ТРИ СВОЙСТВА НА ТРИЪГЪЛНИКА, ОПРЕДЕЛЕНИ ОТ ВИСОЧИНИТЕ МУ
Резюме. С помощта на компютърната програма „THE GEOMETER’S SKETCHPAD“ е изследвана една задача от Международната олимпиада по математика през 2012 г. Открити и доказани са няколко интересни свойства на триъгълника във връзка с височините му.
Ключови думи: problem solving, triangle, altitude, THE GEOMETER’S SKETCHPAD
Обичайното изследване върху дадена математическа задача е свързано с търсене на нейно обобщение. Не винаги обаче подобно търсене се оказва успешно. Въпреки това направените изследвания могат да доведат до резултати, които извеждат скрити свойства на разглежданите обекти. Пример в това отношение е забелязването на три интересни свойства на триъгълника, свързани с височините му. Тези свойства откриваме с помощта на програмата „THE GEOMETER’S SKETCHPAD“ (GSP) при изследването на следната задача от Международната олимпиада по математика през 2012 г.:
Задача. Даден е правоъгълен триъгълник \(A B C\left(∢ A C B=90^{\circ}\right)\), за който \(C_{1} \in A B\) е петата на височината през върха \(C\). Нека \(P\) е точка от вътрешността на отсечката \(C C_{1}\). То чката \(K\) от отсечката \(A P\) е такава, че \(B K=B C\), а точката \(L\) от отсечката \(B P\) е такава, че \(A L=A C\). Ако \(M\) е пресечната точка на \(A L\) и \(B K\), да се докаже, че \(M K=M L\). [1]
Ще разширим геометричната конфигурация, описана в тази задача, пpи произволен триъгълник \(A B C\). Нека \(A_{1} \in B C, B_{1} \in C A\) и \(C_{1} \in A B\) са петите на височините на \(\triangle A B C\) съответно през върховете \(A, B\) и \(C\), B и C , а \(P\) е произволна точка от правата \(C C_{1}\). Ако \(k_{a}\) е окръжността с център \(A\) и радиус \(A B_{1}\), а \(k_{b}-\) окръжността с център \(B\) и радиус \(B A_{1}\), то с \(K_{1}\) и \(K_{2}\) означаваме пресечните точки на \(k_{b}\) с правата \(A P\) (ако съществуват), а с \(L_{1}\) и \(L_{2}\)– пресечните точки на \(k_{a}\) с правата \(B P\) (ако съществуват). Определяме още точките \(M_{11}=B K_{1} \cap A L_{1}\), \(M_{12}=B K_{1} \cap A L_{2}, M_{21}=B K_{2} \cap A L_{1}\) и \(M_{22}=B K_{2} \cap A L_{2}\).
За построените по описания начин точки \(M_{11}, M_{12}, M_{21}\) и \(M_{22}\) очакваме да притежават някои свойства в зависимост от положението на \(P\) върху \(C C_{1}\). Нека \(H\) е ортоцентърът на \(A B C\), а \(H^{\prime}\) е точката, симетрична на \(H\) спрямо \(A B\). Забелязаните с помощта на GSP свойства относно разположението на точките \(M_{11}\), \(M_{12}, M_{21}\) и \(M_{22}\) формулираме в следната:
Теорема 1. Ако точката \(P\) описва отсечката \(H H^{\prime}\), то две от точките \(M_{11}\), \(M_{12}, M_{21} u M_{22}\) описват елипса \(E\), която минава през върха \(C\) и има за фокуси върховете \(A\) и \(B\), а другите две описват хипербола \(\chi\), която минава през върха \(C\) и има за фокуси върховете \(A\) и \(B\) или симетралата \(s\) на \(A B\).
