Резюме. В статията се разглеждат обобщения на една от задачите от Международната олимпиада по математика през 2010 г.

Ключови думи: Olympiad, problem solving, generalization, THE GEOMETER’S SKETCHPAD.

Много от геометричните задачи позволяват да се намерят техни обобщения. В някои случаи обаче, намирането на обобщение не е лесно за осъществяване. Затова откриването на обобщение представлява истинско предизвикателство към математическата изобретателност. Надеждното осъществяване на тази изобретателност е свързано със задълбоченото проследяване на връзките между отделните фигури и техните елементи. Необходимо е и доброто познаване на съответните им свойства.

Преодоляването на редица трудности при откриването на необходимите връзки може съществено да се опрости с използването на конструктивните и динамични възможности на програмата “THE GEOMETER’S SKETCHPAD” (GSP).

Ще покажем как с помощта на GSP може да се открие обобщение на една геометрична задача от международната олимпиада по математика през 2010 г. Тази задача се отнася до произволен \(\triangle A B C\), затова във връзка с доказателсвата на получените твърдения ще използваме барицентрични координати спрямо координатен триъгълник \(A B C\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\) и \(C(0,0,1)\) (Паскалев, Чобанов, 1985). Освен това с \(A_{0}\left(0, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}\right), B_{0}\left(\tfrac{1}{2}, 0, \tfrac{1}{2}\right)\) и \(C_{0}\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, 0\right)\) ще означаваме средите съответно на страните \(B C, C A\) и \(A B\).

Задачата, на която търсим обобщение, е следната:

Нека \(P\) е точка от вътрешността на \(\triangle A B C\). Правите \(A P, B P\) и \(C P\) пресичат описаната около \(\triangle A B C\) окръжност Г съответно в точки К, \(L\) и M. Допирателната към Г в точката \(C\) пресича правата \(A B\) в точка \(S\). Да се докаже, че ако \(S C=S P\), то \(M K=M L\) (Гроздев, 2010).

При търсенето на обобщение на тази задача, резултатите до които ще достигнем с помощта на изследванията с GSP, ще подредим последователно в съответните свойства на получаващата се конструкция, която води към намиране на желаното обобщение.

В началото е ясно, че описаната окръжност \(\Gamma\) можем да заменим с описана за \(\triangle A B C\) крива от втора степен. По отношение на понятието център на крива от втора степен за описаната около \(\triangle A B C\) крива са възможни два случая, които ще разгледаме отделно.

ОПИСАНИ ЕЛИПСИ И ХИПЕРБОЛИ

Нека \(\bar{k}(O)\) е крива от втора степен с център \(O\). По-нататък в условието на задачата в неявен вид е обявено, че точката \(P\) описва окръжност с център \(S\) и радиус \(S C\). Затова можем да очакваме, че в търсеното обобщение точката \(P\) ще описва някаква крива от втора степен \(\bar{k}(S)\) с център \(S\), лежащ на правата \(A B\) и такъв, че SC е допирателна за \(\bar{k}(O)\) в точката \(C\). Кривата \(\bar{k}(S)\) не може предварително да се определи по известните дотук данни, тъй като не са познати достатъчно елементи, за да е възможно построяването на \(\bar{k}(S)\). Освен това не са изяснени напълно връзките на \(\bar{k}(S)\) с \(\bar{k}(O)\). Затова остава да се насочим към разшифроване на информацията, скрита в равенството \(M K=M L\). Последното равенство показва, че вписаният в \(\Gamma\) триъгълник \(K L M\) е равнобедрен и затова правата през \(M\) и центъра на \(\Gamma\) минава през средата на \(K L\). Това, пренесено върху случая с кривата \(\bar{k}(O)\), означава, че за произволна точка \(M\) от \(\bar{k}(O)\) правата \(K L\) трябва да е от спрегнатото направление на диаметъра \(O M\) на \(\bar{k}(O)\). Но от всички прави \(K L\), спрегнати с \(O M\), търсим само тези, за които \(A K, B L\) и \(C M\) минават през една точка \(P\). Затова с GSP търсим геометричното място на пресечната точка на правите \(A K\) и \(B L\), когато правата \(K L\) пробягва множеството на всички спрегнати с \(O M\) прави. Така получаваме следното:

Свойство 1. Нека \(M\) е произолна точка от \(\bar{k}(O)\), \(\bar{l}\) е права от спрегнатото направление на ОМи \(\bar{l} \cap \bar{k}(O)=\{\bar{K}, \bar{L}\}\). Ако \(\underline{A K} \cap B \bar{L}=\bar{P}\) и \(\bar{l}\) описва множеството на спрегнатите с OM прави, то точката \(\bar{P}\) описва крива от втора степен \(\bar{c}(M)\) (Фиг. 1, 2).

Наблюденията с GSP върху кривата \(\bar{c}(M)\) показват, че тя притежава следното:

Свойство 2. Кривата \(\bar{c}(M)\) има за център точката \(C_{0} u\) минава през \(A, B, M\) и точката \(M\), симетрична на М спрямо \(O\) (Фиг. 1, 2).

Това свойство позволява по-лесно да се построи кривата \(\bar{c}(M)\) с GSP. Сега търсената точка \(P\) определяме от следното:

Свойство 3. За произволна точка \(M\) от \(\bar{k}(O)\) точката \(P\) се определя като втората пресечна точка на правата \(C M\) и кривата \(\bar{c}(M)\) (Фиг. 1, 2).

