}{4(p \bar{p}-1)^{2}} . \]

С непосредствена проверка се вижда, че числото \(t_{6}\) удовлетворява уравнението на \(k_{51}\). Оттук следва, че точката \(T_{6}\) лежи върху \(k_{51}\), а следователно и върху окръжностите \(k_{52}\) и \(k_{53}\). Така получаваме, че окръжности \(k_{51}, k_{52}\) и \(k_{53}\) минават през една точка \(T_{6}\). От симетричния вид на (10) по отношение на \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\) и \(a_{6}\) следва, че окръжностите \(k_{54}, k_{55}\) и \(k_{56}\) също минават през точката \(T_{6}\). С това теорема 4 е доказана.

7.4. Доказателство на теореми 5 и 6. Както в случаите на петоъгълник и шестоъгълник за центъра \(\Omega_{7}\) и радиуса \(R_{7}\) на окръжността \(k_{7}\), съдържаща центровете \(\Omega_{61}, \Omega_{62}, \Omega_{63}, \Omega_{64}, \Omega_{65}, \Omega_{66}\) и \(\Omega_{67}\) съответно на Симсъновите окръжности \(k_{61}, k_{62}, k_{63}, k_{64}, k_{65}, k_{66}\) и \(k_{67}\), получаваме следните резултати:

(11) \(\omega_{7}=\cfrac{1}{4(p \bar{p}-1)^{4}}\left(\sigma_{77} \bar{p}^{6}-\sigma_{67} \bar{p}^{5}+\sigma_{57} \bar{p}^{4}-\sigma_{47} \bar{p}^{3}+\sigma_{37} \bar{p}^{2}-\sigma_{27} \bar{p}+\sigma_{17}+\right. \\ \left.+3 p^{5} \bar{p}^{4}-11 p^{4} \bar{p}^{3}+14 p^{3} \bar{p}^{2}-6 p^{2} \bar{p}-p\right) \)

(12) \(R_{7}^{2}=\left(a_{1}-p\right)\left(a_{2}-p\right)\left(a_{3}-p\right)\left(a_{4}-p\right)\left(a_{5}-p\right)\left(a_{6}-p\right)\left(a_{7}-p\right) \times \\ \times \cfrac{\left(1-a_{1} \bar{p}\right)\left(1-a_{2} \bar{p}\right)\left(1-a_{3} \bar{p}\right)\left(1-a_{4} \bar{p}\right)\left(1-a_{5} \bar{p}\right)\left(1-a_{6} \bar{p}\right)\left(1-a_{7} \bar{p}\right)}{16 \sigma_{77}(p \bar{p}-1)^{8}}\) ,

където \(\sigma_{k 7}\) е \(k\)-ият симетричен полином на \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\) и \(a_{7}\).

Аналогично на случая с шестоъгълника получаваме, че Симсъновите окръжности \(k_{61}, k_{62}, k_{63}, k_{64}, k_{65}, k_{66}\) и \(k_{67}\) минават през точка \(T_{7}\), чийто афикс се изразява с формулата:

(13) \[ t_{7}=\tfrac{-\left(\sigma_{77} \bar{p}^{6}-\sigma_{67} \bar{p}^{5}+\sigma_{57} \bar{p}^{4}-\sigma_{47} \bar{p}^{3}+\sigma_{37} \bar{p}^{2}-\sigma_{27} \bar{p}+\sigma_{17}\right)+3 p^{4} \bar{p}^{3}-8 p^{3} \bar{p}^{2}+6 p^{2} \bar{p}}{4(p \bar{p}-1)^{3}} . \]

Доказателството на теорема 7 , отнасяща се за точките \(T_{61}, T_{62}, T_{63}, T_{64}\), \({ }_{65}, T_{66}, T_{67}\) и \(T_{7}\), ще получим като частен случай на теорема 10 при \(n=7\).

7.5. Доказателство на теореми 8, 9 и 10. За да докажем теореми 8, 9 и 10, е необходимо да намерим формули за \(\omega_{n}, R_{n}^{2}(n \geq 5)\) и \(t_{n}(n \geq 6)\), които обобщават вече получените. Навсякъде по-нататък \(\sigma_{j n}\) ще означава \(j\)-ия симетричен полином на \(n\)-те числа \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\). От (7), (9) и (12) се вижда, че при \(n \geq 5\), те се обобщават от формулата

(14) \[ R_{n}^{2}=\cfrac{\prod_{k=1}^{n}\left(a_{k}-p\right)\left(1-a_{k} \bar{p}\right)}{16 \sigma_{n n}(p \bar{p}-1)^{2(n-3)}}, \]

където \(\sigma_{n n}=a_{1} a_{2} \ldots a_{n}\).