В олимпиадната задача точката \(M\) удовлетворява едно равенство. При разширените разглеждания за правоъгълен триъгълник( \(∢ A C B=90^{\circ}\) ) се вижда, че точките \(M_{11}, M_{12}, M_{21}\) и \(M_{22}\) са свързани с повече равенства. По-точно изпълнени са равенствата \(K_{1} M_{11}=L_{1} M_{11}, K_{2} M_{22}=L_{2} M_{22}, K_{1} M_{12}=L_{2} M_{12}\) и \(K_{2} M_{21}=L_{1} M_{21}\). Не може да се очаква, че в общия случай тези равенства ще се запазят, но можем да очакваме, че съществува равенство, свързващо отношенията на отсечките, участващи в горните равенства. Наистина, наблюденията с GSP показват равенството, описано в следващата:
Теорема 2. Точките \(K_{i}\), \(L_{i}\) и \(M_{i j}(i=1,2 ; j=1,2)\) са свързани с равенството:
\[ \tfrac{K_{1} M_{11}}{L_{1} M_{11}} \cdot \tfrac{K_{2} M_{22}}{L_{2} M_{22}}=\tfrac{K_{1} M_{12}}{L_{2} M_{12}} \cdot \tfrac{K_{2} M_{21}}{L_{1} M_{21}} \]
Точките \(K_{1}, K_{2}, L_{1}\) и \(L_{2}\), K 2 , L1 и L2 , в зависимост от пораждащата ги точка \(P\), притежават център на тежестта \(G(P)\). По отношение на точката \(G(P)\) наблюденията с GSP водят до формулирането на следната:
Теорема 3. Ако точката \(P\) описва отсечката \(H H^{\prime}\), точката \(G(P)\) описва дъга от окръжност или отсечка, краищата на която лежат върху радикалната ос на окръжностите \(k_{a} u k_{b}\).
Преминаваме към доказване на формулираните твърдения. Разглеждаме Декартова координатна система \(O x y\) с център средата \(O\) на \(A B\), абсцисна ос \(O x \equiv A B\), насочена към точката \(A\) и ординатна ос Oy , насочена така, че ординатата ос \(O y\), насочена ка, че ордина тата на \(C\) е положителна [2]. Спрямо \(O x y\) координатите на точките \(A, B, C\) и \(P\) определяме по следния начин: \(A(\alpha, 0), B(-\alpha, 0), C\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}\right)\) и \(P\left(\gamma_{1}, p\right)\). Дължините на \(B C, C A, A B\) и лицето на \(\triangle A B C\) означаваме съответно с \(a, b, c\) и \(S\). Лесно се забелязва, че са изпълнени равенствата \(\alpha=\tfrac{c}{2}, \gamma_{1}=\tfrac{a^{2}-b^{2}}{2 c}\) и \(\gamma_{2}=\tfrac{2 S}{c}\).
Спрямо \(O x y\) елипсата \(E\) и хиперболата \(\chi\) (ако съществува) имат следните канонични уравнения:
(1) \[ E: \tfrac{x^{2}}{a_{e^{2}}^{2}}+\tfrac{y^{2}}{b_{e_{2}}^{2}}=1, \]
(2) \[ \chi: \tfrac{x^{2}}{a_{x}^{2}}-\tfrac{y^{2}}{b_{x}^{2}}=1 . \]
Тъй като \(E\) и \(\chi\) имат за фокуси точките \(A\) и \(B\), то за техните линейни ексцентрицитети са изпълнени съответно равенствата \(c_{e}^{2}=a_{e}^{2}-b_{e}^{2}={ }^{2}\) и \(c_{x}^{2}=a_{x}^{2}+b_{x}^{2}=\alpha^{2}\). От тези равенства и равенствата \(\tfrac{\gamma_{1}^{2}}{a_{e}^{2}}+\tfrac{\gamma_{2}^{2}}{b_{e}^{2}}=1\) и \(\tfrac{\gamma_{1}^{2}}{a_{x}^{2}}-\tfrac{\gamma_{2}^{2}}{b_{x}^{2}}=1\) намираме
(3) \[ a_{e}^{2}=\left(\tfrac{a+b}{2}\right)^{2}, b_{e}^{2}=\tfrac{(a+b)^{2}-c^{2}}{4}, a_{x}^{2}=\left(\tfrac{a-b}{2}\right)^{2}, b_{x}^{2}=\tfrac{c^{2}-(a-b)^{2}}{4}. \]
От равенствата (3) непосредствено се вижда, че елипсата \(E\) винаги съществува, а хиперболата \(\chi\) съществува само за неравнобедрен триъгълник. Изпълнено е и равенството \(S=b_{e} . b_{x}\).