Като оставим точката \(M\) да пробягва кривата \(\bar{k}(O)\), наблюденията с GSP показват, че е изпълнено:

Свойство 4. Ако точката \(M\) описва \(\bar{k}(O)\), точката \(P\) описва крива от втора

степен \(\bar{k}(S)\), която минава през върха \(C\). Сега остава да проверим с GSP свойството на допирателната за \(\bar{k}(O)\) в точката \(C\). Наблюденията с GSP показват, че е изпълнено следното:

Свойство 5. Ако допирателната на \(\bar{k}(O)\) в точката \(C\) пресича правата \(A B\) в точка \(S\), то \(S\) е център на \(\bar{k}(S)\) (Фиг. 1, 2).

Резултатите от намерените свойства можем да обединим в следното:

Твърдение 1. Нека коничното сечение \(\bar{k}(O)\) с чентър \(O\) е описано за \(\triangle A B C\) и M е произволна точка от \(\bar{k}(O)\). Ако \(K\) и \(L\) са такива точки от \(\bar{k}(O)\), че правата KL е от спрегнатото направление на диаметъра OM и правите \(A K, B L\) и CM минават през точка \(P\), то когато M описва \(\bar{k}(O)\), точката \(P\) описва конично сечение \(\bar{k}(S)\), което има за център пресечната точка \(S\) на допираталната към \(\bar{k}(O)\) в \(C\) с правата \(A B\) (Фиг. 1, 2).

Оказва се, че ако при доказване на твърдение 1 се следва пътя, очертан от по-следователността на свойствата, довели до неговото формулиране, се получават известни усложнения при извършване на необходимите аналитични пресмятания. Това ни мотивира да потърсим още свойства на получената конфигурация, които биха довели до опростяване на някои от аналитичните изрази.

Наблюденията с GSP показват, че освен \(C\) кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) винаги притежават и втора пресечна точка \(C_{1}\), за която е в сила следното

Свойство 6. Втората допирателна през \(S\) към \(\bar{k}(O)\) минава през другата пресечна точка \(C_{1}\) на \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) (Фиг. 1, 2).

Това свойство дава възможност да се построи точката \(C_{1}\). Освен това, повдига въпроса за подобни свойства на допирателните към \(\bar{k}(S)\) през точката \(O\). Експериментите с GSP водят до формулирането на следното:

Свойство 7. Допирателните към \(\bar{k}(S)\) през центъра \(O\) на \(\bar{k}(O)\) минават през общите точки \(C\) и \(C_{1}\) на двете криви (Фиг. 1, 2).

Последните три свойства могат да се обединят по следния начин: Допирателните през центъра на едната крива към другата минават през общите им точки.

Известно е, че общата хорда на всеки две пресичащи се окръжности се разполовява от тяхната централа. Понеже проведените досега наблюдения показват, че \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) винаги притежават две общи точки, то идваме до идеята да проверим с GSP възможността кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) да притежават същото свойство. Резултатът от този експеримент можем да формулираме по следния начин:

Свойство 8. Централата \(O S\) на кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) минава през средата на тяхната обща хорда \(C C_{1}\).

Прави впечатление още, че е изпълнено следното:

Свойство 9. Кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) са едновременно елипси или едновременно хиперболи (Фиг. 1, 2).

Последните свойства ни дават основание да използваме точките \(S\) и \(C_{l}\) при геометричното определяне на \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\), както и съответното им построяване с GSP Затова ще използваме свойства 5, 6 и 7, за да определим аналитично кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) при намиране на доказателство на твърдение 1.

Нека върху правата \(A B\) е дадена произволна точка \(S(s, 1-s, 0)\). Определяме \(\bar{k}(O)\) като крива, минаваща през \(A, B, C\), B, C, произволна точка \(C_{1}(\lambda, \mu, v)\) и допираща се до правата \(C S\). Получаваме уравнението

(1) \(\quad \bar{k}(O): s \lambda \mu y z-(1-s) \lambda \mu z x-[s \mu \nu-(1-s) \nu \lambda] x y=0\)

След това от (1) и уравнението на \(S C_{l}\) определяме координатите на точката \(C_{l}\) така, че правата \(S C_{1}\) да е допирателна за \(\bar{k}(O)\) и получаваме

(2) \[ C_{1}\left(\lambda,-\tfrac{(1-s) \lambda}{s}, \tfrac{(1-2 s) \lambda+s}{s}\right) . \]

От (1) и (2) се получава

(3) \[ \bar{k}(O): s \lambda y z-(1-s) \lambda z x-2[(1-2 s) \lambda+s] x y=0 . \]

Сега, ако \(M\left(x_{M}, y_{M}, z_{M}\right)\) е произволна точка от \(\bar{k}(O)\), а \(M_{0}(m, 1-m, 0)\) е пресечната на \(C M\) и \(\bar{k}(O)\), от (3) получаваме равенствата

(4) \[ x_{M}=\tfrac{\lambda m(s-m)}{\theta(m)}, y_{M}=\tfrac{\lambda(1-m)(s-m)}{\theta(m)}, z_{M}=\tfrac{2 m(1-m)((1-2 s) \lambda+s)}{\theta(m)}, \]

където \(\theta(m)=-2((1-2 s) \lambda+s) m^{2}+((1-4 s) \lambda+2 s) m+s \lambda\).