Така с (14), при \(n \geq 5\), се изразява радиусът \(R_{n}\) на Симсъновата окръжност \(k_{n}\). Относно центъра \(\Omega_{n}\) на \(k_{n}\) и общата точка \(T_{n}\) на окръжностите \(k_{1,1}, k_{n-1,2}, \ldots, k_{n-1, n}\) съответните формули се нуждаят от повече изследвания. Формулите ( ), (6), (8) и (11) могат да се запишат съответно по следния начин:

\[ \begin{gathered} \omega_{4}=\tfrac{\sigma_{44} \dot{u}^{3}-\sigma_{34}^{-2}+\sigma_{24}^{-}-\sigma_{14}+\alpha_{4}}{4(p \bar{p}-1)} \\ \omega_{5}=\tfrac{\sigma_{55} \bar{p}^{4}-\sigma_{45} \bar{p}^{3}+\sigma_{35} \bar{p}^{2}-\sigma_{25} \bar{p}+\sigma_{15}+\alpha_{5}}{4(p \bar{p}-1)^{2}} \\ \omega_{6}=\tfrac{\sigma_{66} \bar{p}^{5}-\sigma_{56} \bar{p}^{4}+\sigma_{46} \bar{p}^{3}-\sigma_{36} \bar{p}^{2}+\sigma_{26} \bar{p}-\sigma_{16}+\alpha_{6}}{4(p \bar{p}-1)^{3}} \\ \omega_{7}=\tfrac{\sigma_{77} \bar{p}^{6}-\sigma_{67} \bar{p}^{5}+\sigma_{57} \bar{p}^{4}-\sigma_{47} \bar{p}^{3}+\sigma_{37} \bar{p}^{2}-\sigma_{27} \bar{p}+\sigma_{17}+\alpha_{7}}{4(p \bar{p}-1)^{4}}, \end{gathered} \] \[ \begin{gathered} \alpha_{4}=3 p^{2} \bar{p}-2 p=3 p(p \bar{p}-1)+p \\ \alpha_{5}=3 p^{3} \bar{p}^{2}-5 p^{2} \bar{p}+p=(p \bar{p}-1) \alpha_{4}-p=3 p(p \bar{p}-1)^{2}+p(p \bar{p}-1)-p \\ \alpha_{6}=3 p^{4} \bar{p}^{3}-8 p^{3} \bar{p}^{2}+6 p^{2} \bar{p}=(p \bar{p}-1) \alpha_{5}+p=3 p(p \bar{p}-1)^{3}+p(p \bar{p}-1)^{2}-p(p \bar{p}-1)+p \\ \alpha_{7}=3 p^{5} \bar{p}^{4}-11 p^{4} \bar{p}^{3}+14 p^{3} \bar{p}^{2}-6 p^{2} \bar{p}-p=(p \bar{p}-1) \alpha_{6}-p= \\ =3 p(p \bar{p}-1)^{\mathrm{u}}+p(p \bar{p}-1)-p(p \bar{p}-1)+p(p \bar{p}-1)-p \end{gathered} \] Затова \(\omega_{n}\) има вида

\(\omega_{n}=\tfrac{\sigma_{n n} \bar{p}^{n-1}-\sigma_{n-1, n} \bar{p}^{n-2}+\sigma_{n-2, n} \bar{p}^{n-3}-\cdots+(-1)^{n-2} \sigma_{3 n} \bar{p}^{2}+(-1)^{n-1} \sigma_{2 n} \bar{p}+(-1)^{n} \sigma_{1 n}+\alpha_{n}}{4(p \bar{p}-1)^{n-3}}\), където \(\alpha_{n}=p\left[3(p \bar{p}-1)^{n-3}+(p \bar{p}-1)^{n-4}-(p \bar{p}-1)^{n-5}+\cdots+(-1)^{n-1}(p \bar{p}-1)+(-1)^{n}\right]\).

Сега от формулата за сума на геометрична прогресия следва, че \((p \bar{p}-1)^{n-4}-(p \bar{p}-1)^{n-5}+\cdots+(-1)^{n-1}(p \bar{p}-1)+(-1)^{n}=\tfrac{(p \bar{p}-1)^{n-3}+(-1)^{n}}{p \bar{p}}\). Това означава, че \(\alpha_{n}=\tfrac{(3 p \bar{p}+1)(p \bar{p}-1)^{n-3}+(-1)^{n}}{\bar{p}}\). Оттук окончателно по-лучаваме

(15) \[\omega_{n}=\cfrac{(3 p \bar{p}+1)(p \bar{p}-1)^{n-3}+\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \sigma_{n-k, n} \bar{p}^{n-k}}{4 \bar{p}(p \bar{p}-1)^{n-3}}. \]