Преминаваме към определяне на координатите на точките \(K_{i}, L_{i}\) и \(M_{i j}\) \((i=1,2 ; j=1,2)\). В началото определяме уравненията на правите \(B C, C A, A B, A A_{1}\), \(B B_{1}, C C_{1}, A P\) и \(B P\) във вида \(B C: \gamma_{2} x-\left(\gamma_{1}+\alpha\right) y+\gamma_{2} \alpha=0, C A: \gamma_{2} x-\left(\gamma_{1}-\alpha\right) y-\gamma_{2} \alpha=0\), \(A B: y=0, A A_{1}:\left(\gamma_{1}+\alpha\right) x+\gamma_{2} y-\alpha\left(\gamma_{1}+\alpha\right)=0, B B_{1}:\left(\gamma_{1}-\alpha\right) x+\gamma_{2} y+\alpha\left(\gamma_{1}-\alpha\right)=0\), \(C C_{1}: x-\gamma_{1}=0, A P: p x-\left(\gamma_{1}-\alpha\right) y-p \alpha=0\) и \(B P: p x-\left(\gamma_{1}+\alpha\right) y+p \alpha=0\).
От първите шест уравнения намираме \(A_{1}\left(\tfrac{\alpha\left[\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}-\gamma_{2}^{2}\right]}{\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \tfrac{2 \alpha \gamma_{2}\left(\gamma_{1}+\alpha\right)}{\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)\), \(B_{1}\left(-\tfrac{\alpha\left[\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}-\gamma_{2}^{2}\right]}{\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}},-\tfrac{2 \alpha \gamma_{2}\left(\gamma_{1}-\alpha\right)}{\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)\) и \(H\left(\gamma_{1},-\tfrac{\gamma_{1}^{2}-\alpha^{2}}{\gamma_{2}}\right)\). Оттук следва още, че \(\left|A B_{1}\right|^{2}=\tfrac{4 \alpha^{2}\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}}{\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}},\left|B A_{1}\right|^{2}=\tfrac{4 \alpha^{2}\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}}{\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}}\) и \(H^{\prime}\left(\gamma_{1}, \tfrac{\gamma_{1}^{2}-\alpha^{2}}{\gamma_{2}}\right)\). От последните равенства получаваме уравненията на окръжностите \(k_{a}\) и \(k_{b}\) по следния начин:
\[ k_{a}:(x-\alpha)^{2}+y^{2}=\tfrac{4 \alpha^{2}\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}}{\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}}, k_{b}:(x+\alpha)^{2}+y^{2}=\tfrac{4 \alpha^{2}\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}}{\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}} \]
След изваждане на уравненията на \(k_{a}\) и \(k_{b}\), като използваме равенствата \(\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}=a^{2}\) и \(\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}+\gamma_{2}^{2}=b^{2}\), получаваме уравнението на радикалната ос \(t\) във вида
(4) \[ t: x=\tfrac{4 \alpha^{2} \gamma_{1} \gamma_{2}^{2}}{a^{2} b^{2}} \]
Сега за удобство да въведем означенията \(\bar{h}=\gamma_{1}^{2}-\alpha^{2}, p_{a}=\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}+p^{2}\), \(p_{a}^{\prime}=\left(\gamma_{1}-\alpha\right)^{2}-p^{2}, p_{b}=\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}+p^{2}, p_{b}^{\prime}=\left(\gamma_{1}+\alpha\right)^{2}-p^{2}, \xi=\sqrt{\bar{h}^{2}-p^{2} \gamma_{2}^{2}}\). Величината \(\xi\) има смисъл само за онези точки \(P\), за които \(p \in\left[-\tfrac{\bar{h}}{\gamma_{2}}, \tfrac{\bar{h}}{\gamma_{2}}\right]\) или \(p \in\left[\tfrac{\bar{h}}{\gamma_{2}},-\tfrac{\bar{h}}{\gamma_{2}}\right]\). Това означава, че \(\xi\) има смисъл само когато \(P\) е точка от отсечката \(H H^{\prime}\).