За редица пресмятания по-нататък ще са ни необходими координатите на центъра \(O\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\). Определяме ги, като намерим уравненията на спрегнатите диаметри \(d_{a}\) и \(d_{b}\) на правите \(B C\) и \(C A\). За да намерим \(d_{a}\), определяме пресечната точка \(A^{\prime}\) на правата през \(A\), успоредна на \(B C\). След това правата \(d_{a}\) е определена от средата на \(A A^{\prime}\) и \(A_{0}\). Аналогично се определя \(d_{b}\). В параметричен вид тези прави се представят съответно със следните уравнения:

(5) \[ \begin{aligned} & d_{a}: \quad x=2 s \lambda t_{1}, \quad y=\tfrac{1}{2}-((1-2 s) \lambda+2 s) t_{1}, \quad z=\tfrac{1}{2}+((1-4 s) \lambda+2 s) t_{1} \\ & d_{b}: \quad x=\tfrac{1}{2}-((1-2 s) \lambda+2 s) t_{2}, \quad y=2(1-s) \lambda t_{2}, \quad z=\tfrac{1}{2}+((3-4 s) \lambda+2 s) t_{2} . \end{aligned} \]

След решаване на системата от уравненията на \(d_{a}\) и \(d_{b}\) се получава

(6) \[ x_{0}=\tfrac{s \lambda((3-4 s) \lambda+2 s)}{\tau(s)}, y=\tfrac{(s-1) \lambda((1-4 s) \lambda+2 s)}{\tau(s)}, z=\tfrac{2((1-2 s) \lambda+s)((1-2 s) \lambda+2 s)}{\tau(s)}, \]

където \(\tau(s)=\lambda^{2}+4 s(1-2 s) \lambda+4 s^{2}\).

Сега преминаваме към намиране на уравнението на \(\bar{k}(S)\). Нека \(C^{\prime}(2 s, 2(1-s),-1)\) е точката, симетрична на \(C\) спрямо \(S\). Разглеждаме координатна система с координатен триъгълник \(C_{1} C^{\prime} C\), като \(C_{1}(1,0,0), C^{\prime}(0,1,0), C(0,0,1)\). Ако една точка има координати \(\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\) спрямо \(\Delta C_{1} C^{\prime} C\) и координати \((x, y, z)\) спрямо \(\triangle A B C\),

то са изпълнени равенствата

(7) \(x=\lambda x^{\prime}+2 s y^{\prime}, y=-\tfrac{1-s}{s} \lambda x^{\prime}+2(1-s) y^{\prime}, z=\tfrac{(1-2 s) \lambda+s}{s} x^{\prime}-y^{\prime}+z^{\prime}\).

От (7) лесно се получават равенствата

(8) \[ \begin{aligned} & x^{\prime}=\tfrac{1}{2 \lambda} x-\tfrac{s}{2(1-s) \lambda} y, \quad y^{\prime}=\tfrac{1}{4 s} x+\tfrac{1}{4(1-s)} y \\ & z^{\prime}=-\tfrac{(1-4 s) \lambda+2 s}{4 s \lambda} x+\tfrac{(3-4 s) \lambda+2 s}{4(1-s) \lambda} y+z \end{aligned} \]

От (6) и (8) за координатите на \(O\) спрямо \(\Delta C_{1} C^{\prime} C\) се получават равенствата

(9) \[ x_{0}^{\prime}=\tfrac{2 s((1-2 s) \lambda+s)}{\tau(s)}, y_{0}^{\prime}=\tfrac{\lambda^{2}}{\tau(s)}, z_{0}^{\prime}=\tfrac{1}{2} . \]

От третото равенство в (9) следва, че точката \(O\) лежи върху правата, минаваща през средите на отсечките \(C C^{\prime}\) и \(C C_{1}\). Оттук непосредствено се получава свойство 8.

Определяме кривата \(\bar{k}(S)\) като минаваща през точките \(C_{1}, C^{\prime}, C\) и допираща се до правите \(O C_{1}\) и \(O C\). Получаваме уравнението

(10) \[ x_{0}^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}-y_{0}^{\prime} z^{\prime} x^{\prime}+z_{0}^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}=0. \]

След заместване на (9) в (10) се получава уравнението на \(\bar{k}(S)\) спрямо \(\triangle A B C\)

(11) \(\begin{aligned} \bar{k}(S): & \begin{array}{l} 2(1-s)((1-2 s) \lambda+s) x^{2}+2 s((1-2 s) \lambda+s) y^{2}+ \\ +s((3-4 s) \lambda+2 s) y z+(1-s)((1-4 s) \lambda+2 s) z x=0 \end{array} \end{aligned}\)

Сега, ако \(P\) е произволна точка от \(\bar{k}(S)\) и правата \(C P\) пресича \(A B\) в точка \(P_{0}(p, 1-p, 0)\), 1− p , 0) , от уравненията на правата \(C P\) и (11) за координатите на \(P\) се получават равенствата

(12) \[ \begin{aligned} & x_{P}=\tfrac{\left(\left(8 s^{2}-8 s+1\right) \lambda+2 s(1-2 s)\right) p+s((3-4 s) \lambda+2 s)}{\theta(p)} p, \\ & y_{P}=\tfrac{\left(\left(8 s^{2}-8 s+1\right) \lambda+2 s(1-2 s)\right) p+s((3-4 s) \lambda+2 s)}{\theta(p)}(1-p), \\ & z_{P}=\tfrac{2((1-2 s) \lambda+s)\left(-p^{2}+2 p-s\right)}{\theta(p)}, \end{aligned} \]

където \(\theta(p)=-2((1-2 s) \lambda+s) p^{2}+((1-4 s) \lambda+2 s) p+s \lambda\).

За да определим вида на кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\), търсим условията, които показват какъв е броят на общите им точки с безкрайната права (уравнението й е \(x+y+z=0\) ). От уравненията (3) и (11) намираме, че условието, от което зависи вида на всяка от кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\), е знакът на израза \(\tau(s)=\lambda^{2}+4 s(1-2 s) \lambda+4 s^{2}\). Следователно те са едновременно елипси или хиперболи. С това е установено свойство 9.

Кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) определихме, като се възползвахме от предварително откритите с GSP техни свойства 5, 6 и 7. За да ги свържем обаче с първоначнално търсената конструкция, трябва да установим и свойства 1, 2 и 3. Затова преминаваме към техните доказателства.