Аналогично на \(\omega_{n}\) се получава, че при \(n \geq 6\) формулата за \(t_{n}\) е следната:

(16) \[t_{n}=\cfrac{(3 p \bar{p}+1)(p \bar{p}-1)^{n-4}-\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \sigma_{n-k, n} \bar{p}^{n-k}}{4 \bar{p}(p \bar{p}-1)^{n-4}}. \]

От формулите на Виет за полиноми относно променливата \(p\) и равенствата \(\bar{\sigma}_{k}=\tfrac{\sigma_{n-k}}{\sigma_{n}}(k=0,1,2, \ldots, n)\) следват зависимостите:

\[ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \sigma_{k} p^{n-k} & =\prod_{k=1}^{n}\left(p-a_{k}\right)=(-1)^{n} \prod_{k=1}^{n}\left(a_{k}-p\right) \\ \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \sigma_{n-k} \bar{p}^{n-k} & =\prod_{k=1}^{n}\left(a_{k} \bar{p}-1\right)=(-1)^{n} \prod_{k=1}^{n}\left(1-a_{k} \bar{p}\right) \end{aligned} \]

Оттук (15) и (16) преминават съответно в равенствата:

(17) \[\omega_{n}=\cfrac{(3 p \bar{p}+1)(p \bar{p}-1)^{n-3}+\prod_{k=1}^{n}\left(a_{k} \bar{p}-1\right)}{4 \bar{p}(p \bar{p}-1)^{n-3}},\]

(18) \[ t_{n}=\cfrac{(3 p \bar{p}+1)(p \bar{p}-1)^{n-4}-\prod_{k=1}^{n}\left(a_{k} \bar{p}-1\right)}{4 \bar{p}(p \bar{p}-1)^{n-4}}. \]

От (17) при \(j=1,2, \ldots, n\), като вземем предвид (14), получаваме равенствата \[ \begin{gathered} \omega_{n}-\omega_{n-1, j}=\tfrac{\left(a_{j}-p\right) \prod_{k=1, k \neq j}^{n}\left(a_{k} \bar{p}-1\right)}{4(p \bar{p}-1)^{n-3}}=\tfrac{(-1)^{n-1}\left(a_{j}-p\right) \prod_{k=1, k \neq j}^{n}\left(1-a_{k} \bar{p}\right)}{4(p \bar{p}-1)^{n-3}}, \\ \bar{\omega}_{n}-\bar{\omega}_{n-1, j}=\tfrac{\left(1-a_{j} \bar{p}\right) \prod_{k=1, k \neq j}^{n}\left(p-a_{k}\right)}{4 \sigma_{n n}(p \bar{p}-1)^{n-3}}=\tfrac{(-1)^{n-1}\left(1-a_{j} \bar{p}\right) \prod_{k=1, k \neq j}^{n}\left(a_{k}-p\right)}{4 \sigma_{n n}(p \bar{p}-1)^{n-3}} \\ \left(\omega_{n}-\omega_{n-1, j}\right)\left(\bar{\omega}_{n}-\bar{\omega}_{n-1, j}\right)=\tfrac{\prod_{k=1}^{n}\left(a_{k}-p\right)\left(1-a_{k} \bar{p}\right)}{16 \sigma_{n n}(p \bar{p}-1)^{2(n-3)}}=R_{n}^{2} \end{gathered} \] С това теорема 8 е доказана.

От (17) и (18) при \(j=1,2, \ldots, n(n \geq 6)\), като вземем предвид (14), имаме \[ \begin{gathered} \omega_{n-1, j}-t_{n}=\tfrac{(-1)^{n-1} a_{j} \prod_{k=1, k \neq j}^{n}\left(1-a_{k} \bar{p}\right)}{4(p \bar{p}-1)^{n-4}}, \bar{\omega}_{n-1, j}-\bar{t}_{n}=\tfrac{(-1)^{n-1} \prod_{k=1, k \neq j}^{n}\left(a_{k}-p\right)}{4 a_{j}(p \bar{p}-1)^{n-4} \prod_{k=1, k \neq j}^{n} a_{k}} \\ \left(\omega_{n-1, j}-t_{n}\right)\left(\bar{\omega}_{n-1, j}-\bar{t}_{n}\right)=\tfrac{\prod_{k=1, k \neq j}^{n}\left(a_{k}-p\right)\left(1-a_{k} \bar{p}\right)}{16(p \bar{p}-1)^{2(n-4)} \prod_{k=1, k \neq j}^{n} a_{k}}=R_{n-1, j}^{2} . \end{gathered} \] С това теорема 9 е доказана.