За да определим координатите на двойките точки \(K_{1}, K_{2}\) и \(L_{1}, L_{2}\), K 2 и L1, L2, решаваме системите, образувани съответно от двойките уравнения на \(A P, k_{\mathrm{b}}\) и \(B P, k_{\mathrm{a}}\). След несложни пресмятания получаваме:
(5) \[ \begin{gathered} K_{1}\left(-\tfrac{\alpha}{a p_{a}}\left[a p_{a}^{\prime}+2\left(\gamma_{1}-\alpha\right) \xi\right],-\tfrac{2 \alpha p}{a p_{a}}\left[a\left(\gamma_{1}-a\right)+\xi\right]\right), \\ K_{2}\left(-\tfrac{\alpha}{a p_{a}}\left[a p_{a}^{\prime}-2\left(\gamma_{1}-\alpha\right) \xi\right],-\tfrac{2 \alpha p}{a p_{a}}\left[a\left(\gamma_{1}-a\right)-\xi\right]\right), \\ \end{gathered} \]
(6) \[ \begin{gathered} L_{1}\left(\tfrac{\alpha}{b p_{b}}\left[b p_{b}^{\prime}+2\left(\gamma_{1}+\alpha\right) \xi\right], \tfrac{2 \alpha p}{b p_{b}}\left[b\left(\gamma_{1}+\alpha\right)+\xi\right]\right), \\ L_{2}\left(\tfrac{\alpha}{b p_{b}}\left[b p_{b}^{\prime}-2\left(\gamma_{1}+\alpha\right) \xi\right], \tfrac{2 \alpha p}{b p_{b}}\left[b\left(\gamma_{1}+\alpha\right)-\xi\right]\right) . \end{gathered} \]
Нека \(K\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\) е общо означение за точките \(K_{1}\left(x_{K_{1}}, y_{K_{1}}\right)\) и \(K_{2}\left(x_{K_{2}}, y_{K_{2}}\right), L\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right)\) е общо означение за точките \(L_{1}\left(x_{L_{1}}, y_{L_{1}}\right)\) и \(L_{2}\left(x_{L_{2}}, y_{L_{2}}\right)\) и \(M\) е общо означение за точките \(M_{11}, M_{12}, M_{21}\) и \(M_{22}\). Тогава уравненията на правите \(B K\) и \(A L\) са следните: \(B K: y^{\prime} x-\left(x^{\prime}+\alpha\right) y+\alpha y^{\prime}=0\) и \(A L: y^{\prime \prime} x-\left(x^{\prime \prime}-\alpha\right) y-\alpha y^{\prime \prime}=0\). Тъй като \(K\) лежи върху \(A P\), а \(L\)– върху \(B P\), то от уравненията на тези прави следват равенствата \(y^{\prime}=\tfrac{p\left(x^{\prime}-\alpha\right)}{\gamma_{1}-\alpha}\) и \(y^{\prime \prime}=\tfrac{p\left(x^{\prime \prime}+\alpha\right)}{\gamma_{1}+\alpha}\). От последните четири равенства намираме координатите на \(M\) :
(7) \[ \left(-\tfrac{\gamma x^{\prime} x^{\prime \prime}-\alpha^{2}\left(x^{\prime}+x^{\prime \prime}\right)+\alpha^{2}}{x^{\prime} x^{\prime \prime}-\gamma_{1}\left(x^{\prime}+x^{\prime \prime}\right)+\alpha^{2}}-\tfrac{p\left(x^{\prime}-\alpha\right)\left(x^{\prime \prime}+\alpha\right)}{x^{\prime} x^{\prime \prime}-\gamma_{1}\left(x^{\prime}+x^{\prime \prime}\right)+\alpha^{2}}\right) . \]
Сега в (7) заместваме двойката (\(x^{\prime}, x^{\prime \prime}\) ) последователно с двойките (\(x_{K_{1}}, x_{L_{1}}\) ), \(\left(x_{K_{2}}, x_{L_{2}}\right),\left(x_{K_{1}}, x_{L_{2}}\right)\) и \(\left(x_{K_{2}}, x_{L_{1}}\right)\) от (6) и (7) и окончателно получаваме