Ако \(M\) е безкрайна точка (това е възможно само когато \(\bar{k}(O)\) е хипербола, което от своя страна се получава, когато \(m\) е един от двата корена на уравнението \(\vartheta(m)=0\) ), правата \(\bar{l}\) от спрегантото направление на \(O M\) (това е асимптота за \(\bar{k}(O)\) ) еуспоредна на \(O M\). Тогава \(\bar{l} \cap \bar{k}(O)=\{\bar{K}, \bar{L} \equiv M\}=\{\bar{K} \equiv M, \bar{L}\}\). Затова, тъй като \(B M\) и \(A M\) са постоянни прави, то равенствата \(A \bar{K} \cap B M=\bar{P}\) и \(A M \cap B \bar{L}=\bar{P}\) означават, че точката \(\bar{P}\) описва двете успоредни прави \(A M\) и \(B M\), които заедно образуват крива от втора степен \(\bar{c}(M)\). Това означава, че е изпълнено свойство 1. Освен това точката \(C_{0}\) е център на \(\bar{c}(M)\) и ако приемем, че \(M^{\prime} \equiv M\), т.е., че \(M\) е симетрична сама на себе си спрямо \(O\), то можем да смятаме свойство 2 за изпълнено. При това положение смятаме също, че правата \(C M\) пресича два пъти \(\bar{c}(M)\) в нейната безкрайна точка \(M\), което води до свойство 3. Така установяваме, че \(M\) е точка от хиперболата \(\bar{k}(S)\).

По-нататък разглеждаме случая, когато \(M\) е крайна точка \((\vartheta(m) \neq 0)\). Разглеждаме координатна система с координатен триъгълник \(A B M\), като \(A(1,0,0), B(0,1,0)\), \(M(0,0,1)\). Ако една точка има координати (\(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}\) ) спрямо \(A B M\) и координати \((x, y, z)\) спрямо \(\triangle A B C\), то са изпълнени равенствата

(13) \[ x=x^{\prime \prime}+x_{M} z^{\prime \prime}, y=y^{\prime \prime}+y_{M} z^{\prime \prime}, z=z_{M} z^{\prime \prime} \]

От (13) лесно се получават равенствата

(14) \[ x^{\prime \prime}=x-\tfrac{x_{M}}{z_{M}} z, y^{\prime \prime}=y-\tfrac{y_{M}}{z_{M}} z, z^{\prime \prime}=\tfrac{1}{z_{M}} z \]

От (6) и (14) за координатите на \(O\) спрямо \(\triangle A B M\) се получават равенствата

(15) \[ \begin{aligned} & x_{0}^{\prime \prime}=\tfrac{(1-s) \lambda}{(1-m) \tau(s)}(((1-4 s) \lambda+2 s) m+2 s \lambda), \\ & y_{0}^{\prime \prime}=\tfrac{s \lambda}{m \tau(s)}(((3-4 s) \lambda+2 s) m-((1-2 s) \lambda+2 s)), \\ & z_{0}^{\prime \prime}=\tfrac{((1-2 s) \lambda+2 s) \theta(m)}{m(1-m) \tau(s)} . \end{aligned} \]

Сега определяме крива \(\bar{c}(M)\), която минава през точките \(A(1,0,0), B(0,1,0)\), \(M(0,0,1), M^{\prime}\left(2 x_{0}^{\prime \prime}, 2 y_{0}^{\prime \prime}, 2 z_{0}^{\prime \prime}-1\right)\) и \(M^{\prime \prime}(1,1,-1)\). Получаваме уравнението

(16) \[ \bar{c}(M):\left(1-2 x_{0}^{\prime \prime}\right) x_{0}^{\prime \prime} y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}-\left(1-2 y_{0}^{\prime \prime}\right) y_{0}^{\prime \prime} z^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\left(y_{0}^{\prime \prime}-x_{0}^{\prime \prime}\right)\left(1-2 z_{0}^{\prime \prime}\right) x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}=0 . \]

Като се използва (16), лесно се проверява, че \(\bar{c}(M)\) има за център точката \(C_{0}\). Следователно \(\bar{c}(M)\) удовлетворява свойство 2.

От (15) и (16) се получава още уравнението

(17) \(\bar{c}(M):(1-s) m^{2} y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}+s(1-m)^{2} z^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\left(m^{2}-2 s m+s\right) x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}=0\)

Нека сега \(\bar{K}\left(x_{1}^{\prime \prime}, y_{1}^{\prime \prime}, z_{1}^{\prime \prime}\right)\) е произволна точка от кривата \(\bar{k}(O)\), чието уравнение спрямо \(\triangle A B M\) е следното

(18) \[ \bar{k}(O):\left(1-2 x_{0}^{\prime \prime}\right) x_{0}^{\prime \prime} y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}+\left(1-2 y_{0}^{\prime \prime}\right) y_{0}^{\prime \prime} z^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\left(1-2 z_{0}^{\prime \prime}\right) z_{0}^{\prime \prime} x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}=0 . \]

Правата \(\bar{l}\) , определена с уравненията

(19) \[ \bar{l}: x^{\prime \prime}=x_{1}^{\prime \prime}-x_{0}^{\prime \prime}\left(2 x_{0}^{\prime \prime}-1\right) l, y^{\prime \prime}=y_{1}^{\prime \prime}+y_{0}^{\prime \prime}\left(2 y_{0}^{\prime \prime}-1\right) l, z^{\prime \prime}=z_{1}^{\prime \prime}+\left(y_{0}^{\prime \prime}-x_{0}^{\prime \prime}\right)\left(2 z_{0}^{\prime \prime}-1\right) l \]

е спрегната с диаметъра \(O M\) и минава през \(\bar{K}\).