Теорема 9 не е изпълнена при \(n=5\), защото равенството (14) в общия случай не обобщава (5). Окръжностите \(k_{41}, k_{42}, k_{43}, k_{44}\) и \(k_{45}\) не притежават обща точка дори в случая, когато \(A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5}\) е правилен петоъгълник. Съществуват обаче случаи, при които тези окръжности минават през една точка.

От (18) при \(j=1,2, \ldots, n(n \geq 7)\), като вземем предвид (14), получаваме равенствата

Последното равенство показва, че точките \(T_{n-1,1}, T_{n-1,2}, \ldots, T_{n-1, n}\) се намират на едно и също разстояние от точката \(T_{n}\), т.е. тези точки лежат на окръжност с център \(T_{n}\). Това доказва теорема 10 .

Ако с \(r_{n}\) означим радиуса на втората окръжност на Симсън за \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}\), от последното равенство следва \(r_{n}^{2}=R_{n}^{2}(p \bar{p}-1)^{2}\). Това равенство записваме по следния начин \(r_{n}=R_{n}|1-p \bar{p}|\). Тъй като геометричният смисъл на числото \(p \bar{p}\) се изразява с равенството \(p \bar{p}=O P^{2}\), то е изпълнено \(r_{n}=R_{n}\left|1-O P^{2}\right|\) или \(r_{n}=R_{n}\left|1-\left(\tfrac{O P}{1}\right)^{2}\right|\) (тук за удобство в знаменателя записваме радиуса на окръжността \(k\) ). Ако в общия случай описаната около \(A_{1} A_{2} \ldots A n\) окръжност \(k\) има радиус \(R\), то, за да се изравнят размерностите на двете страни в последното равенство, трябва да е изпълнено \(r_{n}=R_{n}\left|1-\left(\tfrac{O P}{R}\right)^{2}\right|\). Така получихме следната

Теорема 11. Ако многоъгълникът \(A_{1} A_{2} \ldots A_{n}(n \geq 7)\) е вписан в окръжност с радиус \(R\), то радиусите \(R_{n}\) и \(r_{n}\) съответно на Симсъновите окръжностите \(k_{n} u \bar{k}_{n}\) за точката \(P\) удовлетворяват равенството \(r_{n}=R_{n}\left|1-\left(\tfrac{O P}{R}\right)^{2}\right|\).

8. Заключение. Накрая трябва да отбележим, че подходът на построяване на Симсънови окръжности, който имитира индуктивния подход за получаване на Симсънови прави за вписани окръжности, притежава някои особености. Първо, при увеличаване на \(n\) конструкциите стават все по-сложни и е много трудно те да бъдат реализирани по обичайния начин, използвайки линийка и пергел. Освен това такъв подход ще бъде съпроводен с много грешки и откриването на съответните теореми би се затруднило изключително много дори при \(n=6\) и \(n=7\). Затова използването на GSP при откриването на описаните твърдения е от изключително значение. Второ, забелязва се, че доказателствата на теоремите са съпроводени с много изчисления. Тези изчисления обаче са извършени с програмния продукт Maple, което облекчава извършването на някои обичайни алгебрични действия и дава възможност да се получат по-бързо необходимите резултати. Освен това някои междинни изчисления не са необходими за тълкуването на крайните резултати. Трето, при \(n=5\) се получава особеност на теорема 9. Тази особеност се състои във факта, че Симсъновите окръжности \(k_{41}, k_{42}, k_{43}, k_{44}\) и \(k_{45}\) в общия случай не минават през една точка. Накрая е необходимо да се отбележи, че формулата, участваща в теорема 11, трудно може да се отгатне и да се получи чрез съответните експериментални изчисления с GSP. Затова тук са съществени прецизно извършените пресмятания и тяхното коректно тълкуване.

REFERENCES / ЛИТЕРАТУРА

Тонов, И. (1988). Приложение на комплексните числа в геометрията. София: Народна просвета. [Tonov, I. (1988). Application of complex numbers in Geometry. Sofia: Narodna prosveta.]

Тончев, Й. (2013). Maple. Преобразувания. Изчисления. Визуализация. София: Техника. [Tonchev, J. (2013). Maple. Transformations. Computations. Visualization. Sofia: Tehnika.]

Шарыгин, И. (1986). Задачи по геометрии. Планиметрия. Москва: Наука. [Sharygin. I. (1986). Geometry problems. Plane geometry. Moscow: Nauka.]

Malcheski, R., S. Grozdev & K. Anevska (2015). Geometry of Complex Numbers. Sofia: Arhimed. [Малчески, Р., С. Гроздев & К. Аневска (2015). Геометрия на комплексните числа. София: Архимед.]