(8) \[ \begin{aligned} & M_{11}\left(\tfrac{\alpha\left[2 \gamma_{1}\left(2 a b p^{2}-\xi^{2}\right)+(a+b)\left(p^{2}-\bar{h}\right) \xi\right]}{2 \alpha\left(a b p^{2}+\xi^{2}\right)+(a-b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi}, \tfrac{-2 \alpha p\left[c\left(\bar{h} a b+\xi^{2}\right)+2(a-b) b_{e}^{2} \xi\right]}{c\left[2 \alpha\left(a b p^{2}+\xi^{2}\right)+(a-b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]}\right), \\ & M_{22}\left(\tfrac{\alpha\left[2 \gamma_{1}\left(2 a b p^{2}-\xi^{2}\right)-(a+b)\left(p^{2}-\bar{h}\right) \xi\right]}{2 \alpha\left(a b p^{2}+\xi^{2}\right)-(a-b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi}, \tfrac{-2 \alpha p\left[c\left(\bar{h} a b+\xi^{2}\right)-2(a-b) b_{e}^{2} \xi\right]}{c\left[2 \alpha\left(a b p^{2}+\xi^{2}\right)-(a-b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]}\right), \\ & M_{12}\left(\tfrac{\alpha\left[2 \gamma_{1}\left(2 a b p^{2}+\xi^{2}\right)-(a-b)\left(p^{2}-\bar{h}\right) \xi\right]}{2 \alpha\left(a b p^{2}-\xi^{2}\right)-(a+b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi}, \tfrac{-2 \alpha p\left[c\left(\bar{h} a b-\xi^{2}\right)-2(a+b) b_{x}^{2} \xi\right]}{c\left[2 \alpha\left(a b p^{2}-\xi^{2}\right)-(a+b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]}\right), \\ & M_{21}\left(\tfrac{\alpha\left[2 \gamma_{1}\left(2 a b p^{2}+\xi^{2}\right)+(a-b)\left(p^{2}-\bar{h}\right) \xi\right]}{2 \alpha\left(a b p^{2}-\xi^{2}\right)+(a+b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi}, \tfrac{-2 \alpha p\left[c\left(\bar{h} a b-\xi^{2}\right)+2(a+b) b_{x}^{2} \xi\right]}{c\left[2 \alpha\left(a b p^{2}-\xi^{2}\right)+(a+b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]}\right) . \end{aligned} \]
Като използваме равенствата \(\quad a b p^{2}+\xi^{2}=\bar{h}\left(p^{2}+\bar{h}\right)+2 p^{2} b_{x}^{2}\) \(a b p^{2}-\xi^{2}=-\bar{h}\left(p^{2}+\bar{h}\right)+2 p^{2} b_{e}^{2}, \quad c^{2}\left(\bar{h} a b+\xi^{2}\right)=b_{e}^{2}\left\{\bar{h}\left[(a-b)^{2}+c^{2}\right]-4 p^{2} b_{x}^{2}\right\} \quad\) и \(c^{2}\left(\bar{h} a b-\xi^{2}\right)=b_{x}^{2}\left\{\bar{h}\left[(a+b)^{2}+c^{2}\right]+4 p^{2} b_{e}^{2}\right\}\), след заместване на координатите на \(M_{11}\) и \(M_{22}\) в (1), а координатите на \(M_{12}\) и \(M_{21}\) в (2), установяваме, че \(M_{11}\) и \(M_{22}\) лежат на \(E\), а \(M_{12}\) и \(M_{21}\)– на \(\chi\). Освен това лесно се вижда, че когато \(a=b\), т.е. когато \(\triangle A B C\) е равнобедрен, първите координати на \(M_{12}\) и \(M_{21}\) са равни на нула, което означава, че тези точки лежат върху правата \(s \equiv O y\). С това теорема 1 е доказана.