От (18) и (19) за координатите на втората пресечна точка \(\bar{L}\left(x_{2}^{\prime \prime}, y_{2}^{\prime \prime}, z_{2}^{\prime \prime}\right)\) на \(\bar{l}\) и \(\bar{k}(O)\) се получават равенствата

(20) \[ \begin{aligned} & x_{2}^{\prime \prime}=\tfrac{\left(x_{0}^{\prime \prime}-y_{0}^{\prime \prime}\right) y_{0}^{\prime \prime} x_{1}^{\prime \prime}+\left(1-2 x_{0}^{\prime \prime}\right) x_{0}^{\prime \prime} y_{1}^{\prime \prime}}{y_{0}^{\prime \prime} z_{0}^{\prime \prime}} \\ & y_{2}^{\prime \prime}=\tfrac{\left(1-2 y_{0}^{\prime \prime}\right) y_{0}^{\prime \prime} x_{1}^{\prime \prime}+\left(y_{0}^{\prime \prime}-x_{0}^{\prime \prime}\right) x_{0}^{\prime \prime} y_{1}^{\prime \prime}}{z_{0}^{\prime \prime} x_{0}^{\prime \prime}} \\ & z_{2}^{\prime \prime}=\tfrac{\left(y_{0}^{\prime \prime}-x_{0}^{\prime \prime}\right)\left(1-2 z_{0}^{\prime \prime}\right)}{x_{0}^{\prime \prime} y_{0}^{\prime \prime} z_{0}^{\prime \prime}}\left(y_{0}^{\prime \prime} x_{1}^{\prime \prime}-x_{0}^{\prime \prime} y_{1}^{\prime \prime}\right)+z_{1}^{\prime \prime} \end{aligned} \]

Нека \(A \bar{K} \cap B \bar{L}=\bar{P}\left(x_{3}^{\prime \prime}, y_{3}^{\prime \prime}, z_{3}^{\prime \prime}\right)\). Тогава са изпълнени равенствата

(21) \[ x_{3}^{\prime \prime}=\tfrac{x_{2}^{\prime \prime} z_{1}^{\prime \prime}}{\left(y_{1}^{\prime \prime}+z_{1}^{\prime \prime}\right) z_{2}^{\prime \prime}+x_{2}^{\prime \prime} z_{1}^{\prime \prime}}, y_{3}^{\prime \prime}=\tfrac{y_{1}^{\prime \prime} z_{2}^{\prime \prime}}{\left(y_{1}^{\prime \prime}+z_{1}^{\prime \prime}\right) z_{2}^{\prime \prime}+x_{2}^{\prime \prime} z_{1}^{\prime \prime}}, z_{3}^{\prime \prime}=\tfrac{z_{1}^{\prime \prime} z_{2}^{\prime \prime}}{\left(y_{1}^{\prime \prime}+z_{1}^{\prime \prime}\right) z_{2}^{\prime \prime}+x_{2}^{\prime \prime} z_{1}^{\prime \prime}} . \]

След заместване на (21) в лявата част на (16) и използване на равенствата (20) и (18) се установява, че е в сила равенството (16), т.е. \(\bar{P}\) лежи върху \(\bar{c}(M)\). Следователно кривата \(\bar{c}(M)\) удовлетворява свойство 1 и затова \(\bar{c}(M)\) е кривата, предсказана от експериментите с GSP.

Следващата стъпка, която предприемаме, е да намерим втората пресечна точка \(P\) на \(C M\) и \(\bar{c}(M)\), като използваме (17). Получаваме следните координати

(22) \(x_{P}^{\prime \prime}=\tfrac{(1-2 s) m+s}{1-m}, y_{P}^{\prime \prime}=\tfrac{(1-2 s) m+s}{m}, z_{P}^{\prime \prime}=-\tfrac{m^{2}-2 s m+s}{m(1-m)} .\)

Сега от (13) и (22) при \(m=p\), получаваме равенствата (12). С това е доказано свойство 3, което чрез свойство 4 води до кривата \(\bar{k}(S)\), построена по свойства 5, 6 и7.

Забележка 1. Трябва да се отбележи, че точката \(M\) може да се получи от безкрайната точка \(M_{0}(1,-1,0)\). В този конкретен случай (4), (15), (17) и (22) имат специално представяне, което може да се получи като навсякъде се изнесе най-високата степен на \(m\) и в получените изрази се премине към граничен преход при \(m \rightarrow \infty\) (същото се отнася и за точката \(M_{0}(1,-1,0)\), −1, 0) , която се получава от \(\bar{M}_{0}\left(1, \tfrac{1}{m}-1,0\right)\) при \(m \rightarrow \infty\) ). Същата операция трябва да се приложи и за точката \(P\) в (12). Всички окончателни резултати при новите (4), (15), (17), (22) и (12) остават в сила и за това са в сила и получените свойства.

Сега като имаме предвид забележка 1, от приведената последователност от разсъждения следва, че окончателно е обоснована конструкцията, построена с помощта на GSP, водеща до формулирането на твърдение1. Следователно е доказано и твърдение 1.

Изследванията, които доведоха до формулирането и доказването на твърдение 1, показаха, че получената конструкция е богата на интересни свойства. Това ни провокира да потърсим други свойства на кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\).Наблюденията с GSP върху разположението на кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) ни насочва към предположението, че тези криви са хомотетични. Заключението, че \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) са винаги хомотетични при следващите експерименти с GSP се оказва твърде прибързано. По-задълбочените наблюдения с GSP показват, че хомотетията е свойство на елипсите, но не и на хиперболите. Така установяваме следните специални свойства на \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) :

Свойство 10. Ако кривите \(\bar{k}(\underline{O})\) и \(\bar{k}(S)\) са елипси, те са хомотетични (Фиг. 1).

Свойство 11. Ако кривите \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\) са хиперболи, те имат успоредни асимптоти (Фиг. 2).