За да докажем теорема 2, записваме желаното равенство в следния вид
(9) \[ \tfrac{K_{1} M_{11}}{K_{1} M_{12}} \cdot \tfrac{K_{2} M_{22}}{K_{2} M_{21}}=\tfrac{L_{1} M_{11}}{L_{1} M_{21}} \cdot \tfrac{L_{2} M_{22}}{L_{2} M_{12}}. \]
Всяко от горните отношения е образувано от тройка колинеарни точки. Затова тези отношения са равни на отношенията на разликите от съответните ординати. След като използваме представянето на ординатите във вида (7), получаваме простите отношения
\[ \begin{aligned} & \tfrac{\overline{K_{1} M_{11}}}{\overline{K_{1} M_{12}}}=-\tfrac{\left[2 \alpha\left(a b p^{2}-\xi^{2}\right)-(a+b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]\left[2 \alpha \xi-b\left(p^{2}+\bar{h}\right)\right]}{\left[2 \alpha\left(a b p^{2}+\xi^{2}\right)+(a-b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]\left[2 \alpha \xi+b\left(p^{2}+\bar{h}\right)\right]}, \\ & \tfrac{\overline{K_{2} M_{22}}}{\overline{K_{2} M_{21}}}=-\tfrac{\left[2 \alpha\left(a b p^{2}-\xi^{2}\right)+(a+b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]\left[2 \alpha \xi+b\left(p^{2}+\bar{h}\right)\right]}{\left[2 \alpha\left(a b p^{2}+\xi^{2}\right)-(a-b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]\left[2 \alpha \xi-b\left(p^{2}+\bar{h}\right)\right]}, \\ & \tfrac{\overline{L_{2} M_{11}}}{\overline{L_{2} M_{21}}}=-\tfrac{\left[2 \alpha\left(a b p^{2}-\xi^{2}\right)+(a+b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]\left[2 \alpha \xi+a\left(p^{2}+\bar{h}\right)\right]}{\left[2 \alpha\left(a b p^{2}+\xi^{2}\right)+(a-b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]\left[2 \alpha \xi-a\left(p^{2}+\bar{h}\right)\right]}, \\ & \tfrac{\overline{L_{2} M_{22}}}{\overline{L_{2} M_{12}}}=-\tfrac{\left[2 \alpha\left(a b p^{2}-\xi^{2}\right)-(a+b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]\left[2 \alpha \xi-a\left(p^{2}+\bar{h}\right)\right]}{\left[2 \alpha\left(a b p^{2}+\xi^{2}\right)-(a-b)\left(p^{2}+\bar{h}\right) \xi\right]\left[2 \alpha \xi+a\left(p^{2}+\bar{h}\right)\right]}. \\ \end{aligned} \]
Оттук следва равенството \(\tfrac{\overline{K_{1} M_{11}}}{\overline{K_{1} M_{12}}} \cdot \tfrac{\overline{K_{2} M_{22}}}{\overline{K_{2} M_{21}}}=\tfrac{\overline{L_{1} M_{11}}}{\overline{L_{1} M_{21}}} \cdot \tfrac{\overline{L_{2} M_{22}}}{\overline{L_{2} M_{12}}}\), което води до (9). С това теорема 2 е доказана.
За да докажем теорема 3, от (5) и (6) намираме координатите на центъра на тежестта \(G(P)\left(\tfrac{4 p^{2} \alpha^{2} \gamma_{1}}{p_{a} p_{b}}, \tfrac{2 \alpha p^{2}\left(p^{2}-\bar{h}\right)}{p_{a} p_{b}}\right)\). Оттук за \(H\) и \(H^{\prime}\) съответно при \( p=-\tfrac{\bar{h}}{\gamma_{2}} \) и \( p=\tfrac{\bar{h}}{\gamma_{2}} \) получаваме \(G(H)\left(\tfrac{4 \alpha^{2} \gamma_{1} \gamma_{2}^{2}}{a^{2} b^{2}},-\tfrac{2 \alpha^{2}\left(\bar{h}-\gamma_{2}^{2}\right) \gamma_{2}}{a^{2} b^{2}}\right)\) и \(G\left(H^{\prime}\right)\left(\tfrac{4 \alpha^{2} \gamma_{1} \gamma_{2}^{2}}{a^{2} b^{2}}, \tfrac{2 \alpha^{2}\left(\bar{h}-\gamma_{2}^{2}\right) \gamma_{2}}{a^{2} b^{2}}\right)\). Тези точки са симетрични спрямо правата \(A B\) и удовлетворяват уравнението (4) на радикалната ос \(t\) на \(k_{\mathrm{a}}\) и \(k_{\mathrm{b}}\). Освен това, лесно се проверява, че за всяка точка \(P\) от отсечката \(H H^{\prime}\) точката \(G(P)\) лежи върху окръжност \(\Gamma\) с център \(\Omega\left(\tfrac{\alpha^{2}}{2 \gamma_{1}}, 0\right)\) и радиус \(R_{0}=\tfrac{\alpha^{2}}{2\left|\gamma_{1}\right|}=\tfrac{c^{3}}{4\left|a^{2}-b^{2}\right|}\). Така получаваме, че когато \(P\) описва отсечката \(H H^{\prime}\), точката \(G(P)\) описва дъга от \(\Gamma\) с краища точките \(G(H)\) и \(G\left(H^{\prime}\right)\), като минава през точката \(O\), т.е. \(G(P)\) описва дъгата \(\widetilde{G(H) O G\left(H^{\prime}\right)}\) от \(\Gamma\). Ако \(a=b\), точката \(G(P)\) описва отсечката \(G(H) G\left(H^{\prime}\right)\), минаваща през \(O\). С това теорема 3 е доказана.
Трябва да отбележим, че точката \(G(P)\) описва цялата окръжност \(\Gamma\) или дъга, съдържаща \(\Gamma\), когато точката \(P_{0}\left(\gamma_{1}, \sqrt{\bar{h}}\right)\) лежи върху отсечката \(H H^{\prime}\). Точката \(P_{0}\) съществува, когато \(\bar{h} \gt 0\), а това е изпълнено, когато един от ъглите \(∢ A B C\) и \(∢ B A C\) е тъп. Точката \(P_{0}\) е върху отсечката \(H H^{\prime}\), когато е изпълнено неравенството \(\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}-c^{4} \gt 16 S^{2}\).
Накрая ще отбележим, че с теорема 1 показахме как точките \(M_{11}, M_{12}, M_{21}\) и \(M_{22}\) описват две забележителни криви от втора степен за \(\triangle A B C\), в теорема 2 една метрична зависимост, свързваща точките \(M_{11}, M_{12}, M_{21}\) и \(M_{22}\) с точките \(K_{1}, K_{2}\), \(L_{1}\) и \(L_{2}\), а в теорема 3 получихме геометрично място, зависещо само от точките \(K_{1}, K_{2}, L_{1}\) и \(L_{2}\).
ЛИТЕРАТУРА
Гроздев, С. (2012) Анализ на две задачи от международната олимниада по математика, Математика и информатика, 45(4), 304-307.
Моденов, П. Аналитическая геометрия. Московского университета, Москва, 1969.