Свойство 12. Ако кривите \(\bar{k}(\underline{O})\) и \(\bar{k}(S)\) са хиперболи, транслацията с вектор \(\overrightarrow{O S}\) привежда \(\bar{k}(O)\) в хипербола \(\bar{k}(S)\), която лежи в ъгъла, определен от асимптотите на \(\bar{k}(S)\), не съдържащ \(\bar{k}(S)\) (Фиг. 2).

Преминаваме към доказване на специалните свойства на \(\bar{k}(O)\) и \(\bar{k}(S)\). За целта търсим уравнението на образа \(\overline{\bar{k}}(S)\) на \(\bar{k}(O)\) при транслация с вектор \(\overrightarrow{O S}(\xi, \eta, \zeta)\), където \(\quad \xi=-\tfrac{2 s}{\tau(s)}(\lambda-2 s)((1-2 s) \lambda+s), \quad \eta=\tfrac{2(1-s)}{\tau(s)}(\lambda+2 s)((1-2 s) \lambda+s)\), \(\left.\zeta=-\tfrac{2}{\tau(s)}((1-2 s) \lambda+s)((1-2 s) \lambda+2 s)\right)\). Получаваме уравнението

(23) \(\overline{\bar{k}}(S): \tau(s)\left(s \lambda y z-(1-s) \lambda z x-2\left(\left(\hat{1}^{\prime}-2 s\right) \lambda+s\right)\right)+2 \tau(s)((1-2 s) \lambda+s)((1-s) x+s y)-\)

\(-4 s(1-s)((1-2 s) \lambda+s)\left(\lambda^{2}+2 s(1-2 s) \lambda+2 s^{2}\right)=0\).

По направлението на произволен вектор \(\overrightarrow{r}(\alpha, \beta, \gamma)(\alpha+\beta+\gamma=0)\) определяме права \(r: x=s+\alpha v, y=1-s+\beta v, z=\gamma v\). От (11) намираме, че пресечните точки на \(r\) с \(\bar{k}(S)\) се получават при стойности на параметъра \(v\), удовлетворяващи равенството

(24) \((s \lambda \beta \gamma-(1-s) \lambda \gamma \alpha-2((1-2 s) \lambda+s) \alpha \beta) v_{1}^{2}=-2 s(1-s)((1-2 s) \lambda+s),\)

а от (23), че пресечните точки на \(r\) с \(\overline{\bar{k}}(S)\) се получават при стойности на параметъра \(v\), удовлетворяващи равенството

(25) \((s \lambda \beta \gamma-(1-s) \lambda \gamma \alpha-2((1-2 s) \lambda+s) \alpha \beta) \tau(s) v_{2}^{2}=2 s(1-s)((1-2 s) \lambda+s) \lambda^{2}\)

Ако \(\bar{k}(S)\) и \(\overline{\bar{k}}(S)\) са хиперболи, то \(\tau(s) \gt 0\). В този случай, ако \(r\) има общи точки с \(\bar{k}(S)\), уравнението (24) има решения, а (25) няма решение и затова правата \(r\) няма обща точка с \(\overline{\bar{k}}(S)\). Това означава, че \(\bar{k}(S)\) и \(\bar{k}(S)\) лежат в различните противоположни ъгли на общите им асиптоти. От (24) и (25) следва още равенствотополучав \(\tfrac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}}=-\tfrac{\tau(s)}{\lambda^{2}}\)а от \(\overline{\bar{k}}(S)\) . Затовприа, ак хомотетияо \(\bar{k}(S)\) си център \(\overline{\bar{k}}(S)\) са \(S\) елипси, ти коефициент.е. \(\tau(s) \lt 0\) на хомотетията, кривата \(\tfrac{\sqrt{-\tau(s)}}{\lambda}\) \(\bar{k}(S)\) се . С това свойства 10,11 и 12 са доказани. С това свойства 10,11 и 12 са доказани.

От свойство 10 и получените резултати следва, че съответните линейни ексцен трицитети на елипсите \(\bar{k}(S)\) и \(\bar{k}(O)\) имат отношение \(\tfrac{\sqrt{-\tau(s)}}{\lambda}\).

В случай, че кривите са хиперболи, лесно се вижда, че векторите

(26) \[ \small{\begin{aligned} & \overrightarrow{e_{1}}\left(\alpha_{1}=(1-4 s) \lambda+2 s-\sqrt{\tau(s)}, \beta_{1}=(3-4 s) \lambda+2 s+\sqrt{\tau(s)}, \gamma_{1}=-4((1-2 s) \lambda+s)\right), \\ & \overrightarrow{e_{2}}\left(\alpha_{2}=(1-4 s) \lambda+2 s+\sqrt{\tau(s)}, \beta_{2}=(3-4 s) \lambda+2 s-\sqrt{\tau(s)}, \gamma_{2}=-4((1-2 s) \lambda+s)\right), \end{aligned}} \]

са колинеарни с асимптотите на тези хиперболи.

От барицентрични координати \((x, y, z)\) спрямо \(\triangle A B C\) към афинни координати \((X, Y)\) спрямо координатна система с център \(S\) и координатни оси по асимптотите на \(\bar{k}(S)\) и \(\bar{\bar{k}}(S)\) се преминава чрез равенствата

(27) \[ x=\alpha_{1} X+\alpha_{2} Y+s, y=\beta_{1} X+\beta_{2} Y+1-s, z=\gamma_{1} X+\gamma_{2} Y \]

От (27), (26) и (11) за афинното уравнение на \(\bar{k}(S)\) се получава

(28) \(\bar{k}(S): X Y=\tfrac{s(1-s)}{4 \tau(s)}\)

От (27), (26) и (23) за афинното уравнение на \(\bar{\bar{k}}(S)\) се получава

(29) \[ \bar{\bar{k}}(S): X Y=-\tfrac{s(1-s) \lambda^{2}}{4 \tau^{2}(s)} \]

От (28) и (29) следва, че отношението на линейните ексцентрицитети на \(\bar{k}(S)\) и \(\bar{k}^{\prime}(S)\) е равно на \(\tfrac{\sqrt{\tau(s)}}{\lambda}\) (Моденов, 1969). Така за елипсите и хиперболите по-лучаваме следното:

Свойство 13. Отношението на съответните линейни ексцентрицитети на \(\bar{k}(S)\) и \(\bar{k}(O)\) е равно на \(\tfrac{\sqrt{|\tau(s)|}}{\lambda}\).

Описани параболи

Показахме, че описаната за \(\triangle A B C\) крива \(\bar{k}(O)\) може да се определи с точка \(S \in A B\) и точка \(C_{1}\) така, че \(S C\) и \(S C_{1}\) са тангенти за \(\bar{k}(O)\). Всъщност при това определяне никъде не използвахме, че \(\bar{k}(O)\) има за център точката \(O\). От друга страна беше показано, че видът на \(\bar{k}(O)\) зависи от знака на \(\tau(s)\). Следователно една парабола \(\bar{\pi}(S)\), описана за \(\triangle A B C\) може да се определи по същия начин от точка \(S \in A B\) и точка \(C_{1}\), чиито координати се определят с (2) и равенството \(\tau(s)=0\). От последното равенство лесно се вижда, че са изпълнени и равенствата:

(30) \[ \begin{aligned} & (1-2 s) \lambda+s=-\tfrac{\lambda^{2}}{4 s}, \quad(1-2 s) \lambda+2 s=\tfrac{(2 s-\lambda)(2 s+\lambda)}{4 s}, \\ & (1-4 s) \lambda+2 s=-\tfrac{\lambda(2 s+\lambda)}{2 s}, \quad(3-4 s) \lambda+2 s=\tfrac{\lambda(2 s-\lambda)}{2 s} . \end{aligned} \]

От (2) и (30) за координатите на \(C_{i}\) получаваме

(2′) \[ C_{1}\left(\lambda,-\tfrac{1-s}{s} \lambda,-\tfrac{\lambda^{2}}{4 s^{2}}\right) \]

За всяка точка \(S \in A B\) уравнението \(\tau(s)=0\) по отношение на \(\lambda\) определя две точки \(C_{1}^{\prime}\) и \(C_{1}^{\prime \prime}\), които от своя страна определят две описани за \(\triangle A B C\) параболи. Така възниква въпросът за това какво множество ще опишат \(C_{1}^{\prime}\) и \(C_{1}^{\prime \prime}\), когато \(S\) описва правата \(A B\). Наблюденията с GSP водят до следния извод: Когато точката \(S\) описва правата \(A B\), точките \(C_{1}^{\prime}\) и \(C_{1}^{\prime \prime}\) описват парабола \(\bar{\pi}(C)\), вписана в \(\triangle A B C\) така, че минава през средата \(C_{0}\) на \(A B\) и през точките, симетрични на \(C\) спрямо \(A\) и \(B\) (Фиг. 3).

Лесно се определя, че така намерената специална за \(\triangle A B C\) парабола \(\bar{\pi}(C)\) се описва с уравнението:

(31) \[ \bar{\pi}(C): x^{2}+y^{2}+4 z^{2}+4 y z+4 z x-2 x y=0 . \]

След заместване на координатите на \(C_{1}\) от \(\left(2^{\prime}\right)\) в \((\mathfrak{3})\) и използване на равенството \(\tau(s)=0\) се установява, че \(C_{1}\) наистина е точка от \(\bar{\pi}(C)\).

Сега е интересно да се установи вариант на първоначалната задача за описани около \(\triangle A B C\) параболи. Пътят на разсъжения беше проправен при изследванията, проведени с елипси и хиперболи. Остава с помощта на GSP да приложим същата последователност на разсъждения и съответните им изследвания. Установяваме следните свойства:

Свойство 1’. Нека \(M\) е произолна точка от \(\bar{\pi}(S), \bar{l}\) е права от спрегнатото направление на диаметъра \(d\) през М и \(\bar{l} \cap \bar{\pi}(S)=\{\bar{K}, \bar{L}\}\). Ако \(A \bar{K} \cap B \bar{L}=\bar{P}\) и \(\bar{l}\) описва множеството на спрегнатите с \(d\) прави, то точката \(\bar{P}\) описва крива от втора степен \(\bar{c}(Μ)\) (Фиг. 3).

Свойство 2’. Кривата \(\bar{c}(M)\) е хипербола с център точката \(C_{0}\), която минава през \(A, B\), B , M и едната от асимптотите й е успоредна на оста на \(\bar{\pi}(S)\) (Фиг. 3).

Свойство 3’. За произволна точка М от \(\bar{\pi}(S)\), точката \(P\) се определя като втората пресечна точка на правата \(C M\) и кривата \(\bar{c}(M)\) (Фиг. 3).

Геометричното място, което описва точката \(P\) обаче се характеризира със свойство много по-различно от свойство 4. То е следното:

Свойство 14. Ако точката M описва \(\bar{\pi}(S)\), точката \(P\) описва права, която е тангента за \(\bar{\pi}(C)\) в точката \(C_{1}\) (Фиг. 3).

Така свойство 14 превъща специалната парабола \(\bar{\pi}(C)\) в забележителна за \(\triangle A B C\), тъй като то описва забележително свойство на описаните за \(\triangle A B C\) параболи \(\bar{\pi}(S)\).

Резултатите от последните четири свойства можем да обединим в следното:

Твърдение 2. Нека \(\bar{\pi}(S)\) е описана за \(\triangle A B C\) парабола и \(M\) е произволна точка от \(\bar{\pi}(S)\). Ако \(K\) и \(L\) са такива точки от \(\bar{\pi}(S)\), че правата \(K L\) е от спрегнатото направление на диаметъра на \(\bar{\pi}(S)\) през \(M\) и правите \(A K, B L\) и CM минават през точка \(P\), то когато М описва \(\bar{\pi}(S)\), точката \(P\) описва права, допирателна за параболата \(\bar{\pi}(C)\), вписана в \(\triangle A B C\) така, че минава през средата на \(A B\) и през точките, симетрични на C спрямо \(A\) и \(B\) (Фиг. 3).

За да докажем твърдение 2 първо ще намерим допирателната на \(\bar{\pi}(C)\) в точката \(C_{1}\). От уравненията на диаметъра \(d_{a}\) в (5) и равенствата (30) се вижда, че един вектор колинеарен с оста на \(\bar{\pi}(S)\) е следният:

(32) \[ \overrightarrow{O}\left(x_{0}=-8 s^{2} \lambda, y_{0}=(2 s-\lambda)(2 s+\lambda), z_{0}=2 \lambda(2 s+\lambda)\right) . \]

От (2`) и (32) определяме параметричните уравнения на права \(p\left(C_{1}\right)\) 1 през точката \(C_{1}\) и колинеарна с \(\overrightarrow{O}\) във вида

(33) \(p\left(C_{1}\right): x=\lambda-8 s^{2} \lambda . u, y=-\tfrac{1-s}{s} \lambda+(2 s-\lambda)(2 s+\lambda) . u, z=-\tfrac{\lambda^{2}}{4 s^{2}}+2 \lambda(2 s+\lambda) . u\)

След заместване на (33) в (31) се получава уравнението спрямо \(u\) : \((\lambda+2 s)^{2} u^{2}+\tfrac{\lambda}{s^{2}}(4 s-1) \tau(s) u+\tfrac{\lambda^{2}}{s^{2}} \tau(s)=0\). Предвид \(\tau(s)=0\), последното има двоен корен \(u=0\), което означава, че \(p\left(C_{1}\right)\) е допирателна на \(\bar{\pi}(C)\) в \(C_{1}\).

Можем да запишем правата \(p\left(C_{1}\right)\) с общо уравнение във вида

(34) \(p\left(C_{1}\right): \lambda(2 s-\lambda) x-\lambda(2 s+\lambda) y+(2 s-\lambda)(2 s+\lambda) z=0 .\)

Кривата \(\bar{c}(M)\) определяме, както преди спрямо \(\triangle A B M\) и получаваме уравнението

(35) \[ \bar{c}(M): x_{0}^{\prime \prime 2} y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}-y_{0}^{\prime \prime 2} z^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\left(y_{0}^{\prime \prime}-x_{0}^{\prime \prime}\right) z_{0}^{\prime \prime} x^{\prime \prime} y^{\prime \prime}=0 . \]

От (35) лесно се вижда, че \(\bar{c}(M)\) има за център \(C_{0}\), както и че безкрайната точка \(\left(x_{0}^{\prime \prime}, y_{0}^{\prime \prime}, z_{0}^{\prime \prime}\right)\) на \(\bar{\pi}(S)\) е решение на (35). С това свойство \(2^{\prime}\) е доказано.

Като вземем предвид, че \(\tau(s)=0\), от (4) получаваме

(4`) \[ x_{M}=\tfrac{8 s \lambda m(s-m)}{(2 s+\lambda-2 \lambda m)^{2}}, y_{M}=\tfrac{8 s \lambda(1-m)(s-m)}{(2 s+\lambda-2 \lambda m)^{2}}, z_{M}=-\tfrac{4 \lambda^{2} m(1-m)}{(2 s+\lambda-2 \lambda m)^{2}} . \]

От (14), (4`) и (30) получаваме, че \(\overrightarrow{O}\) спрямо \(A B M\) може да се представи във вида:

(36) \[ x_{0}^{\prime \prime}=2 \lambda(2 s-\lambda) m, y_{0}^{\prime \prime}=2 \lambda(2 s+\lambda)(1-m), z_{0}^{\prime \prime}=-(2 s+\lambda) . \]

От (36) и (35) уравнението на \(\bar{c}(M)\) приема вида (17). Следователно всички разсъждения, проведени при доказателството на свойство 1, са валидни и за свойство \(1^{\prime}\), с което приключва доказателството на свойство \(1^{\prime}\).

От (13) и (34) за уравнението на \(p\left(C_{1}\right)\) спрямо \(\triangle A B M\) се получава

(37) \[ \begin{aligned} p\left(C_{1}\right): & \begin{array}{l} \lambda(2 s-\lambda) x^{\prime \prime}-\lambda(2 s+\lambda) y^{\prime \prime}+ \\ +\left(\lambda(2 s-\lambda) x_{M}-\lambda(2 s+\lambda) y_{M}+(2 s-\lambda)(2 s+\lambda) z_{M}\right) z^{\prime \prime}=0 \end{array} \end{aligned} \]

Сега, като се използват (4`) и (2), лесно се проверява, че координатите на точката \(P\) са решение на (37). С това свойство 14 е доказано, което води до окончателното доказателство на твърдение 2.

Забележка 2. За (4`) и следващите от него резултати трябва да се има предвид забележка 1.

В заключение трябва да отбележим, че намерените геометрични места, описани в получените твърдения, имат различни свойства в различните три случая на пораждащи ги конични сечения.

ЛИТЕРАТУРА

Гроздев, С. (2010). Напредване назад. Математика плюс. 3 (71), 46–50.

Моденов, П. (1969). Аналитическая геометрия. Москва: Изд. Московского университета.

Паскалев, Г. & Чобанов, И. (1985). Забележителни точки в триъгълника. София: Народна просвета.